松江区2016年高三数学文科一模试卷(含答案)

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= {2，4} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[] ．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．行列式的值是．【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦加法定理求解．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则和余弦加法定理的合理运用．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= 20 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= 3：2 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．如图所示的程序框图，输出的结果是15 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=1满足条件a≤3，b=3，a=2满足条件a≤3，b=7，a=3满足条件a≤3，b=15，a=4不满足条件a≤3，退出循环，输出b的值为15．故答案为：15．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ． 故答案为：y=sin4x ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x 的系数与函数平移的方向，易错题．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c=a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ﹣ ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．【考点】二项式系数的性质；极限及其运算．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k==故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【考点】等差数列的通项公式．【专题】数形结合；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，由2（﹣α）=α+，解得α=，此时六个角分别为：，，，，，，成等差数列，则该等差数列的第3项为．其它情况类比可得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角、等差数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、类比推理与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数所给的性质可分别求出不同区间对应的函数表达式：当x∈[2n，2n+1），f（x）=2n+1﹣x，在不同区间分别求在区间[1，100]上的跟即可．【解答】解：当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x，设x∈[2，4）时，则∈[1，2），f（x）=f（2•）=2f（）=4﹣x，同理可得当x∈[2n，2n+1），f（x）=2n+1﹣x，∴则方程在区间[1，100]上所有根分别为：，3，6，12，24，48，96，∴所有根的和为．【点评】考查了新定义类型函数的应用，难点是对题意的分析．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3．双曲线可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526【考点】数列的求和．【专题】计算题；运动思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过分析前几次中每次“H扩展”后增加的项的和，得出规律：第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：由题意可知，第1次“H扩展”后增加的项的和为3，第2次“H扩展”后增加的项的和为4+5=9，第3次“H扩展”后增加的项的和为5+7+8+7=27，…第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，∴第n次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为1+2+3+32+…+3n=2+=•3n+1+，于是所求值为•311+=88575，故选：B．【点评】本题考查数列的求和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴AC=2，AB=2，…所以，体积V P﹣ABC=•PA=．…（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．（2）令，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f （x ）的值域为．（2）令，∴，故或，k ∈Z ，∴当函数y=f （x ）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升． （1）将y 表示为x 的函数；（1）若x ∈[4，8]，求总用氧量y 的取值范围． 【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x ∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x ＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x ∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得．由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y=±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因代入得即5b2=6（m2+1）原点到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由新定义可得|1﹣x|＞，解不等式可得x的范围；（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；（3）由任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），可得（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|，由等比数列的通项公式，可得，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，即|1﹣x|＞|x﹣2|，两边平方可得x2﹣2x+1＞x2﹣4x+4，解得；（2）证明：由已知，设，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1＞b k，∴=，，因0＜q＜1∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1），∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1），∴，∴即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”；（3）当k≥2时，当k≥3时，，∴（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|同理，（k﹣1）P（a k）﹣（k﹣2）P（a k﹣1）=|a k﹣1﹣a k|，因3P（S k）=2P（a k），∴3（k﹣1）P（S k）=2（k﹣1）P（a k）3（k﹣2）P（S k﹣1）=2（k﹣2）P（a k﹣1），即3|a k|=2|a k﹣1﹣a k|，所以3a k=2（a k﹣1﹣a k）或 3a k=﹣2（a k﹣1﹣a k）所以 a k=﹣2a k﹣1或因为a1=1，且a k∈Z，所以a k=﹣2a k﹣1，从而，所以，==．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查二项式定理的运用，考查运算能力，属于难题．。

