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超静定专题解答

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第二章3 静定和超静定问题,简单平面桁架

第二章3 静定和超静定问题,简单平面桁架
x
FAx 0
2 PE P 3FAy 0 G
F
y
0 FAy FBy PE PG 0
FAy 9kN
FBy 8kN
用截面法,取桁架左边部分.
ME 0
F1 1 cos30 0 FAy 1 0
FAy F2 sin 600 PE 0
取节点C F 0 F x CF
Fy 0 FCD 0
取节点D
Fy 0 FDF , FDE Fx 0
取节点E
Fy 0 FEG Fx 0 FEF

例13
已知： P , P2 , P ,尺寸如图. 1 3
F4 10kN(压)
F3 10kN (拉)


取节点D,画受力图.
Fx 0
F5 F 0
' 2
F5 8.66kN (拉)
例10 已知: PE 10kN, PG 7kN, 各杆长度均为1m;
求:1,2,3杆受力. 解: 取整体,求支座约束力.
F 0 MB 0
取BDC杆（带着轮）
MB 0 4aFCy FT 3a FT 1 a FCx 4a 0
解得
FCy 15kN
FAy 10kN
取BDC 杆（不带着轮） 取ABE（带着轮） 取ABE杆（不带着轮）
例8 已知：q ,a ,M , 且M qa 2 , P作用于销钉B上；
节点法与截面法 1.节点法
2.截面法
例9 已知: P=10kN,尺寸如图；
求: 桁架各杆件受力.
解: 取整体，画受力图.
F

第八章简单超静定问题ppt课件

第八章简单超静定问题ppt课件

组成。轮箍：b,, d2, E ；轮心：d1d1 d2 ，d1d2d2/k。
装配时将轮箍加热膨胀后套于轮心上，冷却后二者相互紧压。轮 心的刚度远大于轮箍，在假设轮心为一刚体的情况下，求装配后 轮箍和轮心间的装配压力p和轮箍径截面上的正应力σ。
轮箍
轮心
热套冷却后
d2
d1
d1
p
d1
p
d2
轮箍
热套冷却后
FN2 （3〕补充方程
l3
ltl
FN3l EA
F N 1 F N 3c o s2 l tE A s in 2
（3）
A
1
32
l
A
l2
l1
l3
A
FN3
FN1 FN2
（4〕联立求解
FN1
FN2
ltEAsin2 12cos3
(压力)
FN32l1tE A2scions23cos (拉力)
1
2
FN2 A
设压力为FN，那 么
e
FN
l e
EA
FNl EA
FN
EAe l
则压应力为 FN Ee
Al
这种由于装配而引起的应力，称为 装配应力。（初应力）
例8-6 图示杆系中，各杆的材料均为Q235钢，弹性模量E=200GPa， 各杆横截面面积均为A，角 30 。若3杆的长度比设计长度l短 了e l/1000 ，试计算各杆的装配应力。
y
d2
d1
解〔1〕平衡方程
d
p
d2 FN
Fy 0
0pbd22sind2FN0
FN
1 2
pbd2
（2〕变形几何方程
FN （1）

05-扭转超静定问题及其解法 课件在线观看

05-扭转超静定问题及其解法 课件在线观看
扭转超静定问题的解法
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题
求解方法 解除多余约束法
♦扭转超静定问题的解法，
例1.两端固定的圆截面等直杆48 ,在截面C处受 扭 转力偶矩皿作用，如图所示。已知杆的扭转刚 度 为G/p。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的 扭 转角。
♦扭转超静定问题的解法
解：受力分析可知，圆杆有二个未知约束力偶、，MB，但只有一个独立的 静力平衡方程：
基本静定系应满足如下的的变形相容条件:
^ 一如 BMe
MB
♦扭转超静定问题的解法
物理方程代入变形相容方程中:
_ Mea =瓦瓦 MBl
补充方程
♦扭转超静定问题的解法
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶MB为:
M B
Mea
=~f~
(-。
另一约束力偶M4可由平衡方程求得为：
♦扭转超静定问题的解法
根据截面法，圆杆刀。段横截面上的扭矩为
E MX = 0, MA - Me + MB = 0
一次超静定
♦扭转超静定问题的解法， 亠
解除圆杆8端约束，代以多余约束力偶的，得到基本静定系
♦扭转超静定问题的解法
基本静定系
1. 静定结构 2. 作用有初始荷载和多余未知约束力 3. 在多余约束处的位移需满足变形相容条件才等价 于原超静定结构
从而有
、 a - Me1aGbT/z
♦扭转超静定问题的解法
扭转超静定问题的一般解法
1. 受力分析，列出静力平衡方程，确定超静定次 数；
2. 解除多余约束,施加多余未知力,得到基本静定 系；
3. 在多余约束处列出变形相容方程，物理方程代 入，得到补充方程；
___ 4. 联立求解得到所有约束反力。

