2017届重庆一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案

秘密☆启用前2016年重庆一中高2017届高三上期第二次月考数学试题卷（理科）2016.10数学试题共4页，共24小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题。

（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»2．等差数列«Skip Record If...»中，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．6 B．9 C．12 D．153．下列函数为奇函数的是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»4．计算«Skip Record If...»的结果是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»5．已知非零向量«Skip Record If...»的夹角为60°，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A．«Skip Record If...»B．1 C．«Skip Record If...»D．26．下列说法中正确的是（）A．已知«Skip Record If...»是可导函数，则“«Skip Record If...»”是“«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的极值点”的充分不必要条件B．“若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»”的否命题是“若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»”C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»D．若«Skip Record If...»为假命题，则«Skip Record If...»均为假命题7．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»8．已知双曲线«Skip Record If...»的一条渐近线与圆«Skip Record If...»相切，则双曲线C的离心率等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»9．（原创）已知«Skip Record If...»，其导函数«Skip Record If...»的部分图象如图所示，则下列对«Skip Record If...»的说法正确的是（）A．最大值为4且关于直线«Skip Record If...»对称B．最大值为4且在«Skip Record If...»上单调递增C．最大值为2且关于点«Skip Record If...»中心对称D．最大值为2且在«Skip Record If...»上单调递减10．（原创）在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，AD,BC的交点为M，过M 作动直线l分别交线段AC,BD于E,F两点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的最小值为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»11．（原创）已知«Skip Record If...»的三边长分别为«Skip Record If...»，在平面直角坐标系中，«Skip Record If...»的初始位置如图（图中CB⊥x轴），现将«Skip Record If...»沿x轴滚动，设点«Skip Record If...»的轨迹方程是«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．4 D．012．（原创）已知«Skip Record If...»是定义在«Skip Record If...»上的可导函数，其导函数为«Skip Record If...»，且当«Skip Record If...»时，恒有«Skip Record If...»，则使得«Skip Record If...»成立的x的取值范围是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»二、填空题。

2016-2017学年重庆一中高三(上）期中数学试卷（理科)一、选择题(本大题共12个小题,每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案,将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π2．已知向量=（1，2）,=（x，﹣2），且⊥，则|+｜=（）A．5 B．C．4D．3．已知x，y均为非负实数，且满足,则z=x+2y的最大值为（)A．1 B．C．D．24．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题:某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺,则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．7．若“∃x∈[,2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立"是假命题,则实数λ的取值范围为（)A．（﹣∞，2]B．［2，3]C．［﹣2,3]D．λ=38．若函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点,则λ的取值范围为（)A．［1，）B．(﹣，） C．（﹣,﹣1]D．[﹣1，1］9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9,则｜｜•|｜的值为（)A．8 B．10 C．12 D．1510．已知函数f（x）=+满足条件f(log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（﹣1)）=（)A．1 B．2 C．3 D．411．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为(）A．［1，2）B．［，+∞）C．（1，］D．［1，+∞）12．设A，B在圆x2+y2=1上运动,且|AB｜=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动,则|+｜的最小值为（）A．3 B．4 C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．已知α∈（，π)，且sinα=，则tan（2α+）=．15．设正实数x，y满足x+y=1,则x2+y2+的取值范围为．16．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1,cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分,将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列｛a n}单调递增，记数列｛a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n﹣2n，求数列｛b n}的前n项之和T n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1)已知［30,40）、[40，50）、［50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值；（2）该电子商务平台将年在［30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人,现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且∠BAD=，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点（1）求证:D1E⊥平面BEC1(2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．20．已知椭圆C: +=1（a＞0，b＞0）的离心率为,椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（1)求椭圆C的标准方程；（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f(x）在（0，+∞）上单调递增,求实数a的取值范围；（2)是否存在实数a,使得函数f(x）在（0,+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：极坐标与参数方程］22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）(1）求曲线C的普通方程；（2)在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin(﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求｜AB|．[选修4—5：不等式选讲]23．设函数f(x）=|2x﹣1｜(1)解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2,求f(a2）+f（b2）的最小值．2016—2017学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，函数f(x）=sinxcosx=sin2x∴故选B．2．已知向量=（1，2)，=（x，﹣2）,且⊥,则|+|=(）A．5 B．C．4D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长．【解答】解：向量=（1，2），=（x,﹣2)，且⊥，∴x+2×（﹣2）=0，解得x=4;∴+=（5,0），∴｜+｜=5．故选：A．3．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y在轴的截距最大求z 的最大值．【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x+2y变形为y=﹣x，当此直线经过图中的C时，在y 轴的截距最大，且c(0，1),所以z 的最大值为0+2×1=2；故选D．4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布"问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,由题意知,解得d=．故该女子织布每天增加尺．故选：B．5．设函数f(x）=2sin(2x+），将f(x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x）,则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=g(x）=2sin（4x+),再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：函数f(x）=2sin(2x+）,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin(4x+）．令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+,k∈Z，当k=0时，x=是函数的一条对称轴．故选:D．6．已知函数f（x)=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由偶函数的定义可得f(﹣x）=f（x），可得a=1，求出导数,设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）,即e﹣x+ae x=e x+ae﹣x，即（e x﹣e﹣x）（a﹣1）=0,可得a=1，即f（x)=e x+e﹣x,导数为f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（m,n），则e m﹣e﹣m=，解得m=ln2,故选：A．7．若“∃x∈[，2］，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为()A．（﹣∞，2］B．[2,3］ C．［﹣2,3]D．λ=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“∃x∈［，2］,使得2x2﹣λx+1＜0成立"是假命题，即“∃x∈[，2],使得λ＞2x+成立”是假命题,结合对勾函数的图象和性质，求出x∈［，2]时,2x+的最值，可得实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x∈［，2］，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2］，使得λ＞2x+成立”是假命题,由x∈［，2］，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为(﹣∞,2］,故选：A8．若函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点，则λ的取值范围为(）A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣,﹣1］D．[﹣1，1]【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数函数f(x）=﹣x+λ在［﹣1,1］上有两个不同的零点，转化为直线y=x﹣λ与y=有2个交点，画出图象判断即可．【解答】解：∵函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点，∴直线y=x﹣λ与y=有2个交点,即1∴λ≤﹣1故选:C9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上,且满足•=9，则|｜•｜|的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断｜PF1｜+|PF2｜=8,平方得出|PF1｜2+|PF2｜2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴｜PF1|+｜PF2｜=8,|F1F2|=4，•=9，即|｜•|｜cosθ=9，16=｜|2+｜|2﹣2｜｜•||cosθ=(｜｜+｜｜）2﹣2|PF1|•｜PF2|﹣18=64﹣2｜PF1｜•｜PF2｜﹣18=16,∴|PF1|•|PF2|=15,故选:D．10．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f(log a（﹣1)）=()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】化简可得f(x)+f（﹣x）=+++=3，从而求得．【解答】解：∵f（x）=+,∴f（﹣x)=+=+，∴f（x）+f(﹣x)=+++=3，∵log a（+1）=﹣log a(﹣1），∴f（log a（+1）)+f（log a（﹣1))=3，∴f（log a（﹣1））=2，故选:B．11．已知x∈（0，）,则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（)A．［1,2) B．［，+∞）C．（1,]D．［1，+∞）【考点】三角函数的最值．【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，]；把f（x)化为f（t)，利用导数判断单调性,求出它的最值，即可得出f(x）的值域．【解答】解：x∈（0，)时，函数f(x）=sinxtanx+cosxcotx=+===;令sinx+cosx=t，则t=sin（x+）,sinxcosx=；∵x∈（0，)，∴sin(x+）∈(，1]，t∈(1，］；∴f(x）可化为f（t）==，∴f′（t）=＜0,∴t∈（1,］时，函数f（t）是单调减函数；当t=时,函数f（t）取得最小值f(）==，且无最大值；∴函数f（x）的值域是[，+∞）．故选：B．12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动,则｜+|的最小值为（）A．3 B．4 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时,｜+｜取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，｜+｜取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP ⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴｜+|的最小值为2（﹣）=．故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）13．点P(1,3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P(1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a,b）,则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值,利用二倍角公式求得tan2α的值,再利用两角和差的正切公式求得tan(2α+）的值．【解答】解：∵α∈（，π）,且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣,∴tan2α==﹣，则tan（2α+）==﹣，故答案为:﹣．15．设正实数x，y满足x+y=1,则x2+y2+的取值范围为．【考点】基本不等式．【分析】正实数x,y满足x+y=1,可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，﹣2xy+=﹣2+，即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴1,可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，∵﹣2xy+=﹣2+∈．故x2+y2+的取值范围为．故答案为：．16．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为+．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc=1，∴cosA===,∴A=，∴B+C=，即cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣；又cosBcosC=﹣，∴sinBsinC=cosBcosC+=﹣+=，∴bc=4R2sinBsinC=4R2×=1,解得R=，其中R为△ABC的外接圆的半径;∴a=2RsinA=2××sin=，∴b2+c2﹣2=1，解得b2+c2=3，∴（b+c）2=b2+c2+2bc=3+2×1=5，∴b+c=,∴△ABC的周长为a+b+c=+．故答案为: +．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．已知等比数列｛a n}单调递增，记数列｛a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1)设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，由a2=6,S3=26．可得a1q=6，=26，解得a1，q，再利用单调性夹角得出．（2)b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1,∵a2=6，S3=26．∴a1q=6，=26，解得a1=18,q=，或a1=2,q=3．当a1=18，q=,等比数列{a n}单调递减，舍去．∴a1=2,q=3．∴a n=2×3n﹣1．（2)b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，∴数列{b n｝的前n项之和T n=﹣2×=3n﹣1﹣n2﹣n．18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．(1）已知［30，40)、［40，50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；（2）该电子商务平台将年在［30，50）之间的人群定为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0。