上海市松江区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.5一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知全集为R ，集合1P x x ，则集合P．2.双曲线221x y 的右焦点坐标是．3.4.5.6.7.8.1人连续参9.2A ，则边长b10. 12,1,3x x ，使11. 2x f x2，则 2023f．12.已知正四面体A BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC ，则AP AD的取值范围是．第14题图第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.英国数学家哈利奥特最先使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题是真命题的是（）.A 若22a b ，则a b ；.B 若a b ，则ac bc ；.C 若a b ，c d ，则ac bd ；.D 若a b ，c d ，则a c b d ．14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）.A 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；.B 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；.C 甲数据的标准差大于乙队数据的标准差；.D 乙队数据的第75百分位数为27．15.函数y .A .C 16.；②曲线M .A 三、17.//AB .（1）（2）CD 45CDA ，求二面角P CE A 的大小．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列 n a 为等差数列， n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a ．（1）证明：11a b ；（2）若集合1,150k m M k b a a m ，求集合M 中的元素个数．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310 （含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520 （含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米．（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含a 、b 、c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求a 、b 、c 的值．已知椭圆2222:1y x a b （0a b ）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y 的焦点重合．（1）求椭圆 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆F 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G（如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．第20题图1第20题图2已知函数 y f x ，记 sin f x x x ，x D ．（1）若 0,2D ，判断函数的单调性；（2）若0,2D，不等式 f x kx 对任意x D 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若D R ，则曲线 y f x 上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使得曲线 y f x 在A 、B 、C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学答案一、填空题1、{}|1x x <（或(),1−∞）2、(2,0) 34、05、17− 6、 7、10 8、359、 10、[]7,8− 11、1− 12、4⎡−+⎣二、选择题：DDCC17、（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．………2分 因为,//,AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以． ………………………2分 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD ．……………………2分注：建立空间直角坐标系证明，相应给分．（2）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PE 在平面ABCD 上的投影是AE ，由（1）可知CE AE ⊥，由三垂线定理可得，CE PE ⊥． 所以，二面角P CE A −−的平面角为PEA ∠．……………2分 在Rt ECD ∆中，DE CD =cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒=又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形． ………2分 所以2BC AE ==，所以1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA −=⋅=⨯+⨯⋅=梯形，所以1PA =………2分 在Rt PAE ∆中，1tan 2PA PEA AE ∠==，所以1arctan 2PEA ∠=． 即：二面角P CE A −−的大小为1arctan2． ………2分18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则1111111122428(3)a db a d b a d b b a d +−=+−⎧⎨+−=−+⎩ ………2分即1112250d=b a d b =⎧⎨+−⎩ ………2分可解得，112db a ==，所以原命题得证． ………2分 （2）由（1）知112db a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a −=+⇔⨯=+−+ ……2分因为10a ≠，所以[]221,50k m −=∈，解得22log 5027.64k ≤≤+≈ ………4分所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6． ………2分前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+−， 所以 3.3b =． . ……… 4分又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==． . ……… 2分 解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到3=a ,3.3=b ,2.4=c ． . ………8分 20、解：（1）由题意得(0,1)F ，即：1c = ，又2c a =，所以a = . ……… 2分 由222a b c −=，得21b = ，所以椭圆的方程为 2212y x += ． . ……… 2分（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++−=， 则12222k x x k +=−+，12212x x k=−+， 所以)2212k A k B +==+. . ……… 2分抛物线K 的方程为：24x y =， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx −−=， 所以()241CD k ==+. . ……… 2分所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB −=+−+=−())()(2222222212421410k k k k k k++=+−++=+>，即AC BD >. . ……… 2分 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ， 当直线AB 的斜率存在且不为零时， 设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k =−+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， . ……… 1分所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()222222111111k k k +==−−++ . ……… 2分因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k−∈+，()22111AEBG S k =>−+. ……… 2分当直线AB 的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=； . (2)分 综上所述：AEBG S ≥AEBG 面积的最小值为. . ……… 1分 21、解：（1）因为'()1cos 0f x x =+≥，当且仅当在x π=时，'()0f x =，…… 2分 所以函数()y f x =在上是增函数．（区间开闭都对）. ……… 2分[0,2]π（2）由题意得，(1)sin k x x −<，于是sin 1xk x−<． 