数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。

第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算课后训练巩固提升A 组1.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+cD.-a+b-c解析:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 答案:C2.若a 与b 不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( ) A.m,n,p 共线 B.m 与p 共线 C.n 与p 共线 D.m,n,p 共面解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=12m+12n.又m 与n 不共线,所以m,n,p 共面. 答案:D3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,G,H,P,Q 分别是A 1A,AB,BC,CC 1,C 1D 1,D 1A 1的中点,则( )A.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ −PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.EF ⃗⃗⃗⃗ −GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 解析:由题图观察,EF ⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 平移后可以首尾相接,故有EF ⃗⃗⃗⃗ +GH ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:A4.(多选题)若向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线,O 为空间任意一点,则下列四个式子能得出M,A,B,C 四点共面的是( )A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:对于A,C 选项,由结论OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (,A,B,C 四点共面知,A 符合,C 不符合;对于B,D 选项,易知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又有公共点M,所以M,A,B,C 四点共面,所以B,D 符合.答案:ABD5.已知点A,B,C 不共线,对空间任意一点O,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P,A,B,C 四点 .解析:∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y+z=1)⇔P,A,B,C 四点共面, 又34+18+18=1,∴P,A,B,C 四点共面.答案:共面6.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则实数x= ,y= .解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以x=1,y=14.答案:1 147.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且与A,B,P 三点不共线,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数β= . 解析:∵A,B,P 三点共线,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{1-λ=13,λ=β,解得β=23.答案:238.已知A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,O 是空间任意一点,且点O 不在平面ABCD 内,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= . 解析:∵A,B,C,D 四点共面, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +p OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m+n+p=1. 由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-3y)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-4z)OD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-19.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,点P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是CD 的中点.求下列各式中x,y 的值.(1)OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PC ⃗⃗⃗⃗ +y PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:根据题意,画出大致图形,如图所示.(1)∵OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PC ⃗⃗⃗⃗ ,∴x=y=-12.(2)∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ . 又PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PC ⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -(2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴x=2,y=-2.10.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点,证明:向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.证明:EF ⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 假设存在实数x,y,使得EF ⃗⃗⃗⃗ =x A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即-12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(-B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-x B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y)B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共面, ∴{-x =1,x +y =-12,y =12,解得{x =-1,y =12.∴EF ⃗⃗⃗⃗ =-A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由向量共面的充要条件知,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ 是共面向量.B 组1.若P,A,B,C 为空间四点(点P,A,B,C 不共线),且有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =αPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βPC ⃗⃗⃗⃗ ,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =β(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =βBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,显然A,B,C 三点共线;若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λPC ⃗⃗⃗⃗ ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1. 故选C. 答案:C2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC 中,M,N 分别是OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且MG=2GN,则OG⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:因为点N 为BC 的中点, 所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D3.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 必( ) A.在平面BAD 1内B.在平面BA 1D 内C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内解析:因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 所以M,A 1,B,D 1四点共面,故选C.答案:CA.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共线B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C 三点共线 C.若e 1,e 2为不共线的非零向量,a=4e 1-25e 2,b=-e 1+110e 2,则a ∥bD.若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1+k 2e 2+k 3e 3=0,则k 1=k 2=k 3=0 答案:A5.如图,在三棱锥O-ABC 中,点M,N 分别为AB,OC 的中点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,用向量a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 .解析:由题意知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC⃗⃗⃗⃗⃗ −12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a-b+c). 答案:12(-a-b+c)6.设e 1,e 2是两个不共线的空间向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+ke 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,且A,B,D 三点共线,则k= .解析:BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-e 1-3e 2)+(2e 1-e 2)=e 1-4e 2. ∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2).∴{2=λ,k =-4λ,解得k=-8.答案:-87.如图,M,N 分别是四面体ABCD 的AB,CD 的中点.请判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共面.解:由题图可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,① MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,② 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以①+②得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.。

