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三角函数的和差化积与倍角公式三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角形的内角、边长关系息息相关。
在三角函数的研究中，和差化积与倍角公式是常用的工具，能够使计算更加简洁和方便。
本文将详细介绍和差化积与倍角公式的定义、推导以及应用。
一、和差化积公式和差化积公式是将两个三角函数的和（或差）转化为一个三角函数的乘积的公式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数，和差化积公式分别如下：1. 正弦函数的和差化积公式对于任意角度x和y，有以下公式成立：sin(x + y) = sinxcosy + cosxsinysin(x - y) = sinxcosy - cosxsiny这些公式可以用于将两个正弦函数的和（或差）转化为一个三角函数的乘积。
例如，如果我们要计算sin(60°+30°)，可以将其应用于和差化积公式，得到sin(60°+30°) = sin60°cos30° + cos60°sin30° = （√3/2）×（√3/2） +（1/2）×（1/2）= √3/2 + 1/4。
通过和差化积公式，我们可以简化计算过程，得到更直观的结果。
2. 余弦函数的和差化积公式对于任意角度x和y，有以下公式成立：cos(x + y) = cosxcosy - sinxsinycos(x - y) = cosxcosy + sinxsiny这些公式可以将两个余弦函数的和（或差）转化为一个三角函数的乘积。
例如，如果我们要计算cos(45°+60°)，可以将其应用于和差化积公式，得到cos(45°+60°) = cos45°cos60° - sin45°sin60° = （√2/2）×（1/2）- （√2/2）×（√3/2） = 1/4 - √6/4。
三角函数的和差公式与倍角公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
其中，和差公式与倍角公式是三角函数中的重要内容，它们在解决三角函数的运算中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的和差公式与倍角公式的概念、推导过程及应用。
一、和差公式的概念与推导和差公式是用来表示两个角的和差的三角函数关系的公式。
对于任意两个角A和B，和差公式可以表示如下：1. 两角的和的正弦函数公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2. 两角的差的正弦函数公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB3. 两角的和的余弦函数公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB4. 两角的差的余弦函数公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB5. 两角的和的正切函数公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)6. 两角的差的正切函数公式：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些和差公式的推导过程可以利用向量运算、三角函数性质等方法进行推导。
由于篇幅限制，本文将不进行具体的推导，但读者可以通过学习向量运算和三角函数性质，自行推导出这些和差公式。
二、倍角公式的概念与推导倍角公式是用来表示一个角的两倍角关系的三角函数公式。
对于任意一个角A，倍角公式可以表示如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2 * sinA * cosA2. 余弦函数的倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2 * cos^2(A) - 1 = 1 - 2 * sin^2(A)3. 正切函数的倍角公式：tan(2A) = 2 * tanA / (1 - tan^2(A))这些倍角公式的推导可以采用不同的方法，如三角恒等式、三角函数的平方等性质。
15、和、差、倍角的习题课1．观察已知条件和待求(证)问题中的角的构成特点，合理地进行角的变换是进行三角函数恒等变形、化简、求值、证明的一个关键环节，要在练习中体会总结其规律．2．应用诱导公式π2±α，3π2±α变换三角函数的名称是常用技巧，审题时要注意发现角之间的“互余”关系．3．a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )是三角变换中常用的工具，要注意观察其系数a ，b 是否能构成特殊角的三角函数值．4．在三角函数的化简、求值、证明中，常将某个关系式看作方程，通过解方程(组)达到目标．要注意体会方程思想在三角函数中的应用．5．化简求值问题是三角函数中常见命题形式，包括给角求值、给值求值、给值求角等． 给角求值问题，要注意诱导公式的运用和角的配凑．给值求值(角)问题，要注意依据三角函数值讨论角所在的象限(或范围)．[例1]1、 已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，求证tan(α＋β)＝2tan α.2、已知x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，求证x 2＋y 2＝1. [例2]1、 (2010·浙江质检)如图，A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．若A 点的坐标为(x ，y )，设∠COA ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫513，1213，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．2、 (2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m ，则cos7°＝________. [例3]1、 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 2．(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．(2010·北京东城区)函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数4．求值cos20°＋cos100°＋cos140°＝________. 5．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αcot β的值是________．7、已知α为锐角，－π2<β<0，且tan α＝17，tan β＝－13，求α－2β的值．[例4] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求角β.[例5]已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a ·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．[例6] 已知函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求它的最大值和最小值；(2)求它的单调减区间．[例7] (2010·山东文，17)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．