结构力学--超静定问题典型习题解析

结构力学--超静定问题典型习题解析
4
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
大家论坛
(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2

超静定问题解法例说

超静定问题解法例说

超静定问题解法例说-1-超静定问题解法例说[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]物理习题中，未知量的个数与独⽴⽅程的数⽬⼀致时，称为静定问题。

即能够由独⽴⽅程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程数⽬，则称为超静定问题。

对于超静定问题，常需根据题⽬的相关材料，建⽴补充⽅程（辅助⽅程），再与独⽴⽅程联⽴，才能求解，⼀般难度较⼤。

超静定问题，实则为补充⽅程如何建⽴的问题。

例⼀：如图1所⽰，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重⼼在O 处，试求三根弹簧的受⼒。

[解析]AB 板受⼒如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）由∑=0M ，得F 1〃223lF aG l=+ （2）据平衡条件只有这两个⽅程，⽽未知量有三个，因此它属于超静定⽅程。

由变形情况的⼏何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为2312F k F k F =+ （3）联合（1）（2）（3），得F 1=G （l a-31），F 2=3G ，F 3=G （l a+31）评论：该超静定问题的求解，除了建⽴原⼒系的平衡⽅程外，关键在于找出变形的⼏何关系，再代⼊胡克定律，以建⽴补充⽅程。

在进⾏变形分析时，变形与受⼒的假设⽅向须保持⼀致。

例⼆：已知地球半径为R ，地球表⾯的重⼒加速度为g ，求：（1）在距地⾯⾼h 的轨道上的⼈造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。

[解析]地球对⼈造卫星的万有引⼒提供卫星做圆周运动的向⼼⼒，可列出独⽴⽅程：)()(22h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V均为未知量。

可列出补-2- 充⽅程：g R GM mg R GMm ==22,即（2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R Rh R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+?=+)(2)(2,,2ππ从⽽评论：在应⽤万有引⼒定律解题时，常已知星球表⾯引⼒加速度⽽不知星球质量或者已知星球质量⽽不知星球表⾯引⼒加速度，此时均可⽤补充⽅程G g R M =2。

关于超静定问题

关于超静定问题
八、求图示刚架D处的约束反力，设刚架各杆的EI皆相等。（20分）（2004北科大）
题八图
五、刚架受力及尺寸如图所示，各段EI均为常数。试用力法正则方程求A、B处支座反力并画刚架的弯矩图。（20分）（2009北科大）
六、（20分）如下图所示刚架，AB、BC杆在同一平面内，且均为直径为d的实心圆截面杆，材料为Q235钢，已知G＝0.4E。试求C点的支反力。（2007西南交大）
题六图
三、平面直角曲拐ABC和CD杆均为圆截面，材料相同，已知： ， 。试求CD杆的内力。（20分）（2009吉大）
Hale Waihona Puke 题三图8、（20分）平面刚架的约束及尺寸如图所示，AB、BC、CD各杆的弯曲刚度EI相等，长度均为a。在D处有一水平载荷F的作用。求D点的水平位移 。（2009燕山大学）
题4图
1、图示结构，杆1与杆2的抗拉刚度均为EA，梁AB为刚性杆。在载荷F的作用下，求两杆的轴力。（20分）（湖南大学2008）
二、（15分）钢杆CD、EF的长度及横截面面积分别相同。结构未受力时，钢性杆AB处于水平位置。已知，钢杆横截面面积为A且P、A、E、l、a为已知。求B点的铅垂位移。（2005西南交大）
1、一不变形的刚性梁AB搁于三个相同的弹簧上，在梁上的D处作用一个力F，如图所示。设已知弹簧刚度k（ ）。试求三个弹簧各受力多少？（20分）（湖南大学2009）
三、（20分）结构受力如图所示，ABC梁和CD杆的材料相同，且EI＝EAL2，材料的线膨胀系数为α，均布载荷集度为q，若CD杆温度升高ΔT度时，试求CD杆的内力。（2008吉大）
图18
2、ABC为刚性杆，杆①、②长为a，且EI相同，线膨胀系数为 。现①杆升温Δt，求两杆内力。（15分）（2008北工大）

