2020年江西高三一模数学试卷(文科)

2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{0} C．{1} D．{0，1}2．设复数z满足z（1+i）＝2，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量＝（1，2），＝（x2+1，﹣x），则“x＝1”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．4 B．2 C．D．05．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知13a3+S13＝52，则S9＝（）A．9 B．18 C．27 D．366．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝x3+3x，则，，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，则mn的值是（）A．27 B．32 C．35 D．368．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，且f（a+x）+f（a﹣x）＝0，则|a|的最小值为（）A．B．C．D．9．已知椭圆C：＝1的左焦点为F，点M在椭圆C上且位于第一象限，O为坐标原点，若线段MF的中点N满足＝0，则直线MF的方程为（）A．3x﹣y+3＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．x﹣y+＝0 D．x﹣2y+＝0 10．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π11．已知不等式mx3≥y3﹣6x2y对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，则m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣5，+∞）C．D．12．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中记载一种起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极．将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间．将49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻．若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝e x（x2+2）在点（0，2）处的切线方程为．14．执行如图所示的程序框图后，输出S的值为．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2交双曲线右支于P，Q两点，若|PF1|＝3|PF2|，|PQ|＝4|PF2|，则双曲线C的离心率为．16．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，，AB⊥AC，AC＝2AB，则CD的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC＝AA1＝4，∠CAB＝∠CAA1＝60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点A到平面A1B1C的距离．19．已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）．（Ⅰ）求证：x0＞2；（Ⅱ）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．20．已知函数f（x）＝axlnx+2x+a+1（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若对∀x∈（1，+∞），f（x）+x2＞0恒成立，求a的取值范围．21．某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x（单位：百人）对年产能y（单位：千万元）的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表．5. 82 5 3.612﹣0.1541.077328 27.87 150.80 ﹣55.74 （表1）126.56（Ⅰ）根据散点图判断：y＝a+blnx 与哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理由？（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据（s1，t1），（s2，t2），…，（s n，t n），其回归直线t＝bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（说明：的导函数为）请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝θ0（θ0∈（0，π）），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2﹣x+1，且m，n∈R．（Ⅰ）若m+2n＝2，求f（m）+2f（n）的最小值，并求此时m，n的值；（Ⅱ）若|m﹣n|＜1，求证：|f（m）﹣f（n）|＜2（|m|+1）．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{0} C．{1} D．{0，1}【分析】进行交集的运算即可．解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．2．设复数z满足z（1+i）＝2，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2，得，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．已知向量＝（1，2），＝（x2+1，﹣x），则“x＝1”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出x，进而判断出关系．解：，∴x＝1”是“⊥”的充要条件．故选：C．4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．4 B．2 C．D．0【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过z＝x+3y，利用数形结合即可的得到结论．解：如图，作出可行域，当直线l：x+3y＝0，平移至经过点时，z＝x+3y取得最大值．故选：C．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知13a3+S13＝52，则S9＝（）A．9 B．18 C．27 D．36【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得13a3+S13＝13a3+13a7＝52，进而可得，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，13a3+S13＝13a3+13a7＝52，变形可得a3+a7＝4，则有，故S9＝9a5＝9×2＝18，故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝x3+3x，则，，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据题意，由偶函数的性质可得b＝f（3），由对数、指数的性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则，又由，当x≥0，f（x）＝x3+3x在[0，+∞）上单调递增，则有，即b＞a＞c，故选：C．7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，则mn的值是（）A．27 B．32 C．35 D．36【分析】先根据平均数求出m+n＝12，要使方差最小，转化为（110+m﹣115）2+（110+n ﹣115）2最小；结合基本不等式求解即可．【解答】解∵数据的平均数为，∴m+n＝12，要使方差最小，则（110+m﹣115）2+（110+n﹣115）2＝，当且仅当m﹣5＝n﹣5，即m＝n＝6时取等号，此时方差最小，mn＝36，故选：D．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，且f（a+x）+f（a﹣x）＝0，则|a|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由图象可求得A、ω、φ，从而可得函数解析式，由f（a+x）+f（a﹣x）＝0可知f（x）关于点（a，0）对称，利用正弦函数的中心对称性即可得到答案．【解答】解由图象易知，A＝2，，∴ω＝2，又，∴（k∈Z），∵，∴，∴，∵f（a+x）+f（a﹣x）＝0，∴f（x）关于点（a，0）对称，即有，∴，∴|a|的最小值为，故选：A．9．已知椭圆C：＝1的左焦点为F，点M在椭圆C上且位于第一象限，O为坐标原点，若线段MF的中点N满足＝0，则直线MF的方程为（）A．3x﹣y+3＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．x﹣y+＝0 D．x﹣2y+＝0 【分析】设椭圆C的右焦点为F1，M（x，y）（x＞0，y＞0），通过向量的数量积为0，结合圆的方程与椭圆方程的关系，求出M坐标，然后求解直线的斜率，得到直线方程即可．解：设椭圆C的右焦点为F1，M（x，y）（x＞0，y＞0），∵，∴NF⊥NO，∵N，O分别是MF和FF1的中点，∴MF⊥MF1，由已知可得，，∴，即x2+y2＝5，由点M在椭圆C上且位于第一象限，得，∴，∴直线MF的方程为即，故选：D．10．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．解：由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，∴，∴，∴该二十四等边体的外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：C．11．已知不等式mx3≥y3﹣6x2y对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，则m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣5，+∞）C．D．【分析】由已知得：对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，可换元，令，则1≤t≤3，从而化为m≥t3﹣6t在[1，3]上恒成立，再构造函数f （t）＝t3﹣6t，求得f（t）max，由m≥f（t）max即可求得m的取值范围．解：不等式mx3≥y3﹣6x2y对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，等价于对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，令，则1≤t≤3，∴m≥t3﹣6t在[1，3]上恒成立，令f（t）＝t3﹣6t，则m≥f（t）max．∵f'（t）＝3t2﹣6，由f'（t）＞0得，f'（t）＜0得，∴f（t）在上单调递减，上单调递增．∵f（1）＝﹣5，f（3）＝9，∴f（t）max＝9，∴m≥9，故选：A．12．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中记载一种起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极．将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间．将49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻．若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，列出所有的可能性，根据古典概型的概率公式即可求解．解：用（a，b）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，故假设a≥1，b≥1，且a+b＝39，则基本事件有（1，38），（2，37），（3，36），（4，35），（5，34），（6，33），（7，32），（8，31），（9，30），（10，29），（11，28），（12，27），（13，26），（14，25），（15，24），（16，23），（17，22），（18，21），（19，20）共19个基本事件，其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件．所以概率P＝，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝e x（x2+2）在点（0，2）处的切线方程为y＝2x+2 ．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．解：∵f'（x）＝e x（x2+2x+2），∴f'（0）＝2，又∵f（0）＝2，∴所求切线方程为y﹣2＝2x，即y＝2x+2．故答案为：y＝2x+2．14．执行如图所示的程序框图后，输出S的值为126 ．【分析】先分析算法的功能进而求出结论解：由图可知，∵S≥63，∴S＝126．故答案为：12615．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2交双曲线右支于P，Q两点，若|PF1|＝3|PF2|，|PQ|＝4|PF2|，则双曲线C的离心率为．【分析】设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，推出|QF2|＝3m，由双曲线的定义，通过判断△PQF1是直角三角形，得到（3a）2+a2＝（2c）2，求解离心率即可．解：设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，∴|QF2|＝3m，由双曲线的定义，得，则此时满足，∴△PQF1是直角三角形，且∠QPF1＝90°，∴⇒（3a）2+a2＝（2c）2，得．故答案为：．16．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，，AB⊥AC，AC＝2AB，则CD的最小值为．【分析】先设∠ADB＝θ，在△ABD中正弦定理和余弦定理结合求出，再在△ACD中结合余弦定理以及辅助角公式即可求解解：设∠ADB＝θ，在△ABD中，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos∠DAC＝1+4AB2﹣4AB sin∠BAD＝＝25﹣20sin（θ+φ），∴当sin（θ+φ）＝1时，．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式和求和公式；（Ⅱ）运用数列的分组求和以及数列的裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（Ⅰ）∵a1，a2，a4成等比数列，∴，∵a1＝2，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，∴＝．18．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC＝AA1＝4，∠CAB＝∠CAA1＝60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点A到平面A1B1C的距离．【分析】（I）连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO，可得△CAB≌△CAA1，可得CB＝CA1，A1B⊥CO，利用四边形ABB1A1为正方形，可得A1B⊥AB1．可得A1B⊥平面AB1C，进而证明：平面AB1C⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）根据CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，可得CA1＝4，利用勾股定理及其逆定理可得：CO⊥AO，利用等积变形即可得出．