高一数学 平面向量共线的坐标表示 教学课件

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点评 已知两个向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量 坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示．这类题目需根据题目 特点恰当地选择向量共线的坐标表示形式，建立方程(组)求解．
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2．数形结合思想解决几何问题 [典例] 在直角梯形 ABCD 中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD.过点 C 作 CE⊥AB 于 点 E，点 M 为 CE 的中点． 求证：(1)DE∥BC； (2)D，M，B 三点共线．
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(2)在下列向量组中，可以把向量 a＝(－3，7)表示出来的是( ) A．e1＝(0，1)，e2＝(0，－2) B．e1＝(1，5)，e2＝(－2，－10) C．e1＝(－5，3)，e2＝(－2，1) D．e1＝(7，8)，e2＝(－7，－8) [解析] (1)利用 x1y2－x2y1＝0 判定．(2)只有 C 不共线，可作为基底． [答案] (1)D (2)C
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[课后小结] 1．两个向量共线条件的表示方法 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)当 b≠0 时，a＝λb. (2)x1y2－x2y1＝0. (3)当 x2y2≠0 时，xx12＝yy12，即两向量的相应坐标成比例．
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发展逻辑推理
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点 平面向量共线的坐标表示 阅读教材 P98～99，思考并完成以下问题 根据向量的坐标运算，向量共线如何表示？ 已知下列几组向量： ①a＝(0，3)，b＝(0，6)； ②a＝(2，3)，b＝(4，6)； ③a＝(－1，4)，b＝(3，－12)； ④a＝12，1，b＝－12，－1.

明目标、知重点
例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平
行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向.
明目标、知重点
思考3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3).求△ABC的重心G的坐标. 答 延长AG交BC于点D， ∵G为△ABC的重心， ∴D为BC的中点， ∴A→G＝23A→D＝2312A→B＋12A→C ＝13A→B＋13A→C，
明目标、知重点
思考2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2).点P是线段P1P2 的一个三等分点，求P点的坐标. 答 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
明目标、知重点
①当P→1P＝13P→1P2时，O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋13P→1P2 ＝O→P1＋13(O→P2－O→P1)＝23O→P1＋13O→P2＝2x13＋x2，2y13＋y2； ②当P→1P＝23P→1P2时，O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋23P→1P2 ＝O→P1＋23(O→P2－O→P1) ＝13O→P1＋23O→P2＝x1＋32x2，y1＋32y2.
解 A→B＝(2,4)－(1,2)＝(1,2).
A→C＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2).
∵A，B，C 三点共线，即向量A→B，A→C共线，

问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).

- = ,
得
解得 k=λ=- .

,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,

解得 k=- .







所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2

法二：假设 a，b 不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 a ＋2b＝μ(2a－2b)，从而12＝＝2－μ2，μ， 方程组显然无解，即 a＋ 2b 与 2a－2b 不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设 不成立，故应有 a，b 共线，所以1λ＝21，即 λ＝12.
[答案] A
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例 2] (1)若点 A(1，－3)，B8，12，C(x,1)共线，则 x＝ ________.
(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC ＝(10，k)，求当 k 为 何值时，A、B、C 三点共线．
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
所以(x1＋1，y1)＝23，23，故 E－13，23；
第二十四页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
因为 BF ＝13 BC ， 所以 BF ＝－23，1，所以(x2－3，y2＋1)＝－23，1， 故 F73，0. 所以 EF ＝83，－23. 又因为 4×－23－83×(－1)＝0， 所以 EF ∥ AB.
连接 OC，则 AC ＝OC －OA＝(－2,6)． 由 AP与 AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得 λ＝34， 所以OP ＝34OB＝(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)．
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
法二：设 P(x，y)，则OP ＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP 与OB共线，所以x4＝4y，即 x＝y.
又 AP＝(x－4，y)，AC ＝(－2,6)，且 AP与 AC 共线，所以 (x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3，所以点 P 的坐标为 (3,3)．
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。

上节内容回顾:
1, 任一向量a 的坐标表示：
Y y
a xi y j
a ( x, y)
y
a
A(x,y) x
2, 特殊向量 OA 的坐标表示： A(x,y) OA xi y j 3, 平面向量的坐标运算：
a b=(x1+x2 , y1+y2)
j
O
i
x
X
a b =(x1-x2 , y1-y2) λ a (λx1 , λy1) =
若：A(x1,y1) , B(x2,y2) 则：AB= (x2-x1 , y2-y1)
1. 向量 a 与非零向量 b 平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数 , 使得a b
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论? 设 即
2.3.4平面向量共线的坐标表示
方向相同, 求 x.
共线且
B C O A
设平行四边形ABCD对角线
AC交BD于O点， AB=(2,3) , AD=(-1,-1) , D 则 AC = (1,2) DB = (3,4) OC = (0.5 ,1) BO = (-1.5 ,-2)
本节内容回顾:
4. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) , b 0
x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a b 得 x1 y2 x2 y1 0
这就是说:
x1 y2 x2 y1 0
a // b (b 0) 的充要条件是
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
例 题
1. 已知
a (4,2),

栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引

（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；

思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向
量的坐标应满足什么关系？
a // b(b 0) x1y2 x2 y1 0
例3. (1)已知a // b,且a (4,2),b (6, y),求y的值;
解：a // b 4y 26 0 y 3
解： a b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5) a b =(2,1)-(-3,4) =(5,-3)
3a 4b = 3(2,1)+ 4(-3,4)
=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)
=(-6,19)
练习：
1.已知向量a、b的坐标，求a b, a b的坐标: (1)a (2,4),b (5,2); (2)a (4,3),b (3,8); (3)a (2,3),b (2,3); (4)a (3,0),b 式 :已知A(1， 1)，Ｂ(1，3)，C (1，5)，D(2,7), 向量 A B与CD平行吗? 直线A B与直线CD平行吗?
练习：
3.已知向量 a (2,1), b (x,1), a 2b, 2a b,且 //,求x的值.
小结：
思考：
已知a （x1，y1），b （x2，y2），你能得出a b，
a b，a的坐标吗？
a b (x1 x2, y1 y2)
a b (x1 x2, y1 y2 )
a (x1,y1)
a b (x1 x2, y1 y2)
a b (x1 x2, y1 y2 )
(2)已知a // b,且a (3,0),b (2, y),求y的值;

( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.

=
2 2 , 3 3
,
������������ = ������������ = - ,1 ,
,
∴������������ ∥ ������������.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a 与 b
分析首先根据点的坐标求出向量������������, ������������的坐标,然后利用向量 共线的条件判断证明.
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平面向量共线的坐标表示 【问题思考】 1.共线向量定理:若a是非零向量,则a与b共线,当且仅当存在唯一 实数λ,使得b=λa.如果向量a与b都用坐标表示,即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么根据数乘向量的坐标运算法则,你能发现a与b的坐标之间的关 系吗? 提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1. 2.填空:平面向量共线的坐标表示