令sin ()xh x x=，则2cos sin '()x x x h x x −=， . ……… 2分令()cos sin u x x x x =−，则'()sin 0,(0,]2u x x x x π=−<∈，所以()u x 在(0,]2π上是严格减函数，于是()(0)0,(0,]2u x u x π<=∈．. ……… 2分由于2cos sin '()0,(0,]2x x x h x x x π−=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数， 所以min 2()()2h x h ππ==，因此21k π−<，即21k π<+． . ……… 2分（3）设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在A B C 、、三点处的切线分别为直线 11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+， 33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x −+222cos sin x x x =−+333cos sin x x x =−+． . ……… 2分 因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±． ①若12sin sin x x =−，23sin sin x x =−，31sin sin x x =−． 则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =， 于是112233cos cos cos x x x x x x −=−=−， 因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与A B C 、、三点互不重合矛盾． . ………3分 ②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立， 不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =， 若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±， . ……… 2分所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =−．. ……… 1分解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

上海市松江区2024届高三年级一模考试数学试卷一、填空题1.已知全集为R ，集合{}|1P x x =≥，则集合P =____________2.双曲线2213x y −=的右焦点坐标是____________3.已知复数z =2+i （其中i 是虚数单位），则z =_____________4.已知向量()()1,2,4,3a b ==，则()2a a b ⋅−=______________5.已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值为____________ 6.已知lg lg 1a b +=，则2a b +的最小值为____________7.在二项式()3nx +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =_____________8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为____________9.在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =___________10.已知函数()()26,2sin 23f x x x m g x x π⎛⎫=−++=+⎪⎝⎭，对任意00,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]12,1,3x x ∈−，使得()()()102f x g x f x ≤≤，则实数m 的取值范围是____________ 11.若函数()y f x =是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()222x f x x f x ⋅+=+⋅+，则()2023f =____________12.已知正四面体A -BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC +=，则AP AD ⋅的取值范围是____________二、选择题13.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，对于任意实数,,,a b c d ，下列命题是真命题的是（ ）A .若22a b <，则a b<B .若a b <，则ac bc<C . 若,a b c d <<，则ac bd <D . 若,a b c d <<，则a c b d +<+14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分），则下列说法正确的是（ ）A . 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数B . 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值C . 甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差D . 乙队数据的第75百分位数为2715. 函数()y f x =的图像如图所示，()'y f x =为函数()y f x =的导函数，则不等式()'0f x x<的解集为（ ） A . ()3,1−−B .（0,1）C . ()()3,10,1−−⋃D . ()(),31,−∞−⋃+∞16. 关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M ；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（ ） A . ①、②都正确B . ①正确②错误C . ①错误②正确D . ①、②都错误三、解答题17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE//AB . （1）求证：CE ⊥平面P AD ；（2）在四棱锥P -ABCD 的体积为56，AB=1，AD=3，45CD CDA =∠=︒，求二面角P -CE -A 的大小.18. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a −=−=−. （1）证明：11a b =；（2）若集合{}1|,150k m M k b a a m ==+≤≤，求集合M 中的元素个数.19. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在0-310（含）立方米，价格为a 元/立方米； 第二档：年用气量在310-520（含）立方米，价格为b 元/立方米； 第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米.（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含,,a b c 的式子表示）（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求,,a b c 的值.20. 已知椭圆()2222:=10y x a b a bΓ+>>的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y =的焦点重合.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆Γ于A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆Γ于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.21. 已知函数()y f x =，记()sin ,f x x x x D =+∈. （1）若[]0,2D π=，判断函数的单调性； （2）若0,2D π⎛⎤= ⎥⎝⎦，不等式()f x kx >对任意x D ∈恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若D =R ，则曲线()y f x =上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使则曲线()y f x =在A 、B 、C 三点处的切线互相重合? 若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、填空题1.()1−∞，2. ()20,3. 4. 0 5. 17−6. 7. 10 8. 359. 10. []7,8− 11. 1−12. 44⎡−+⎣二、选择题13. D 14. D 15. C 16. C三、解答题 17.（1）证明略 （2）12arctan18.（1）证明略 （2）6个19.（1）()(]()(]()()0310310310310520310210520520ax,x ,f x a x b,x ,a b x c,x ,⎧∈⎪=+−∈⎨⎪++−∈+∞⎩（2） 3a =，33b .=，42c .=20.（1）2212y x +=（2）AC BD>（3）21.（1）单调递增的函数 （2）21k π<+（3）11y x y x =−=+，。

