两角和差倍角公式推导

三角函数公式和积化和差公式汇总三角函数公式的积化和差是解决三角函数的重要方法，可以将不同角度的三角函数表示为同一角度的三角函数的和或差。

下面是一些常用的三角函数公式：两角和公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式：tan2A = 2tanA/(1-tan2A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式：sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(π/3+a)·XXX(π/3-a)半角公式：sin(A/2) = √[(1-cosA)/2]cos(A/2) = √[(1+cosA)/2]tan(A/2) = √[(1-cosA)/(1+cosA)]cot(A/2) = √[(1+cosA)/(1-cosA)]和差化积：sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)sina-sinb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cosa+cosb = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cosa-cosb = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb= (sin(a+b))/(cosacosb)积化和差：sinasinb = -(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = (1/2)[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = (1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = (1/2)[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式：sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(π/2-a) = cosacos(π/2-a) = sinasin(π/2+a) = cosacos(π/2+a) = -sina三角函数公式的积化和差、和差化积以及诱导公式都是解决三角函数问题的重要方法，掌握这些公式可以更加方便地计算三角函数的值。

锐角三角函数公式 (2)倍角公式 (3)三倍角公式 (3)三倍角公式推导 (3)辅助角公式 (4)降幂公式 (4)推导公式 (4)半角公式 (7)三角和 (7)两角和差 (8)和差化积 (8)积化和差 (9)诱导公式 (9)诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 (10)万能公式 (10)其它公式 (10)锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，（此括号内不是文章内容，来自学习方法网，阅读请跳过），tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))学习方法网[]三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tan β·tanγ-tanγ·tanα)cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

知识点两角和与差的正弦、余弦、正切公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 怎么由一个公式推导出来？一、已知βαsin ,sin 求cos ()αβ+1． 已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ）已知sin αβ==，则αβ+为（ ） 已知αα,53sin =在第二象限，ββ,135cos -=在第三象限，求)tan(),cos(),sin(βαβαβα+-+注意角所在象限2、符号C B A cos ,135cos ,53sin 那么== 在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是 ．二、逆用公式cos79°cos34°+sin79°sin34°等于（ ）Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是 的值为 ．求值：_____________.0000tan 20tan 4020tan 40+=变式 已知A+B=，则（1+tanA ）（1+tanB ）=（ ）三、常数代换与逆用公式1、化简x x sin cos 3-化简3232sin cos x x +=化简4sinx+3cosx=变式 函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）2、求值 =______________变式 。

tan75-175tan 1+ ．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan （α+β）=四．先展开函数f （x ）=sinx+cos （x+）的最大值为变式 已知sinα+cos （α﹣）=，则cos （α﹣）的值等于（ ）五、在三角形中求值15tan 115tan 1+-1、求值在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是 ．在△ABC 中，已知，，则cosC 的值为（ ）2、判断三角形形状在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形内角和公式 变式 ．在△ABC 中，已知sinC=2sin （B+C ）cosB ，那么△ABC 一定是（ ）A ． 等腰直角三角形B ． 等腰三角形C ． 直角三角形D ． 等边三角形判断△ABC 的内角满足sinA+cosA ＞0，tanA ﹣sinA ＜0，则A 的取值范围是（ ）A ． （0，）B ． （，）C ． （，）D ． （，π）变式 在△ABC 中，若1﹣tanAtanB ＜0，则△ABC 是（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 直角三角形D ． 等腰三角形变式 已知向量，，若A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，，则与的夹角为（ ）锐角三角形，C<90,A+B>90钝角三角形，C>90,A+B<90六、角的代换若α是锐角，且满足cosα=31，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πα的值为（ ）若α是锐角，且满足，则cosα的值为（ ）变式 若α是锐角，且满足，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πα的值为（ ）变式 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值变形方式1、两边平方2、asinwx+bcoswx= 3.展开 4.角的转换5、齐次分式化为tan在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 等于（ ）A ． 30°B ． 150°C ． 30°或150°D ． 60°或120°设a=sin15°+cos15°，b=sin17°+cos17°，比较a,b 大小若sinθ+cosθ=，则tan （θ+）的值是（ ）已知22cos cos =+βα，求βαsin sin +的取值范围。