1.1空间向量及运算（精讲）考点一空间向量概念辨析【例1-1】（2023湖南）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足a b = ，则a b = ；④若空间向量,,m n p 满足,m n n p == ，则m p = ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.【例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量；④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE = 与1OA +12OD OF = 不是一对相反向量，错误；②OB -11OC C B = 与OC -11OB B C = 不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++ 是一对相反向量,正确；④OC -OA AC = 与OC 1-111OA AC = 不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A【一隅三反】1.（2023·山东济南）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD > D ．相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．（2023·山东潍坊）（多选）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB AD AA ===，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A ．单位向量有8个B ．与AB相等的向量有3个C ．与1AA 的相反向量有4个D ．向量11111,,A D A B CC 共面【答案】ABC【解析】由题可知单位向量有11111111,,,,,,,AA A A BB B B CC C C DD D D 共8个，故A 正确；与AB 相等的向量有1111,,A B D C DC共3个，故B 正确；向量1AA 的相反向量有1111,,,A A B B C C D D 共4个，故C 正确；因为11CC AA = ，向量11111,,A D A B AA 有一个公共点1A ，而点111,,A B D 都在平面1111D C B A 内，点A 在平面1111D C B A 外，所以向量11111,,A D A B CC不共面，故D 错误.故选：ABC.3．（2022·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②a b = 是向量a b = 的必要非充分条件；③向量a 、b 相等的充要条件是a b a b⎧=⎪⎨⎪⎩ ④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.【答案】②④【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；根据相等向量的概念可知，若a b = ，则a b = ，但a b = ，有可能a 、b 的方向不同，故a b = 是向量a b=的必要非充分条件，②正确；当a 、b 为相反向量时，显然满足a b a b⎧=⎪⎨⎪⎩ ，故③错误；因为A 、B 、C 、D 是不共线，所以由AB DC = ，可知AB DC =且AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则由平行四边形的性质可得AB DC = ，故④正确.故答案为：②④考点二空间向量的线性运算【例2-1】（2023·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC 的重心，则GF = （）A ．1121332AB AC AA -++ B ．1121332AB AC AA ++ C ．1211332AB AC AA -+- D ．1121332AB AC AA -+ 【答案】A【解析】由题意可得：GF GE EF =+u u u r u u u r u u u r 11213AE BC =+u u u r u u u u r 11)()11(322AB AC BC BB =+++⨯u u u r u u u r u u u r u u u r 1111()662AB AC AC AB BB =++-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1121332AB AC BB =-++u u u r u u u r u u u r 1121332AB AC AA =-++u u u r u u u r u u u r .故选：A.【一隅三反】1．（2023春·高二单元测试）若,,,A B C D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）A ．22AB BC CD DC+++ B ．2233AB BC CD DA AC++++ C ．AB DA BD++ D ．AB CB CD AD-+- 【答案】A【解析】对于A ，()()()22AB BC CD DC AB BC BC CD CD DC AC BD +++=+++++=+ ；对于B ，()()223323330AB BC CD DA AC AB BC CD DA AC AC CA ++++=++++=+= ；对于C ，0AB DA BD DA AB BD DB BD ++=++=+= ；对于D ，()()0AB CB CD AD AB AD CD CB DB BD -+-=-+-=+= .故选：A.2．（2023北京）已知正方体ABCD A B C D -''''，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF 等于（）．A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++ D ．111366AA AB AD '++ 【答案】D 【解析】如图所示，由于12AF EF =，故13AF AE = ，AE AA A E ''=+ ，12A E A C '''= ，A C A D A B ''''''=+ ，A D AD ''= ，A B AB ''= ，∴11111()32363AA AF AE A C AA A B A D ⎛⎫''''''''=+=++ ⎪⎝=⎭ ()1113611366AA AB AA AB AD AD '=++'=++ ，故选：D ．3．（2023春·广东广州）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)1CB BA + ；(2)112AC CB AA ++ ；(3)111122AA B B AC CB --- .【答案】(1)11CB BA CA += ，图中表示见解析(2)112AC CB AA AM ++= ，图中表示见解析(3)1111122AA B B AC CB BA ---= ，图中表示见解析【解析】（1）解：11CB BA CA += .（2）解：因为M 是1BB 的中点，所以112BM BB = ，又11AA BB = ，所以112AC CB AA AB BM AM ++=+= .（3）解：111122AA B B AC CB ---()()111112AA BB AC CB AA AB BA =+-+=-= 考点三空间向量的共线共面问题【例3-1】（2023·山东）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（）A ．、、AB CB ．BCD 、、C ．A B D 、、D ．A C D 、、【答案】C【解析】567224BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+ 2(2)2a b AB =+=，又AB 与BD 过同一点B ，∴A 、B 、D 三点共线．故选：C ．【例3-2】（2023云南）下列条件能使点M 与点,,A B C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =++ C ．12OM OA OB OC =--+ D ．3OM OA OB OC=--+ 【答案】D 【解析】设OM xOA yOB zOC =++ ，若1x y z ++=，则点,,,M A B C 共面．对于A ，OM OA OB OC =-- ，由于11111--=-≠，故A 错误；对于B ，OM OA OB OC =++ ，由于11131++=≠，故B 错误；对于C,12OM OA OB OC =--+ ，由于1311122--+=-≠，故C 错误；对于D ，3OM OA OB OC =--+ ，由于1131--+=，得,,,M A B C 共面，故D 正确.故选：D.【例3-3】（2023春·江苏宿迁）已知向量1e ，2e 不共线，12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1235AD e e =- ，则（）A ．AB 与AC 共线B ．AB 与CD 共线C ．A ，B ，C ，D 四点不共面D ．A ，B ，C ，D 四点共面【答案】D【解析】对于A ，1128≠ ，∴不存在实数λ，使得AB AC λ= 成立，∴AB 与AC 不共线，A 错误；对于B ， 1228AC e e =+ ，1235AD e e =- ，∴1213CD AD AC e e =-=- ，又11113≠-，∴不存在实数λ，使得AB CD λ= 成立，∴AB 与CD 不共线，B 错误；对于C 、D ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则有1212(2)(8)35AD xAB y AC x y e x y e e e =+=+++=- ，2385x y x y +=⎧∴⎨+=-⎩，即17343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故17433AD AB AC =- ，故A ，B ，C ，D 四点共面，C 错误，D 正确.故选：D.【一隅三反】1．（2023·江苏）满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是()A ．AB BC AC+= B ．AB BC AC -= C ．AB BC= D ．AB BC = 【答案】C 【解析】对于空间中的任意向量，都有AB BC AC += ，说法A 错误；若AB BC AC -= ，则AC BC AB += ，而AC CB AB += ，据此可知BC CB = ，即,B C 两点重合，选项B 错误；AB BC = ，则A 、B 、C 三点共线，选项C 正确；AB BC = ，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A 、B 、C 三点共线，选项D 错误；本题选择C 选项.2．（2023春·辽宁鞍山）在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．2OM OA OB OC=-- B ．111532OM OA OB OC =++ C ．0MA MB MC ++= D ．0OM OA OB OC +++= 【答案】C 【解析】空间向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++ ，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=；对于A ，因为21101--=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于B ，因为11131153230++=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于C ，MA MB MC =-- ，则MA ，MB ，MC 为共面向量，所以M 与A ，B ，C 一定共面；对于D ，因为0OM OA OB OC +++= ，所以OM OA OB OC =--- ，因为11131---=-≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面．故选：C ．3．（2023春·甘肃）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量,a b 平行，则,a b 所在直线平行B ．若向量,a b 所在直线是异面直线，则,a b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB ，CD 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB ，AC ，AD 不共面【答案】D【解析】向量,a b 平行，,a b 所在直线可以重合，也可以平行，A 错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC 错误；显然AB ，AC ，AD 是空间中有公共端点A ，但不共面的三条线段，所以向量AB ，AC ，AD 不共面，D 正确.故选：D4．（2023春·上海闵行）已知、、A B C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足230OA OB OC ++= ，则下列说法正确的一项是（）A ．点O 是唯一的，且一定与、、ABC 共面B ．点O 不唯一，但一定与、、A BC 共面C ．点O 是唯一的，但不一定与、、A B C 共面D ．点O 不唯一，也不一定与、、A B C 共面【答案】A【解析】由空间向量的知识可知,,a b c 共面的充要条件为存在实数,x y ，使a xa yb =+r r r ，因为230OA OB OC ++= ，所以23OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r ，所以,,OA OB OC 共面，所以,,,O A B C 四点共面，因为230OA OB OC ++= ，所以()()+20OA OC OB OC ++= ，点O 唯一.故选：A.考点四数量积【例4-1】（2023·北京通州）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =1AD =60BAD ∠=︒，145BAA ∠=︒，AC 与BD 相交于点O .(1)求AB AD ⋅ ；(2)求1DAA ∠；(3)求1OA 的长.【答案】(1)4；(2)4π；【解析】（1）cos 42cos 604AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯︒= .