一、选择题1．已知角α的终边落在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－42．已知α是第二象限角，sin α＝513，则tan α2＝( )A ．5B.15 C ．5或15D ．5或－5 3．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．、4．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数5.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．46．(2010·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°7．(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 8．(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－279．(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．210．(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.82511．(2010·盐城调研)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π612．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45 C.45 D.6513．(2010·重庆南开中学)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.12二、填空题14．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. 15．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________16．求值：3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.三、解答题17．(2010·北京理，15)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．19．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．20．(2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示(1)求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式；(2)求方程f (x )＝22的解． 答案 [例1] 1、[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[α＋(α＋β)] ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)，移项整理得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴cos α≠0，cos(α＋β)≠0，∴sin(α＋β)cos(α＋β)＝2sin αcos α， 即tan(α＋β)＝2tan α.2、[证明] ：⎩⎨⎧x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θ＋cos θx －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θ－cos θ，解得x ＝sin θ，y ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝sin 2θ＋cos 2θ＝1 [例2]1、(1)因为A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫513，1213，且点A 在单位圆上，根据三角函数的定义可知，sin α＝1213，cos α＝513， 所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝－13247. (2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝π3，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋π3)＝cos(α＋π3)，所以|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC ||OB |cos ∠BOC ＝2－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3. ∵B 点在第二象限，△AOB 为正三角形，∴π6<α<π2，∴π2<α＋π3<56π，∴cos 56π<cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3<cos π2， 即－32<cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3<0，∴2<|BC |2<3＋2， 即|BC |2的取值范围为(2，3＋2)． 2、[解析] ∵sin76°＝m ，∴cos14°＝m ， 即2cos 27°－1＝m ，∴cos7°＝2＋2m2. [例3] 1、[解析] (1)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)由(1)知，sin x ＝45且x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，∴cos x ＝－35.∴sin2x ＝2sin x ·cos x ＝－2425， cos2x ＝1－2sin 2x ＝－725. 2、答案 [解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.3、[解析] y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos2⎝⎛⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数且周期T ＝π. 4、[答案] 0 [解析] 原式＝cos20°＋cos(120°－20°)＋cos(120°＋20°)＝cos20°＋cos120°cos20°＋sin120°sin20°＋cos120°cos20°－sin120°sin20°＝cos20°＋2cos120°cos20°＝cos20°－cos20°＝0.5、[答案] －5665 [解析] 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以(α＋β)∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)＝45. 因为⎝⎛⎭⎫β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－5665. 6、[答案]1377、[解析] ∵α为锐角，tan α＝17<33，∴0<α<π6，又∵－π2<β<0，tan β＝－13，－13>－33，∴－π6<β<0，∴－π3<2β<0，∴0<α－2β<π2，∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34， ∴tan(α－2β)＝tan α－tan2β1＋tan α·tan2β＝17－⎝⎛⎭⎫－341＋17×⎝⎛⎭⎫－34＝1，∴α－2β＝π4. [例4] [解析] (1)由cos α＝17，0<α<π2得，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.