重庆市第一中学2017届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期等于（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 2．已知向量)2,1(=a ，)2,(-=x b ，且b a ⊥，则=+b a （ ） A ．5 B ．5 C ．24 D ．31 3．已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A ．1B ．21 C ．35D ．2 4．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。

书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A ．298尺 B ．2916尺 C ．2932尺 D ．21尺5．设函数)62sin(2)(π+=x x f ，将)(x f 图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数)(x g y =，则)(x g 图像的一条对称轴方程为（ ）A ．24π=x B ．125π=x C ．2π=x D ．12π=x 6．已知函数xx ae e x f -+=)(为偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率为23，则切点的横坐标等于（ ） A ．2lnB ．2ln 2C ．2D ．27．若“]2,21[∈∃x ，使得0122<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ） A ．]22,(-∞B ．]3,22[C ．]3,22[-D ．3=λ8．若函数λ+--=x x x f 21)(在]1,1[-上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（ ）A ．)2,1[B ．)2,2(-C ．]1,2(--D ．]1,1[-9．设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则21PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 10．（原创）已知函数xx x f 411212)(+++=满足条件1))12((log =+a f ，其中1>a ， 则=-))12((log a f （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．（原创）已知)2,0(π∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）A ．)2,1[B ．),2[+∞C ．]2,1(D ．),1[+∞12．（原创）设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x 上运动，PB PA + ）A ．3B ．4C ．517 D ．519二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置） 13．点)3,1(P 关于直线022=-+y x 的对称点为Q ，则点Q 的坐标为14．已知),2(ππα∈，且55sin =α，则=+)42tan(πα15．（原创）设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为16．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足条件1222==-+bc a c b ，81cos cos -=C B ，则ABC ∆的周长为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26,632==S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n a b n n 2-=，求数列{}n b 的前n 项之和n T ．18．（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如右图．（1）已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上 网购物者人数成等差数列，求b a ,的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义 为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．19．（原创）（本小题满分12分）已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形， 且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ， 求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．20．（原创）（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，椭圆C 和抛物线x y =2交于N M ,两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过椭圆C 右焦点的直线l 和椭圆C 交于B A ,两点，点P 在椭圆上，且BP OA 2=，其中O 为坐标原点，求直线l 的斜率．21．（本小题满分12分）已知函数122)21ln()(+++=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ααααcos sin cos sin y x （α为参数）（1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为01)4sin(2=+-θπρ，已知直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求AB ． 23．（原创）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数12)(-=x x f（1）解关于x 的不等式)1()2(+≤x f x f ；（2）若实数b a ,满足2=+b a ，求)()(22b f a f +的最小值．2016重庆一中高2017级高三上期半期考试数 学 答 案（理科）2016.11一、选择题（每小题5分，共60分） 1—5 CADBD 6—10AACDB 11—12BD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13：)1,1(-- 14：71- 15：]89,1[ 16：25+ 三、解答题（共70分）17．解：（1）设等比数列公比为q ，则由已知⎩⎨⎧=++=26621111q a q a a q a ，解得⎩⎨⎧==321q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==31181q a 因为{}n a 单调递增，只有⎩⎨⎧==321q a ，从而11132--⨯==n n n q a a18．解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：11001.010015.010*******.0=⨯+⨯+++⨯b a ，且015.0-=-b b a联立解出025.0,035.0==b a（2）由已知高消费人群所占比例为6.0)(10=+b a ，潜在消费人群的比例为4.0 由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人， 随机抽取的三人中代金券总和X 可能的取值为：150,180,210,240301)240(31034===C C X P ；103)210(3101624===C C C X P 21)180(3102614===C C C X P ；61)150(31036===C C X P列表如下：数学期望1866115021180103210301240=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 19．（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且BCD ∆为等边三角形，CD BE ⊥ 所以⊥BE 平面11C CDD ，而⊆E D 1平面11C CDD ，故E D BE 1⊥ 因为E D C 11∆的三边长分别为2,21111===D C E D E C ，故E D C 11∆为等腰直角三角形所以E C E D 11⊥，结合BE E D ⊥1知：⊥E D 1平面1BEC （2）解：取AB 中点G ，则由ABD ∆为等边三角形 知AB DG ⊥，从而DC DG ⊥以1,,DD DG DC 为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时)0,0,1(),1,0,0(),0,3,1(),0,0,0(1E D A D -,)1,3,1(),1,3,1(11B A -，设)1,3,(λF由上面的讨论知平面1BEC 的法向量为)1,0,1(1-=E D由于⊄AF 平面1BEC ，故//AF 平面1BEC 011=⋅⇔⊥⇔E D AF E D AF 故001)1()1,0,1()1,0,1(=⇒=-+=-⋅+λλλ，故)1,3,0(F设平面ADF 的法向量为),,(z y x a =，)1,3,0(),0,3,1(=-=DF DA由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00a DF a DA 知⎩⎨⎧=+=+-0303z y y x ，取3,1,3-===z y x ，故)3,1,3(-=a 设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ，则7422732cos 11=⋅=⋅=ED aE D a θ 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为74220．解：（1）由22=a c 知，可设λλλ2,2,2===bc a ，其中0>λ 由已知),(c c M ，代入椭圆中得：1222=+bca c 即122212=+λλ，解得2=λ 从而2,2,22===c b a ，故椭圆方程为14822=+y x （2）设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，由已知),(2),(202011y y x x y x --=从而21021021,21y y y x x x +=+=，由于P B A ,,均在椭圆8222=+y x 上，故有： 第三个式子变形为：8)2()2()2(41212122222121=+++++y y x x y x y x将第一，二个式子带入得：222121-=+y y x x （*）分析知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 方程为2+=my x ，与椭圆联立得：044)2(22=-++my y m ，由韦达定理24,24221221+-=+-=+m y y m m y y 将（*）变形为：22)2)(2(2121-=+++y y my my 即06)(2)2(21212=++++y y m y y m将韦达定理带入上式得：028222=+-m m ，解得322=m 因为直线的斜率m k 1=，故直线l 的斜率为26± 21．解：（1）222)12)(12(428)12(4122)('++-+=+-+=x ax a ax x ax a x f 由已知0)('≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，即04282≥-+a ax 恒成立分离参数得1422+≥x a ，右边)2,0(∈，所以正实数a 的取值范围为：2≥a（2）假设存在这样的实数a ，则1)(≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，且可以取到等号 故1)1(≥f ，即211ln 031)21ln(132)21ln(>⇒=>≥+⇒≥++a a a 从而这样的实数a 必须为正实数，当2≥a 时，由上面的讨论知)(x f 在),0(+∞上递增，12ln 2)0()(>-=>f x f ，此时不合题意，故这样的a 必须满足20<<a ，此时：令0)('>x f 得)(x f 的增区间为),42(+∞-a a令0)('<x f 得)(x f 的减区间为)42,0(aa- 故114222)2142ln()42()(min =+-++-=-=aaa a a a a f x f 整理得022)212ln(2=+----+-aa aa a a即0222222)212ln(222=-+---+-aa a a a a ，设]1,21(2122∈+-=a a t ， 则上式即为011ln =--t t ，构造11ln )(--=tt t g ，则等价于0)(=t g 由于t y ln =为增函数，11-=t y 为减函数，故11ln )(--=tt t g 为增函数 观察知0)1(=g ，故0)(=t g 等价于1=t ，与之对应的1=a 综上符合条件的实数a 是存在的，且1=a22．解：（1）由已知2cos ,2sin y x y x -=+=θθ，结合1cos sin 22=+θθ，消去θ得： 普通方程为1)2()2(22=-++y x y x ，化简得222=+y x （2）由01)4sin(2=+-θπρ知01)sin (cos =+-θθρ，化为普通方程为01=+-y x圆心到直线l 的距离2211122=+=h ，由垂径定理62122222=-=-=h r AB 23．解：（1）1214+≤-x x 012121441816222≤-⇔++≤+-⇔x x x x x x 解得]1,0[∈x ，故原不等式的解集为]1,0[（2）2)(21212)()(222222-+≥-+-=+b a b a b f a f 由柯西不等式：4)())(11()(22222222=+≥++=+b a b a b a 从而22)(222≥-+b a ，即2)()(22≥+b f a f ，取等条件为1==b a故)()(22b f a f +的最小值为2。