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是．2．（4分）方程的解是．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．4．（4分）函数的单调递增区间是．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝．6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是．10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有个．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；．（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝﹣2，则抛物线的标准方程是y2＝8x．【解答】解：由题意可知：＝2，∴p＝4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝2px将p代入可得y2＝8x．故答案为：y2＝8x．2．（4分）方程的解是x＝2．【解答】解：由方程可得3x﹣5＝4，即3x＝32，解得x＝2，故答案为x＝2．3．（4分）设，则数列{a n}的各项和为．【解答】解：∵＝，∴＝，则数列{a n}是以为首项以为公比的等比数列∴＝所以数列的各项和S＝＝故答案为4．（4分）函数的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：对于函数，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．5．（4分）若函数f（x）的图象与对数函数y＝log4x的图象关于直线x+y＝0对称，则f（x）的解析式为f（x）＝y＝﹣4﹣x．【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y＝0的对称点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象由题意知，解得x'＝﹣y，y'＝﹣x又∵点（x'，y'）在对数函数y＝log4x的图象∴﹣x＝log4（﹣y）∴﹣y＝4﹣x∴y＝﹣4﹣x故答案为：y＝﹣4﹣x6．（4分）函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）．【解答】解：∵函数f（x）＝|4x﹣x2|﹣a有四个零点，故直线y＝a和函数y＝|4x ﹣x2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0＜a＜4，故答案为（0，4）．7．（4分）设x、y∈R+且＝1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵＝1，x、y∈R+，∴x+y＝（x+y）•（）＝＝10+≥10+2＝16（当且仅当，x＝4，y＝12时取“＝”）．故答案为：16．8．（4分）若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为1．【解答】解：联立，得x＝﹣1，y＝﹣1，∵三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，∴直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），∴﹣a﹣1+3＝0，解得a＝2，∴＝a﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．9．（4分）在△ABC中，边BC＝2，AB＝，则角C的取值范围是（0，]．【解答】解：由题意，设AC＝b，3＝b2+4﹣4b cos C∴b2﹣4b cos C+1＝0∴△＝16cos2C﹣4≥0∵AB＜BC∴C不可能是钝角∴∴角C的取值范围是（0，]故答案为：（0，]10．（4分）已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，，CD＝2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是．【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB＝，在△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB＝＝﹣，则∠AOB＝，则弧AB＝•1＝．故答案为：．11．（4分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28．【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x＝1，则展开式中各项系数的和为：（13+2×1+1）（3×12+4）＝28．故答案为：28．12．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有9个．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1，∴f（±1）＝0，f（±）＝1，因此，定义域D有：{1，}，{﹣1，﹣}，{﹣1，}，{1，﹣}，{﹣1，1，}，{﹣1，1，﹣}，{1，，﹣}，{﹣1，，﹣}，{﹣1，1，，﹣}共9种情况．故答案为：9．13．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为．【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n＝4×4＝16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p＝．故答案为：．14．（4分）设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S＝1+＝﹣2．【解答】解：设x1＝s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2＝s﹣ti．则x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∵＝＝+i是实数，∴3s2t﹣t3＝0，∴3s2＝t2．∴x1+x2＝2s，x1x2＝s2+t2．∴4s2＝＝+2x1x2＝x1x2，∴+1＝0，取＝ω，则ω2+ω+1＝0，∴ω3＝1．则S＝1+＝1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32＝0+ω+ω2+ω+ω2＝﹣2．故答案为：﹣2．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直B．向量与垂直C．向量与垂直D．向量与平行【解答】解：设的夹角为θ，则0＜θ＜π，∵（）•（）＝＝0，∴（）⊥（），故A正确；D错误．∵（）•＝﹣＝﹣cosθ≠0，∴与不垂直；故B错误；∵＝＝+cosθ≠0，∴与不垂直，故C错误；故选：A．16．（5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选：D．17．（5分）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z＝x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x＝2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．18．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A．﹣4031B．4031C．﹣8062D．8062【解答】解：∵f（x）＝x+sinπx﹣3，∴当x＝1时，f（1）＝1+sinπ﹣3＝﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2＝2时，恒有f（x1）+f（x2）＝﹣4，∴＝2015[f（）+f（）]+f（）＝2015×（﹣4）﹣2＝﹣8062．故选：C．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝，SB＝．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S．﹣ABC【解答】解：（1）∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC＝A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝，∴AB＝＝，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB＝，∴SA＝＝2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，＝××AC×BC×SA＝×2××＝．∴V S﹣ABC20．（14分）已知函数f（x）＝sin22x﹣sin2x cos2x．（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且，求点A 的坐标．【解答】解：（1）＝，所以f（x）的最小正周期．（2）∵点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，∴sin（4x0+）＝0，∴4x0+＝kπ，x0＝﹣．k∈Z．∵x0∈[0，]，∴，解得k＝1或k＝2，∴x0＝或x0＝．∴点A的坐标为或．21．（14分）已知实数x满足32x﹣4﹣+9≤0且f（x）＝log2．（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．