和角差公式与二倍角公式1. 两角和与差的三角比公式（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ 【注】①公式成立的条件：公式（1）、（2）中,αβ为任意角，公式（3）中,αβ和αβ±的值都不能为,2k k Z ππ+∈②公式的正用、逆用与变形用：如公式（3）的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+2 二倍角公式222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 1ααααααα==-=-212sin α=-22tan tan 21tan ααα=-（其中,2αα均不为,2k k Z ππ+∈） 【注】（1）广义理解二倍角，如4α的二倍角是2α，2αβ+的二倍角为αβ+，42πα+的二倍角是2πα+（2）二倍角公式的正用、逆用和变形用，如余弦二倍角公式的变形 221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==典型例题例1 利用两角和的余弦公式求cos105的值例2 若,(0,)2παβ∈，且44sin ,cos 55αβ==，求αβ+例3 已知31sin 2,tan 57αβ==-，其中,044ππαβπ-<<<< 求：（1）sin(2)αβ-的值 （2）2αβ-的值例4 已知tan θ与tan()4πθ-是方程20x px q ++=的两根，且有3tan 2tan()4πθθ=-，求p ，q 的值例5 在ABC ∆中，化简：tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A •+•+•例6 已知sin x =sin 2()4x π-的值例7 若32ππθ<<例8已知tan θ=22cos sin 12sin()4θθπθ--+例9 已知21sin(),cos()2329αββα-=-=，且,022ππαπβ<<<<，求cos()αβ+例10 求证：8821cos sin cos 2(1sin 2)2θθθθ-=-。

两角和差倍角公式的应用角和、差、倍角公式是高中数学中的重要内容，广泛应用于各类数学问题中。

下面以一些常见的例子来说明这些公式的应用。

例1：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的和角为多少度？解：根据角和公式，角A和角B的和角C为C=A+B。

例2：角D是角A和角B的和角，且已知角A=35度，角B=55度，求角D的大小。

解：根据角和公式，角D=A+B=35+55=90度。

例3：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的差角为多少度？解：根据角差公式，角A和角B的差角C为C=A-B。

例4：角D是角A和角B的差角，且已知角A=75度，角B=35度，求角D的大小。

解：根据角差公式，角D=A-B=75-35=40度。

例5：已知角A的大小，求得2倍角A的值。

解：根据倍角公式，2倍角A=2A。

例6：已知角D是角A的2倍角，且已知角A=25度，求角D的大小。

解：根据倍角公式，2倍角A=2A=2×25=50度。

综合应用：例7：已知sinx = 1/2，求cos2x的值。

解：根据倍角公式，cos2x = cos^2x - sin^2x。

其中，sinx = 1/2，可以找到对应的特殊角，即角x = 30度。

代入公式，cos2x = cos^2(30°) - sin^2(30°) = (3/2)^2 -(1/2)^2 = 9/4 - 1/4 = 8/4 = 2所以，cos2x的值为2例8：已知tanx = 2，求cot2x的值。

解：根据角和公式，角2x=x+x。

已知tanx = 2，可以推导出sinx/cosx = 2，即sinx = 2cosx。

代入角和公式，cot2x = cot(x + x) = cotx·cotx - 1/2sinx/sinx = 1/2 - 1/2 = 0。

所以，cot2x的值为0。

例9：已知角A和角B的差角为60度，且sinA = 4/5，sinB = 3/5，求cos(2A + B)的值。

三角函数加减公式诱导公式：一、常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=−sinαcos(π+α)=−cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与−α的三角函数值之间的关系：sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαtan(−α)=−tanαcot(−α)=−cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π−α与α的三角函数值之间的关系：sin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαtan(π−α)=−tanαcot(π−α)=−cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π−α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π−α)=−sinαcos(2π−α)=cosαtan(2π−α)=−tanαcot(2π−α)=−cotα公式六：π±α与α的三角函数值之间的关系：2+α)=cosαsin(π2+α)=−sinαcos(π2+α)=−cotαtan(π2cot(π+α)=−tanα2sin(π−α)=cosα2cos(π−α)=sinα2−α)=cotαtan(π2−α)=tanαcot(π2二、诱导公式记忆口诀：（规律总结）上面这些诱导公式可以概括为：±α(k∈Z)的三角函数值，对于k∙π21)k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；2)当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot；cot→tan；（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号（符号看象限）。

例如：sin(2π−α)=sin(4∙π−α)，k=4为偶数，所以取sinα，2当α是锐角时，2π−α∈(270°,360°)，sin(2π−α)<0，符号为“－”。

第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案 －429解析 因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13， 所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________． 答案 －4＋3310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析 设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解 因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33， 因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。