秘密★启用前重庆市第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）1．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期等于（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】C考点：二倍角公式；三角函数的周期.2．已知向量)2,1(=，)2,(-=x ，且⊥ ） A ．5 B ．5 C ．24 D ．31 【答案】A 1 【解析】试题分析：因为⊥所以40)2(210=⇒=-⨯+⨯⇔=⋅x x 所以)0,5()0,41(=+=+ 所以5||=+b a 故答案选A考点：向量的数量积；向量的模.3．已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（ ）A ．1B ．21C ．35D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：如下图所示，阴影部分为),(y x 表示的可行域.易求得)10(),32,31(),0,21(，C B A由图可知直线y x z 2+=过点）（1,0C 时，z 取得最大值2故答案选D 考点：线性规划4．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。

书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A ．298尺 B ．2916尺 C ．2932尺 D ．21尺 【答案】B 【解析】试题分析：此题等价于在等差数列}{n a 中，51=a ，39030=S ，求d 由等差数列的前n 项和公式得390213030530=⨯-⨯+⨯d ）（解得2916=d考点：等差数列.5．设函数)62sin(2)(π+=x x f ，将)(x f 图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数)(x g y =，则)(x g 图像的一条对称轴方程为（ ）A ．24π=x B ．125π=x C ．2π=x D ．12π=x 【答案】D考点：三角函数图像的变换；三角函数的对称性. 6．已知函数xx ae e x f -+=)(为偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率为23，则切点的横坐标等于（ ） A ．2lnB ．2ln 2C ．2D ．2【答案】A 【解析】试题分析：因为)(x f 是偶函数 所以)()(x f x f -=，即）（x x x x ae e ae e ----+=+，解得1=a所以xx ee xf -+=)( 所以xxee xf --=')(设切点横坐标诶0x 所以23)(000=-='-x x e e x f 设00>=t ex所以231=-t t ，解得2=t 即2ln 200=⇒=x ex考点：函数的奇偶性；导数的几何意义.7．若“]2,21[∈∃x ，使得0122<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ） A ．]22,(-∞ B ．]3,22[ C ．]3,22[- D ．3=λ【答案】A考点：否命题；二次函数的恒成立.8．若函数λ+--=x x x f 21)(在]1,1[-上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（ ） A ．)2,1[ B ．)2,2(- C ．]1,2(-- D ．]1,1[- 【答案】C 【解析】试题分析：原题等价于21x y -=与λ-=x y 在]1,1[-上有两个不同的交点21x y -=，]1,1[-∈x 为圆122=+y x 上半圆考点：函数与方程.【名师点睛】应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．9．设椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则21PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆标准方程知2,32,4===c b a当P 为左右顶点时，2||,6||21=-==+=c a PF c a PF ，则120cos 2621=⨯⨯=⋅PF PF 故P 不为左右顶点 设1PF 和2PF 的夹角为θ 因为921=⋅PF PF 所以9cos ||||21=⋅θPF PF在21F PF ∆中，由余弦定理得221222121||||||cos ||||2F F PF PF PF PF -+=⋅θ 即||||2-||||||cos ||||22122122121PF PF F F PF PF PF PF ⋅-+=⋅）（θ15|PF ||PF ||PF ||PF |2-22-4292212122=⋅⇒⋅⨯⨯=⨯）（）（故答案选D考点：椭圆标准方程；余弦定理. 10．（原创）已知函数xx x f 411212)(+++=满足条件1))12((log =+a f ，其中1>a ， 则=-))12((log a f （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B考点：函数求值. 11．（原创）已知)2,0(π∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）A ．)2,1[B ．),2[+∞C ．]2,1(D ．),1[+∞ 【答案】B 【解析】试题分析： x x x x x f cot cos tan sin )(+=x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++=+=+=∴设21cos sin )4sin(2cos sin 2-=⇒+=+=t x x x x x t π)2,0(π∈x]2,1(]1,22()4sin()43,4(4∈⇒∈+⇒∈+∴t x x ππππ]2,1(,1321)213()(23222∈--=--⨯-=∴t t t t t t t t t f0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21，（上单调递减 21)2()2(23)2()(23min=--==f x f 故答案选B考点：三角函数值域.【名师点睛】此题为三角函数求值域的典型问题，令t x x =+cos sin ，并得21cos sin 2-=t x x ，换元之后得到关于t 的函数，对此函数进行求导判断函数在区间]21，（单调性，继而求得函数的值域.12．（原创）设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．517D ．519【答案】D 【解析】试题分析：设AB 的中点为D ， 由平行四边形法则可知2=+所以当且仅当P D O ,,三点共线时，||+取得最小值，此时⊥OP 直线01243=-+y x ，AB OP ⊥因为圆心到直线的距离为51216912=+，21431=-=OD所以||+取得最小值为519215122=-）（ 故答案选D考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置） 13．点)3,1(P 关于直线022=-+y x 的对称点为Q ，则点Q 的坐标为 【答案】)11(--，考点：两点关于一条直线对称. 14．已知),2(ππα∈，且55sin =α，则=+)42tan(πα 【答案】71- 【解析】试题分析：因为),2(ππα∈，且55sin =α 所以552cos -=α 所以21tan -=α 由二倍角公式得34tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 712tan 112tan )42tan(-=-+=+ααπα考点：三角恒等变换15．（原创）设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为【答案】]89,1[考点：基本不等式【基本不等式】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．16．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足条件1222==-+bc a c b ，81cos cos -=C B ，则ABC ∆的周长为【答案】52+ 【解析】试题分析：在ABC ∆中，1222==-+bc a c b所以2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A 所以3π=A所以32π=+C B 21sin sin cos cos )cos(=-=+C B C B C B因为81cos cos -=C B 所以83sin sin =C B 设R 为ABC ∆外接圆半径361834sin sin 422=⇒=⨯⇒=R R C B R bc 所以23sin 362sin 2=⨯⨯==πA R a 所以1222=-+c b 因为1=bc 所以5=+c b所以ABC ∆的周长为52+ 考点：正弦定理；余弦定理.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26,632==S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n a b n n 2-=，求数列{}n b 的前n 项之和n T ． 【答案】（1）132-⨯=n n a ；（2）132---=n n T n n 【解析】试题解析：（1）设等比数列公比为q ，则由已知⎩⎨⎧=++=26621111q a q a a q a ， 解得⎩⎨⎧==321q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==31181q a 因为{}n a 单调递增，所以⎩⎨⎧==321q a ， 所以11132--⨯==n n n q a a（2）1322231)31(22211---=⋅+---⨯=-=∑∑==n n n n i a T n n ni n i i n 考点：等比数列；分组法求和.18．