【解答】解：（1）由，得32x﹣4﹣10•3x﹣2+9≤0，即（3x﹣2﹣1）（3x﹣2﹣9）≤0，∴1≤3x﹣2≤9，2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当，即时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或x＝4时，y max＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（16分）数列{a n}满足a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n＝，求数列{b n}的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵a1＝5，且（n≥2，n∈N*）．分别令n＝2，3，4，可得：．（2）设数列的前n项和为S n，则，∴，得即，∴{a n}从第二项起成等比数列，又a2＝10，∴．（3），由，得，所以当n＝3时，，当n＝4时，但，综上所述，，（b n）max＝b1＝5．23．（18分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC 是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）若t＝20、a＝，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a＝，求AD的最大值．【解答】解：（1）因为圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t＝30，所以CD＝30．在中令y＝30，得．在圆E：x2+（y﹣20）2＝302，中令y＝0，得，所以．（2）由圆E的半径为OB﹣OE＝50﹣t，得CD＝50﹣t．在y＝﹣ax2+50中令y＝50﹣t，得．．由题意知，对t∈（0，25]恒成立，所以恒成立．当，即t＝25时，取得最小值10，故，解得．（3）当时，．又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，所以，从而．下求的最大值．方法一：令，则＝，其中φ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值．方法二：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5（2x+y）的最大值．当直线与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值．答：当t＝5米时，AD的最大值为米．。

上海松江区2023-2024学年第一学期期末质量监控试卷高三数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知全集为R ，集合{}|1P x x =≥，则集合P =________．2.双曲线221 3=x y -的右焦点坐标是________．3.已知复数2i z =+（其中i 是虚数单位），则z =________4.已知向量()1,2a =，()4,3b = ，则()2a a b ⋅-= ________5.已知3sin 5θ=，π(0,2θ∈，则πtan(4θ-的值为________6.已知lg lg 1a b +=，则2+a b 的最小值为________7.二项式()3nx +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =___________；8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为________．9.在ABC 中，设角,A B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若3a =，5c =，2B A =，则边长b =________．10.已知函数2()6f x x x m =-++，π()2sin(2)3g x x =+．对任意0π0,4x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，存在12,[1,3]x x ∈-，使得102()()()f x g x f x ≤≤，则实数m 的取值范围是________．11.若函数()y f x =是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(2)(2)()2x f x x f x ⋅+=+⋅+，则(2023)f =________．12.已知正四面体A BCD -的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC += ，则AP AD⋅的取值范围是________．二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．13.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a b c d 、、、，下列命题是真命题的是（）A.若22a b <，则a b <B.若a b <，则ac bc<C.若a b <，c d <，则ac bd< D.若a b <，c d <，则a c b d+<+14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）A.甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；B.甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；C.甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；D.乙队数据的第75百分位数为27．15.函数()y f x =的图象如图所示，()y f x '=为函数()y f x =的导函数，则不等式()0f x x'<的解集为（）A.(3,1)--B.(0,1)C.(3,1)(0,1)--⋃ D.(,3)(1,)-∞-+∞ 16.关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M 上的点到坐标原点的距离最小值是22；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB ．（1）求证：CE ⊥平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为56，1AB =，3AD =，2CD =，45CDA ∠= ，求二面角P CE A --的大小．18.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）若集合{}1|,150k m M k b a a m ==+≤≤，求集合M 中的元素个数．19.为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310-（含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520-（含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米.（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含,,a b c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求,,a b c 的值.月份1234591012当月燃气用量（立方米）5680665860535563当月燃气费（元）168240198174183174.9186264.620.已知椭圆2222:1y x a b Γ+=（0a b >>）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y =的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆Γ于点,A B ，同时交抛物线K 于点,C D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆Γ于点,A B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点,E G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．21.已知函数()y f x =，记()sin f x x x =+，x D ∈．（1）若[]0,2πD =，判断函数的单调性；（2）若π0,2D ⎛⎤= ⎥⎝⎦，不等式()f x kx >对任意x D ∈恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若R D =，则曲线()y f x =上是否存在三个不同的点,,A B C ，使得曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：一．填空题：1、{}|1x x <；2、(2,0)；3；4、0；5、17-；6、7、10；8、35；9、；10、[]7,8-；11、1-；12、44⎡-+⎣；二．选择题：13、D ；14、D ；15、C ；16、C ；三．