解：（Ⅰ）证明：连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO，∵AC＝AC，∠CAB＝∠CAA1，AB＝AA1，∴△CAB≌△CAA1，∴CB＝CA1………2分∵O为A1B的中点，∴A1B⊥CO………3分∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1………4分又平面AB1C，CO∩AB1＝O，∴A1B⊥平面AB1C………5分∵平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1………6分（Ⅱ）解：∵CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，∴CA1＝4，在Rt△COA1中，又，∴，又，AC＝4，∴OA2+OC2＝AC2，∴CO⊥AO，∵平面AB1C⊥平面ABB1A1，平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，∴CO⊥平面ABB1A1………8分∴CO为三棱锥C﹣AA1B1的高，∴………10分∵CA1＝A1B1＝B1C＝4，∴，∴点A到平面A1B1C的距离………12分19．已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）．（Ⅰ）求证：x0＞2；（Ⅱ）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．【分析】（Ⅰ）用两种方法证明，设A，B的坐标，代入抛物线方程，用点差法求出直线AB的斜率，进而求出线段AB的中垂线的斜率，又过P点，求出AB的中垂线的方程，令y＝0，求出x0的表达式，再由A，B的横坐标的方程可得x0＞2；或P在线段AB的中垂线上，则|PA|＝|PB|整理，及AB在抛物线上代入抛物线的方程，联立可得x0用A，B的横坐标表示的代数式，再由A，B横坐标的范围证明出结论；（Ⅱ）设直线AB的方程，直线与抛物线联立求出横坐标之和，由抛物线的性质，到焦点的性质等于到直线的性质，可得弦长，由题意求出横坐标的和，写出PF的表达式，再用AB的横坐标表示，求出PF的值．解：（Ⅰ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），由，，两式相减得，即，∴，∴线段AB的垂直平分线方程为，令y＝0，∵x1≠x2，∴y1+y2≠0，得，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，∴x0＞2．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），∵P（x0，0）在线段AB的垂直平分线线上，∴|PA|＝|PB|，∴，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，∴，，代入①得，化简得，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，∴x0＞2，（Ⅱ）法一：∵|AB|＝x1+x2+p＝10，∴x1+x2＝8，∴．法二：由已知可得直线AB斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k ≠0），联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴，∴，∴，∵x0＞2，∴．20．已知函数f（x）＝axlnx+2x+a+1（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若对∀x∈（1，+∞），f（x）+x2＞0恒成立，求a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，由题意可可得，对∀x∈[1，+∞），f'（x）≥0恒成立，对a进行分类讨论即可求解；（II）由已知可转化为＞0在x＞1上恒成立，结合导数研究其性质，可求．解：（Ⅰ）f'（x）＝alnx+a+2，依题意得，对∀x∈[1，+∞），f'（x）≥0恒成立，①a≥0时，∵x∈[1，+∞），∴lnx≥0，∴f'（x）≥0恒成立，满足题意，②a＜0时，取，∵f'（x0）＝a＜0，∴f'（x）≥0在[1，+∞）上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a的取值范围是[0，+∞），（Ⅱ）f（x）+x2＝axlnx+x2+2x+a+1（x＞1），∵x＞0，，设（x＞1），则，①当a≥﹣2时，∵x+a+1＞1﹣2+1＝0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，依题意得g（x）＞g（1）＝a+1+1+2≥2＞0，满足题意，②当a＜﹣2时，当1＜x＜﹣a﹣1时，g'（x）＜0，当x＞﹣a﹣1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，∴，依题意得[g（x）]min＝aln（﹣a﹣1）﹣a＞0，解得﹣e﹣1＜a＜﹣2，综上所述，a的取值范围是（﹣e﹣1，+∞）．21．某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x（单位：百人）对年产能y（单位：千万元）的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表．5. 82 5 3.612﹣0.1541.077328 27.87 150.80 ﹣55.74 （表1）126.56（Ⅰ）根据散点图判断：y＝a+blnx 与哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理由？（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据（s1，t1），（s2，t2），…，（s n，t n），其回归直线t＝bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（说明：的导函数为）【分析】（Ⅰ）由图可知适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；（Ⅱ）由，得，故lny与符合线性回归，求出b与a的值，即可得到，进一步得到y关于x的回归方程；（Ⅲ）利用导数求最值．解：（Ⅰ）由图可知适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型．∵若选择y＝a+blnx，则b＞0，此时当x接近于0时，y必小于0，故选择作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；（Ⅱ）由，得，故lny与符合线性回归．∴，，∴，即，∴y关于x的回归方程；（Ⅲ）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，由（Ⅱ）可知人均产能函数，∴，∵0＜x＜2时，f'（x）＞0，x＞2时，f'（x）＜0，∴x∈（0，2）时，f（x）单调递增，x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减．∴当x＝2时，人均产能函数达到最大值，因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大．∵对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，∴下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝θ0（θ0∈（0，π）），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式化简x，y即可得出曲线C1的普通方程为，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）法一：将θ＝θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0﹣4ρcosθ0﹣8＝0，利用根与系数的关系及其ρ1，ρ2的意义代入即可得出．法二：设直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的普通方程得t2sin2φ﹣4t cosφ﹣8＝0，利用直线参数方程及其参数的意义即可得出．解：（Ⅰ）∵，，∴，即曲线C1的普通方程为y2＝4x．依题意得曲线C的普通方程为y2＝4（x+2）．令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ﹣4ρcosθ﹣8＝0．（Ⅱ）法一：将θ＝θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0﹣4ρcosθ0﹣8＝0，则，，∵ρ1ρ2＜0，∴ρ1，ρ2异号．∴∵θ0∈（0，π），∴sinθ0∈（0，1]，∴．法二：设直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的普通方程得t2sin2φ﹣4t cosφ﹣8＝0，则，，∵t1t2＜0，∴t1，t2异号．∴．∵φ∈（0，π），∴sinφ∈（0，1]，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2﹣x+1，且m，n∈R．（Ⅰ）若m+2n＝2，求f（m）+2f（n）的最小值，并求此时m，n的值；（Ⅱ）若|m﹣n|＜1，求证：|f（m）﹣f（n）|＜2（|m|+1）．【分析】（Ⅰ）f（m）+2f（n）＝m2+2n2+1，法一：由m＝2﹣2n，进一步转化为关于n的二次函数，由二次函数的性质即可得出结论；法二：变形并由基本不等式可得m2+2n2≥，由此得出结论；法三：由柯西不等式直接得出结论；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质求证即可．解：（Ⅰ）f（m）+2f（n）＝（m2+2n2）﹣（m+2n）+3＝m2+2n2+1，法一：∵m+2n＝2，∴m＝2﹣2n，∴，∴f（m）+2f（n）的最小值为，此时；法二：∵＝，∴，即f（m）+2f（n）的最小值为，此时；法三：由柯西不等式得：，∴，即f（m）+2f（n）的最小值为，此时；（Ⅱ）证明：∵|m﹣n|＜1，∴|f（m）﹣f（n）|＝|（m2﹣n2）﹣（m﹣n）|＝|m﹣n|•|m+n﹣1|＜|m+n﹣1|，又|m+n﹣1|＝|（n﹣m）+（2m﹣1）|≤|m﹣n|+|2m﹣1|＜1+（2|m|+1）＝2（|m|+1），∴|f（m）﹣f（n）|＜2（|m|+1）．。

2020届江西省九江市高三第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}|22N x x =-<<，则M N =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1 【答案】D直接利用集合的交运算进行求解.解：{}0,1,2,3,4M =Q ，{}|22N x x =-<<，{}0,1M N ∴=I .故选：D.本题考查集合的交集运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项.解：因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ．复数四则运算，属于简单题. 3．已知向量(1,2)a =r ，2(1,)b x x =+-r ，则“1x =”是“a b ⊥r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C根据向量垂直得到1x =，从而可得答案. 解：∵21201a b x x x ⊥⇔+-=⇔=r r ，∴“1x =”是“a b ⊥r r ”的充要条件.故选：C.本题考查充要条件的判定，考查对概念的理解，属于基础题.4．已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．145D ．0 【答案】C 根据约束条件作出可行域，并且由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值，可得选项. 解：如图，作出可行域，由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值145， 故选:C.本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3131352a S +=，则9S =（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36 【答案】B根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用得374a a +=，可得9S 的值. 解：因为()1137137131321322a a a S a ⨯+⨯=== 所以3133713131352a S a a +=+=，374a a ∴+=，37522a a a +∴==，()195959929921822a a a S a +⨯∴====⨯=， 故选：B本题考查等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用，灵活选择前n 项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，(2)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】C 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.解：Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=， 32022223<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，则mn 的值是（ ）A ．27B ．32C ．35D ．36【答案】D 由平均为115得到12m n +=，写出方差的表达式，求出使方差最小时,m n 满足的关系，从而求得mn 的值.解：Q 数据的平均数为1(64992152200660240)=11510m n ⨯++++++++++++，12m n ∴+=，要使方差最小，则22(110115)(110115)m n +-++-=222(55)(5)(5)22m n m n -+--+-≥=， 当且仅当55m n -=-，即6m n ==时取等号，此时方差最小，36mn =. 故选：D ．本题考查对茎叶图、平均数和方差的概念，考查逻数据处理能力，求解时注意基本不等式的运用. 8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(π0,0,2A >><ωϕ)的部分图象如图所示，若()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12【答案】A 根据图象可求得,,A ωϕ，再()()0f a x f a x ++-=，得出()f x 关于点(,0)a 对称，由正弦型函数的对称中心可得a ，可得选项.解：由图象易知2A =，(0)1f =，即2sin 1=ϕ，π2ϕ<Q ，6πϕ∴=， 由图可知*11ππ2π (N )126k k ω⋅+=∈，24211k ω-∴=，1112311412T T ππ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩Q ，又()20T πωω=>，18241111ω∴<<， ∴由1k =得2ω=，π()2sin(2)6f x x ∴=+，()()0f a x f a x ++-=Q ，()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有π2π6a k +=，ππ212k a =-，k Z ∈，a ∴的最小值为π12， 故选：A.本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题.9．已知椭圆22:194x y C +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上且位于第一象限，O 为坐标原点，若线段MF 的中点N 满足0NF NO ⋅=u u u r u u u r，则直线MF 的方程为（ ）A．30x y -+= B．20x y -+= C．0x y -+=D．20x y -+= 【答案】D设椭圆C 的右焦点为1F ，利用中位线和向量垂直得1MF MF ⊥，从而得到点M 为圆和椭圆的公共点，求出点M 的坐标，计算直线MF 的斜率，利用点斜式方程可得答案. 