（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如右图．（1）已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求b a ,的值；（2）该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．【答案】（1）025.0,035.0==b a ；（2）分布列略，186.试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：11001.010015.010*******.0=⨯+⨯+++⨯b a ，又因为[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列所以015.0-=-b b a联立解出025.0,035.0==b a（2）由已知高消费人群所占比例为6.0)(10=+b a ，潜在消费人群的比例为4.0由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人，随机抽取的三人中代金券总和X 可能的取值为：150,180,210,240301)240(31034===C C X P ；103)210(3101624===C C C X P 21)180(3102614===C C C X P ；61)150(31036===C C X P 列表如下：数学期望186615021801021030240=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 考点：频率分布直方图；分层抽样；离散型随机变量的分布列和期望.19．（原创）（本小题满分12分）已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明略；（2）742试题解析：（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且BCD ∆为等边三角形，CD BE ⊥所以⊥BE 平面11C CDD ，而⊆E D 1平面11C CDD ，故E D BE 1⊥因为E D C 11∆的三边长分别为2,21111===D C E D E C ，故E D C 11∆为等腰直角三角形所以E C E D 11⊥，结合BE E D ⊥1知：⊥E D 1平面1BEC（2）解：取AB 中点G ，则由ABD ∆为等边三角形知AB DG ⊥，从而DC DG ⊥以1,,DD DG DC 为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时)0,0,1(),1,0,0(),0,3,1(),0,0,0(1E D A D -,)1,3,1(),1,3,1(11B A -，设)1,3,(λF由上面的讨论知平面1BEC 的法向量为)1,0,1(1-=D由于⊄AF 平面1BEC ，故//AF 平面1BEC 011=⋅⇔⊥⇔E D AF E D AF故001)1()1,0,1()1,0,1(=⇒=-+=-⋅+λλλ，故)1,3,0(F设平面ADF 的法向量为),,(z y x =，)1,3,0(),0,3,1(=-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00知⎩⎨⎧=+=+-0303z y y x ，取3,1,3-===z y x ，故)3,1,3(-= 设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ，则7422732cos =⋅θ 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为742 考点：线面垂直；二面角.20．（原创）（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，椭圆C 和抛物线x y =2交于N M ,两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过椭圆C 右焦点的直线l 和椭圆C 交于B A ,两点，点P 在椭圆上，且2=，其中O 为坐标原点，求直线l 的斜率．【答案】（1）14822=+y x ；（2）26±试题解析：（1）由22=a c 知，可设λλλ2,2,2===b c a ，其中0>λ 由已知),(c c M ，代入椭圆中得：1222=+b c a c 即122212=+λλ，解得2=λ 从而2,2,22===c b a ， 故椭圆方程为14822=+y x （2）设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，由已知),(2),(202011y y x x y x --= 从而21021021,21y y y x x x +=+=，由于P B A ,,均在椭圆8222=+y x 上，故有： 8)21(2)21(,82,8222122122222121=+++=+=+y y x x y x y x 第三个式子变形为：8)2()2()2(41212122222121=+++++y y x x y x y x将第一，二个式子带入得：222121-=+y y x x （*）分析知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 方程为2+=my x ，与椭圆联立得：044)2(22=-++my y m ，由韦达定理24,24221221+-=+-=+m y y m m y y 将（*）变形为：22)2)(2(2121-=+++y y my my即06)(2)2(21212=++++y y m y y m 将韦达定理带入上式得：028222=+-m m ，解得322=m 因为直线的斜率mk 1=，故直线l 的斜率为26± 考点：椭圆标准方程；直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】利用待定系数法即可求得椭圆的标准方程；解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.21．（本小题满分12分）已知函数122)21ln()(+++=x ax x f （1）若0>a ，且)(x f 在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在),0(+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2≥a ；（2）实数a 是存在的，且1=a .【解析】试题分析：（1）原题等价于0)('≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，即04282≥-+a ax 恒成立，分离参数得1422+≥x a ，只需求得函数1422+=x y 在区间),0(+∞值域即可；假设存在这样的实数a ，则1)(≥x f 在),0(+∞∈x 时恒成立，且可以取到等号故1)1(≥f ，即211ln 031)21ln(132)21ln(>⇒=>≥+⇒≥++a a a 从而这样的实数a 必须为正实数，当2≥a 时，由上面的讨论知)(x f 在),0(+∞上递增，12ln 2)0()(>-=>f x f ，此时不合题意，故这样的a 必须满足20<<a ，此时：令0)('>x f 得)(x f 的增区间为),42(+∞-aa 令0)('<x f 得)(x f 的减区间为)42,0(aa - 故114222)2142ln()42()(min =+-++-=-=a a a a a a a f x f 整理得022)212ln(2=+----+-aa a a a a 即0222222)212ln(222=-+---+-aa a a a a ，设]1,21(2122∈+-=a a t ， 则上式即为011ln =--t t ，构造11ln )(--=tt t g ，则等价于0)(=t g由于t y ln =为增函数，11-=t y 为减函数，故11ln )(--=tt t g 为增函数 观察知0)1(=g ，故0)(=t g 等价于1=t ，与之对应的1=a综上符合条件的实数a 是存在的，且1=a考点：利用导函数研究函数的单调性；存在性问题；恒成立问题.【名师点睛】对恒成立与存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ααααcos sin cos sin y x （α为参数） （1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为01)4sin(2=+-θπρ，已知直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求AB ．【答案】（1）222=+y x ；（2）6试题解析：（1）由已知2cos ,2sin y x y x -=+=θθ，结合1cos sin 22=+θθ，消去θ得： 普通方程为1)2()2(22=-++y x y x ，化简得222=+y x（2）由01)4sin(2=+-θπρ知01)sin (cos =+-θθρ，化为普通方程为01=+-y x圆心到直线l 的距离2211122=+=h ， 由垂径定理62122222=-=-=h r AB 考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆的位置关系.23．（原创）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数12)(-=x x f(2)解关于x 的不等式)1()2(+≤x f x f ；(3)若实数b a ,满足2=+b a ，求)()(22b f a f +的最小值．【答案】（1）]1,0[；（2）2（2）2)(21212)()(222222-+≥-+-=+b a b a b f a f由柯西不等式：4)())(11()(22222222=+≥++=+b a b a b a从而22)(222≥-+b a ，即2)()(22≥+b f a f ，取等条件为1==b a 故)()(22b f a f +的最小值为2考点：绝对值不等式的解法；绝对值不等式性质；柯西不等式.：。

