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第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D⎝⎛⎭⎫12，0，0，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS→＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD→＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，DC→＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC→＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC→，n⊥SC→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n·DC→＝0，n·SC→＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x＋y＝0，x＋y－z＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝－2y，z＝－y，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB→，AC→(3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n·AB→＝0，n·AC→＝0，列出方程组(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n·AB→＝0，n·AC→＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)【答案】见解析【解析】设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n·DB →＝0，n·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x. 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面PAD 的法向量； ②BD 为平面PAC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面PAB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面PAD 知BC 不是平面PAD 的法向量；②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，BD为平面PAC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝s FE →＋t FG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF . 又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n·DA1→＝x ＋z ＝0，n·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C1N →－C1M →＝12C1B1→－12C1C →＝12(D1A1→－D1D →)＝12DA1→，∴MN →∥DA1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C1N →－C1M →＝12C1B1→－12C1C →＝12DA →－12A1A →＝12()DB →＋BA →－12()A1B →＋BA →＝12DB →－12A1B →.即MN →可用A1B →与DB →线性表示，故MN →与A1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______.【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-.故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA1→＋μBD →.令BB1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB1→＝a －c ，m ＝λBA1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n·BA1→＝0，n·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB1→＝(1，2，－3)，所以AB1→＝n ，所以AB1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】 （1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证 （2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
1.2 空间向量基本定理A 级必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b-cD.-12a-12b+c2.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,13.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,A 1C 1与B 1D 1的交点为E,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = . 4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.B 级关键能力提升练5.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 为A 1C 1的中点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则下列向量与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c6.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x,y,z)为( ) A.(14,14,14)B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23) 7.在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E,F 分别为棱AD,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .8.(广东深圳质检)已知四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c,AC,BD 的中点分别为E,F,则EF ⃗⃗⃗⃗ = .C 级学科素养创新练9.在如图所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=AA 1=AD,∠BAD=∠DAA 1=60°,∠BAA 1=30°,N 为A 1D 1上一点,且A 1N=λA 1D 1.若BD ⊥AN,则λ的值为 .1.2 空间向量基本定理1.C C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a-12b-c. 2.C 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C.3.-12a+12b+c 如图,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+c.4.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c. 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a·(b+c)=a·b+a·c. 