解：设椭圆C 的右焦点为1F ，(,)M x y （0,0x y >>）， 0NF NO ⋅=u u u r u u u r Q ，NF NO ∴⊥，,N O Q 分别是MF 和1FF 的中点，1MF MF ∴⊥，由已知可得(F，1F ，()()0x y x y ∴+⋅-=，即225x y +=， 由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得M ，12MF k ∴==， ∴直线MF的方程为1(2y x =+，即20x y -+=. 故选：D.本题考查椭圆中的焦点三角形问题，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.10．半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π 【答案】C 2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，利用勾股定理得到关于R 的方程，解得R 值再代入球的面积公式.2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，2222(2)(2)(2)2R ∴=++,2R ∴,∴该二十四等边体的外接球的表面积24πS R =24π(2)8π=⨯=.故选：C.本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意根据几何体的对称性将问题进行等价转化.11．已知不等式3326y y mx x ≥-对于任意[2,3]x ∈，[3,6]y ∈恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．[9+)∞,B ．[5,)-+∞C ．[42+)∞,D ．[429],【答案】A先利用参变分离将不等式转化为336y m x xy -⋅≥，再利用换元法令13)(y t x t ≤≤=，将问题转化为三次函数的值域求解.解：不等式3326y y mx x ≥-对于任意[2,3]x ∈，[3,6]y ∈恒成立， 等价于33333266x y y m x x y y x x=-⋅≥- 对于任意[2,3]x ∈，[3,6]y ∈恒成立， 令y t x=，则13t ≤≤，36m t t ∴≥-在[1,3]上恒成立， 令3()6f t t t =-，则max ()m f t ≥.2()36f t t '=-Q ，由()0f t '>3t <≤，()0f t '<得1t ≤<()f t ∴在上单调递减，3]上单调递增.(1)5f =-Q ，(3)9f =，max ()9f t ∴=，9m ∴≥.故选：A.本题考查不等式恒成立求参数范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，同时注意新元的取值范围，才会使问题进行等价转化.12．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六组成.其中记载一种起卦方法称为“大衍法”，其做法为：从50根草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极.将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间.将49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻.若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（ ）A ．12B ．34C ．1019D ．1519【答案】C用（,a b ）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，设1a ≥，1b ≥，且39a b +=，列出所有等可能事件，并计算事件二变之后剩36根蓍草的事件所含基本事件，最后利用古典概率模型计算概率.解：用（,a b ）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，故假设1a ≥，1b ≥，且39a b +=， 则基本事件有（1,38），（2,37），（3,36），（4,35），（5,34），（6,33），（7,32），（8,31），（9,30），（10,29），（11,28），（12,27），（13,26），（14,25），（15,24），（16,23），（17,22），（18,21），（19,20）共19个基本事件，其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件.故选：C.本题以数学文化为背景考查古典概型，考查逻辑推理能力和阅读理解能力，求解的关键是识别概率模型.二、填空题13．曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______.【答案】22y x =+对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.解：令()2e (2)x f x x =+，2()e (22)x f x x x '=++Q ，所以(0)2f '=，又(0)2f =Q ，∴所求切线方程为22y x -=，即22y x =+.故答案为：22y x =+.本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.14．执行如图所示的程序框图后，输出S 的值为____.【答案】126直接根据程序框图所示的等比数列求和特点，求出S ，再解不等式判断何时终止，从而输出S 的值. 解：由图可知212(12)222=2212n nn S +-=+++=--L ， 63S ≥Q ，126S ∴=.故答案为：126本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.15．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若213PF PF =，24PQ PF =，则双曲线C 的离心率为_____.【答案】2设2PF m =，则可得13PF m =，4PQ m =，23QF m =，再利用双曲线的定义求得15QF m =，利用勾股定理22211PF PQ QF +=求得关于,a c 的方程，从而求得离心率. 解：设2PF m =，则13PF m =，4PQ m =，23QF m ∴=，由双曲线的定义，得121212232PF PF m a QF QF QF m a ⎧-==⎪⎨-=-=⎪⎩15QF a m a ⎧=⇒⎨=⎩， 则此时满足22211PF PQ QF +=，1PQF ∴∆是直角三角形，且190QPF ∠=︒，2221212PF PF F F ∴+=⇒222(3)(2)a a c +=，得e =.故答案为：2. 本题考查双曲线的定义、离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意根据题意找到关于,a c 的齐次方程，从而求得离心率.16．如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，BD =AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为____.5设ADB θ∠=，在ABD ∆中，利用正弦定理得sin 5AB BAD θ⋅∠=，利用余弦定理得2625AB θ=-，从而得到θ与BAD ∠的关系，再由2BAD DAC π∠=+∠可得θ与DAC ∠之间的关系，利用余弦定理可得22520sin()CD θϕ=-+，再利用三角函数的有界性可得答案.解：设ADB θ∠=，在ABD ∆中， 由正弦定理得sin sin AB BD BADθ=∠，即5sin A B θ=⇒sin 5AB BAD θ⋅∠=，由余弦定理得2222cos 625AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-，∵AB AC ⊥，∴2BAD DAC π∠=+∠，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠2144sin AB AB BAD=-+∠258545θθ=--2520sin()θϕ=-+，∴当sin()1θϕ+=时，min 5CD =. 5本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，12a =，且124,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记1211n n n b S a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2,(1)n n a n S n n ==+；（2）11212n n T n =--+ （1）根据等比中项得2214a a a =⋅，再将等差数列通项公式代入求得公差，利用等差数列通项公式与前n 项和公式，可求得答案； （2）由（1）得111+12n n b n n =-+，再利用裂项相消法和等比数列前n 项和公式，即可求得答案.解：（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=⋅，12a =Q ，2(2)2(23)d d ∴+=+，解得2d =或0d =(舍去)，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，(22)(1)2n n n S n n +==+ （2）由（1）得1111=(1)1n S n n n n =-++，112111222n n n a --==⋅，111+12n n b n n =-+， 11(1)1111122(1)()()+1223112n n T n n -∴=-+-++-+-L 11111+1=21212n n n n =----++本题考查等比中项性质、等比数列前n 项和、裂项相消求和、等差数列通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．如图，在三棱柱111—ABC A B C 中，四边形11ABB A 为正方形，且14AC AA ==，160CAB CAA ∠=∠=︒.（1）求证:平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求点A 到平面11A B C 的距离.【答案】（1）见解析；（2）463（1）连接1A B ，设11=AB A B O I ，连接CO ，证明1A B 垂直平面1AB C ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论；（2）证明CO ⊥平面11ABB A ，得到CO 为三棱锥11C AA B -的高，再利用等积法求得点A 到平面11A B C 的距离.解：（1）连接1A B ，设11=AB A B O I ，连接CO ，AC AC =Q ，1CAB CAA ∠=∠，1AB AA =，1CAB CAA ∴∆≅∆，1CB CA ∴=，O Q 为1A B 的中点，1A B CO ∴⊥.Q 四边形11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥又1,CO AB ⊂平面1AB C ，1CO O AB =I ，1A B ∴⊥平面1AB C ，1A B ⊂Q 平面11ABB A ，∴平面1AB C ⊥平面11ABB A .（2）14CA AA ==Q ，160CAA ∠=︒，14CA ∴=，在1Rt COA ∆中，又122OA =，22CO ∴=，又22AO =，4AC =，222OA OC AC ∴+=，CO AO ∴⊥，Q 平面1AB C ⊥平面11ABB A ，平面1AB C I 平面111=ABB A AB ，∴CO ⊥平面11ABB A ，CO ∴为三棱锥11C AA B -的高，11111111624422332C AA B AA B V S CO -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=11114CA A B B C ===Q ，111=44sin60=432CA B S ∆∴⨯⨯⨯︒，∴点A 到平面11A B C 的距离111131624643C AA B CA B V d S -∆===.本题考查空间中面面垂直的证明、等积法求点到面的距离，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.19．已知,A B 是抛物线2:4C y x =上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴有唯一的交点0(,0)P x . （1）求证:02x >；（2）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，且=10AB ，求PF . 【答案】（1）见解析；（2）5（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y (12x x ≠)，将PA PB =坐标化得2222101202()()x x y x x y -+=-+，再利用点,A B 在抛物线上得到0x 与12,x x 的关系，利用120x x +>得02x >；（2）由已知可得直线AB 斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-(0k ≠)，利用弦长求得k 的值，再代入焦半径公式即可求得答案.解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y (12x x ≠)，0(,0)P x Q 在线段AB 的垂直平分线线上，PA PB ∴=，2222101202()()x x y x x y ∴-+=-+………①11(x ,)A y Q ，22(,)B x y 在抛物线C 上，2114y x ∴=，2224y x =，代入①得22101202()4()4x x x x x x -+=-+，化简得12022x x x +=+， 10x ≥Q ，20x ≥，12x x ≠，120x x ∴+>，02x ∴>.（2）由已知可得直线AB 斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-(0k ≠)，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去y 得2222(24)0k x k x k -++=，212224k x x k +∴+=， 221222244(1)210k k AB x x p k k ++∴=++=+==，223k ∴=， 02x >Q ，2212002222(1)11=1152x x k k PF x x k k +++∴=-=-+=+==.本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线中的参数范围问题、焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意02x >在去绝对值中的应用.20．已知函数()ln 21f x ax x x a =+++(a R ∈). （1）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若对(1,)x ∀∈+∞，2()0f x x +>恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）[0,)+∞；（2）(e 1,)--+∞（1）问题等价于[1,)x ∀∈+∞，()0f x '≥恒成立，再对a 分0a ≥和0a <两种情况讨论；（2）问题等价于(1,)x ∀∈+∞，1ln 20a a x x x++++>恒成立，构造函数1()ln 2a g x a x x x+=+++，对a 分2a ≥-和2a <-两种情况，分别利用它们的最小值大于0，求a 的取值范围.解：（1）()ln 2f x a x a '=++，依题意得，对[1,)x ∀∈+∞，()0f x '≥恒成立， ①0a ≥时，[1,)x ∈+∞Q ，ln 0x ∴≥，()0'∴≥f x 恒成立，满足题意 ②0a <时，取20e(1,)ax -=∈+∞，0()0f x a '=<Q ，()0'∴≥f x 在[1,)+∞上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞（2）22()ln 21f x x ax x x x a +=++++(1x >)，0x Q >，∴21()0ln 20a f x x a x x x++>⇔+++>. 