秘密☆启用前2016年重庆一中高2017届高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（理科）2016.10数学试题共4页，共24小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题。

（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{12,}A x x x N =-<<∈，{1,0,1}B =-，则A B I =（ ）A ．{1,0}-B ．{0}C ．{1}D ．{0,1}2．等差数列{}n a 中，若43a =，则237a a a ++=（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 3．下列函数为奇函数的是（ ）A ．32()3f x x x =+B ．()22x x f x -=+C ．3()ln 3x f x x +=-D ．()sin f x x x =4．计算2cos 75cos60sin105-o o o 的结果是（ ）A ．12-BC ．D 5．已知非零向量,a b r r 的夹角为60°，且1,21b a b =-=r r r ，则a r =（ ）A ．12B ．1CD ．26．下列说法中正确的是（ ） A ．已知()f x 是可导函数，则“0'()0f x =”是“0x 是()f x 的极值点”的充分不必要条件B ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” C ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题7．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1π+B ．2π+C ．21π+D ．35π++8．已知双曲线22:1,(0,0)C mx ny m n +=><的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．43 B ．53C ．54D ．32 9．（原创）已知()sin(),(0,0,(0,))f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈，其导函数'()f x 的部分图象如图所示，则下列对()f x 的说法正确的是（ ）A ．最大值为4且关于直线2x π=-对称 B ．最大值为4且在[,]22ππ-上单调递增 C ．最大值为2且关于点(,0)2π-中心对称 D ．最大值为2且在3[,]22ππ-上单调递减 10．（原创）在OAB ∆中，4,2OA OC OB OD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，AD ,BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ,BD 于E ,F 两点，若,,(,0)OE OA OF OB λμλμ==>u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A B C D 11．（原创）已知Rt ABC ∆的三边长分别为5,4,3AB BC AC ===，在平面直角坐标系中，ABC ∆的初始位置如图（图中CB ⊥x 轴），现将ABC ∆沿x 轴滚动，设点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则(2017)f =（ ）A B ． C ．4 D ．012．（原创）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且当0x >时，恒有'()ln ()0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(0,1)(1,)+∞UD ．Φ二、填空题。

2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．165．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．2097．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．98．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．39．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．10．（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．42011．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣112．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．二、填空题△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．19．（12分）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．【解答】解：由1，化为：＞0，解得x＜1．可得B（﹣∞，1）．∴∁R B=[1，+∞）．集合A∩（∁R B）=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出y=f（x）的解析式，即可求出y=f（x）的最小正周期．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），横坐标缩短到原来的倍，得到y=f （x）=sin（2x+），T==π，故选B．【点评】本题考查y=f（x）的最小正周期，考查图象变换，确定函数的解析式是关键．4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，渐近线方程为y=±x，点P（，0）到其渐近线的距离为8，即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，可得=8，即有b=8，则a2+64=c2，可得a=4，c=4，则C的实轴长为8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数的运算法则及其函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＞1，1＞b=log43===，c=log85===，可得b＞c．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则及其函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．209【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=8，b=5，S=13满足条件S≤85，a=5，b=13，S=18，满足条件S≤85，a=13，b=18，S=31，满足条件S≤85，a=18，b=31，S=49，满足条件S≤85，a=31，b=49，S=80，满足条件S≤85，a=49，b=80，S=129不满足条件S≤85，输出S的值为129．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．7．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=110对称，利用P（100＜x＜120）=0.6826，P （90＜x＜130）=0.9544，得即可到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），∴P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，根据正态曲线的对称性知：位于120分到130分的概率为=0.1359∴理论上说在120分到130分的人数0.1359×60≈8．故选：C．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3ς原则．8．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2﹣x）=2，即可求出f（6）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=2，∴f（2）=1∴f（6）+f（﹣2）=2，∴f（6）=3，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，考查学生的计算能力，利用f（2+x）+f（2﹣x）=2是关键．9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；条件概率与独立事件．【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256﹣24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=，恰好有两个盒子为空的放法有256﹣24﹣144﹣4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．10．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．420【考点】二项式定理的应用．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r y6﹣r 【分析】（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1=x r﹣k z k．可得两个通项公式相乘（x+z）r，（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．通过分类讨论即可得出．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r 【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1y6﹣r（x+z）r，=x r﹣k z k．（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．令r﹣k+1=2，6﹣r=3，k=2，或r﹣k=2，6﹣r+1=3，k=2．解得k=2，r=3．或k=2，r=4．∴x2y3z2的系数为﹣=120．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣1【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M 点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得y0的范围，进而结合﹣1≤y0≤1且y0＜0，可得y0的范围．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x1+x2的关系式①，x1x2的关系式②．求出AP，BP的方程，进而可得M的坐标，代入圆的方程可得P点轨迹方程；【解答】解：设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．由得y0x2+x0x﹣1=0．（*）由△=x02+2y0=﹣y02+2y0+1＞0，得1﹣＜y0＜1+．又∵﹣1≤y0≤1且y0＜0，∴1﹣＜y0≤0．令A（x1，x12），B（x2，x22），知x1、x2是方程（*）的两个实根，由根与系数的关系，得x1+x2=﹣①，x1x2=﹣②．过A点的抛物线的切线AP的方程为y﹣x12=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12．③同理，BP的方程为y=x2x﹣x22．④联立①②③④，解得，∴，代入x02+y02=1得（）2+（﹣）2=1，整理，得y2﹣x2=1（x∈R，﹣1≤y＜0），这就是点P的轨迹方程．故选：A．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．﹣12．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得+（a﹣1）+a≤0，a≤2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，即可得出．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）．∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，∴f（t）≤0，即+（a﹣1）+a≤0，a≤=2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，则h（t）的最小值=2×﹣1=﹣1．∴a≤﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋•沙坪坝区校级月考）△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）•=2+•=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合目标函数的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（3，4），z=的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知可行域的A与（0，﹣1）连线的斜率最大．∴z=的最大值是：，故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．【考点】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan•tan2B=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．则tanAtan2B=tan•tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），则≤=，等号不成立．∴∈（0，），故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．﹣1【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，}成等差数列，首项为，公差为3．可得：数列{a2k﹣1则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；二项式系数的性质．【分析】（1）由二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，可得a n，b n；（2）求得a n b n=n•2n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．可得a n=2n，b n=2=2n；（2）a n b n=n•2n+1，则前n项和S n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2S n=1•23+2•24+…+n•2n+2，两式相减可得，﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2，=﹣n•2n+2，化简可得S n=（n﹣1）•2n+2+4．【点评】本题考查二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得： +=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵ +=，由余弦定理可得：+=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和数学期望．②由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号节排器的平均利润率较大．【解答】解：（1）至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列为所以数学期望（或）．②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）（2017春•都匀市校级月考）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得丨AB丨，则AB与CD间的距离为，利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的准线方程x=﹣，c=，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4，，得，∴C1和C2的方程分别为．（2）由题意，AB的斜率不为0，设AB：x=ty﹣2，由，得y2﹣8ty+16=0，△=64t2﹣64≤0，得t2≤1，由，得（t2+1）y2﹣4ty﹣4=0，，AB与CD间的距离为，由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形，，设，．即为四边形AF1F2C的面积的取值范围．【点评】本题考查椭圆及抛物线的方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x ﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g （x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．利用=即可得出．【解答】解：（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））化为普通方程：y=xtanα．α∈（0，）．可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．∴t1+t2=2cosα+4sinα，t1•t2=1．∴==2cosα+4sinα=2sin（α+φ）≤2，φ=arctan．∴的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，利用函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，，当且仅当时，取等号．（2）x∈[1，2]时，，所以0＜a＜6．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。

