+平面向量共线的坐标表示

2．3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点 平面向量共线的坐标表示1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb . 2．如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线．注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × )提示 当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )4．向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(√)题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案 D解析A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是() A．e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)B．e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)C．e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)D．e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 C解析 平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A ，B ，D 都是两个共线向量，而C 不共线，故C 可以把向量a ＝(－3,7)表示出来．反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×⎝⎛⎭⎫－34－(－3)×12＝0， ∴e 1∥e 2，不可以作为基底． 故选B.题型二 三点共线问题例2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 三点共线的判定与证明 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练2 已知OA →＝(k ,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 －14解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)， AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去)．由向量共线求参数的值典例 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由本例知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k ,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k＝－13.[素养评析](1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体现．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．2 B．－2 C．3 D．－3考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案 D解析因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.3．若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝______. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求参数 答案 π3解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又α为锐角，故α＝π3.4．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴1×(m －2)－2×2＝0，∴m ＝6.5．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数 答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1．下列向量中，与向量c ＝(2,3)不共线的一个向量p 等于( ) A ．(5,4) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 A解析 因为向量c ＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线． 2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(2,2)，e 2＝(1,1) B ．e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8) C ．e 1＝(1,0)，e 2＝(0，－1) D ．e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝⎛⎭⎫－12，1 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 C解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底．3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 D4．(2018·云南昆明联考)如果向量a ＝(k ,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )A ．±2B ．－2C ．2D ．0 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ,1)＝(λk ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝4，k ＝λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，λ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λ＝2(舍去)． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C. 6．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ；③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ；④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .A ．0B ．1C ．2D ．3考点 平面向量共线的坐标表示题点 向量共线的判定与证明答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 C解析 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 由题意，得m ＋4＝0，所以m ＝－4.所以a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．二、填空题9．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝______.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 4解析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)．又A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.11．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 (3,3)解析 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34， 所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m ,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形，∴AB →，AC →不共线．又∵AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，∴1×4－1×(m －2)≠0.解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．三、解答题13．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，求点E 的坐标． 解 ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →， 设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)，∴x C ＝3，y C ＝－6，∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎨⎧ x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫83，－7.14.如图所示，已知在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求点的坐标解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 又∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，CM →∥CB →， ∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。

授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。