（2）因为1111ABCD A B C D -为平行六面体，所以四边形11AA DD 为平行四边形，11A D ∥AD ，112A D AD ==，在三角形11AA D 中，1AA =，112AD =，1AD =所以11cos2D A A ∠==-，所以1134D A A π∠=，又11A D ∥AD ，所以14DAA π∠=.（3）由题意知，111122OA AB AD AA =--+ ，则22221111111114184244222OA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅-⋅-⋅=+++⨯⨯⨯4222-⨯⨯3=，所以1OA = 【一隅三反】1．（2023黑龙江）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160DAB A AD ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=，点M 棱11D C 上，且11112D M D C =.(1)用1AA ，AD ，AB 表示BM ；(2)若BD AN ⊥，求λ；(3)若23λ=，求证：//BM 平面1ANB .【答案】(1)112AB AD AA -++1(3)证明见解析【解析】（1）解：11BM BA AD DD D M =+++ 112AB AD AA AB =-+++ 112AB AD AA =-++ 即112BM AB AD AA =-++ （2）解：因为BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴111()()BD AN AD AB AA A D λ⋅=-⋅+ 1()()AD AB AA AD λ=-⋅+1111cos 60cos30cos 60022AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλ=⋅+⋅-⋅-⋅=︒+-︒-︒== ．1λ∴．（3）解：过点N 作11//NG A B ，交11B C 于点G ，连接,BG MG ，则//BG AN ，BG ⊄平面1ANB ，AN ⊂平面1ANB ，所以//BG 平面1ANB ，因为11123A N A D =，令113A D =，则12A N =，132MC =，11GC =，所以11111A N GC A B MC =，所以111A NB GM C ∽，所以111C MG A B N ∠=∠，又1C MG MGN ∠=∠，111B NG A B N ∠=∠，所以1B NG MGN ∠=∠，所以1//MG B N ，MG ⊄平面1ANB ，1NB ⊂平面1ANB ，所以//MG 平面1ANB ，因为BG MG G = ，,BG MG ⊂平面BMG ，所以平面//BMG 平面1ANB ，BM ⊂平面BMG ，所以//BM 平面1ANB；2．（2023·福建）如图，正四面体V ABC -的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M.（1）求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；（2）求,DM AO .【答案】（1）证明见解析；（2）π4.【解析】设VA a = ，VB b = ，VC c = ，正四面体的棱长为1，（1）因为()()211323VD VB BD VB BA BC VB VA VB VC VB =+=+⨯+=+-+- ()()1133VA VB VC a b c =++=++ ，()()1115266AO VO VA VD VA a b c a b c a =-=-=++-=+- ，()()1115266BO VO VB VD VB a b c b a c b =-=-=++-=+- ，()()1115266CO VO VC VD VC a b c c a b c =-=-=++-=+- ，所以()()()211551893636AO BO b c a a c b a b a ⋅=+-⋅+-=⋅- 1π1811cos 90363⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AO BO ⊥ ，即AO BO ⊥.同理，AO CO ⊥，BO CO ⊥，所以AO ，BO ，CO 两两垂直.（2）()()11122326DM DV VM a b c c a b c =+=-+++=--+ ，所以12DM === ，又AO == ()()211111225996636364DM AO a b c b c a a ⋅=--+⋅+-=⨯=⨯= ，所以14cos ,2DM AO DM AO DM AO ⋅===⋅ ，又,[0,π]DM AO ∈ ，所以π,4DM AO = .3．（2023·吉林延边）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，1160A AD A AB ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a = ，AD b = ，1AA c = ．（1）用a ，b ，c 表示BM ．（2）求BM 的长．（3）求BM 与AC 所成角的余弦值．【答案】（1）1()2BM c b a =+- ；（2）2；（3）23【解析】（1）由题意得1111111111111()()222BM BB B M AA B D AA A D A B c b a =+=+=+-=+-（2）因为90DAB ∠=︒，所以0a b ⋅= ，1cos ,1212a c a c a c ⋅=<>=⨯⨯= ，1cos ,1212b c b c b c ⋅=<>=⨯⨯=所以1122BM c b =+-=2=（3）AC a b =+，所以AC a b =+==所以cos ,BM AC BM AC BM AC ⋅<>= 2211112222233c a c b b a b a b a ⋅+⋅+⋅+--⋅== ，所以BM 与AC 所成角的余弦值为23。

空间向量及其线性运算【学习目标】课程标准学科素养1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】1、空间向量的概念及几类特殊向量名称定义空间向量在空间中,具有______和______的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的______单位向量长度或模为______的向量零向量______的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量______相反且______相等的向量2、空间向量的表示空间向量可以用a,b,c…表示,也用有向线段表示,有向线段的表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作AB→,其模记为.3、空间向量的加、减法运算、数乘运算（1）a＋b=OA→＋AB→＝________；（2）a- b＝OA→－OC→＝________.（3）当λ>0时,λa=OA→=；当λ<0时,λa=OA→=；λ＝0时,λa＝0运算律：交换律a＋b＝______；结合律(a＋b)＋c＝.分配律λ(a＋b)＝,(λ＋μ)a＝。

4、共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________,则这些向量叫做________或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使________.5、方向向量在直线l 上取非零向量a,我们把与向量a 平行的成为直线l 的方向向量。

也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。

6、共面向量定义：平行于________________的向量叫做共面向量. I 、证明空间三个向量共面,常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a ＝x b ＋y c ,则向量a ,b ,c 共面； (2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.II 、对空间四点P ,M ,A ,B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或PA →∥MB →,或PB →∥AM →). 【小试牛刀】 1、判断正错(1)零向量没有方向．()(2)有向线段都可以表示向量,向量都可以用有向线段表示．() (3)平面内所有的单位向量是相等的．()(4)空间中,将单位向量起点放在一起,其终点组成的图形是球．() (5)任何两个向量均不可以比较大小()2、在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,顶点连接的向量中,与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知空间四边形ABCD 中,AB →＝a ,CB →＝b ,AD →＝c ,则CD →等于( ) A.a ＋b －c B.－a －b ＋c C.－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c【经典例题】 题型一空间向量概念注意：在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 例1 给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等,则a ,b 的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中,必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________.[跟踪训练] 1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．若向量a ,b 平行,则a ,b 所在直线平行B ．若|a |＝|b |,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →,CD →满足|AB →|＞|CD →|,则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同(2)如图所示,在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中,顶点连接的向量中,与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有__.(要求写出所有适合条件的向量)题型二空间向量的线性运算注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；2.要注意数形结合思想的运用.例2 在如图所示的平行六面体中,求证：AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→.[跟踪训练] 2如图,已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′,点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心,求下列各式中x ,y ,z 的值. (1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.题型三向量的共线及判定例3 如图,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E →＝2ED 1→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F →＝23FC →,求证：E ,F ,B 三点共线.注意：要证E ,F ,B 三点共线,只需证明下面结论中的一个成立即可： (1)EB →＝mEF →；(2)AB →＝AE →＋λEF →；(3)AB →＝nAE →＋(1－n )AF →.[跟踪训练] 3在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,请判断EF →与AD →＋BC →是否共线．题型四向量共面例4 如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是ABCD 所在平面外的一点,连接PA ,PB ,PC ,PD .设点E ,F ,G ,H 分别为△PAB ,△PBC ,△PCD ,△PDA 的重心.试用向量方法证明E ,F ,G ,H 四点共面.[跟踪训练] 4如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面.【当堂达标】 1.下列说法：①若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同； ②若向量AB →,CD →满足|AB →|＞|CD →|,且AB →与CD →同向,则AB →＞CD →； ③若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →,CD →为相反向量； ④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合,B 与D 重合. 其中错误的个数为( )A.1B.2C.3D.42．向量a ,b 互为相反向量,已知|b |＝3,则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝33．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1E →＝14A 1C 1→,若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →),则( )A ．x ＝1,y ＝12B ．x ＝12,y ＝1C ．x ＝1,y ＝13D ．x ＝1,y ＝144．