设1()ln 2a g x a x x x+=+++(1x >)，则22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x x a g x x x x x++-+-++'=-+== ①当2a ≥-时，11210x a ++>-+=Q ，()0g x '∴>，()g x ∴在(1)+∞，上单调递增，依题意得()(1)11220g x g a >=+++≥>，满足题意②当2a <-时，当11x a <<--时，()0g x '<，当1x a >--时，()0g x '>，()g x ∴在(1,1)a --上单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增min 1[()](1)ln(1)12ln(1)1a g x g a a a a a a a a +∴=--=--+--+=-----， 依题意得min [()]ln(1)0g x a a a =--->，解得e 12a --<<- 综上所述，a 的取值范围是(e 1,)--+∞.本题考查利用导数研究恒成立问题和求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用. 21．某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x (单位:百人．．)对年产能y (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.xy ln y1x21()ni i x x =-∑ 2111()ni ix x =-∑1()()n i i i x x y y =--∑111()(ln ln )ni i i y y x x =--∑1()(ln ln )ni i i x x y y =--∑5.825 3.612 0.154- 1.07732827.87150.8055.74-126.56（1）根据散点图判断:ln y a b x =+与e ba xy +=哪一个适宜作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型？并说明理由？（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据11(,)s t ，22(,)s t ，…，(,)n n s t ，其回归直线t bs a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为$121()(),()niii nii s s tt ba t bs s s ==--==--∑∑$$，(说明:()e ba x f x +=的导函数为2e()b a xb f x x+-⋅'=)【答案】（1）选择e ba x y +=，理由见解析；（2）22e x y -+=；（3）20千万 （1）由图可知e ba x y +=适宜作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型； （2）由eb a xy +=,得1ln y b a x=⋅+，再利用最小二乘法求出,b a ，从而得到y 关于x 的回归方程；（3）利用导数求得当2x =时，22e ()xf x x-+=取得最大值.解：（1）由图可知eba xy +=适宜作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型Q 若选择ln y a b x =+，则0b >，此时当x 接近于0时，y 必小于0，故选择e ba x y +=作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型 （2）由eb a x y +=,得1ln y b a x=⋅+，故ln y 与1x 符合线性回归，12111()(ln ln )55.74=227.8711()ni i i ni iy y x x b x x ==---∴==--∑∑. 1ln (0.154)(2) 1.0772a y b x=-⋅=---⨯=， 2ln 2y x∴=-，即22e x y -+=，y ∴关于x 的回归方程22exy -+=. （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大， 由(2)可知人均产能函数22e()xf x x-+=，2222222232e e (2)e ()x xx x x x f x x x -+-+-+⋅⋅--⋅'∴==， 02x <<Q 时，()0f x '>，2x >时()0f x '<，(0,2)x ∴∈时，()f x 单调递增，(2,)x ∈+∞时，()f x 单调递减， ∴当2x =时，人均产能函数22e()xf x x-+=达到最大值，因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大，Q 对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，∴下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C . （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11OA OB+的取值范围. 【答案】（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为24(2)y x =+；（2）1(2（1）根据三角函数恒等变换可得22cos 2sin 2x αα=， 2cos 2sin2y αα=，可得曲线1C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=根据0(0,π)θ∈，可求得11OA OB+的范围；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=根据(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB+的范围； 解：（1）22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-Q ， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin 2y x αα∴==，即曲线1C 的普通方程为24y x =，依题意得曲线C 的普通方程为24(2)y x =+，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，120ρρ<Q ，12,ρρ∴异号121212201111sin OA OB ρρρρρρθ-∴+=+====，0(0,π)θ∈Q ，0sin (0,1]θ∴∈，111(,22OA OB ∴+∈； 法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <Q ，12,t t ∴异号12121221111sin t t OA OB t t t t ϕ-∴+=+====(0,π)ϕ∈Q ，sin (0,1]ϕ∴∈，111(,22OA OB ∴+∈.本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.23．已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．（1）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值； （2）若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+． 【答案】（1）最小值为73，此时23m n ==；（2）见解析 （1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造22221(24+4)3m n m n n m +≥+214=(2)=33m n +，可得最值；法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n +++≥++++，可得最值；（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n -=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，可得证.解：（1）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-，2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23m n ==；法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+Q 214=(2)=33m n +， 47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；（2）1m n -<Q ，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。

江西省2020届高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题 1．设集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据交集的定义，即可求出结果。

【详解】，故选C 。

【点睛】本题主要考查交集的运算。

2．命题“”的否定是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】按规则写出存在性命题的否定即可. 【详解】 命题“”的否定为“”，故选C. 【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.3．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B【解析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】已知{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆，所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题. 4．下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若，则”的否命题B.命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C.命题“若x ＝1，则”的否命题D.命题“已知，若，则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 5．已知函数()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.[)4,+∞ B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.6．函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】排除BD排除C故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.7．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是A ．等于12.5B ．12.5到12.6之间C ．等于12.6D ．大于12.6【答案】D【解析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．若tan 2α=，则22sin 3sin cos cos 1αααα+=+（ ） A.53B.54C.52D.2【答案】A【解析】已知正切值，观察所求式子，采取弦化切思想，分子分母同除以2cos α即可求解. 【详解】∵tan 2α=，则22222sin 3sin cos sin 3sin cos cos 12cos sin ααααααααα++=++22tan 3tan 5tan 23ααα+==+.选A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的关系，弦化切的思想，属于中档题. 9．三个数0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是（ ） A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.10．对于实数x ，y ，若p ：4x ≠或1y ≠，q ：5x y +≠，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取特殊值6x =，1y =-,可知p ¿q ，利用逆否命题与原命题等价，可确定q ⇒p ,即可得出结论. 【详解】取6x =，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即p ¿q ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q 的必要条件. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.11．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则sin sin A C=（ ）A. B.40C.6D.3【答案】A【解析】利用正弦定理，化角为边可得2224a b c -=，利用余弦定理化角为边可得224124c c bc -=-，得到a c 、关系，再根据正弦定理求解即可. 【详解】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2221cos 42b c a A bc +--==，∴224124c c bc -=-，∴3124c b =，∴3462b c =⨯=，6b c =，∵2224a b c -=，∴a =，sin sin AC=故选A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，边角互化的思想，属于中档题.12．已知函数()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B【解析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.二、填空题 13．函数3()ln 4f x x =的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4． 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间． 14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 【答案】10x y --=【解析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 15．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 【答案】()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位,根据图象变换规律，得到()12f x π+，写出解析式即可.【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向左平移12π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查了函数图象的平移变换，属于中档题. 16．以下说法中正确的是______.①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减；②函数131x y +=+的图象过定点()1,2-；③若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<；④方程3log 124x =的解是19x =. 【答案】②④ 【解析】①()1f x x=在定义域上无单调性，错误；②利用指数函数恒过定点性质可求其正确；③举反例可分析出结论错误；④利用指数、对数的性质求解方程，结论正确. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质； 说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：如果()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确； 说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确. 综上，本题的答案为②④. 【点睛】本题主要考查了函数单调性，零点，定点问题，属于中档题.三、解答题17．