因为AA 1⊥平面ABC,∠BAC=90°, 所以a·b=0,a·c=0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故AB ⊥AC 1.5.A BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.6.A 如图所示,连接AG 1交BC 于点E,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ),AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 7.π4√22a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=12a 2. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b)-12c, ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a·b -12a·c=12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4. 8.3a+3b-5c 如图所示,取BC 的中点G,连接EG,FG,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GF ⃗⃗⃗⃗⃗ −GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(5a+6b-8c)+12(a-2c)=3a+3b-5c.9.√3-1 取空间中一组基底:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 设AB=1, 因为BD ⊥AN, 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c+λb, 所以(b-a)·(c+λb)=0, 所以12+λ-√32−λ2=0,所以λ=√3-1.。
空间向量的应用综合练习题空间向量是解决空间几何问题的重要工具，具有广泛的应用。
本文将为大家提供一些空间向量的应用综合练习题，帮助大家熟悉空间向量的使用方法。
1. 设A(1, 2, 3)，B(4, -1, 2)，C(-1, 3, 5)为空间中的三个点，求向量AB和向量BC的和。
解答：首先计算向量AB，AB = (4-1, -1-2, 2-3) = (3, -3, -1)；然后计算向量BC，BC = (-1-4, 3-(-1), 5-2) = (-5, 4, 3)；最后计算向量AB和向量BC的和，(3, -3, -1) + (-5, 4, 3) = (-2, 1, 2)。
2. 已知空间中一点A(1, 2, 3)和向量a(2, -1, 3)，求点A向量a的倍数为4时的点的坐标。
解答：点A向量a的倍数为4时，乘以4，得到坐标为(8, -4, 12)的点。
3. 已知向量a(-2, 1, 3)，向量b(4, -1, -2)，求向量a和向量b的点积以及它们的夹角。
解答：向量a和向量b的点积为a·b = (-2)(4) + (1)(-1) + (3)(-2) = -8 - 1 - 6 = -15。
向量a和向量b的模分别为|a| = √((-2)² + 1² + 3²) = √4 + 1 + 9 = √14，|b| = √(4² + (-1)² + (-2)²) = √16 + 1 + 4 = √21。
根据点积公式，可以计算出它们的夹角cosθ = (a·b) / (|a||b|) = -15 / (√14 * √21) ≈ -0.782，从而夹角θ ≈ arccos(-0.782) ≈ 139.2°。
4. 已知向量a(3, 2, -1)和向量b(-1, 1, 4)，求向量a和向量b的叉积以及它们的模。
解答：向量a和向量b的叉积为a × b = (2)(4) - (-1)(1), (-1)(-1) - (3)(4), (3)(1) - (2)(-1) = (11, -13, 7)。
习题课空间向量应用的综合问题学习目标通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题．一、利用空间向量求空间角例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M 在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求平面BPD与平面APD的夹角；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．(1)证明如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME，∴PD∥ME.∵四边形ABCD是正方形，∴E为BD的中点．∴M为PB的中点．(2)解取AD的中点O，连接OP，OE.∵P A＝PD，∴OP⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面P AD，∴OP⊥平面ABCD.∵OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE.∵底面ABCD是正方形，∴OE⊥AD.以O为原点，分别以OD→，OE→，OP→为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，BD→＝(4，－4,0)，PD→＝(2,0，－2)．设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，得y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1,1，2)．又平面P AD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)， ∴cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12. ∴平面BPD 与平面APD 的夹角为60°. (3)解 由(1)(2)知M ⎝⎛⎭⎫－1，2，22，C (2,4,0)， 则MC →＝⎝⎛⎭⎫3，2，－22.设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →||n ||MC →|＝269.∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.反思感悟 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．跟踪训练1 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF ＝22FD ，∠DFE ＝∠CEF ＝45°.(1)求异面直线BC ，DF 所成角的大小； (2)求平面BDE 与平面BEC 所成角的余弦值． 解 因为四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，所以AF ⊥平面DCEF . 又∠DFE ＝∠CEF ＝45°，所以，在平面DCEF 内作DO ⊥EF ，垂足为点O ， 以O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设OF ＝a ，因为AF ＝22FD ， 所以DF ＝2a ，AF ＝4a ，CD ＝2a .(1)∴D (0,0，a )，F (a,0,0)，B (－3a,4a,0)，C (－2a,0，a )． 则BC →＝(a ，－4a ，a )，DF →＝(a,0，－a )， 设向量BC →，DF →的夹角为θ， 则cos θ＝BC →·DF→|BC →|·|DF →|＝0，所以异面直线BC ，DF 所成角为π2.(2)∵E (－3a ,0,0)，BC →＝(a ，－4a ，a )，BE →＝(0，－4a ,0)，DE →＝(－3a ,0，－a )， 设平面DBE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0，n 1·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋z 1＝0，4y 1＝0，取x 1＝1得平面DBE 的一个法向量为n 1＝(1,0，－3)， 设平面CBE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＋z 2＝0，4y 2＝0，取x 2＝1得平面CBE 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)， 设平面BDE 与平面BEC 的夹角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝255，所以平面BDE 与平面BEC 所成角的余弦值为255.