如图所示,空间四边形OABC 中,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,点M 在OA 上,且OM ＝2MA ,N 为BC 中点,则MN →等于( ) A ．12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c5、如图,在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AB ＝3,AD ＝2,AA ′＝1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为5的所有向量．③试写出与向量AB →相等的所有向量．④试写出向量AA ′--→的所有相反向量．6.如图,已知空间四边形OABC ,M ,N 分别是边OA ,BC 的中点,点G 在MN 上,且MG ＝2GN ,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,试用a ,b ,c 表示向量OG →.7、如图,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.8、已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【参考答案】【自主学习】1、大小 方向 长度或模 1 长度为0 相同 相等 方向 模2、长度|a |或|AB →|3、OB →CA →b ＋aa ＋（b ＋c ）λa ＋λbλa ＋μa 4、(1)互相平行或重合 共线向量 (2)a ＝λb 5、非零向量 6. 同一个平面 【小试牛刀】 1、××××√2、C 【解析】 与向量AD →相等的向量有BC →,A 1D 1→,B 1C 1→共3个. 3、C 【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c . 【经典例题】例1①② 【解析】 (1)①正确；②正确,因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |,不能确定其方向,所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时,才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知,正确命题为①②.[跟踪训练] 1 (1) D 解析 A 中,向量a,b 平行,则a,b 所在的直线平行或重合；B 中,|a|＝|b|只能说明a,b 的长度相等而方向不确定；C 中,向量作为矢量不能比较大小,故选D.(2)BB′→,CC′→,DD′→ B′A′→,BA →,CD →,C ′D′→解析根据相等向量的定义知,与向量AA′→相等的向量有BB′→,CC′→,DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→,BA →,CD →,C′D′→. 例2 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC →＝AB →＋AD →,AB ′-→＝AB →＋AA ′-→,AD ′-→＝AD →＋AA ′-→,∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′-→)＋(AD →＋AA ′-→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′-→)． 又∵AA ′-→＝CC ′-→,AD →＝BC →,∴AB →＋AD →＋AA ′-→＝AB →＋BC →＋CC ′-→＝AC →＋CC ′-→＝AC ′-→.∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→.[跟踪训练] 2解：(1)因为BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→, 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→, 所以x ＝1,y ＝－1,z ＝1.(2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→,又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→, 所以x ＝12,y ＝12,z ＝1.例3 【证明】 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→,A 1F →＝23FC →,∴A 1E →＝23A 1D 1→,A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ,A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,∴EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．[跟踪训练] 3 解：连接AC ,取AC 的中点G ,连接EG 、FG , ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点． ∴GF →＝12AD →,EG →＝12BC →.又∵E 、F 、G 三点共面,∴EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →),即EF →与AD →＋BC →共线．例4 证明：分别连接PE ,PF ,PG ,PH 并延长,交对边于点M ,N ,Q ,R , 连接MN ,NQ ,QR ,RM ,因为点E ,F ,G ,H 分别是所在三角形的重心,所以M ,N ,Q ,R 是所在边的中点,且 PE →＝23PM →,PF →＝23PN →,PG →＝23PQ →,PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形,所以MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →).又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.所以EG →＝EF →＋EH →,由共面向量定理知,E ,F ,G ,H 四点共面.[跟踪训练] 4因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面. 【当堂达标】1. C 【解析】①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.③正确.AB →＋CD →＝0,得AB →＝－CD →,且AB →,CD →为非零向量,所以AB →,CD →为相反向量. ④错误.由AB →＝CD →,知|AB →|＝|CD →|,且AB →与CD →同向,但A 与C ,B 与D 不一定重合. 2、D 【解析】 向量a ,b 互为相反向量,则a ,b 模相等、方向相反,故选D. 3．D 【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1,y ＝14．4、B 【解析】 MN →＝ON →－OM →＝12 (OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c ．5、解①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量AA ′--→,A ′A --→,BB ′--→,B ′B ---→,CC ′---→,C ′C ---→,DD ′---→,D ′D ---→,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5,故模为5的向量有AD ′---→,D ′A ----→,A ′D ---→,DA ′---→,BC ′----→,C ′B ----→,B ′C ----→,CB ′---→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′----→,DC →及D ′C ′----→. ④向量AA ′---→的相反向量有A ′A ---→,B ′B ---→,C ′C ---→,D ′D ---→.6. 解：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC →＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 7、解：∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形. 8、解：如图：(1)由已知,得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →,∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.∴向量MA →,MB →,MC →共面.(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,表明三个向量的有向线段又过同一点M , ∴M ,A ,B ,C 四点共面,∴点M 在平面ABC 内.。

空间向量及其线性运算基础过关练题组一 空间向量的基本概念1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b，则|a|≠|b|;⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A.0B.1C.2D.32.下列说法正确的是(深度解析) A.若|a|=|b|，则a=b 或a=-b B.若a 、b 为相反向量，则a+b=0 C.零向量是没有方向的向量 D.若a 、b 是两个单位向量，则a=b3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是( )A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C.若向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.若两个非零向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.如图所示，在四棱柱的上底面ABCD 中，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列向量相等的是( )A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 题组二 空间向量的加法与减法5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式的运算结果为向量A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) ①A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;②AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;④A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .A.①②B.②③C.③④D.①④6.已知A ，B ，C ，D 为空间中任意四个点，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗7.已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 是( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形D.矩形8.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ，b ，c 表示) 题组三 空间向量的数乘运算9.如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，用a ，b ，c 表示A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为( )A.-a+b+12c B.-a+b+c C.-a-b+12cD.a-b+12c10.(2020广东深圳实验学校高二上期中)如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M.设A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列向量中与2A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-a+b+2cB.a+b+2cC.a-b+2cD.-a-b+2c11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的化简结果为 .12.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则x= ，y= . 题组四 空间向量共线、共面问题13.设a ，b 是不共线的两个向量，且λa+μb=0，λ，μ∈R，则( ) A.λ=μ=0B.a=b=0C.λ=0，b=0D.μ=0，a=014.已知向量a ，b ，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ，则一定共线的三点是( ) A.A ，B ，D B.A ，B ，C C.B ，C ，DD.A ，C ，D15.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，下列能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.