解答题：17、（1）由PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，得PA CE ⊥，由,//AB AD CE AB ⊥，得CE AD ⊥，而,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，所以CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知，CE ⊥平面PAD ，而PE ⊂平面PAD ，则CE PE ⊥，又CE AE ⊥，因此PEA ∠是二面角P CE A --的平面角，在Rt ECD △中，cos451,sin 451DE CD CE CD ==== ，显然1,//CE AB AB CE ==，四边形ABCE 为矩形，于是2BC AE ==，而四棱锥P ABCD -的体积1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA -=⋅=⨯+⨯⋅=，解得1PA =，在Rt PAE 中，1tan 2PA PEA AE ∠==，因此1arctan 2PEA ∠=，所以二面角P CE A --的大小为1arctan2.18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即1112250d b a d b =⎧⎨+-=⎩，解得112db a ==，所以原命题得证.（2）由（1）知112d b a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a -=+⇔⨯=+-+，因为10a ≠，所以[]221,50k m -=∈，解得222log 5023log 25k ≤≤+=+,由4215=，5232=，故24log 255<<，即273log 258<+<，所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6.19、（1）依题意，函数解析式为：,0310310(310),310520310210(520),520ax x y a b x x a b c x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪++->⎩（2）解法一：由一月份数据可得：168356a ==，通过计算前5个月用量：5680665860320++++=，前5个月燃气总费用：168240198174183963++++=，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+-，所以 3.3b =，又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==.解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到，3, 3.3, 4.2a b c ===.20、（1）由题意得(0,1)F ，即：1c =，又22c a =，所以a =由222a cb -=，得21b =，所以椭圆的方程为2212y x +=.（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++-=，则12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()()2222222211221422k k k k A k k B +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣-+⎦-++.抛物线K 的方程为：24x y =，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx --=，则34344,4x x k x x +==-，所以()()()2221161641CD k kk =++=+，所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB-=+-+=-()()()()2222222212422221410k k k k k k++-=+-++=+>，即AC BD>.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ，当直线AB 的斜率存在且不为零时，设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k=-+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，由()241CD k=+，以1k -替换k ，可得2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()22222214211111kk k +==--++，因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k -∈+，()2242111AEBG S k =>-+当直线AB的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=；综上所述：AEBG S ≥AEBG面积的最小值为21、（1）因为()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当在πx =时，()0f x '=，所以函数()y f x =在[0,2π]上是增函数．（2）由题意得，(1)sin k x x -<，于是sin 1xk x-<．令sin ()xh x x =，则2cos sin ()-'=x x x h x x ，令()cos sin u x x x x =-，则π()sin 0,(0,2u x x x x '=-<∈，所以()u x 在(0,2π上是严格减函数，于是π()(0)0,(0,]2u x u x <=∈由于2cos sin π()0,(0,]2x x x h x x x -'=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数，所以min π2()(2πh x h ==，因此21πk -<，即21πk <+．（3）解法一：设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在,,A B C 三点处的切线分别为直线，11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+，33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x -+222cos sin x x x =-+333cos sin x x x =-+．因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±．①若12sin sin x x =-，23sin sin x x =-，31sin sin x x =-．则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =，于是112233cos cos cos x x x x x x -=-=-，因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与,,A B C 三点互不重合矛盾．②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立，不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =，若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±，所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =-解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同.曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线方程分别为：11111:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，22222:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，33333:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，依题意，有123111222333cos cos cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x ==⎧⎨-=-=-⎩①②由①得，21312π,2π,,Z x k x x n x k n =±=±∈.情形1：若21312π,2π,,0,x k x x n x k n k n =+=+≠≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=-+=-+.即11(2π)cos 0(2π)cos 0k x n x =⎧⎨=⎩，而,0k n ≠，故1cos 0x =，1sin 1x =±，此时满足条件的切线方程为1y x =±.情形2：若21312π,2π,x k x x n x k n =-=-≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=---=---.即111111sin (π)cos 0sin (π)cos 0x k x x x n x x +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得1()πcos 0k n x -⋅=，由于k n ≠，故1cos 0x =，此时1sin 0x =，与2211sin cos 1x x +=矛盾，舍去.情形3：若21312π,2π,0x k x x n x k =+=-≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=-+=---.