2016年重庆一中高2017级高三上期第二次月考数学试题卷(理科)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}12101A x x x N B =-<<∈=-，，，，，则AB =( ）A ．{}10-，B ．{}0C ．{}1D ．{}01， 【答案】D 【解析】试题分析：由{}{}1,0,21=∈<<-=N x x x A ，故{}1,0=⋂B A ，故选D 。

考点：集合的运算.2.等差数列{}n a 中,若43a =，则237a a a ++=( ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【答案】B考点：等差数列的性质. 3。

下列函数为奇函数的是( ） A ．()323f x x x =+ B ．()22x x f x -=+ C ．()3ln 3xf x x+=-D ．()sin f x x x =【答案】C 【解析】试题分析：A:()41=f ，()2311=+-=-f ，()()11--≠f f ，故排除A ；B ：()252121=+=f ，()252211=+=-f ，()()11--≠f f ，故排除B ；D：()1sin 11=f ,()()()1sin 11sin 11=--=-f ，()()11--≠f f ,故排除D.故选C 。

考点：函数的奇偶性。

4。

计算2cos 75cos15sin105︒-︒︒的结果是（ ）A ．12- B ．264- C ．32-D ．624-【答案】C 【解析】试题分析:23150cos 75sin 75cos 105sin 15cos 75cos 222-==-=-，故选C 。

考点：二倍角公式。

5。

已知非零向量a b ，的夹角为60︒,且121b a b =-=，，则a =（ ） A ．12B ．1 C.2 D ．2 【答案】A考点：向量的数量积。

2017-2018学年重庆一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．cosxdx=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．22．已知集合M={x|x2﹣3＞0}，N={n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M=（）A．{2，3}B．{3}C．[0，）D．[2，+∞）3．已知函数f（x）=e|x﹣1|在区间[a，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣14．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）内．A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）5．若f（x）=1﹣2x，g[f（x）]=2x+x，则g（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．﹣D．66．△ABC的内角A、B、C所对的边是a、b、c．若b=a•cosC+c•sinA，则内角A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．下列说法中错误的是（）A．“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．B．若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3．C．若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是真命题8．某正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示．若它的体积为2，则它的侧视图面积为（）A．2B．3 C．2 D．49．sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=（）A．﹣B．C．﹣D．10．在区间（0，1）内随机抽取两个数x和y，恰好满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．11．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．π12．已知函数，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜4 B．C．﹣2＜k≤1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知2a=5b=，则+=．14．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则sin2α=．15．△ABC的内角为A、B、C，其中A=，cosC=，BC=．点D是边AC的中点，则中线BD的长为．16．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x﹣2）+f（﹣x）=0；（2）f（2﹣x）=f（x）；（3）在（﹣1，1]上的表达式为f（x）=．已知函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有个解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值；（2）求出f（x）的所有极值．某市环保局从一年天的市区监测数据中，随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）用样本数据来估计全年大概有多少天空气质量超标？（2）求样本数据的中位数；（3）从样本数据中任取2天的数据，记ξ为这2天里空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望．19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A A1中，点B、C在线段AA′上，点B1、C1在线段A1A1′上，且有CC1∥BB1∥AA1，AB=3，BC=4．连结对角线AA1′，分别交BB1和CC1于点P和点Q．现将该正方形沿BB1和CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，连结AQ．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R），函数g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx．（1）求出f（x）的单调区间；（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答。