以上都不对 16.有下列说法:①若p=xa+yb ，则p 与a ，b 共面; ②若p 与a ，b 共面，则p=xa+yb;③若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，M ，A ，B 共面; ④若P ，M ，A ，B 共面，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④17.已知点P 和不共线的三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任意一点O ，都有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ= .18.已知i ，j ，k 是不共面向量，a=2i-j+3k ，b=-i+4j-2k ，c=7i+5j+λk，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于 .19.如图，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.20.如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，求证:E，F，B，D四点共面.答案全解全析 基础过关练1.B 零向量与它的相反向量相等，①错;由相等向量的定义知，②正确;两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错;a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错;两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.故选B.2.B 若|a|=|b|，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A 错;若a 、b 为相反向量，则它们的和为零向量，B 对;零向量的方向是任意的，C 错;两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D 错.故选B.方法归纳 ①在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全相同;②由于向量是由其大小和方向两方面确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，要抓住这两点; ③零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任意向量都共线，这一点说明共线向量不具备传递性. 3.D 因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，选项A 是假命题; 由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，选项B 是假命题; 因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这种写法，选项C 是假命题;因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，选项D 是真命题. 故选D.4.D 因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以四边形ABCD 是平行四边形，结合平行四边形的性质及相等向量的定义知，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选D.5.C A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，①错; AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，②错; AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，③对;A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，④对.故选C. 6.D AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .7.B 由已知可得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由相等向量的定义可知，四边形ABCD 的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形，故选B. 8.答案 b-a-c解析 如图，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a-c.9.A ∵N 是BC 的中点，∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+12c.故选A. 10.A A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c+12(-a+b)，所以2A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c-a+b ，故选A. 11.答案 0解析 延长DE ，交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，∴12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 12.答案 1;14解析 AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴x=1，y=14. 13.A 若λ≠0，则a=-AA b ，与已知a ，b 不共线矛盾，故λ=0，同理μ=0，故选A. 14.A 因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+4b=2(a+2b)=2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A ，B ，D 三点共线.15.B 若点P ，A ，B ，C 共面，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x+y+z=1，满足条件的只有B ，故选B. 16.C 若a ，b 共线，由p=xa+yb 知p 一定与a ，b 共面，若a ，b 不共线，则满足共面定理，p 与a ，b 共面，①对;同理③对;若p 与a ，b 共面，且a ，b 共线，则不一定有p=xa+yb ，故②不对;同理④不对，故选C. 17.答案 -2解析 对于空间不共线的三点A ，B ，C 和点P ，若四点共面，则对空间任意一点O ，都有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x+y+z=1，所以λ=-2.18.答案657解析 若向量a ，b ，c 共面，则存在x ，y∈R，使得a=xb+yc ， ∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk)， ∴{2=-A +7A ,-1=4A +5A ,3=-2A +AA , 解得λ=657.19.证明 由题图知，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -23AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.20.证明 设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a ， AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+12a=12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而E ，F ，B ，D 四点不共线，因此DB∥FE，故E ，F ，B ，D 四点共面.。

第2课时 共线向量与共面向量学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面．知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC →(不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC →共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．1．向量AB →与向量CD →是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上．( × ) 2．若向量a ,b ,c 共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )4．若P ,M ,A ,B 共面,则存在唯一的有序实数对(x ,y ),使MP →＝xMA →＋yMB →.( × )一、向量共线的判定及应用例1 如图所示,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明 ∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形．反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a ,b (b ≠0)共线,就是寻找实数λ,使a ＝λb 成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ,A ,B )共线的方法：是否存在实数λ,使PA →＝λPB →； 跟踪训练1 (1)已知A ,B ,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若OC →＝mOA →＋nOB →,则m ＋n ＝________. 答案 1解析 由于A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ,使得AC →＝λAB →,即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →), 所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →,所以m ＝1－λ,n ＝λ, 所以m ＋n ＝1.(2)如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E —→＝2ED 1—→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F —→＝23FC →. 求证：E ,F ,B 三点共线．证明 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 因为A 1E —→＝2ED 1—→,A 1F —→＝23FC →,所以A 1E —→＝23A 1D 1—→,A 1F —→＝25A 1C —→,所以A 1E —→＝23AD →＝23b ,A 1F —→＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ,所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,所以EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．二、向量共面的判定例2 已知A ,B ,C 三点不共线,平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →, ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →, ∴向量MA →,MB →,MC →共面．(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,而它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线, ∴M ,A ,B ,C 共面,即M 在平面ABC 内． 反思感悟 解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内,则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2 (1)如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面．证明 因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面．(2)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证： ①E ,F ,G ,H 四点共面． ②BD ∥平面EFGH . 证明 如图,连接EG ,BG .①因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由向量共面的充要条件知向量EG →,EF →,EH →共面,即E ,F ,G ,H 四点共面．②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .空间共线向量定理的应用典例 如图所示,已知四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,且它们所在的平面不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,求证：CE ∥MN .