二、利用空间向量求距离例2 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则G (0,0,2)，E (4，－2，0)，F (2，－4,0)，B (4,0,0)， ∴GE →＝(4，－2，－2)，GF →＝(2，－4，－2)，BE →＝(0，－2,0)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧GE →·n ＝0，GF →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －z ＝0，x －2y －z ＝0，∴x ＝－y ，z ＝－3y .取y ＝1，则n ＝(－1,1，－3)． ∴点B 到平面EFG 的距离d ＝|BE →·n ||n |＝211＝21111.反思感悟 求点P 到平面α的距离的三个步骤：(1)在平面α内取一点A ，确定向量P A →的坐标表示；(2)确定平面α的法向量n ；(3)代入公式d ＝|P A →·n ||n |求解．跟踪训练2 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离．解如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面MCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝3，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)，所以BC→＝(1，3，0)．→＝(0，3，3)．BM设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0， 取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1,1)． 又BA →＝(0,0,23)，所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝2155.三、利用空间向量解决探索性问题例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝2，BC ＝22，P A ＝2.(1)取PC 的中点N ，求证：DN ∥平面P AB ； (2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值；(3)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°？如果存在，求出BM 与平面MAC 所成角的大小；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，交AC 于点O ，连接ON ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (2，－1,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0，－1,2)． ∵点N 为PC 的中点，∴N (0,0,1)， ∴DN →＝(1,0,1)．设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)， 可得n ＝(0,1,0)， ∴DN →·n ＝0.又∵DN ⊄平面P AB ，∴DN ∥平面P AB .(2)解 由(1)知，AC →＝ (0,2,0)，PD →＝(－1,1，－2)． 设直线AC 与PD 所成的角为θ， 则cos θ＝|AC →·PD →||AC →||PD →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22×6＝66. (3)解 存在．设M (x ，y ，z )，且PM →＝λPD →，0≤λ≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ，y ＋1＝λ，z －2＝－2λ，∴M (－λ，λ－1,2－2λ)．设平面ACM 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由AC →＝(0,2,0)，AM →＝(－λ，λ，2－2λ)， 可得m ＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)， ∴|cos 〈m ，u 〉|＝λ1·λ2＋(2－2λ)2＝22， 解得λ＝23或λ＝2(舍去)．∴M ⎝⎛⎭⎫－23，－13，23，m ＝⎝⎛⎭⎫23，0，23. ∴BM →＝⎝⎛⎭⎫－83，23，23， 设BM 与平面MAC 所成的角为φ，则sin φ＝|cos 〈BM →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪129223×22＝12，∴φ＝30°.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.反思感悟(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练3如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．(1)求证：AD⊥PC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．(1)证明如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AD∥BC，所以AD⊥AC.因为AD＝AP＝2，DP＝22，所以P A⊥AD，又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面P AC，所以AD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，所以AD⊥PC.(2)解因为侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊂侧面P AD ，所以P A ⊥底面ABCD ，所以直线AC ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点，直线AD ，AC ，AP 为坐标轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D (－2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (－1,1，0)，P (0,0,2)， 所以PC →＝(0,2，－2)，PD →＝(－2,0，－2)，PB →＝(2,2，－2)． 设PFPB＝λ(λ∈[0,1])， 则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，F (2λ，2λ，－2λ＋2)， 所以EF →＝(2λ＋1,2λ－1，－2λ＋2)．易得平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． 设平面PDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，－2x －2z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．因为直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈EF →，m 〉|＝|cos 〈EF →，n 〉|， 即|EF →·m ||EF →||m |＝|EF →·n ||EF →||n |， 所以|－2λ＋2|＝|2λ|3， 即3|λ－1|＝|λ|(λ∈[0,1])，解得λ＝3－32，所以PF PB ＝3－32，即当PF PB ＝3－32时，直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．课时对点练1．已知两平面的法向量分别为m ＝(1，－1,0)，n ＝(0,1，－1)，则两平面的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．90° 答案 A解析 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|－1|2·2＝12，即〈m ，n 〉＝60°. ∴两平面所成角为60°.2．