[例5] [解析] 因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π. 因a ·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ，故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2. 由于0<α<π4，所以 2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ＋4. [例6] [解析] f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x＝53×1＋cos2x 2＋3×1－cos2x2－2·sin2x ＝33＋23cos2x －2sin2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫32cos2x －12sin2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫sin π3cos2x －cos π3sin2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x . (1)f (x )的最大值为33＋4，最小值为33－4.(2)∵f (x )＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋33， ∴f (x )的单调减区间即为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得2k π－π6≤2x ≤5π6＋2k π，∴k π－π12≤x ≤5π12＋k π.∴f (x )的单调减区间为[k π－π12，5π12＋k π]，k ∈Z .[例7] [解析] (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. ∵ω>0，∴2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， ∴g (x )＝f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.∴1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1. 练习 1、[答案] A 2、 [答案] A3、[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15① 两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75② 联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34， ∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247.(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.4、[答案] D [解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，故选D.5、[答案] C [解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.6、[答案] A [解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.7、[答案] B [解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π 8、[答案] B [解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 9、[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15° ＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.10、[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 11、[答案] C [解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴m ＝k π－π3，∵k ∈Z ，且k >0，∴m 的最小值为2π3.12、[答案] D [解析] cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65.13、[答案] A [解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即2(1－cos 2α)cos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0. 14、[答案] 78 [解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 15、[答案] －17 [解析] 因为α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 16、[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos 212°－1)·sin12°＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12°＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24°＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3.17、[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73.18、[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α① 由4tan α2＝1－tan 2α2得 tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12② 由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4.19、[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎫－31010＝－1010.20、[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1. 又f (x )＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sin x 而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f (x )＝－sin x ，－π≤x <－π6，∴f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sin x x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22，∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12， 当－π≤x <－π6时，∵f (x )＝－sin x ＝22，∴sin x ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