证明 ∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点, 又四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形, ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →,又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →,∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →, ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →), ∴CE →＝2MN →,∴CE →∥MN →. ∵点C 不在MN 上,∴CE ∥MN .[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行,可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算,从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．满足下列条件,能说明空间不重合的A ,B ,C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|答案 C2．若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →＝mOA →＋nOB →,其中m ＋n ＝1,则( ) A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上,也可能不在直线AB 上D ．以上都不对 答案 A解析 因为m ＋n ＝1,所以m ＝1－n ,所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →,即OP →－OA →＝n (OB →－OA →),即AP →＝nAB →,所以AP →与AB →共线．又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上,即P ∈直线AB . 3．下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 C 选项中,MA →＝－MB →－MC →, ∴点M ,A ,B ,C 共面．4．已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,且M ,A ,B ,C 四点共面, ∴x ＋13＋13＝1,∴x ＝13,故选D.5．已知非零向量e 1,e 2不共线,则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案 ±1解析 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线, 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量． (2)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳 ：转化化归． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a ,b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线的三点是( ) A ．A ,B ,D B ．A ,B ,C C ．B ,C ,D D ．A ,C ,D答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →,故AD →∥AB →,又AD →与AB →有公共点A , 所以A ,B ,D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ,b ,2a －b ,它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案 A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→,D 1C —→,A 1C 1—→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线,所以D 1C —→,D 1A —→,A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →,则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 A解析 PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴32－x －16＝1,解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是( )A ．若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ,b 共线的充要条件 C ．若AB →,CD →共线,则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面答案 BCD 解析 显然A 正确；若a ,b 共线,则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a | －|b ||,故B 错误； 若AB →,CD →共线,则直线AB ,CD 可能重合,故C 错误； 只有当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点才共面,故D 错误．6．在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →＝2DB →,CD →＝13CA →＋λCB →,则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →,又CD →＝13CA →＋λCB →,所以λ＝23.7．设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB →＝e 1＋k e 2,BC →＝5e 1＋4e 2,DC →＝－e 1－2e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数k ＝________. 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2, 且AB →与AD →共线,故AD →＝xAB →, 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2, 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0, 又∵e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.8．已知O 为空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由题意知A ,B ,C ,D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ,存在实数x 1,y 1,z 1,使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →,且x 1＋y 1＋z 1＝1,因此,2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1D 1,AB 的中点,E 在AA 1上且AE ＝2EA 1,F 在CC 1上且CF ＝12FC 1,判断ME →与NF →是否共线．解 由题意,得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →. 即ME →＝－NF →,∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC ＝2∶1,求证：A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．证明 ∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→,A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→,AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →),∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1—→＝23A 1B —→＋23A 1M —→, ∴A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．11．若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有PA →＝αPB →＋βPC →,则α＋β＝1是A ,B ,C 三点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 若α＋β＝1,则PA →－PB →＝β(PC →－PB →),即BA →＝βBC →,显然,A ,B ,C 三点共线；若A ,B ,C 三点共线,则有AB →＝λBC →,故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →),整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →,令α＝1＋λ,β＝－λ,则α＋β＝1,故选C.12．平面α内有五点A ,B ,C ,D ,E ,其中无三点共线,O 为空间一点,满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →,OB→＝2xOC →＋13OD →＋yOE →,则x ＋3y 等于( )A.56B.76C.53D.73 答案 B解析 由点A ,B ,C ,D 共面得x ＋y ＝12,又由点B ,C ,D ,E 共面得2x ＋y ＝23,联立方程组解得x ＝16,y ＝13,所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→,那么M 必( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内答案 C解析 PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→,于是M ,B ,A 1,D 1四点共面．14．有下列命题：①若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线；②若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线；③若e 1,e 2为不共线的非零向量,a ＝4e 1－25e 2,b ＝－e 1＋110e 2,则a ∥b ； ④若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0,则k 1＝k 2＝k 3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．答案 ②③④解析 根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故①错；因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ,所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ,B ,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任意一点,若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ,B ,C 三点共面,则λ＝________.答案 215解析 根据P ,A ,B ,C 四点共面的条件,知存在实数x ,y ,z ,使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立,其中x＋y ＋z ＝1,于是15＋23＋λ＝1,所以λ＝215. 16.如图,已知M ,N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心,G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ,G ,N 三点共线．证明 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c , 则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13(a ＋b ＋c ),BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ,BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →,∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ,∴B ,G ,N 三点共线．。