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤.【解析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定p ，q 一真一假，结合（1），再化简命题q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；（1）若p 为真，则13m ≤≤；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p ，q 一真一假.若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或23m <≤. 【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题. 18．已知函数()()212cos cos f x x x x x R =--∈.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（1）2；（2）π，,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）利用降幂公式及二倍角公式，两角和正弦公式的逆用化简，代入求值即可（2）根据正弦型函数的周期、单调性求出周期，递减区间即可. 【详解】（1）()212cos cos f x x x x =--cos 222sin 26x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭.则242sin 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，属于中档题. 19．已知函数()xf x e =.（1）若()24f a =，求实数a 的值； （2）设函数()()2xg x e kxk R =-∈，若()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】（1）ln 2a =；（2）24e k <. 【解析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围.【详解】（1）因为()224af a e ==，即：2a e =，所以ln 2a =.（2）由题意可知，()2xg x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，则()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=，∴24e k <. 【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题. 20．设函数()()1x f x ae x =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e -，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()()21x f x e x =+，()242g x x x =++；（2）32t -≤≤-. 【解析】（1）两函数在0x =处有相同的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可（2）利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e -=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围. 【详解】（1）()()'2x f x ae x =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x =处有相同的切线，∴()'02f a =，()'0g b =，∴2a b =，()()002f a g ===，∴2a =，4b =，∴()()21x f x e x =+，()242g x x x =++.（2）由（1）得()()'22x f x e x =+.当2x >-时，则()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，则()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，而函数()()2min 22f x f e=-=-，∴[]2,1t t -∈+， 即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t -≤≤-.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2212sin 2ac B a c =+-，且2b = （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）4π；（2）18. 【解析】（1）由2b =2212sin 2ac B a c =+-等式右边可化为余弦定理形式，根据sin cos B B =求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出ac 的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】（1）由2212sin 2ac B a c =+-得：2222sin 2cos ac B a c b ac B =+-=， 即：sin cos B B =.∴tan 1B =，又()0,B π∈，∴4B π=.（2）由(2222cos 2b a c ac B ac =+-≥-，当且仅当a c =等号成立.得：24ac +≤. ()max 11sin 248ABC S ac B ac ∆==≤. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.22．已知函数()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1. （1）求a 的值；（2）若存在0x 使得不等式()333xx x f k <⋅在[]1,1x ∈-成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()0,∞+.【解析】（1）二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a （2）分离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可.【详解】（1）()()221f x x a a =-+-.当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意； 当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =.（2）因为()2332313333xx x x x x x f k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解. 记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.。

2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题文 数一、选择题1.已知集合{0,1,2}A =，{|}B x N A =∈，则B =（ ） A.{0} B.{0,2}C.1{0,,2}2D.{0,2,4} 答案： B解析：0=，则0x =；1=，则12x =（舍去）；2=，则2x =，故{0,2}B =.2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A.122i -+B.12i +C.12--D.12i 答案： A解答：∵在复平面内，复数1z =，∴(1,0)z .将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π后点的坐标为1(2-，∴对应复数为122-+. 3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案： B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯=.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”，在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===规律，若=m ，n 满足的关系式为（ ） A.21n m =- B.2(1)n m =- C.2(1)n m =- D.21n m =- 答案：D解析：当2m =，2n =时，满足21n m =-；3m =，8n =时，满足21n m =-；当4m =，15n =时，也满足21n m =-.故选D5.已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列前10项和等于（ ） A.16-B.30-C.32-D.60- 答案： B 解答：∵344a a +=-，788a a +=-， ∴347812a a a a +++=-，∴由等差数列的性质可得386a a +=-， ∴110381*********a a a aS ++=⨯=⨯=-. 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： A解析：设00(,)M x y 由抛物线定义可得200114y MF x =+=+，当02y >时，20124y +>，满足充分性，当2124y +>时，解得02y >或02y <-，不满足必要性，∴是充分不必要条件. 7.2013年至2019年我国二氧化硫的排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A.二氧化硫排放量逐年下降B.2018年二氧化硫减排效果最为显著C.2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D.2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 答案：D解析：2018年减排量为1859.11102.86756.24-=，2019减排量为1102.861014.688.26-=，故选D.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点OC 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）C.21 答案： D 解答：显然OAF ∆为等边三角形，设(0,0)O ，(2,0)F，则A ，2c =，代入曲线方程可解得2b =24a =-，∴1a =，∴1c e a ===. 9.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A.B.C.D.答案： A解析：当1x >时，1()ln()f x x x =-，此时令1t x x =-，2110t x'=+>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，故排除B ，C ，当1x ≤时，cos ()xf x eπ=，当(0,1)x ∈时，cos cos ()(cos )0x x f x e e πππ'=⋅=-<，∴()f x 在(0,1)上单调递减，且cos ()0x f x e π=>，故排除D ，综上所述，选A.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法），撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点，球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.40cmB.C.D.答案： D解析：∵60AEF CFE ∠=∠=︒，∴//AE CF ，又∵AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形，连接AC 交EF 于点O ，则O 为线段EF 和AC 的中点，在AOE ∆中，2222212cos 3020230202AO AE EO AE OE AEO =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯900400600700=+-=，∴AO =，AC =，∴边长为=. 11.已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则（ ） A.(,0)aax y a R a >∈≠B.x ye e y x> C.yxx y > D.1132x y -->答案： B解答：∵0x y >>，∴xye e >，∴x ye e y x>，故选项B 正确. 12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FA C B 的体积不为定值 答案：C解答：在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//A C AC ，所以点F 到平面11A C B 的距离为定值，所以四面体11FA C B 的体积为定值. 二、填空题13.已知向量b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅=r r .答案：1解答：∵b =r ，∴||2b ==r.又向量a r 在b r 方向上的投影为12，故1||cos ,2a ab 〈〉=r r r ，故1||||cos ,212a b a b a b ⋅=⋅〈〉=⨯=r r r r r r .14.已知函数31()f x x x =-，则1(lg 2)(lg )2f f ''-= .答案：解答：由题意可知，221()3f x x x'=+， 故1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f ''''-=--2222113(lg 2)3(lg 2)(lg 2)(lg 2)=+---- 0=.15.已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-= . 答案：13- 解答： 由题意可知5cos()cos()cos[()]4424x x x ππππ-=--=--+ 1sin()43x π=-+=-.16.如图，一列圆222:()(0,0)n n n n n C x y a r a r +-=>>逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若11r =，则1a = ；n r = .答案： 312n -解答：由已知，11(0,)C a 到直线y =±的距离为1，故113a =，即13a =.111||n n n n n n C C a a r r +++=-=+，且n C 到直线y =±的距离为3n a，故3n n ar =，即3n n a r =，从而111332n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒=，即{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而12n n r -=.三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值；（2）若4BC =，AB =AC 的长. 答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅，所以sinsin 3BC A BA C =⇒==. （2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos θθθθ⨯=⨯⇒= 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =18.如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A BCB -是棱长为2的正四面体. （1）求证：1AC CC ⊥： （2）求三棱锥1B ACC -的体积.答案：（1）见解析；（2）3. 解答：（1）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ，则点O 为1BCB ∆的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ，依题意点A 在底面的投影为1BCB ∆的重心，即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥，因为1BCB ∆是正三角形，所以1CE BB ⊥，则1BB ⊥平面AEC ，则1BB AC ⊥，所以1CC AC ⊥.