三角函数的积化和差与倍角公式的应用三角函数的积化和差公式是数学中常用的重要公式之一，它能够将两个三角函数的乘积转化为两个三角函数的和或差，从而便于进一步计算。
倍角公式则是将一个角的两倍或半角与三角函数相关联的公式，能够简化计算过程。
下面将详细介绍三角函数的积化和差公式和倍角公式的定义和应用。
一、三角函数的积化和差公式1.正弦函数的积化和差公式：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny2.余弦函数的积化和差公式：cos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny3.正切函数的积化和差公式：tan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)1.计算三角函数的值：通过这些公式可以将一个角分解为两个已知角的和或差，从而求解三角函数的值。
2.化简复杂三角函数表达式：通过运用积化和差公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，更方便计算和分析。
3.证明三角函数等式：通过使用积化和差公式可以证明一些三角函数的等式，展示三角函数之间的关系。
二、三角函数的倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin2x = 2sinxcosx2.余弦函数的倍角公式：cos2x = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x3.正切函数的倍角公式：tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)1.导出其它角的三角函数值：通过倍角公式，可以求解一些无法直接求出的角的三角函数值。
2.化简复杂三角函数表达式：通过运用倍角公式，可以将一个较复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。
3.求解三角方程：通过倍角公式，可以将一个角的两倍或半角与三角函数相关联，从而将一个三角方程转化为一个简单的代数方程。
综上所述，在数学中，三角函数的积化和差公式和倍角公式是非常重要的公式，它们可以帮助我们简化计算过程，求解三角函数的值，证明三角函数的等式，化简复杂的三角函数表达式，求解三角方程等。
三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 基本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑直角三角形任意角三角函数））））表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
和差角公式和二倍角公式示例文章篇一：《神奇的数学公式之旅：和差角公式与二倍角公式》嘿！同学们，你们知道吗？数学世界里有两个超级厉害的家伙，那就是和差角公式和二倍角公式！这俩就像是数学王国里的大明星，闪闪发光！先来说说和差角公式，这就好比是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。
就像我上次遇到一道几何题，怎么都找不到解题的思路，脑袋都快想破啦！这时候，和差角公式就像一位超级英雄，“嗖”地一下出现，帮我解决了大麻烦。
“sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB”，这俩式子看着有点复杂，是不？可一旦你掌握了，就会发现它们好用得不得了！比如说，有一次数学考试，有一道题是让我们求一个角度的正弦值，这个角度刚好可以分成两个已知角度的和。
这时候，和差角公式不就派上用场了吗？我赶紧用上它，三下五除二就把答案算出来啦！我当时心里那个美呀，就像大热天吃了一根超级甜的冰棍，爽极了！再看看二倍角公式，它就像一个魔法棒，轻轻一挥，就能变出好多奇妙的结果。
“sin2A = 2sinAcosA，co s2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A”，这几个式子可太重要啦！有一回，老师在课堂上讲了一道关于三角函数最值的问题，大家都愁眉苦脸的，不知道从哪儿下手。
老师微微一笑，说：“孩子们，试试二倍角公式呀！”哇塞，我们一听，恍然大悟，纷纷拿起笔开始计算。
最后算出答案的时候，那种成就感，简直无法形容，就好像自己一下子变成了数学天才！我同桌小明，之前对这两个公式总是搞不明白，急得直挠头，嘴里还嘟囔着：“这都啥呀，怎么这么难！”我就跟他说：“别着急，咱们一起多做几道题，多琢磨琢磨，肯定能搞懂！”然后我俩一起研究，一起讨论，终于让他也明白了。
其实呀，数学里的这些公式就像是我们的好朋友，只要我们用心去了解它们，和它们熟悉起来，它们就能在关键时刻帮助我们，让我们在数学的海洋里畅游。
倍角公式推导和差化积及积化和差公式我们需要推导出如下的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ推导sin(2θ) = 2sinθcosθ：我们可以使用三角恒等式sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB来推导。
将A和B设为θ，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθsin(2θ) = 2sinθcosθ推导cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ：同样地，我们可以使用三角恒等式cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB来推导。
将A和B设为θ，我们可以得到：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ差化积公式推导：我们需要推导出如下的差化积公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB推导sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB：我们可以使用三角恒等式sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB来推导。
将A设为(A+B)/2，B设为(A-B)/2，我们可以得到：sin((A + B)/2 - (A - B)/2) = sin((A + B)/2)cos((A - B)/2) - cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)sin(A) = sinAcosB - cosAsinB推导cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB：同样地，我们可以使用三角恒等式cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB来推导。
