抛物线的旋转翻折和平移

抛物线的几何变换抛物线是一种常见的曲线形状，它在几何学中有着重要的应用。

通过对抛物线进行几何变换，我们可以得到一系列有趣的结果和应用。

本文将就抛物线的几何变换进行详细探讨。

我们来讨论抛物线的平移变换。

平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离。

对于抛物线来说，平移变换可以使得抛物线在平面上的位置发生改变，但其形状和大小保持不变。

通过平移变换，我们可以将抛物线的顶点从原点移动到任意位置，从而得到不同位置的抛物线。

接下来，我们来探讨抛物线的缩放变换。

缩放是指改变图形的大小，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。

对于抛物线来说，缩放变换可以使得抛物线的形状变得更加扁平或者更加瘦长。

通过缩放变换，我们可以调整抛物线的曲率和尺寸，从而满足不同的需求。

除了平移和缩放变换，我们还可以对抛物线进行旋转变换。

旋转是指将图形绕着某个点或者某个轴进行旋转，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。

对于抛物线来说，旋转变换可以使得抛物线沿着顶点或者其他点进行旋转，从而改变抛物线的朝向和方向。

通过旋转变换，我们可以得到不同方向的抛物线，具有更多的应用场景。

我们还可以对抛物线进行镜像变换。

镜像是指通过某个直线将图形的各个部分对称翻转，使得图形的对称轴上的点保持不变。

对于抛物线来说，镜像变换可以使得抛物线关于某个直线对称，从而得到与原抛物线关于对称轴对称的抛物线。

通过镜像变换，我们可以得到一对关于对称轴对称的抛物线，具有更多的几何特性。

我们来谈论一下抛物线的平移、缩放、旋转和镜像的组合变换。

通过将这些变换结合起来，我们可以得到更加复杂的抛物线图形。

例如，我们可以先进行平移变换，将抛物线移动到指定位置，然后再进行缩放变换，调整抛物线的大小，最后进行旋转变换，改变抛物线的方向。

这样，我们可以得到一个全新的抛物线图形，具有丰富的几何特征。

抛物线的几何变换是一种有趣且实用的数学工具。

通过对抛物线进行平移、缩放、旋转和镜像变换，我们可以得到各种不同形状和特性的抛物线图形。

抛物线的变形和平移变换抛物线的基本形式一般而言，抛物线的标准形式可以表示为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$、$c$是常数。

这个方程描述了抛物线曲线的形状和位置。

$a$决定了抛物线的开口方向和形状，$b$控制了抛物线的横向平移，$c$则是抛物线的纵向平移。

抛物线的变形抛物线的变形是通过改变标准形式中的参数来实现的。

以下是一些常见的抛物线变形方式：1. 改变参数$a$改变参数$a$可以使抛物线的形状发生变化。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

参数$a$的绝对值越大，抛物线的形状越陡峭。

2. 横向压缩和拉伸通过改变参数$b$的值，可以使抛物线在横向上发生压缩或拉伸。

当$b>0$时，抛物线向左平移；当$b<0$时，抛物线向右平移。

3. 平移通过改变参数$c$的值，可以将抛物线在纵向上进行平移。

当$c>0$时，抛物线向上平移；当$c<0$时，抛物线向下平移。

抛物线的平移变换抛物线的平移变换是指将抛物线沿着横轴和纵轴平移一定的距离。

平移变换可以通过改变抛物线方程中的参数$b$和$c$来实现。

1. 横向平移要使抛物线在横向上发生平移，可以通过改变参数$b$的值来实现。

当$b>0$时，抛物线向左平移；当$b<0$时，抛物线向右平移。

平移的距离由参数$b$的绝对值决定。

2. 纵向平移要使抛物线在纵向上发生平移，可以通过改变参数$c$的值来实现。

当$c>0$时，抛物线向上平移；当$c<0$时，抛物线向下平移。

平移的距离由参数$c$的绝对值决定。

总结抛物线的变形和平移变换是数学中常见的操作，可以通过改变抛物线方程中的参数来实现。

改变参数$a$可改变抛物线的形状，改变参数$b$和$c$可实现抛物线的平移。

通过灵活运用抛物线的变形和平移变换，我们可以得到各种各样的抛物线图像和数学运算。

22.1.4(5)---抛物线的平移、翻折、旋转
一．【知识要点】
1.抛物线的平移、翻折、旋转：图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
二．【经典例题】
1.①将抛物线223y x x =-+向左平移3个单位,再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为________.
三．【题库】
【A 】
1．抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）
A ．y=﹣（x+1）2
B ．y=﹣（x ﹣1）2
C ．y=﹣x 2+1
D ．y=﹣x 2﹣1
【B 】
【C 】
1．将抛物线y=（x ﹣1）2+3关于y 轴对称后所得抛物线的表达式为（ ）
A ．y=-（x+1）2 +3
B ．y=（x+1）2+3
C ．y=-（x-1）2-3
D ．y=（x+1）2-3
【D 】
1．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O 为坐标原点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．。

巧用顶点式解决抛物线图形的变换问题例析通过抛物线图形的平移、旋转、翻折来确定新得抛物线的解析式是二次函数问题中较热门的题目类型，为方便大家理解并掌握此类题型的正确解法，现将有关解题方法小结如下，供同学们参考。