（2）由1A BCB -是棱长为2的正四面体，所以22,3CO CE AC AO =====，所以112,120BC CC BCC ==∠=︒，得11111sin 2222BCC S BC CC BCC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=111333B ACC A BCC V V --===19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（2）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩，按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大利润.77211(140,364)i i i i i x x y ====∑∑.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxybay bx xnx ==-==--∑∑ 答案： 见解析 解答：（1）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364i i i i i x x y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程23y x =+.令9x =得ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台.（2）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥，4050(600)300001030000450025500z m m m =+-=-≤-=.所以当450m =时，z 取最大值25500.故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元.20.已知函数32()ln(1)()3x f x mx m m m R =--+-∈. （1）当12m =时，求()f x 的极值； （2）当1m <时，证明：函数()f x 有且只有一个零点. 答案： 见解析 解答：（1）当12m =时，32111()ln 3222x f x x =--+，∴2()f x x x '=-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，所以1()(0)ln 22f x f ==--极大值，2()(1)ln 23f x f ==--极小值.（2）2()2(2)f x x mx x x m '=-=-.①当0m =时，2()0f x x '=≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，极小值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，则()g m 单调递减， 有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，极大值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)h m m m =-+-，则()h m 单调递减， 有()(0)0h m h <=，则()f x 只有一个零点，符合题意. 综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21ka a =，21kb b =，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆.已知椭圆1E ：222114x y b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E 的离心率之比为2. （1）求2E 的方程；（2）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为A ，B ，是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；不存在，说明理由. 答案： 见解析 解答：（1）由题意知12a =，24a =，221b b =，则22211112144a b b e a --==，2222222221616a b b e a --==，而22112422114(4)4416447e b e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆1E ：22143x y +=，椭圆2E ：221169x y +=.（2）（解法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=，两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=，即003412x x y y +=，假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即距离00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值，则0C C x y ==，1d =，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1. （解法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=.两条切线都经过点P ，则满足方程组01102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩.那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=. 设04cos x θ=，03sin y θ=，则直线AB 的方程为cos sin 1x y θθ⋅+⋅=.假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB的距离为定值，即距离d =cos sin 1)1C C x y θθθϕ=⋅+⋅-=+-为定值，即220C C x y +=，所以0C C x y ==，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案： 见解析 解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以23OB ρ==，12cos 6OA πρ===，故3AB OA OB =-=. 23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab+≥.答案： 见解析 解答： （1）11111114()[(1)]2131313b a a b ab a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab+≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。

2020年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{0} C．{1} D．{0，1}2.设复数z满足z（1+i）＝2，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量＝（1，2），＝（x2+1，﹣x），则“x＝1”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．4 B．2 C．D．05.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知13a3+S13＝52，则S9＝（）A．9 B．18 C．27 D．366.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝x3+3x，则，，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7.现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，则mn的值是（）A．27 B．32 C．35 D．368.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，且f（a+x）+f（a﹣x）＝0，则|a|的最小值为（）A．B．C．D．9.已知椭圆C：＝1的左焦点为F，点M在椭圆C上且位于第一象限，O为坐标原点，若线段MF的中点N满足＝0，则直线MF的方程为（）A．3x﹣y+3＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．x﹣y+＝0 D．x﹣2y+＝010.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为，则该二十四等边体外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12πA．[9，+∞）B．[﹣5，+∞）C．D．12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中记载一种起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极．将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间．将49根里除中间之外的蓍草合在一起，为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻．若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.曲线y＝e x（x2+2）在点（0，2）处的切线方程为．14.执行如图所示的程序框图后，输出S的值为．15.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2交双曲线右支于P，Q两点，若|PF1|＝3|PF2|，|PQ|＝4|PF2|，则双曲线C的离心率为．16.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，，AB⊥AC，AC＝2AB，则CD的最小值为．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC＝AA1＝4，∠CAB＝∠CAA1＝60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点A到平面A1B1C的距离．19.已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）．（Ⅰ）求证：x0＞2；（Ⅱ）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|＝10，求|PF|．20.已知函数f（x）＝axlnx+2x+a+1（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若对∀x∈（1，+∞），f（x）+x2＞0恒成立，求a的取值范围．21.某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x（单位：百人）对年产能y（单位：千万元）的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表．5.8253.612﹣0.1541.07732827.87150.80﹣55.74（表1）126.56（Ⅰ）根据散点图判断：y＝a+blnx与哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理由？（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据（s1，t1），（s2，t2），…，（s n，t n），其回归直线t＝bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（说明：的导函数为）22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝θ0（θ0∈（0，π）），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数f（x）＝x2﹣x+1，且m，n∈R．（Ⅰ）若m+2n＝2，求f（m）+2f（n）的最小值，并求此时m，n的值；（Ⅱ）若|m﹣n|＜1，求证：|f（m）﹣f（n）|＜2（|m|+1）．2020年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．【知识点】交集及其运算2.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）＝2，得，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义3.【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出x，进而判断出关系．【解答】解：，∴x＝1”是“⊥”的充要条件．故选：C．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、充要条件4.【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过z＝x+3y，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：如图，作出可行域，当直线l：x+3y＝0，平移至经过点时，z＝x+3y取得最大值．故选：C．【知识点】简单线性规划5.【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得13a3+S13＝13a3+13a7＝52，进而可得，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，13a3+S13＝13a3+13a7＝52，变形可得a3+a7＝4，则有，故S9＝9a5＝9×2＝18，故选：B．【知识点】等差数列的前n项和6.【分析】根据题意，由偶函数的性质可得b＝f（3），由对数、指数的性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则，又由，当x≥0，f（x）＝x3+3x在[0，+∞）上单调递增，则有，即b＞a＞c，故选：C．【知识点】函数奇偶性的判断7.【分析】先根据平均数求出m+n＝12，要使方差最小，转化为（110+m﹣115）2+（110+n﹣115）2最小；结合基本不等式求解即可．【解答】解∵数据的平均数为，∴m+n＝12，要使方差最小，则（110+m﹣115）2+（110+n﹣115）2＝，当且仅当m﹣5＝n﹣5，即m＝n＝6时取等号，此时方差最小，mn＝36，故选：D．【知识点】极差、方差与标准差、茎叶图8.【分析】由图象可求得A、ω、φ，从而可得函数解析式，由f（a+x）+f（a﹣x）＝0可知f（x）关于点（a，0）对称，利用正弦函数的中心对称性即可得到答案．【解答】解由图象易知，A＝2，，∴ω＝2，又，∴（k∈Z），∵，∴，∴，∵f（a+x）+f（a﹣x）＝0，∴f（x）关于点（a，0）对称，即有，∴，∴|a|的最小值为，故选：A．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式9.【分析】设椭圆C的右焦点为F1，M（x，y）（x＞0，y＞0），通过向量的数量积为0，结合圆的方程与椭圆方程的关系，求出M坐标，然后求解直线的斜率，得到直线方程即可．【解答】解：设椭圆C的右焦点为F1，M（x，y）（x＞0，y＞0），∵，∴NF⊥NO，∵N，O分别是MF和FF1的中点，∴MF⊥MF1，由已知可得，，∴，即x2+y2＝5，由点M在椭圆C上且位于第一象限，得，∴，∴直线MF的方程为即，故选：D．【知识点】椭圆的简单性质10.【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．【解答】解：由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，∴，∴，∴该二十四等边体的外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：C．【知识点】球的体积和表面积11.