重庆市第一中学2017届高三上学期期中考试文数试答 案一、选择题 1~5．BBCCA 6~10．DBBDA 11~12．CD 二、选择题13．9π2 15．π316．2三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解:()1设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为12a =，2a 为整数 所以公差d 为整数由等差数列的通项公式得[]3123,5a a d =+∈，即得1322d ≤≤， 所以1d =，所以数列{}n a 的通项公式为()211n a n n =+-=+；()2因为数列{}n a 是等差数列；所以21111112213n n n b d a a n n +⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++L1111111111111=224354657213n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11111=22323n n ⎡⎤+--⎢⎥++⎣⎦()()525=12223n n n +-++18．解:()1因为sin sin sin sin 5a Ab Bc C B +-=，由正弦定理得2225a b c +-=， 又因为22cos 2a b cC ab+-=，所以cosC 10=，由同角三角函数得sinC =因为cos A =，所以sin A =， 因为在三角形中()cos cos B A C =-+，所以()cos cos cos sin sin B A C A C =--=-=⎝⎭所以在ABC △中π=4B ， ()2由正弦定理得10sin sin b Aa B===所以11sin 10602210ABC S ab C ==⨯⨯=△， 考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积． 19．()1证明:∵CMD △是等腰直角三角形，90CMD ∠=o ，点O 为CD 的中点， ∴ OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =OM ⊂面BCD ，∴OM ⊥平面BCD ∵AB ⊥平面BCD ， ∴OM AB ∥∵AB ⊆平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM ∥平面ABD ，（2）由()1知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． ∵4AB BC ==，BCD △是等边三角形， ∴4,2BD OD ==，连接OB，则,OB CD OB ⊥=A BDM M ABD O ABD A BDO V V V V ----====∴三棱锥A BDM -的体积为3． 20．解:()1因为离心率e c a ==c ， 又以()1,0M为椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切，b ，即1b =，因为222a b c =+，所以2221a a ⎫=+⇒=⎪⎪⎝⎭，所以椭圆C 标准方程2213x y +=；()2①当直线斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,y x ==,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 因为132k k +=，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =． ②当直线的斜率存在时，设点()()1122,,,A x y B x y ，设直线():1l y k x =-，联立椭圆整理得:()2222316330kx k x k +-+-=，根据关系略，所以()()()()()()12211213121221321322=3333k x x k x x y y k k x x x x ⎡--⎤-+⎡--⎤---⎣⎦⎣⎦+=+---- ()()()1212121224261239kx x k x x k x x x x -++++-++()2221262126k k +=+，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =． 21．解:()1当x 为常数时，()()322223436163141f t x tx t x t xt x t x =+-+-=-+++- ()()21231f t xt x '=-++()()222123132121f t xt x x t t '=-++=--+，当t ⎡∈⎢⎣⎦，()()0,f t f t '≥在t ⎡∈⎢⎣⎦上递增，其最小值()()3041x f x ϕ==-，()2令()3224361g x x tx t x t =+-+-，()()()221266=62g x x tx t x t x t '=+--+，由()0,t ∈+∞，当x 在区间()0+∞，内变化时，()g x 与()g x '变化情况如下:①当12≥，即2t ≥时，()g x 在区间()01，内单调递减， ()()()()2010,1643232346230g t g t t t t =->=-++=--+≤--+<，所以对任意[)()2.,t g x ∈+∞在区间()0,1内均存在零点，即存在()0,1x ∈，使得()0g x =．②当012t <<，即02t <<时，()g x 在02t ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增， 所以2tx =时，函数()g x 取最小值3714t t -+-，又()01g t =-，若(]0,1t ∈，则()2211116436033g t t t ⎛⎫=-++=--+> ⎪⎝⎭，()37104t t -+-<，所以()g x 在12t ⎛⎫⎪⎝⎭，内存在零点； 若()1,2t ∈，则()3377010,11044g t t t t t ⎛⎫=->-+-=-+-< ⎪⎝⎭，所以()g x 在02t ⎛⎫⎪⎝⎭，内存在零点，所以，对任意()()0,2t g x ∈，在区间()01，内均存在零点，即存在()0,1x ∈，使得()0g x =． 结合①②，对任意的()0,t ∈+∞，总存在()0,1x ∈，使得0y =．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程．解:∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()22315x y -+-= 曲线C 表示以()3,1将cos θy sin θx ρρ=⎧⎨=⎩代入并化简:26cos θ2sin θ50ρρρ+-+=， 即曲线的极坐标方程为26cos θ2sin θ50ρρρ+-+=()2∵的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为2d =．23．（本小题满分10分） 选修45-：不等式选讲 解:()1由()()12121x x x x -+-≥---=， ∵12x x m -+-≥对x ∈R 恒成立1m ≤， ∴m 最大值为()2由()1知1k =，即111123a b c++= ()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭22333392332a a b b c c b c a c a b ++++++≥+， ()1C 1当且仅当23a b c ==时等号成立 ∴239a b c ++≥．重庆市第一中学2017届高三上学期期中考试文数试解 析一、选择题 1．【答案】B【解析】试题分析:由()()22i 1i 2i 23i+i 13i 1izz =+⇒=++=+=++， 由共轭复数定义得z 13i =-，故答案选B;考点:复数的运算；共轭复数． 2．【答案】B【解析】试题分析:因为()()31013x x x --≤⇒≤≤，所以{}13N x x =≤≤， 又因为{}3M x x =≥，所以{}3M N x x ==I 所以阴影部分为(){}13N C M N x x =≤≤I 故答案选B考点:集合的表示；集合间的运算． 3．【答案】C【解析】试题分析:由直线方程为cos300sin3003x y +=o o ；所以直线的斜率为()()cos 60cos300cos(36060)cos60=sin 300sin(36060)sin 60sin 60k --=--=-=--o o o o o o o o o o因为直线倾斜角的范围为0180⎡⎤⎣⎦o ，，所以倾斜角为30度，故答案选择C;考点:直线的斜率；直线的倾斜角． 4．【答案】C【解析】试题分析:因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=-+--=+=， 所以()f x 是偶函数 故答案选C 考点:函数的奇偶性 5．【答案】A【解析】试题分析:设点()12--，关于直线1x y +=对称的点坐标是(),m n ，所以()121322,12112m nm m n n -+-+⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨--=⎩⎪⨯-=-⎪--⎩， 故答案选择A考点:两点关于一直线对称． 6．【答案】D【解析】试题分析:由三视图知，该棱锥如图所示，OC ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为1的正方形，12,111,S 1212ABCD OBC OCD OC S S ==⨯===⨯⨯=△△，112OAD OAB S S ==⨯△△，所以该棱锥的表面积为111322++++=+． 故答案选D 7．【答案】B【解析】试题分析:令()30x f x x =+=，则3x x =-，所以3x y =与y x =-交点的横坐标为a ， 同理可得，3=log y x 与y x =-交点横坐标为b ，3=log y x 与3y =交点横坐标为c ，如图所示，易知a b c <<， 故答案选B 考点:函数与方程． 8．【答案】B【解析】试题分析，因为超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若小于0.5千米则不另外收费；若大于或等于0.5千米则按一千米收费；当车程超过3千米时，则另收燃油附加费1元．所以当3x >时，所收费用为11103212522y x x ⎡⎤⎡⎤=+-+⨯+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案选B;考点:程序框图；分段函数；函数模型的应用． 9．【答案】D【解析】试题分析:因为不等式组13220x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过所有四个象限所以原点()00，在该区域内 所以20λ->，即2λ>， 故答案选D考点:二元一次不等式组表示的平面区域；线性规划． 10．【答案】A【解析】试题分析:因为在ABC △中，90,6,8ACB BC AC ∠===o ，所以638410,sin ,sin 105105AB A B =====， 设,010AP x x =≤≤，则10PB x =-，所以则P 到,AC BC 的距离的乘积为()()()()3412sin sin 10105525AP A BP B x x x x •⨯•=⨯⨯⨯-=-， 当5x =时，上式取得最大值为()125105=1225⨯⨯-， 故答案选A;考点:解三角形；二次函数的实际应用． 11．【答案】【解析】试题分析:曲线y =表示圆224x y +=的下半圆，直线240kx y k -+-=过定点()2,4--，如图所示，直线3542y x =-与圆224x y +=的下半圆相切 过点()24--，与点()20，的直线斜率为40=122----，曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围314⎛⎤⎥⎝⎦，，故答案选C考点:函数与方程．【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:1．直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2．分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3．数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．【答案】DC【解析】试题分析:因为对任意0x >都有()()3f x f ≥成立 所以()f x 的最小值为()3f因为函数()()23ln 0,f x x ax bx a b =-++>∈R所以()23232ax bx f x ax b x x-+-'=++=， 因为0a >所以方程223=0ax bx +-在0x >范围内只有一根3x = 所以1831016a b a +-=⇒- 所以ln 1ln 62a b a a ++=-+ 设()ln 62g x x x =-+()1166xg x x x-'=-=所以()g x 在106⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减所以()max 11ln 11ln 6066g x g ⎛⎫==+=-< ⎪⎝⎭即ln 101a b b ++<⇒-- 故答案选D考点:函数的恒成立；构造函数．【名师点睛】本题函数的定义域为()0+∞，，且由题目条件任意0x >都有()()3f x f ≥成立，可以确定()f x 的最小值为()3f ，继而得知3x =为函数()f x 的一个极小值点，可得16b a =-的关系式，所以本题即可转化为求ln 1ln 62a b a a ++=-+的最大值或最小值问题． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分 13．