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1的中点，F 为线段C 1D 1上靠近D 1的三等分点，则异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为( ) A.114 B.214 C.314 D.17 答案 B解析 如图，建立空间直角坐标系，则A 1(3,0,0)，B (3,3,3)， E ⎝⎛⎭⎫3，0，32，F (0,1,0)， 所以A 1B —→＝(0,3,3)， EF →＝⎝⎛⎭⎫－3，1，－32，所以|cos 〈A 1B —→，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A 1B —→·EF →||A 1B —→·|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－9232×72＝214. 3.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱CC 1的中点，则直线B 1M 与平面A 1D 1M 所成角的正弦值是( )A.215B.25C.35D.45答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，B 1(1,1,1)， A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1M —→＝⎝⎛⎭⎫0，1，－12，MB 1→＝⎝⎛⎭⎫1，0，12， 设平面A 1D 1M 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D 1—→·m ＝0，D 1M —→·m ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，y －12z ＝0，令y ＝1可得z ＝2，所以m ＝(0,1,2)， 设直线B 1M 与平面A 1D 1M 所成角为θ， sin θ＝|m ·MB 1→||m |·|MB 1→|＝15×52＝25.4．在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，∠PBC ＝45°，则点C 到平面P AB 的距离是( )A.463B.263C.433D.423答案 A解析 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (0,4,0)，P (0,4,42)， ∴AP →＝(0,4,42)，AB →＝(4,0,0)，PC →＝(0,0，－42)． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋42z ＝0，4x ＝0，令y ＝2，则z ＝－1，∴m ＝(0，2，－1)，∴点C 到平面P AB 的距离为|PC →·m ||m |＝463.方法二 ∵PC ⊥底面ABC ，∴PC ⊥AB ，又AB ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，PC ，AC ⊂平面P AC ， ∴AB ⊥平面P AC ， ∴AB ⊥P A ， ∵AC ＝AB ＝4， ∴BC ＝42， ∴PC ＝42，PB ＝8， 在Rt △P AB 中，P A ＝82－42＝43，令点C 到平面P AB 的距离为d ， ∵V P －ABC ＝V C －P AB ，∴13×12×4×4×42＝13×12×4×43×d ，∴d ＝463.5.如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，所以DC 1→＝(0,3,1)，D 1E —→＝(1,1，－1)，D 1C —→＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E —→＝0，n ·D 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝3y ，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．因为cos 〈DC 1→，n 〉＝DC 1→·n |DC 1→|·|n |＝(0，3，1)·(2，1，3)10×14＝33535，所以DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22 答案 B解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12， D (0,1,0)，∴A 1D —→＝(0,1，－1)，A 1E —→＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D —→·n 1＝0，A 1E —→·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)；∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为23.7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________． 答案491717解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－z .令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又∵AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD →·n ||n |＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×7|32＋22＋(－2)2＝4917＝491717.8.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是___________．答案88585解析 以O 为原点，OA 为x 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (1,2,0)，P (0,0,2)，C (－1,2,0)， M ⎝⎛⎭⎫－12，1，1，O (0,0,0)， OP →＝(0,0,2)，OC →＝(－1,2,0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1， 设平面PCO 的法向量m ＝(x ，y ，z )， ⎩⎪⎨⎪⎧m ·OP →＝2z ＝0，m ·OC →＝－x ＋2y ＝0，可得m ＝(2,1,0)， 设直线BM 与平面PCO 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，BM →〉|＝|m ·BM →||m ||BM →|＝45×174＝88585. 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是DD 1的中点．(1)求证：CF ∥平面A 1DE ；(2)求平面A 1DE 与平面A 1DA 夹角的余弦值．(1)证明 分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A 1(2,0,2)，E (1,2,0)，D (0,0,0)， C (0,2,0)，F (0,0,1)，则DA 1→＝(2,0,2)，DE →＝(1,2,0)，CF →＝(0，－2,1)， 设平面A 1DE 的法向量n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2a ＋2c ＝0，n ·DE →＝a ＋2b ＝0，取n ＝(－2,1,2)，∴CF →·n ＝(0，－2,1)·(－2,1,2)＝0， 又CF ⊄平面A 1DE ， ∴CF ∥平面A 1DE .(2)解 DC →＝(0,2,0)是平面A 1DA 的法向量， ∴cos 〈n ，DC →〉＝(－2，1，2)·(0，2，0)(－2)2＋12＋22·0＋22＋0＝13， 即平面A 1DE 与平面A 1DA 夹角的余弦值为13.10.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值． 解 (1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ， 平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ， ∴DB ⊥平面ABC . ∵BD ∥AE ， ∴EA ⊥平面ABC .