【分析】由已知得：对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，可换元，令，则1≤t≤3，从而化为m≥t3﹣6t在[1，3]上恒成立，再构造函数f（t）＝t3﹣6t，求得f（t），由m≥f（t）max即可求得m的取值范围．max【解答】解：不等式mx3≥y3﹣6x2y对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，等价于对于任意x∈[2，3]，y∈[3，6]恒成立，令，则1≤t≤3，∴m≥t3﹣6t在[1，3]上恒成立，令f（t）＝t3﹣6t，则m≥f（t）max．∵f'（t）＝3t2﹣6，由f'（t）＞0得，f'（t）＜0得，∴f（t）在上单调递减，上单调递增．∵f（1）＝﹣5，f（3）＝9，∴f（t）max＝9，∴m≥9，故选：A．【知识点】函数恒成立问题12.【分析】根据题意，列出所有的可能性，根据古典概型的概率公式即可求解．【解答】解：用（a，b）来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根，故假设a≥1，b≥1，且a+b＝39，则基本事件有（1，38），（2，37），（3，36），（4，35），（5，34），（6，33），（7，32），（8，31），（9，30），（10，29），（11，28），（12，27），（13，26），（14，25），（15，24），（16，23），（17，22），（18，21），（19，20）共19个基本事件，其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件．所以概率P＝，故选：C．【知识点】古典概型及其概率计算公式二、填空题（共4小题）13.【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：∵f'（x）＝e x（x2+2x+2），∴f'（0）＝2，又∵f（0）＝2，∴所求切线方程为y﹣2＝2x，即y＝2x+2．故答案为：y＝2x+2．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程14.【分析】先分析算法的功能进而求出结论【解答】解：由图可知，∵S≥63，∴S＝126．故答案为：126【知识点】程序框图15.【分析】设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，推出|QF2|＝3m，由双曲线的定义，通过判断△PQF1是直角三角形，得到（3a）2+a2＝（2c）2，求解离心率即可．【解答】解：设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，|PQ|＝4m，∴|QF2|＝3m，由双曲线的定义，得，则此时满足，∴△PQF1是直角三角形，且∠QPF1＝90°，∴⇒（3a）2+a2＝（2c）2，得．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质16.【分析】先设∠ADB＝θ，在△ABD中正弦定理和余弦定理结合求出，再在△ACD中结合余弦定理以及辅助角公式即可求解【解答】解：设∠ADB＝θ，在△ABD中，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos∠DAC＝1+4AB2﹣4AB sin∠BAD＝＝25﹣20sin（θ+φ），∴当sin（θ+φ）＝1时，．故答案为：【知识点】三角形中的几何计算三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式和求和公式；（Ⅱ）运用数列的分组求和以及数列的裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）∵a1，a2，a4成等比数列，∴，∵a1＝2，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，∴＝．【知识点】等差数列与等比数列的综合、数列的求和18.【分析】（I）连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO，可得△CAB≌△CAA1，可得CB＝CA1，A1B⊥CO，利用四边形ABB1A1为正方形，可得A1B⊥AB1．可得A1B⊥平面AB1C，进而证明：平面AB1C⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）根据CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，可得CA1＝4，利用勾股定理及其逆定理可得：CO⊥AO，利用等积变形即可得出．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO，∵AC＝AC，∠CAB＝∠CAA1，AB＝AA1，∴△CAB≌△CAA1，∴CB＝CA1………2分∵O为A1B的中点，∴A1B⊥CO………3分∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1………4分又平面AB1C，CO∩AB1＝O，∴A1B⊥平面AB1C………5分∵平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1………6分（Ⅱ）解：∵CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，∴CA1＝4，在Rt△COA 1中，又，∴，又，AC＝4，∴OA2+OC2＝AC2，∴CO⊥AO，∵平面AB1C⊥平面ABB1A1，平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，∴CO⊥平面ABB1A1………8分∴CO为三棱锥C﹣AA1B1的高，∴………10分∵CA1＝A1B1＝B1C＝4，∴，∴点A到平面A1B1C的距离………12分【知识点】点、线、面间的距离计算、平面与平面垂直的判定19.【分析】（Ⅰ）用两种方法证明，设A，B的坐标，代入抛物线方程，用点差法求出直线AB的斜率，进而求出线段AB的中垂线的斜率，又过P点，求出AB的中垂线的方程，令y＝0，求出x0的表达式，再由A，B的横坐标的方程可得x0＞2；或P在线段AB的中垂线上，则|P A|＝|PB|整理，及AB在抛物线上代入抛物线的方程，联立可得x0用A，B的横坐标表示的代数式，再由A，B横坐标的范围证明出结论；（Ⅱ）设直线AB的方程，直线与抛物线联立求出横坐标之和，由抛物线的性质，到焦点的性质等于到直线的性质，可得弦长，由题意求出横坐标的和，写出PF的表达式，再用AB的横坐标表示，求出PF的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），由，，两式相减得，即，∴，∴线段AB的垂直平分线方程为，令y＝0，∵x1≠x2，∴y1+y2≠0，得，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，∴x0＞2．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），∵P（x0，0）在线段AB的垂直平分线线上，∴|P A|＝|PB|，∴，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，∴，，代入①得，化简得，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，∴x0＞2，（Ⅱ）法一：∵|AB|＝x1+x2+p＝10，∴x1+x2＝8，∴．法二：由已知可得直线AB斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴，∴，∴，∵x0＞2，∴．【知识点】抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系20.【分析】（I）先对函数求导，由题意可可得，对∀x∈[1，+∞），f'（x）≥0恒成立，对a进行分类讨论即可求解；（II）由已知可转化为＞0在x＞1上恒成立，结合导数研究其性质，可求．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝alnx+a+2，依题意得，对∀x∈[1，+∞），f'（x）≥0恒成立，①a≥0时，∵x∈[1，+∞），∴lnx≥0，∴f'（x）≥0恒成立，满足题意，②a＜0时，取，∵f'（x0）＝a＜0，∴f'（x）≥0在[1，+∞）上不能恒成立，不满足题意，综上所述，a的取值范围是[0，+∞），（Ⅱ）f（x）+x2＝axlnx+x2+2x+a+1（x＞1），∵x＞0，，设（x＞1），则，①当a≥﹣2时，∵x+a+1＞1﹣2+1＝0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，依题意得g（x）＞g（1）＝a+1+1+2≥2＞0，满足题意，②当a＜﹣2时，当1＜x＜﹣a﹣1时，g'（x）＜0，当x＞﹣a﹣1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，∴，依题意得[g（x）]min＝aln（﹣a﹣1）﹣a＞0，解得﹣e﹣1＜a＜﹣2，综上所述，a的取值范围是（﹣e﹣1，+∞）．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值21.【分析】（Ⅰ）由图可知适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；（Ⅱ）由，得，故lny与符合线性回归，求出b与a的值，即可得到，进一步得到y关于x的回归方程；（Ⅲ）利用导数求最值．【解答】解：（Ⅰ）由图可知适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型．∵若选择y＝a+blnx，则b＞0，此时当x接近于0时，y必小于0，故选择作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；（Ⅱ）由，得，故lny与符合线性回归．∴，，∴，即，∴y关于x的回归方程；（Ⅲ）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，由（Ⅱ）可知人均产能函数，∴，∵0＜x＜2时，f'（x）＞0，x＞2时，f'（x）＜0，∴x∈（0，2）时，f（x）单调递增，x∈（2，+∞）时，f（x）单调递减．∴当x＝2时，人均产能函数达到最大值，因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大．∵对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，∴下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大．【知识点】散点图、线性回归方程22.【分析】（Ⅰ）利用倍角公式化简x，y即可得出曲线C1的普通方程为，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）法一：将θ＝θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0﹣4ρcosθ0﹣8＝0，利用根与系数的关系及其ρ1，ρ2的意义代入即可得出．法二：设直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的普通方程得t2sin2φ﹣4t cosφ﹣8＝0，利用直线参数方程及其参数的意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴，即曲线C1的普通方程为y2＝4x．依题意得曲线C的普通方程为y2＝4（x+2）．令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ﹣4ρcosθ﹣8＝0．（Ⅱ）法一：将θ＝θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0﹣4ρcosθ0﹣8＝0，则，，∵ρ1ρ2＜0，∴ρ1，ρ2异号．∴∵θ0∈（0，π），∴sinθ0∈（0，1]，∴．法二：设直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的普通方程得t2sin2φ﹣4t cosφ﹣8＝0，则，，∵t1t2＜0，∴t1，t2异号．∴．∵φ∈（0，π），∴sinφ∈（0，1]，∴．【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程23.【分析】（Ⅰ）f（m）+2f（n）＝m2+2n2+1，法一：由m＝2﹣2n，进一步转化为关于n的二次函数，由二次函数的性质即可得出结论；法二：变形并由基本不等式可得m2+2n2≥，由此得出结论；法三：由柯西不等式直接得出结论；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质求证即可．【解答】解：（Ⅰ）f（m）+2f（n）＝（m2+2n2）﹣（m+2n）+3＝m2+2n2+1，法一：∵m+2n＝2，∴m＝2﹣2n，∴，∴f（m）+2f（n）的最小值为，此时；法二：∵＝，∴，即f（m）+2f（n）的最小值为，此时；法三：由柯西不等式得：，∴，即f（m）+2f（n）的最小值为，此时；（Ⅱ）证明：∵|m﹣n|＜1，∴|f（m）﹣f（n）|＝|（m2﹣n2）﹣（m﹣n）|＝|m﹣n|•|m+n﹣1|＜|m+n﹣1|，又|m+n﹣1|＝|（n﹣m）+（2m﹣1）|≤|m﹣n|+|2m﹣1|＜1+（2|m|+1）＝2（|m|+1），∴|f（m）﹣f（n）|＜2（|m|+1）．【知识点】不等式的证明。

2020年江西高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.设为虚数单位，，则（ ）．A. B. C. D.3.若，，，则，，的大小关系为（ ）．A. B. C. D.4.斐波那契数列满足：，，．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线错.误.与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论的是（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.C.D.6.数列，为等差数列，前项的和分别为，，若，则（ ）．A.B.C.D.7.已知 ， ， ，则（ ）．A.B.C.D.，8.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为，则该多面体的最大面的面积为（）．A.D.9.将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，若用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ）．A.B.C.D.10.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积取得最小值时有（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线：，过点的直线交双曲线于，两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），当，且时，点的坐标为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）．A.B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共60分）13.已知变量、满足约束条件，若，则的取值范围是 ．14.已知向量，的夹角为，且 ，，则．15.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为 ．16.已知数列的前项和为，，，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列{}是等比数列，且，．证明：数列{}是等差数列，并求出其通项公式；求数列 的前项和．（1）（2）18.如图在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．ACBEF 求证：平面平面．求证：平面．（3）求三棱锥的体积．成绩分频率组距（1）（2）19.某学校有名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．用分层抽样的方法从成绩在第，，组的高中生中抽取名组成一个小组，若再从这人中随机选出人担任小组负责人，求这人来自第，组各人的概率．（1）（2）20.已知为坐标原点，椭圆的下焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．