将A设为(A+B)/2，B设为(A-B)/2，我们可以得到：cos((A + B)/2 - (A - B)/2) = cos((A + B)/2)cos((A - B)/2) + sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)cos(A) = cosAcosB + sinAsinB积化和差公式推导：我们需要推导出如下的积化和差公式：sinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)cosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)推导sinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)：我们可以使用三角恒等式sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB和差化积公式sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB来推导。
三角函数中的和差角公式与倍角公式三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在三角函数的学习中，和差角公式与倍角公式是非常基础且重要的内容。
它们在解三角方程、化简三角函数表达式以及推导其他公式等方面起到了重要作用。
本文将详细介绍和差角公式与倍角公式的定义、推导以及举例应用。
一、和差角公式和差角公式是三角函数中用于表示两个角的和与差的关系的公式。
假设角 A 和 B 分别为任意两个角，则有以下和差角公式：1. 余弦和差角公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB2. 正弦和差角公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB3. 正切和差角公式：tan(A±B) = (tanA±tanB) / (1∓tanAtanB)推导和差角公式的方法可以通过不同的方式进行，包括几何推导、代数推导以及复数推导等。
不同的推导方法可以满足不同的需求，但最终得到的结果是相同的。
举例应用：假设 A = 30°，B = 45°，根据和差角公式可以得到：cos(30°+45°) = cos30°cos45° - sin30°sin45°sin(30°-45°) = sin30°cos45° - cos30°sin45°通过计算，可以得到具体的数值。
二、倍角公式倍角公式是三角函数中用于表示一个角的两倍的关系的公式。
假设角 A 为任意角度，则有以下倍角公式：1. 余弦倍角公式：cos2A = cos^2A - sin^2A2. 正弦倍角公式：sin2A = 2sinAcosA3. 正切倍角公式：tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)倍角公式的推导可以借助和差角公式来完成，通过将和差角公式中的 A 与 B 角取相等，即可得到对应的倍角公式。
和差公式及倍角公式的运用一、和差公式;tan tan 1tan tan )tan(,sin sin cos cos )cos(,sin cos cos sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβα ±=±=±±=±二、倍角公式ααααααααααα22222tan 1tan 22tan ,1cos 2sin 21sin cos 2cos ,cos sin 22sin -=-=-=-==三、应用类型（题型一）-----给角求值例1、求)280cos(200cos )160sin(100sin 0000-+-的值．【解析】原式=2130sin )10sin 20cos 20sin 10(cos 00000-=-=+-．或原式=.2160cos )80cos 20cos 20sin 80(sin 00000-=-=+-例2、计算025.22sin 21-的结果等于 （ ）．A ．21 B ．22 C ．33 D ．23【解析】2245cos 5.22sin 2102==-． 答案：B例3、已知32sin =α，则)2cos(απ-的值为 （ ）． A ．35-B ．91-C ．91D ．35【解析】9119421sin 2)sin 21(2cos )2cos(22-=-⨯=-=--=-=-ααααπ．答案：B例4、已知α为第三象限角，53cos -=α，则=α2tan ． 【解析】∵α为第三象限角，53cos -=α， ∴54)53(1cos 1sin 22-=---=--=αα， 于是 34cos sin tan ==ααα， ∴724)34(1342tan 1tan 22tan 22-=-⨯=-=ααα． 例5、求000070sin 50sin 30sin 10sin 的值．【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式解：∵αααcos sin 22sin =，∴αααcos 22sin sin =， ∴原式=00000070cos 2140sin 50cos 2100sin 2110cos 220sin ∙∙∙ =00000020sin 240sin 40sin 280sin 2180sin 220sin ∙∙∙=161．法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式 解：原式=00020cos 40cos 2180cos ∙∙∙=00080cos 40cos 20cos 21=0000020sin 280cos 40cos 20cos 20sin 221∙⨯=000020sin 480cos 40cos 40sin =00020sin 880cos 80sin =0020sin 16160sin =161． 或原式=00020cos 40cos 2180cos ∙∙∙=00080cos 40cos 20cos 21=16120sin 160sin 16120sin 80cos 80sin 8180cos 40cos 20sin 240sin 21000000000=∙=∙=∙∙． 提示：∵αααcos sin 22sin =，∴αααsin 22sin cos =，因此.20sin 240sin 20cos 000=法三：构造对偶式，列方程求解.70cos 50cos 10cos ,70sin 50sin 10sin 000000==y x 令则00000070cos 70sin 50cos 50sin 10cos 10sin ∙∙=xy=000140sin 21100sin 2120sin 21∙∙=00040sin 80sin 20sin 81∙∙=00020sin 40sin 80sin 81∙∙ =00070cos 50cos 10cos 81=y 81 ∵0≠y ，∴81=x ，从而有000070sin 50sin 30sin 10sin =161．例6、求下列各式的值 （1）218sin 2-π； （2）12tan 12tan 1ππ- 【解析】（1）原式=424cos 21)8sin 21(2118sin22122-=-=--=-πππ）（； （2）原式=326tan 1212tan 212tan 1212tan 12tan 122=⨯=-⨯=-πππππ． 