第一章空间向量与立体几何课时作业1空间向量及其线性运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＋AD →＋BB ′→＝()A.AC → B.AC ′→C.BC ′→ D.BD→2．已知三棱锥A ­BCD 中，E 是BC 的中点，则AE →－12(AC →＋AD →)＝()A.BD →B.DB →C.12BD → D.12DB→3.如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是D 1D 的中点，点N 是AC 1上的点，且AN →＝13AC 1→，用a ，b ，c 表示向量MN →的结果是()A.12a ＋b ＋c B.15a ＋15b ＋45c C.15a －310b －15c D.13a －23b －16c 4．在四面体ABCD 中，P 在平面ABC 内，Q 在平面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →，若x y ＝st，则线段AQ 与DP 的位置关系是()A ．AQ 与DP 所在直线是异面直线B ．AQ 与DP 所在的直线平行C ．线段AQ 与DP 必相交D ．线段AQ 与DP 延长后相交5．如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝()A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b －cC.12a －12b －c D ．－12a ＋12b －c6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →＝14OA →＋16OB →＋λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝()A.12 B.13C.512 D.712.7．如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，E 是CC ′的中点，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b＋z c ，则()A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ＝12，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ＝12，y ＝1，z ＝328．(多选题)在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是()A.AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→B.AB →＋BC →＋CC 1→C.AB →－C 1C →＋B 1C 1→D.AA 1→＋DC →＋B 1C 1→二、填空题9．在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为10.在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，若AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝，CM →＝.11．已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝－2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝2.三、解答题12.如图，已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，点E 在AC ′上，且AE EC ′＝12，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，试用BB ′→，BA →，BC →表示以下向量：(1)AE →；(2)BF →；(3)GF →.13.如图，已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．14．如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列选项中与向量MC 1→相等的是()A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b －cD.12a ＋12b －c15．(多选题)若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量共面的是()A ．b －c ，b ，b ＋cB ．a ＋b ，c ，a ＋b ＋cC ．a ＋b ，a －b ，cD ．a －b ，a ＋b ，a16.如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：(1)OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．第一章空间向量与立体几何课时作业1空间向量及其线性运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＋AD →＋BB ′→＝(B )A.AC → B.AC ′→C.BC ′→ D.BD→解析：AB →＋AD →＋BB ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→.故选B.2．已知三棱锥A ­BCD 中，E 是BC 的中点，则AE →－12(AC →＋AD →)＝(D )A.BD →B.DB →C.12BD → D.12DB →解析：如图，取CD 的中点F ，连接AF ，EF ，∵三棱锥A ­BCD 中，E 是BC 的中点，∴AE →－12(AC →＋AD →)＝AE →－AF →＝FE →＝12DB →.故选D.3.如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是D 1D 的中点，点N 是AC 1上的点，且AN →＝13AC 1→，用a ，b ，c 表示向量MN →的结果是(D)A.12a ＋b ＋c B.15a ＋15b ＋45c C.15a －310b －15c D.13a －23b －16c 解析：∵M 是D 1D 的中点，AN →＝13AC 1→，∴MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DD 1→－AD →＋13AC 1→＝－12AA 1→－AD →＋13(AA 1→＋AD→＋AB →)＝13AB →－23AD →－16AA 1→＝13a －23b －16c .故选D.4．在四面体ABCD 中，P 在平面ABC 内，Q 在平面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →，若x y ＝st，则线段AQ 与DP 的位置关系是(C )A ．AQ 与DP 所在直线是异面直线B ．AQ 与DP 所在的直线平行C ．线段AQ 与DP 必相交D ．线段AQ 与DP 延长后相交解析：∵x y ＝s t ，∴s x ＝t y ，不妨设s x ＝ty ＝λ，则s ＝λx ，t ＝λy .∴AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →＝λxAB →＋λyAC →＋μAD →＝λ(xAB →＋yAC →)＋μAD →＝λAP →＋μAD →，即AQ →＝λAP →＋μAD →.∴A ，P ，D ，Q 四点共面．又AQ 与DP 不平行．∴线段AQ 与线段DP 相交．故选C.5．如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝(D)A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b －cC.12a －12b －c D ．－12a ＋12b －c解析：B 1M →＝B 1B →＋BM →，BM →＝12BD →，BD →＝BA →＋BC →，∴B 1M →＝－AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝－c －12a ＋12b .故选D.6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →＝14OA →＋16OB →＋λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝(D )A.12 B.13C.512D.712解析：由MA →，MB →，MC →共面知，14＋16＋λ＝1，解得λ＝712.故选D.7．如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，E 是CC ′的中点，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b＋z c ，则(A)A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ＝12，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ＝12，y ＝1，z ＝32解析：AE →＝AB →＋BC →＋12CC ′→＝AB →＋AD →＋12AA ′→∵a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，∴AE →＝a ＋2b ＋3c ，∴x ＝1，y ＝2，z ＝3.8．(多选题)在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是(BCD )A.AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→ B.AB →＋BC →＋CC 1→C.AB →－C 1C →＋B 1C 1→ D.AA 1→＋DC →＋B 1C 1→解析：如图，AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→＝AA 1→－AD →＋DC →＝DA 1→＋A 1B 1→＝DB 1→，故选项A错误；AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，故选项B 正确；AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB →＋BC →－C 1C →＝AC →－C 1C →＝AC 1→，故选C 正确；AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋BC →＝AA 1→＋AC →＝CC 1→＋AC →＝AC 1→，故选项D 正确．二、填空题9．在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为0.解析：延长DE ，交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，∴12BC →＝BF →，32DE →＝DF →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →＋FD →＋DA →＝0.10.在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，若AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝b ＋c ，CM →＝c ＋a 3－2b3.解析：∵在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，∴AC 1→＝AC →＋CC 1→＝b ＋c ，CM →＝CC 1→＋C 1M →＝c ＋23C 1D →＝c ＋23×12(C 1A 1→＋C 1B 1→)＝c ＋13(－b ＋AB →－AC →)＝c ＋13(－b ＋a －b )＝c ＋a 3－2b3.11．已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝－2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝2.解析：AP →＝OP →－OA →＝－3OA →＋OB →＋λOC →，BP →＝OP →－OB →＝－2OA →＋λOC →，CP →＝OP →－OC →＝－2OA →＋OB →＋(λ－1)OC →，∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴存在m ，n ∈R 使得AP →＝mBP →＋nCP →，－2m －2n ＝－3，n ＝1，n (λ－1)＋mλ＝λ，m ＝12，n ＝1，λ＝2.三、解答题12.如图，已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，点E 在AC ′上，且AE EC ′＝12，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，试用BB ′→，BA →，BC →表示以下向量：(1)AE →；(2)BF →；(3)GF →.解：(1)AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝－BA →＋BC →＋BB ′→，∵AE EC ′＝12，∴AE →＝13AC ′→＝－13BA →＋13BC →＋13BB ′→.(2)∵F 是B ′D ′的中点，∴BF →＝12BB ′→＋12BD ′→＝12BB ′→＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝12BA →＋BB ′→＋12BC →.(3)∵点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，∴GF →＝12BB ′→.13.如图，已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．