【答案】9π2【解析】试题分析:长方体的长宽高分别为2，1，232， 由球的体积得:该长方体的外接球的体积为3439ππ322V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，考点:长方体的外接球．14．【答案】112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】试题分析:因为函数12log xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数所以11112222110log 1log 1log log 122a a a <<⇒<<⇒<<， 考点:指数函数的单调性；对数函数的单调性． 15．【答案】π3【解析】试题分析:设圆锥的母线长l ，半径为r ，高为h ，圆锥的侧面积为12ππ2l rl ••=， 过轴截面面积为12r 2h rh ••=，所以π122rl h rh l π=⇒=，所以母线与轴的夹角大小为π3，考点:圆锥的结构特征． 16．【答案】2【解析】试题分析:由题目条件得:()()()()()()22=2-1=12212110f f f f f ⇒-==-=()()()()()()()()3243022211f x f f x f f x f f x f ⇒===⇒===-=，故()n f x 的周期为3，()()()016672332222f f f ⨯===，故答案为2，考点:函数求值；分段函数；函数的周期性．【名师点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值．另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】()11n a n =+；()2()()52512223n n n +-++ 【解析】试题分析:()1因为等差数列{}n a 的12,a a =为整数，所以公差为整数，设公差为d ，则x[]3123,5a a d =+∈，即可求得d 的值；()2因为数列{}n a 是等差数列，所以21112n n n b d a a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用裂项求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n T 试题解析:()1设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为12a =，2a 为整数 所以公差d 为整数由等差数列的通项公式得[]3123,5a a d =+∈，即得1322d ≤≤， 所以1d =，所以数列{}n a 的通项公式为()211n a n n =+-=+；()2因为数列{}n a 是等差数列；所以21111112213n n n b d a a n n +⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++L1111111111111=224354657213n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11111=22323n n ⎡⎤+--⎢⎥++⎣⎦()()525=12223n n n +-++ 考点:等差数列；裂项求和． 18．【答案】()1π4；()2 【解析】试题分析:()1利用正弦定理把sin sin sin sin a A b B c C B +-=化成222a b c +-=， 再利用余弦定理即可求得角C ；又因为在三角形中，有()cos cos B A C =-+，利用三角函数的和差公差展开即可求得cos B 的值，继而求得B 的值；()2利用正弦定理求得a 的值，由面积公式1sin 2S ab C =即可求得ABC △的面积． 60试题解析:()1因为sin sin sin sin 5a Ab Bc C B +-=，由正弦定理得2225a b c +-=， 又因为22cos 2a b cC ab+-=，所以cosC 10=，由同角三角函数得sinC =因为cos A =，所以sin A =， 因为在三角形中()cos cos B A C =-+，所以()cos cos cos sin sin B A C A C =--=-=⎝⎭所以在ABC △中π=4B ， ()2由正弦定理得10sin sin b Aa B===所以11sin 10602210ABC S ab C ==⨯⨯=△， 考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积． 19．【答案】()1证明略；()2 【解析】试题分析:()1因为CMD △是等腰直角三角形，点O 为CD 的中点，所以OM CD ⊥，因为平面CMD ⊥平面BCD ，由面面垂直的性质定理得OM ⊥平面BCD ，故得OM AB ∥由线面平行的判定定理即得OM ∥平面ABD ;()2由()1知OM ∥平面ABD ，所以A BDMM ABD O ABD A BDO V V V V ----===，试题解析:()1证明:∵CMD △是等腰直角三角形，90CMD ∠=o ，点O 为CD 的中点，∴ OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =OM ⊂面BCD ，∴OM ⊥平面BCD ∵AB ⊥平面BCD ， ∴OM AB ∥∵AB ⊆平面ABD ，OM ⊄平面ABD ， ∴OM ∥平面ABD ，（2）由()1知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． ∵4AB BC ==，BCD △是等边三角形， ∴4,2BD OD ==，连接OB ，则,OB CD OB ⊥=A BDM M ABD O ABD A BDO V V V V ----====∴三棱锥A BDM -． 考点:线面平行的判定；面面垂直的性质；体积．20．【答案】()12213x y +=；()232n m =【解析】试题分析:()1因为离心率e c a ==c ，又以()1,0M 为椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -=b ，再结合222a bc =+，求得1a b =，即求得椭圆C 标准方程；()2①当直线斜率不存在时，直线:1l x =，直线l 与椭圆C 的交点,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以132k k +=，又1323k k k +=，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =． ②当直线的斜率存在时，设点()()1122,,,A x y B x y ，设直线():1l y k x =-，联立椭圆整理得:()2222316330k x k x k +-+-=，根系关系略，所以1213122233y y k k x x --+=+--化简得()()()121212121224261239kx x k x x k k k x x x x -+++++=-++，结合韦达定理得132k k +=，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =．试题解析:()1因为离心率e c a ==c =， 又以()1,0M为椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切，b ，即1b =，因为222a b c =+，所以2221a a ⎫=+⇒=⎪⎪⎝⎭，所以椭圆C 标准方程2213x y +=；()2①当直线斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,y x ==,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 因为132k k +=，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =． ②当直线的斜率存在时，设点()()1122,,,A x y B x y ，设直线():1l y k x =-，联立椭圆整理得:()2222316330kx k x k +-+-=，根据关系略，所以()()()()()()12211213121221321322=3333k x x k x x y y k k x x x x ⎡--⎤-+⎡--⎤---⎣⎦⎣⎦+=+---- ()()()1212121224261239kx x k x x k x x x x -++++-++()2221262126k k +=+，所以223k =，所以,m n 的关系式为32n m =． 考点:椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法:根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出22a b ,，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及设直线方程问题，一定要注意直线的斜率是否存在，往往会漏解． 21．【答案】()1()341x x ϕ=-；()2证明略．【解析】试题分析:()1当x 为常数时，则函数即为关于t 的函数，求出此函数再区间⎡⎢⎣⎦的单调性，即可求得函数y 的最小值()x ϕ；()2设()3224361g x x tx t x t =+-+-，先求函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可证明．试题解析:()1当x 为常数时，()()322223436163141f t x tx t x t xt x t x =+-+-=-+++- ()()21231f t xt x '=-++()()222123132121f t xt x x t t '=-++=--+，当t ⎡∈⎢⎣⎦，()()0,f t f t '≥在t ⎡∈⎢⎣⎦上递增，其最小值()()3041x f x ϕ==-，()2令()3224361g x x tx t x t =+-+-，()()()221266=62g x x tx t x t x t '=+--+，由()0,t ∈+∞，当x 在区间()0+∞，内变化时，()g x 与()g x '变化情况如下:①当12t≥，即2t ≥时，()g x 在区间()01，内单调递减， ()()()()2010,1643232346230g t g t t t t =->=-++=--+≤--+<，所以对任意[)()2.,t g x ∈+∞在区间()0,1内均存在零点，即存在()0,1x ∈，使得()0g x =．②当012t <<，即02t <<时，()g x 在02t ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增， 所以2tx =时，函数()g x 取最小值3714t t -+-，又()01g t =-，若(]0,1t ∈，则()2211116436033g t t t ⎛⎫=-++=--+> ⎪⎝⎭，()37104t t -+-<，所以()g x 在12t ⎛⎫⎪⎝⎭，内存在零点； 若()1,2t ∈，则()3377010,11044g t t t t t ⎛⎫=->-+-=-+-< ⎪⎝⎭，所以()g x 在02t ⎛⎫⎪⎝⎭，内存在零点，所以，对任意()()0,2t g x ∈，在区间()01，内均存在零点，即存在()0,1x ∈，使得()0g x =． 结合①②，对任意的()0,t ∈+∞，总存在()0,1x ∈，使得0y =． 考点:导函数的应用；函数的零点．【名师点睛】此题是一道多元变量问题，在第一问中已知变量t 的范围，求最小值()x ϕ，实际上就是把t 作为自变量，此时这个函数是关于t 的函数，求导求得单调性即可得得最小值；对于第二问题，可以利用导函数求得单调性，然后求得极值和端点值，再利用零点存在性定理即可判定函数零点的存在．本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程． 【答案】()1(26cos θ2sin θ50,2ρρρ+-+=【解析】试题分析:()1利用22sin θcos θ=1+，即可把参数方程转化为平面直角坐标系方程，然后在利用cos θ,y sin θx ρρ==就可以把方程化为极坐标方程；()2由()1知曲线C 的平面直角坐标系方程为圆的方程，直线的极坐标1sin θcos θ=ρ-为直线1y x -=，然后利用弦长公式即可求解．试题解析:∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()22315x y -+-=()1曲线C 表示以()3,1将cos θy sin θx ρρ=⎧⎨=⎩代入并化简:26cos θ2sin θ50ρρρ+-+=， 即曲线的极坐标方程为26cos θ2sin θ50ρρρ+-+=()2∵的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为d =．考点:参数方程；极坐标方程；弦长公式． 23．（本小题满分10分） 选修45-：不等式选讲 【答案】()11；()2证明略，详见解析．【解析】试题分析:()1原不等式等价于()min23x x m -+-≥，由绝对不等式的性质()()x a x b x a x b +++≥+-+，即可求得23x x -+-的最小值；()2由()11k =，即111123a b c++=，再利用“1”的代换，然后使用基本不等式就可证明． 试题解析:()1由()()12121x x x x -+-≥---=， ∵12x x m -+-≥对x ∈R 恒成立1m ≤， ∴m 最大值为()2由()1知1k =，即111123a b c++= ()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭22333392332a a b b c c b c a c a b ++++++≥+， 当且仅当23a b c ==时等号成立 ∴239a b c ++≥．考点:绝对值不等式；基本不等式．C 1。