【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：（1）对“二倍角”应该有广义的理解，如：α4是α2的二倍角，α是2α的二倍角，α3是23α的二倍角等； （2）公式逆用：主要形式有ααα2sin cos sin 2=，,2sin 21cos sin ααα=,sin 22sin cos ,cos 22sin sin αααααα==,2cos sin cos 22ααα=-.2tan tan 1tan 22ααα=- 【变式训练】同步练习、求下列各式的值 ⑴ 000080cos 60cos 40cos 20cos ； ⑵)8sin 8)(cos 8sin 8(cosππππ+-；⑶8ta n 18t a n 2ππ-（题型二）------给值求值 例1、已知.)4cos(2cos ),4,0(,51)4sin(的值求x πxπx x π+∈=- 【点拨】).4sin()]4(2sin[)4cos()4cos()4sin(2)22sin(,)22sin(2cos )4cos(4x πx ππx πx πx πx πx πx x πx π-=+-=+--=--=⇒-⇒-；而求值利用的值求的范围求【解析】∵),4,0(πx ∈∴),4,0(4πx π∈-依题意，51)4sin(=-x π，∴,562)4(sin 1)4cos(2=--=-x πx π 又,2564562512)4cos()4sin(2)22sin(2cos =⨯⨯=--=-=x πx πx πx,51)4sin()]4(2sin[)4cos(=-=+-=+x πx ππx π ∴原式=.564512564=【题后感悟】（1）从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．（2）当遇到x π±4这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．).4cos()4sin(2)22sin(2cos x πx πx πx --=-=类似这样的变换还有：.1)4(sin 2)4(cos 21)22cos(2sin ),4(sin 211)4(cos 2)22cos(2sin ),4cos()4sin(2)22sin(2cos 2222等等-+=+-=+-=--=--=-=++=+=x πx πx πx x πx πx πx x πx πx πx 例2、已知),4,0(,32)4sin(πx x π∈=-求)4sin(2sin x πx+的值． 【解析】)22cos(2sin x πx -= )4(sin 212x π--=,91)32(212=⨯-=又∵),4,0(πx ∈∴),4,0(4πx π∈-依题意，32)4sin(=-x π，∴,35)4(sin 1)4cos(2=--=-x πx π 而,35)4cos()]4(2sin[)4sin(=-=--=+x πx ππx π .1553591==∴原式（题型三）------化简 例、化简下列各式： ⑴;40cos 170cos )10tan 31(10cos 0000++ ⑵.)4(sin )4tan(21cos 222θπθπθ+--【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式【解析】（1）原式=240sin 210sin 310cos 20cos 220sin )10cos 10sin 31(10cos 0000000⨯+=∙+.2240sin 40sin 2240sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 2240sin )10sin 2310cos 21(2240sin )10sin 310(cos 2000000000000==+=+=+= 提示：1、02020cos 240cos 1=+； 2、.50cos ,60sin 23,60cos 21000因此，分子变为变为将变为还可以将 【解析】（2）原式=.12cos 2cos )22sin(2cos )4(cos )4cos()4sin(22cos 2==-=-∙--θθθθθπθπθθ【题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕．【变式训练】化简：⑴)212cos 4(12sin 312tan 30200--； ⑵ααααααααcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+． 【解析】⑴原式=000000200024cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3)112cos 2(12sin 2312cos 12sin 3-=-- 00000000048sin )12cos 30cos 12sin 30(sin 3424cos 24sin )12cos 2312sin 21(32-=-= .3448sin 48sin 3448sin 42cos 34000-=-=-=⑵法一：原式=2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin22222αααααααααααα+++++ .sin 22cos2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 22ααααααααα=+=+=法二：原式=αααααααααααα222222cos )sin 1(cos 2)sin 1(2)cos sin 1(cos sin 1)cos sin 1()cos sin 1(-+++=-++++++-+）（ .sin 2)sin 1(sin 2)sin 1(4αααα=++=四、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系） 1．;tan 1tan 22sin ,tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin 2222αααααααααααα+=+=+==即 2．.tan 1tan 12cos ,tan 1tan 1cos sin sin cos sin cos 2cos 2222222222αααααααααααα+-=+-=+-=-=即 说明：这两个公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了αααT C S 222与、之间的关系，就会使解题过程更简捷．五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式．主要形式有：⑴、,)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1222ααααααα±=±+=±⑵、⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=.sin 22sin cos ,cos 22sin sin cos sin 22sin ααααααααα⑶、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=-=⇒-=.22cos 1sin ,22cos 1cos ,sin 212cos ,1cos 22cos sin cos 2cos 222222ααααααααααα 六、错例分析例、解不等式.01cos sin >-+x x【错解】∵,1cos sin >+x x 两边平方，得,1)cos (sin 2>+x x∴,1cos sin 21>+x x ∴,02sin >x∴),(222Z k ππk x πk ∈+<<因此，).(2Z k ππk x πk ∈+<< 即原不等式的解集为.),2,(Z k ππk πk ∈+其中【正解】∵,1cos sin >+x x 两边平方，得,0cos sin >x x∴必有0sin >x 且0cos >x ，又∵1cos ,1sin ≤≤x x ，∴x 必为第一象限角， ∴).(222Z k ππk x πk ∈+<<即原不等式的解集为.),22,2(Z k ππk πk ∈+其中【错因】错因1：忽略了x 为第一象限角（因为1cos ,1sin ≤≤x x ，又∵,1cos sin >+x x 所以必须0sin >x 且0cos >x ）；错因2：上述方法引进了1cos sin -<+x x 的增解，如果改用恒等变形，得,1)4sin(2>+πx 即22)4sin(>+πx ，可避免增解，也无需寻找隐含条件．。