如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4,0,4)， ∴AB →＝(－4,4,0)，CE →＝(4,0,4)． ∴cos 〈AB →，CE →〉＝－1642×42＝－12，∴异面直线AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)， ∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →，n ⊥MD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝1， ∴n ＝(2,1,1)．设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，CD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CD →|n ||CD →|＝3010， ∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线B 1C 与EF 所成角最小时，其余弦值为( )A ．0 B.12 C.105D.1116答案 C解析 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则D (0,0,0)，E (2,1,0)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，B 1C —→＝(－2,0，－2)，设F (m,0,0)(0≤m ≤2)，EF →＝(m －2，－1,0)， 设异面直线B 1C 与EF 的夹角为θ，则cos θ＝|EF →·B 1C —→||EF →|·|B 1C —→|＝|－2×(m －2)|22·(m －2)2＋1＝12·1(m －2)2＋1，异面直线B 1C 与EF 所成角最小时，则cos θ最大，即m ＝0时，cos θ＝12·14＋1＝210＝105.12.如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为________．答案 35解析 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1(0，3，2)，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F —→＝(1，－3，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF →＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝0，GF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝(1，3，1)为平面GEF 的一个法向量，所以|cos 〈n ，B 1F —→〉|＝|1－3－1|5×5＝35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.13.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为________．答案 4解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD 1＝a ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)， D 1(0,0，a )，故AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0，a )，CC 1→＝(0,0，a )， 设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，n ·AD →1＝－2x ＋az ＝0，可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，2a ， 故cos 〈n ，CC 1→〉＝n ·CC →1|n ||CC 1→|＝2a ·4a2＋2＝22a 2＋4，又直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为13，∴22a 2＋4＝13， 解得a ＝4.14．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P D 1B＝λ.当∠APC 为锐角时，λ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，13 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，由D 1P D 1B＝λ得P (λ，λ，1－λ)， 则P A →＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝(－λ，1－λ，λ－1)，因为∠APC 为锐角，所以P A →·PC →＝(1－λ，－λ，λ－1)·(－λ，1－λ，λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)>0，解得λ<13或λ>1， 又因为动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，所以λ的取值范围为0≤λ<13.15.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1上的一个动点，F 为线段B 1C 1上的一个动点，则平面EFB 与底面ABCD 所成的角的余弦值的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，22B.⎣⎡⎦⎤33，22C.⎣⎡⎦⎤0，33D.⎣⎡⎦⎤0，55 答案 A解析 设平面EFB 与底面ABCD 所成的角为θ，如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，AE ＝m ，FC 1＝n ，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0，0,1)，E (1,0，m )，F (n,1,1).BE →＝(0，－1，m )，BF →＝(n －1,0,1)，设平面EFB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＋mz ＝0，(n －1)x ＋z ＝0，取x ＝－1，则平面EFB 的法向量为(－1，m (n －1)，n －1)，而底面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)，则cos θ＝|n －1|1＋m 2(n －1)2＋(n －1)2，结合选项，当n ＝1时，cos θ＝0， 当n ≠1时，cos θ＝11(1－n )2＋m 2＋1∈⎝⎛⎦⎤0，22， 故cos θ∈⎣⎡⎦⎤0，22. 16．如图，已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)求证：D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E 使得AD 1与平面D 1EC 所成的角为π6？若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由．(1)证明 ∵AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，∴AE ⊥A 1D .∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1， ∴A 1D ⊥AD 1.∵AE ∩AD 1＝A ，∴A 1D ⊥平面AED 1.∵D 1E ⊂平面AED 1，∴D 1E ⊥A 1D .(2)解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设棱AB 上存在点E (1，t,0)(0≤t ≤2)，使得AD 1与平面D 1EC 所成的角为π6， A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，CD 1→＝(0，－2,1)，CE →＝(1，t －2,0)， 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD 1→＝－2y ＋z ＝0，n ·CE →＝x ＋(t －2)y ＝0， 取y ＝1，得n ＝(2－t,1,2)，∴sin π6＝|AD 1→·n ||AD 1→||n |＝|t －2＋2|2×(t －2)2＋5， 整理，得t 2＋4t －9＝0，解得t ＝13－2或t ＝－2－13(舍去)，∴在棱AB 上存在点E 使得AD 1与平面D 1EC 所成的角为π6，此时AE ＝13－2.。