力法解超静定结构举例


力法典型方程为： 方程的物理意义是否明确？
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 a
其中1 , 2 , 3 为由于支座移动所产生的位移, 即 i FRici
FNK
返 章 首
t
h
M
K
ds
34.75
l
温度低的一侧受拉，此结论同样适用于温度
引起的超静定单跨梁。
简
化
设基本未知力为 X，则
下侧正弯矩为
(40 0.5X )(4 0.05X ) 5X (4 0.05X )2 跨中支座负弯矩为 4(40 0.5X ) 80 根据题意正弯矩等于负弯矩，可得 X 46.862915 有了基本未知力，由典型方程可得
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
δij1与 荷(载Δ b1作lΔ) 、用blΔ时, 2Δ一、2样Δ,3Δ由(等bl 自)于乘多 bl、少, ？互3乘 求0
最后内力（M图）： M M1 X1 M2 X2 M3 X3 支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？
这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？
X3
X1 X2
b
1 l b 2 a 3
a 基本体系3
用几
何法
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 0
与公 式法 相对 比。
试求图示两端固定单跨梁在下属情
建立典型方程
11 X1 1P 0
基本体系二
11
M12ds EI
F2 k
k
2l 3EI

第6章 简单的超静定问题


l2
A
B'
得出补充方程 FN1 2FN2 FN3 (4)联立求解得
F F 7F FN1 , FN 2 , FN 3 12 3 12
l3
B
C C'
超静定问题 单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为 超静定问题。此时未知力个数多于平衡方程式个数，其差数 称为超静定次数。 一般超静定问题的解法为：
(1) 装配应力 在静定问题中，只会使结构的几何形 状略有改变，不会在杆中产生附加的 内力 .如1杆较设计尺寸过长，仅是A点
B D 3 C
的移动。 就将产生附加的内力.
在超静定问题中，由于有了多余约束，
2
1
a
A' A
a
A''
附加的内力称为装配内力 , 与之相应的
应力则称为装配应力 , 装配应力是杆在 荷载作用以前已经具有的应力，也称
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的 刚度的比值有关 增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或 减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重 新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)．根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；
B C F A
B 0
F B
在相当系统中求 B 点的位移，按叠加原理，可得
A
A
B BF BB
（3） 胡克定理(物理关系) FB l Fa BB BF EA EA （4）得出补充方程
C F
B
B
FB
x x
Fa FB l 0 EA EA
Fa 得 FB l

拉压超静定问题


第六章 超静定问题
(a)
(b)
图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的
位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。
河南理工大学万方科技学院
材料力学
第六章 超静定问题
(b)
此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立
的平衡方程── 一次超静定问题。
河南理工大学万方科技学院
(拉力）
材料力学
第六章 超静定问题
F N 1F N 22c F N 3 o s2co E sl33 A 3 e2E 1A 1 l1 co 2 s （压力）
至于各杆横截面上的装配应力，只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即可。
由此可见，求解超静定杆系(结构)中的装配内力的关键， 仍在于根据变形几何相容条件，并结合应用物理关系列出补充 方程。
材料力学
第六章 超静定问题
例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
1l A
a
a
30o 2 B
A
FAX
a
FN1 a
30o FN2 B
P
FAY
P
平衡方程: m A 0F N 1 a F N 2 co 2 a s P 2 3 a 0 0
变形关系: coLs2302L1 物理关系: L1FEN1L A
P 假设均受拉力。
河南理工大学万方科技学院
材料力学
第六章 超静定问题
变形几何相容方程：
l1l32l2
1
2
3
a
a
即 l12l2l30（2） A
B
物理方程：
l1

材料力学课件-梁的超静定问题

qx3 Rx2 Mx θ= + − =0 6EI 2EI EI
B
R
L− x
R B
D
滚轴
qx2 Rx + −M = 0 6 2
qx2 Rx + −M = 0 6 2 qx2 qx(L − x) 3qLx q(L − x)2 3qL(L − x) + − + − =0 6 2 16 2 8 x2 3Lx 3L(L − x) 2 + x(L − x) − + (L − x) − =0 3 8 4
2 x2 5Lx L − + =0 3 8 4 x 15 ξ 3 2 ξ − + =0 ξ = L 8 4 15 − 33 15− 33 x= L ≈ 0.58L ξ= 16 16
(2) 把滚轴安在AB 间某处, 一球可以放在B 处静 把滚轴安在AB 间某处, 一球可以放在B 止不动.不具体计算,说明滚轴D是更靠近A 止不动.不具体计算,说明滚轴D是更靠近A点还是 更靠近B 画出板挠曲线的示意图.(12分 更靠近B点?画出板挠曲线的示意图.(12分) 更靠近B 更靠近B点 球要放在B 处静止不动. 球要放在B 处静止不动. 点处的转角必须为零. 则B点处的转角必须为零. 滚轴在中点时: 滚轴在中点时: 滚轴在右端时: 滚轴在右端时: 滚轴在靠右端 的某处必有: 的某处必有:
5.刚度 5.刚度
θ (x)
y(x)
max
max
≤ [θ ]
≤ [y]
6.超静定 6.超静定
∆
X
11
+ ∆
1
F
1F
= ∆
= ∆
1
δ
X
+ ∆
本节内容结束
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