一、抛物线的平移例1、将抛物线2=+-向右平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后所y x x243得抛物线的解析式。

分析：抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。

解：将2y x2(1)5=+-，故平移前抛物线的顶点坐标为243y x x=+-配方成顶点式，得2--。

由题意知平移后所得新抛物线的顶点坐标为(2,0)，而抛物线的开口方向与开口大(1,5)小均不变，所以平移后所得新抛物线的解析式为2=-，即22(2)y x=-+。

y x x288〖方法总结〗求抛物线2a≠）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将=++（0y ax bx c其配方成顶点式()2a≠），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐y a x h k=-+（0标改变成平移后的新顶点坐标即可。

抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。

二、抛物线的旋转例2、将抛物线2=+-绕其顶点旋转180°，求旋转后所得抛物线的解析式。

243y x x分析：抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。

解：将2y x2(1)5=+-。

因旋转前后抛物线的开口方向y x x=+-配方成顶点式，得2243恰好相反，而开口大小及顶点位置均不变，所以旋转后所得新抛物线的解析式为2247y x x=---。

=-+-，即2y x2(1)5a≠）绕其顶点旋转180°后的解析式，同样〖方法总结〗求抛物线2y ax bx c=++（0a≠），然后将二次项系数直接改变成其相反数即可先将其配方成顶点式()2=-+（0y a x h k可。

抛物线(几个常见结论证明及其应用) 在几何学中，抛物线是一种非常有趣的图形。

它是由一个点和一条直线组成的，这条直线被称为抛物线的对称轴。

抛物线有很多种应用，比如在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

本文将从几个方面来探讨抛物线的常见结论及其应用。

一、抛物线的定义及性质1.1 定义抛物线是指由一个点(焦点)和一条直线(准线)所确定的图形。

当这条直线与坐标轴平行时，我们称之为水平抛物线；当这条直线垂直于坐标轴时，我们称之为垂直抛物线。

还有斜抛物线，它的准线是一条与x轴成角度的直线。

1.2 性质抛物线有很多性质，下面我们来介绍几个比较重要的性质：(1)抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

这个性质叫做抛物线的定义。

(2)抛物线上的任意一点都满足一个方程，即y = ax^2 + bx + c。

这个方程叫做抛物线的方程。

其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

(3)抛物线上的任意两点之间的连线都可以看作是一个割线段。

这条割线段的长度等于这两点到准线的距离之差的绝对值。

二、抛物线的图像及其变换2.1 图像抛物线的图像是一个光滑的曲线，它有最高点和最低点。

最高点就是抛物线的顶点，最低点就是抛物线的焦点。

在x轴上，最高点和最低点的y坐标相等；在y轴上，最高点的x坐标为0,最低点的x坐标也为0。

抛物线的图像还有一个特点，那就是它关于x轴对称。

这意味着如果我们沿着y轴翻转整个图像，那么得到的新图像仍然是一条抛物线。

2.2 变换除了基本的平移、旋转和缩放之外，我们还可以对抛物线进行一些更复杂的变换。

下面我们来介绍几种常见的变换：(1)平移：将整个图像沿着某一方向移动一定的距离。

例如，我们可以将图像向右平移5个单位长度，然后再向上平移3个单位长度。

这样做之后，原来的顶点就变成了新的顶点(7,8),原来的焦点就变成了新的焦点(5,3)。

(2)旋转：将整个图像绕着某一点按照一定的角度旋转。

二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。

一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。

例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。

抛物线知识点归纳总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，它在物理、数学等领域都有着广泛的应用。

本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、抛物线的定义。

抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离之差等于常数的动点轨迹。

通俗地讲，抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两个对称的平滑弧线。

二、抛物线的标准方程。

1. 抛物线的标准方程通常写作，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 当抛物线与y轴相交时，x=0，代入方程得到抛物线的顶点坐标。

三、抛物线的性质。

1. 对称性，抛物线关于其顶点对称。

2. 切线性质，抛物线上任意一点处的切线与该点处的切线平行于抛物线的对称轴。

3. 焦点和准线，抛物线的焦点是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定点，准线是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定直线。

4. 焦距，抛物线焦点到顶点的距离称为抛物线的焦距。

四、抛物线的应用。

1. 物理学中，抛物线运动是一种常见的运动形式，如抛体运动、炮弹发射等都可以用抛物线来描述。

2. 工程学中，抛物线的形状被广泛运用在建筑、桥梁、汽车等设计中，具有良好的结构稳定性。

3. 数学学科中，抛物线是解析几何和微积分中的重要概念，对于理解曲线的性质和方程有着重要意义。

五、抛物线的变形。

1. 抛物线的平移，通过平移变换可以使抛物线的顶点不位于原点，而是位于任意一点，这时抛物线的标准方程需要经过变换。

2. 抛物线的缩放，通过缩放变换可以改变抛物线的大小，使其开口更大或更小。

3. 抛物线的旋转，通过旋转变换可以使抛物线绕着定点旋转一定角度，这时抛物线的标准方程也需要相应的变换。

六、抛物线的求解。

1. 已知顶点坐标和另一点坐标时，可以直接代入抛物线的标准方程求解抛物线的具体方程。

2. 已知焦点和准线时，可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的具体方程。

二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题：1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．w W w .x K b 1.c o M点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．答案：。