即1111(2π)cos 0sin (π)cos 0k x x n x x =⎧⎨+-=⎩，故1cos 0x =，高中11则1sin 0x =，与2211sin cos 1x x +=矛盾，舍去.情形4：若21312π,2π,0x k x x n x n =-=+≠，与情形3完全类似，舍去.综上，满足条件的切线方程为1y x =±.解法3：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同.曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线方程分别为：11111:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，22222:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，33333:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，依题意，有123111222333cos cos cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x ==⎧⎨-=-=-⎩①②由①得，123|sin ||sin ||sin |x x x ==，由②，令111222333sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x t -=-=-=，则111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x t x x x t x x x t x x =+=+=+，即有112233|cos ||cos |cos |t x x t x x t x x +=+=+，平方，得2222222221111222233332cos cos 2cos cos 2cos cos t tx x x x t tx x x x t tx x x x ++=++=++，即222121121222131131()cos 2()cos 0()cos 2()cos 0x x x t x x x x x x t x x x ⎧-+-=⎨-+-=⎩由于123,,x x x 互不相同，即2121121311()cos 2cos 0()cos 2cos 0x x x t xx x x t x ⎧-+=⎨-+=⎩，相减，得2231()cos 0x x x -=，于是1cos 0x =，则1sin 1x =±，此时满足条件的切线方程为1y x =±.。

--松江区2０１7学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学(满分150分，完卷时间120分钟) 20１7．12一．填空题（本大题满分54分)本大题共有１2题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～１2题每个空格填对得５分，否则一律得零分． 1.计算：2lim31n nn →∞=- ▲ .2．已知集合{|03}A x x =<<,2{|4}B x x =≥，则A B = ▲ ．3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S = ▲ . 4.已知函数)(log )(2a x x f +=的反函数为)(1x fy -=，且1)2(1=-f ，则实数a = ▲ ．５．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ,则cos2α= ▲ . 6.右图是一个算法的程序框图，当输入值x 为８时,则其输出的结果是 ▲ ．7.函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π上交点的个数是 ▲ ．８.若直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点,且AB =则a ＝ ▲ ．9．在ABC ∆中,90A ∠=︒,ABC ∆的面积为1.若BM =,4=,则AM ⋅的最小值为▲ ．10. 已知函数()21f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．--11. 定义,(,),a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩,已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ,则下列四个命题中为真命题的是 ▲ .(写出所有真命题的序号 ）① 若(),()f x g x 都是奇函数,则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数,则函数((),())F f x g x 为偶函数. ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数,则函数((),())F f x g x 为减函数.12.已知数列{}n a 的通项公式为*2(0,)n n a q q q n N =+<∈,若对任意*,m n N ∈错误!未定义书签。

2016届高三年级数学全真模拟试卷（文科）命题人：喻国标、袁艳辉一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合211{|(),}2x A y y x R +==∈，则满足A B B ⋂=的集合B 可以是（ ） A ．1{0,}2 B ．{|11}x x -≤≤ C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x >2、已知i 是虚数单位，复数22()()0Z m m m m i =++->，则实数m =（ ）A ．0或1B ．0或-1C ．1D ．03．若向量 )4,2(AB =，)3,1(AC =，则C B =（ ） A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(3,7)D ．(3,7)--4、已知直线x+y=0被圆（x+1）2+（y+1）2=r 2（r ＞0）所截得弦长|AB|=2，则r 的值是( ) A ． B ．2 C ．4 D ． 5根据表格已得回归方程：ˆ9.49.2y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ）A ．37.4B ．39C ．38．5D ．40.56、同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线π3x =对称；③在ππ[,]63-上是增函数”）A B ．)32cos(+=x yC ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A ．B ．64C ．D ．8、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=（a ﹣b ）2+6，C=，则△ABC 的面积是( ) A ．B ．C ．D ．39、执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点P F F ,,21是两曲线的一个公共点，若321π=∠PF F ，则e 等于( )ABC ．52D ．311、已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|xg x a =-的图像可能是（ ）12、已知函数()2,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在A 、B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,1)--B ．()1,2C ．(1,)-+∞D ．(ln 2,)-+∞第II 卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ．14、已知x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么z =3x +2y 的最大值为 .15、已知函数()5sin 12cos f x x x =+,（x R ∈）在x θ=时取得最大值，则tan θ=16、已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()1f x ax ≥-，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 1=6 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1(1)2n n a +，求b 1+b 2+…+b n 的值．18、（本题满分12分）某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如右表： （Ⅰ）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成下面的2×2列联表： 在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19、(本题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，△ACC 1≌△B 1CC 1 , CA ⊥C 1A 且CA=C 1A=2。