以为直径的圆与相切，求该圆的半径．在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，曲线在点处的切线为．求，的值．若对任意的，恒成立，求整数的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1小题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线（为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．写出曲线，和的普通方程；若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值．【答案】解析:由，得或，∴，∵，∴，故答案选：．解析:方法一：，故，故选．方法二：，故，故选．方法三：，故选．解析:由函数的相关性质可知，（1）（2）23.已知函数．当时，求不等式的解集．设，，且的最小值为．若，求的最小值．A1.D2.D3.，，，∴．故选．解析:，定义域为，，所以函数是偶函数，排除，，又因为且接近时，，且，所以．故选．解析:依题意，．故选．解析:由于， ，∴，∴，，∴C 4.B 5.A 6.B 7.，∴ ．解析:由三视图可知多面体是棱长为的正方体中的三棱锥，故，，，，，，，，∴该多面体的最大面的面积为．故选．解析:因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为，所以丙层所占的比例为，所以应从丙层中抽取的个体数为，故本题选．解析:由已知有，根据正弦定理得，又，即，由于，即有，即有，由于，即，解得，当且仅当时取等号，B 8.A 9.D 10.当，，取最小值，又（为锐角），则，则．故选．解析:由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程为，，，则．又，∴ ，故，得，∵在双曲线上，∴，整理，同理得．若，则直线过双曲线的顶点，不合题意，∴，∴，是方程的两根，∴ ，∴，此时，∴，点的坐标为．解析:由题意知函数为奇函数，增函数，不等式恒成立，等价于，得，即，令，，当时，，单调递增，A 11.A 12.当时，，单调递减，故当时，取极大值也是最大值，最大值为，所以，得，又，则．解析:作出的线性区域，如图所示：x–1123y–11234O 当目标函数经过点时，取得最大值，当目标函数经过点时，取得最小值，∴，，∴的取值范围为：．解析:依题有，，，．解析:∵在三角形中，，，∴，13.14.15.（1）∴三角形为直角三角形，则三角形外接圆半径．又∵底面，，∴四面体的外接球的半径，∴四面体的外接球的表面积．解析:∵，，∴时解得，又①，②，故有，则是以首项，公比的等比数列，故有，又∵，∴，则有，∴当时，中的项为最小值，为，故答案为．解析:因为数列{}是等比数列，设公比为，所以当时，，所以当时，=为常数，因此数列{}是等差数列，设数列{}的公差为，由，，16.（1）证明见解析；．（2）．17.（2）（1）（2）得 ，所以，即数列{}的通项公式为．，所以．解析:证明：在三棱柱中，底面．因为平面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以平面平面．方法一：证明：如图，取中点，连接，．AC BEF G图因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且，（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）．18.（3）（1）（2）所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．方法二：如图，取的中点，连接，．AC BEFH图因为，分别是，的中点，所以，又因为，分别是，的中点，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，又，，所以平面平面，又平面，所以平面．因为，，，所以．所以三棱锥的体积．解析:因为，所以，所以成绩的平均值为：．（1）．（2）．19.（1）（2）第组学生人数为，第组学生人数为，第组学生人数为，所以抽取的人中第，，组的人数分别为，，．第组的人分别记为，，，第组的人分别记为，，第组的人记为，则从中选出人的基本事件共个，记“从这人中随机选出人担任小组负责人，这人来自第，组各人”为事件，则事件包含的基本事件为：，，，，，，共个，所以．解析:由题意可设直线的方程为，，，由消去，得，则恒成立，，，，．，线段的中点的横坐标为，∵以为直径的圆与相切，∴，解得，此时，∴圆的半径为．设，，，由，得，，∴轴上存在定点，使得为定值．（1）圆的半径为．（2）轴上存在定点，．20.（1）（2）（1）解析:由，得，曲线在点处的切线为，所以，，解得，．由（）知，则时，恒成立，等价于时，恒成立，令，，则，令，则，所以，，单调递增，因为，，所以存在，使，且时，，时，，所以，因为，所以，所以，所以，即正整数的最大值为．解析:∵曲线（为参数），∴曲线的普通方程为，∵曲线，（1），．（2）．21.（1）；．（2）．22.（2）（1）（2）∴曲线的普通方程为．∵曲线上有一动点，曲线上有一动点，设，∴的最小值是到直线的距离的最小值，∴，∴，∴的最小值为．解析:当时，，原不等式为，①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，，解得，综上所述，原不等式解集为．，由，故，即，故，故，当且仅当时取“”，故的最小值为．（1）．（2）．23.。

绝密★启用前文科数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{－1，1，2，4}，集合B＝{x∈N|y，则A∩(UðB)＝A.{－1，2，3，4}B.{－1，4}C.{－1，2，4}D.{0，1}2.已知i为虚数单位，z·21i-＝1＋2i，则复数z的虚部是A.32B.32iC.12iD.123.已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝6，a5＋a7＝10，则a18＝A.12B.13C.133D.1434.已知a，b∈R，则“a＋2b＝0"是“ab＝－2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.113232,5,log2-的大小关系是A.1132325log2-<< B.1132352log2-<<C.11323log252-<< D.113235log22-<<6.已知tan(α＋6π)＝35-，则sin(2α＋3π)＝A.817B.－817C.1517D.－15177.设x ，y ∈R ，a ＝(x ，1)，b ＝(2，y)，c ＝(－2，2)，且a ⊥c ，b//c ，则|2a ＋3b －c|＝A.234B.26C.12D.2108.设函数f(x)＝e x＋2x －4的零点a ∈(m ，m ＋1)，函数g(x)＝lnx ＋2x 2－5的零点b ∈(n ，n ＋1)，其中m ∈N ，n ∈N ，若过点A(m ，n)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线l ，则l 的方程为A.y ＝31x ±+ B.y ＝±3x ＋1C.y ＝1D.x ＝0，y ＝1 9.若点(x ，y)在不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域内，则实数z ＝211y x -+的取值范围是A.[－1，1]B.[－2，1]C.[－12，1]D.[－1，12] 10.已知三棱锥A －BCD 的顶点均在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝AD ＝3，∠BCD ＝π，若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且CH ＝2，则球O 的表面积为A.43πB.23πC.9πD.4π11.函数f(x)＝lnx －14x 2的大致图像是12.已知点F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若在双曲线E 的右支上存在点P ，使得PF 中点到原点的距离等于点P 到点F 的距离，则双曲线E 的离心率的取值范围是A.(1，3)B.(1，3]C.(1，3]D.[3，3]第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两个部分。

2020年江西南昌高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.己知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）．A. B. C. D.3.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）．A. B. C. D.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”．在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则，满足的关系式为（ ）．A.B.C.D.5.已知是等差数列，且，，则这个数列的前项和等于（ ）．A.B.C.D.6.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.年至年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）．年份排放量A.二氧化硫排放量逐年下降B.年二氧化硫减排效果最为显著C.年至年二氧化硫减排量比年至年二氧化硫减排量的总和大D.年二氧化硫减排量比年二氧化硫减排量有所增加8.已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.函数的图象大致是（ ）．，A.B.C.D.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，则该正方形的边长为（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）．A.在点的运动过程中，存在B.在点的运动过程中，不存在C.四面体的体积为定值D.四面体的体积不为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且在方向上的投影为，则等于 ．14.已知函数，则．15.己知， 则．16.如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则 ，.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，是在边上的一点，面积是面积的倍，．若，求的值．若，，求边的长．（1）18.如图，三棱柱中，是棱长为的正四面体．求证：．（2）求三棱锥的体积．（1）（2）19.某市年至年新能源汽车（单位：百台）的数据如下表：年份年份代号新能源汽车求关于的线性回归方程，并预测该市年新能源汽车台数．该市某公司计划投资台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为元，元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润．（，）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．（1）（2）20.已知函数，，（）．当时，求的极值．证明：函数有且只有一个零点．（1）12（2）21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆，，它们的长短半轴长分别为，和，，若满足，，则称为的级相似椭圆，己知椭圆，为的级相似椭圆，且焦点共轴，与的离心率之比为．求的方程．已知为上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为、．证明：在处的切线方程为．是否存在一定点到直线的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）【答案】解析:由题可知：，，当时，则，符合当时，则，不符合当时，则，符合所以．故选．解析:∵，∴，∴，，设旋转后复数对应点，∴，，∴对应的复数为．故选．（1）（2）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为，（为参数）．求曲线和的极坐标方程．设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值．（1）（2）23.已知，，．求的最小值．证明：．B1.D2.解析:作出正三棱柱的图形，如图所示，则由正三棱柱的正视图可知，，，所以正三棱柱的侧面积为：．故选．解析:由题意可得，，，，∴观察得，故选项．解析:由题可知：数列是等差数列且，，则，又，，所以，B 3.D 4.B 5.由，且，所以．故选．解析:由题可知：，设，由点的纵坐标，则其横坐标，由，所以，可知是的充分条件，若，则，则或，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．故选．解析:由图表可知，以下结论，对于项，二氧化硫排放量逐年下降，故正确；对于项，年减排量为，减排效果最显著，故项正确；对于项，至年二氧化硫减排量为大于年至年二氧化硫减排量为，故项正确；对于项，年二氧化硫减排量，小于年二氧化硫减排量，故项错误；由题意可知，选项．解析:∵过原点作斜率为的直线交的右支于点，∴的直线方程为，A 6.D 7.B 8.设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又点在双曲线上，∴，又，∴化简可得，∴，∴，∴或（舍），∴．故选：．解析:∵，∴，，故排除，，∵，，∴，故排除．故选．解析:由题可知：，所以，由，A 9.，，D 10.则，，，，所以，则，所以．故选：．解析:由已知得，由在方向上的投影为，得，则．故答案为：．解析:由题可知：函数的定义域为，由，可知，∴是偶函数，且，又∵，则有．故答案为：．B 11.C 12.13.14.（1）（2）解析:，即．故答案为：．解析:设第个圆心为，半径为，且与的切点为，则直线的斜率为，所以①，又②，由①②可知：③，所以当时，则，又④，由③-④可知：，又，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：，．解析:，所以，所以．，所以，15. ;16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）所以，，所以，所以边．解析:如图，取的中点，连接交于点，则点为的重心，连接，设交于点．依题意点在底面的投影为的重心，即平面，所以，因为是正三角形，所，则 平面，则，所以．由是棱长为的正四面体，所，，，因为，，得，所以．解析:依题意知，，，，（1）证明见解析．（2）．18.（1）关于的线性回归方程，预测年该市新能源汽车大约有台．（2）当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．19.（2）（1）（2），，则关于的线性回归方程，令得：，故预测年该市新能源汽车大约有台．设一拖四群充，双枪同充分别安装台，台，每天的利润为元，则，即，，所以当时，取最大值．故当双枪同充安装台，一拖四群充安装台时，每天的利润最大，最大利润为元．解析:，，则在递增，在递减，在上递增，所以，．，①当时，，只有一个零点，符合题意．②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，令，（），显然单调递减，有，即，则只有一个零点，符合题意．（1），．（2）证明见解析．20.极大值极小值极大值极小值（1）12（2）③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，（），由②构造函数知，，则只有一个零点，符合题意．综上所述，时，函数有且只有一个零点．解析:由题意知，，，则，，而，解得，，故椭圆，椭圆．联立椭圆与直线方程，，点在椭圆上，有，所以，即直线与椭圆相切，所以过点的切线方程为．由①知，过点的切线方程为，设，则，即，两条切线都经过点，则满足方程组，那么点和点都在直线上，（1）．12（2）证明见解析．存在一定点到直线的距离为定值．21.（1）（2）（1）（2）则直线的方程为，即，假设存在一定点到直线的距离为定值，即距离为定值，则，，故存在一定点到直线的距离为定值．解析:曲线的极坐标方程为，的极坐标方程为．令，则，，则，即，∴，，故．解析:，当且仅当，即，时，的最小值为．要证明，（1），．（2）．22.（1）．（2）证明见解析．23.由，，也即证．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．。