解：∵MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→＝12(AB →－AD →)＋34(CC 1→－CB →)＝12AB →－12AD →＋34(AA 1→＋AD →)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→，又MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，∴α＝12，β＝14，γ＝34.14．如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列选项中与向量MC 1→相等的是(B)A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b －cD.12a ＋12b －c 解析：∵平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，∴12a ＋12b ＋c ＝12(AB→＋AD →)＋AA 1→＝12AC →＋CC 1→＝MC 1→.故选B.15．(多选题)若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量共面的是(ABD )A ．b －c ，b ，b ＋c B ．a ＋b ，c ，a ＋b ＋c C ．a ＋b ，a －b ，cD ．a －b ，a ＋b ，a解析：向量a ，b ，c 不共面，则A.b －c 与b ＋c 共面，进而得出三个向量共面．B.a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ，因此三个向量共面．C.三个向量不共面．D.不含有c ，三个向量一定共面．故选ABD.16.如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：(1)OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．证明：(1)∵O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③∴①＋②＋③得：OA →＋OB →＋OC →＝－13(AB →＋AC →)－13(BA →＋BC →)－13(CA →＋CB →)＝0.(2)∵SO →＝SA →＋AO →，④SO →＝SB →＋BO →，⑤SO →＝SC →＋CO →，⑥且由(1)得：AO →＋BO →＋CO →＝0.∴④＋⑤＋⑥得：3SO →＝(SA →＋AO →)＋(SB →＋BO →)＋(SC →＋CO →)＝SA →＋SB →＋SC →，即SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．。

第一章 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算A 级必备知识基础练A.1B.2C.3D.42.[探究点三](多选题)下列说法错误的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线3.[探究点二]如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.[探究点二][北京顺义期中]如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 为A 1C 1的中点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示为( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+c D.12a-12b+c5.[探究点三]设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+ke 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2, DC⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A,B,D 三点共线,则实数k 的值是 . 6.[探究点四][广东佛山期中]已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点P 与A,B,C 共面,则实数λ= . 7.[探究点四][山东济宁月考]如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE=14BB 1,DF=34DD 1.证明A,E,C 1,F 四点共面.B 级关键能力提升练8.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( )A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形9.(多选题)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列选项中正确的有( )A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +B 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +C 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗10.(多选题)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O,则下列说法中错误的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量C.OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量 11.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,P,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 必( ) A.在平面BAD 1内B.在平面BA 1D 内C.在平面BA 1D 1内D.在平面AB 1C 1内12.[安徽合肥期中]《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”A -OBCD 中,E 为△ACD 的重心,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-a+12b+12cB.-a+13b+13cC.a+23b+23cD.-a+13b-13c13.[山东烟台期中]已知O 为空间中一点,A,B,C,D 四点共面且任意三点不共线,若2BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值为 . 14.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则x= ,y= .15.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC=2∶1,求证:A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.16.[海南海口月考]如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 在体对角线A 1C 上,且A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23FC ⃗⃗⃗⃗ .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c.(1)用a,b,c 表示EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求证:E,F,B 三点共线.C 级学科素养创新练17.如图,已知M 为四面体ABCD 的面BCD 的重心,连接BM 并延长交CD 于点E,G 为AM 的中点,N 在AE 上,且AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且B,G,N 三点共线.试求λ的值. (提示:若a,b,c 不共面,且x 1a+y 1b+z 1c=x 2a+y 2b+z 2c,则x 1=x 2,y 1=y 2,z 1=z 2)答案： 2.ABC3.D 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.A 由题得,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c-12a+12b. 5.1 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5e 1+4e 2)+(e 1+2e 2)=6e 1+6e 2. 又因为A,B,D 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以e 1+ke 2=λ(6e 1+6e 2). 因为e 1,e 2是不共线向量,所以{1=6λ,k =6λ,故k=1.6.16∵向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点P 与A,B,C 共面,∴λ+13+12=1,∴λ=16.7.证明由题得,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A,E,C 1,F 四点共面.8.B 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量,因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等,方向相同,即四边形ABCD 是平行四边形.9.ABC 作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图,可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +B 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;C 显然正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +C 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 不正确.综上,正确的有ABC.10.ABC 选项A 中是一对相反向量,B 中是一对相等向量,C 中是一对相反向量,D 中是一对相反向量.11.C 由于PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此M,B,A 1,D 1四点共面,即点M 必在平面BA 1D 1内.12.B ∵E 为△ACD 的重心, ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(b+c), 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b+c)-a=-a+13b+13c.13.-2 ∵O 为空间任意一点,2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴2(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵A,B,C,D 满足四点共面且任意三点不共线, ∴x2+32+12=1,解得x=-2.14.114 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴x=1,y=14.15.证明∵A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.16.(1)解EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-c-23b.(2)证明∵A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23FC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=25(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=25a+25b-25c,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25a-415b-25c=25(a −23b −c). 又由(1)知EB⃗⃗⃗⃗⃗ =a-23b-c, ∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =25EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且有公共点E,∴E,F,B 三点共线.17.解∵M 为四面体ABCD 的面BCD 的重心,连接BM 并延长交CD 于点E, ∴E 为CD 的中点,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12λAC⃗⃗⃗⃗⃗ +12λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵G 为AM 的中点,∴BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵B,G,N 三点共线, ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{-1=-56x ,12λ=16x ,∴{x =65,λ=25,∴λ=25.。