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一、迭代变换简介在作图中，经常会出现循环，重复的过程，利用“迭代命令”可以达到此目的。
迭代就是依照一个预先定义的迭代规则对一系列有关系的几何对象或数值反复映射的过程。
利用迭代可以研究许多几何分形和函数迭代的问题。
几何画板的迭代就是将每一次映射的结果代入进行再一次映射，如此重复若干次的过程。
这个过程必须有一个初值，在几何画板里称为原象。
原象经过映射而得到的结果称为初象。
我们可以把简单迭代的过程大致用这样的方式来表达：F （原象）=初象1； 第一次迭代F (初象1) =初象2； 第二次迭代. .. .. .F (初象n -1) =初象n ； 第n 次迭代只有当迭代产生的前提条件都具备了，迭代命令才可用。
原象和迭代规则f 是迭代产生的前提条件。
原象必须是独立的点、路径上的点、独立的值或参数值，迭代规则是通过原象经过一系列变换或计算所得的结果（即原象对应的初象）来定义。
所以当你选定了原象点和初象点（或相应的数值），此时“变换”菜单中的“迭代”命令才可用。
几何画板中的迭代次数通过两种方式来控制，一种是没有参数的迭代，迭代的次数通过菜单来控制；另一种是带参数的迭代，称为深度迭代，迭代的次数通过修改参数的值来改变。
两种迭代在最终结果上是一样的，后者在控制迭代次数上更方便一些。
如图3.22，作点A 及BCD ∆，然后让BCD ∆绕点A 旋转︒60得到一个新的三角形，如果我们希望这个过程重复下去，则选中ABC 三点（若是深度迭代，还要同时选定参数，参数的设置方式见本节内容），单击“变换”菜单的“迭代”命令（按住shift ，则是“带参数的迭代”命令，则出现如图3.23的迭代属性对话框：图3.22 图3.23对应的顶点，从而如图3.24建立一个原象与初象间的映射：此时单击新三角形与BCD图3.24单击“显示”可以增加或减少迭代次数，单击“结构”可以“添加新的映射”来建立另外的映射，几何画板的迭代功能可以同时进行多个映射。
《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：迭代与分析实验日期：2016/05/031．实验目的了解分形几何的基本特性了解通过迭代方式产生分形图的方法欣赏美妙的分形艺术了解分形几何的简单应用2．实验任务对一条横向线段，先将其等分成4段，然后将第2段向上平移，将第3段向下平移，再将4段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成下图。
继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。
编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。
图1Minkowski香肠1次迭代3．实验过程3.1实验原理通过观察该图形可以得知，该图形的相似形个数为8，边长放大倍数为4。
所以要把八条边进行迭代运行，同时把每个点的坐标放入数组中。
3.2算法与编程minkowski的算法代码：function plotminkowski(k)p=[0,0;10,0];n=1;A=[0,1;-1,0];for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d-d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+3*d-d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;endn=8*n;clear p;p=[r;q2];endfigureplot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图axis equal3.3计算结果或图形执行命令行：plotminkowski(4)输出图形：图3.3.1四次迭代的minkowski分形图执行命令行：plotminkowski(3)输出图形：图3.3.2三次迭代的minkowski分形图执行命令行：plotminkowski(1)输出图形：图3.3.3一次迭代的minkowski分形图3.4结果分析相似形个数：m=8边长倍数：c=4minkowski分形维度d=ln m/ln c=1.54. 实验总结和实验感悟通过这次实验，我们以迭代的方式来体验生成分形图的过程，从而对分形几何有了一个直观的了解，并感受美丽的分形图案。
试验二迭代与分形一、实验目的与要求1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构；4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、问题描述几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。
传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。
但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。
虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。
如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。
三、问题分析在我们的世界上，存在着许多极不规则的复杂现象，比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市场上价格的起伏图等，为了获得解释这些极端复杂现象的数学模型，我们需要认识其中蕴涵的特性，构造出相应的数学规则。
曼德尔布罗特（Mandelbrot）在研究英国的海岸线形状等问题时，总结出自然界中很多现象从标度变换角度表现出对称性，他将这类集合称作自相似集，他发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。
Mandelbrot 将这类几何形体称为分形(fractal)，意思就是不规则的、分数的、支离破碎的，并对它们进行了系统的研究，创立了分形几何这一新的数学分支。
Mandelbrot 认为海岸、山峦、云彩和其他很多自然现象都具有分形的特性，因此可以说：分形是大自然的几何学。
分形几何体一般来说都具有无限精细的自相似的层次结构，即局部与整体的相似性，图形的每一个局部都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本。
早在19世纪就已经出现了一些具有自相似特性的分形图形，比如：瑞典数学家科赫（von Koch）设计的类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，即Koch曲线；英国植物学家布朗通过观察悬浮在水中的花粉的运动轨迹，提出来的布朗运动轨迹。
几何画板实验报告实验八使用“迭代”功能绘制复杂几何图形一、实验目的：初步理解迭代功能的若干要素，通过实例的操作领会迭代功能的含义。
二、实验内容a1，公比为q的数列。
1、分别以点和参数为迭代对象，用两种方法绘出首项为（要求绘出十个实点以上，并用迭代控制迭代次数）。
2、实验教材$2.20及本节例题2.⑴画正弦波⑵例2a n=（n+2）（9/10）^n的图形（要求绘出十个实点以上，并用迭代控3作出数列制迭代次数）。
三、实验步骤和结果1、方法一：①打开【图表】中的【显示网格】。
②作出q：在横坐标轴上做一点A，过A做横坐标的垂线，在垂线取一点，度量出这一点的纵坐标，标签改为q。
a1：在横坐标上另取一点，作出通过此点且垂直于横坐标的③作出a1。
垂线，在垂线上取一点，标签改为a1向右平移一个单位，过此点做横坐标轴的垂线与横坐标轴交④把点a1与交点的连线，选中线段和点于一点，把此点标记为中心，标记比值q，作出a1，以q倍缩放得到''1a。
a1⑤新建参数t，把数值改为10。
隐藏一些没用的点和线段。
选中点''1a，得到所和t，再单击【变换】，按住【shift】单击【带参数的迭代】，单击要的点列。
⑥把原点的标签改为o，单位点的标签改为数字1，用线段画出坐标轴的箭头。
方法二：①打开【图表】中的【显示网格】。
把原点的标签改为o，单位点的标签改为数字1，用线段画出坐标轴的箭头。
②作出q：在横坐标轴上做一点，过此点做横坐标的垂线，在垂线取一点，度量出这一点的纵坐标，标签改为q。
③在横坐标上另取一点，作出通过此点且垂直于横坐标的垂线，在a1。
垂线上取一点，度量次点的横坐标，标签改为a1/q和a1/q*q^((n-1)-1)。
新④新建参数n，计算n+1、n+1-1、建参数t，数值改为10。
⑤选中n和t，按住【shift】单击【带参数的迭代】，单击n+1，得到一个表格。
⑥右击选中表格，选中【绘制表中记录】，把x改为n+1-1，y把改为a1/q*q^((n-1)-1)。
几何画板中的迭代和带参数的迭代实验报告一、实验目的1、新建参数以及参数动画按钮的制作2、掌握带参数的迭代思想和操作步骤3、学会通过了解父对象和子对象的关系来逆向分析已有的几何画板课件二、实验原理通过带参数的迭代建立参数与图形之间的关系。
制作参数动画按钮时，参数的变化引起图形个数的变化。
三、实验内容运用几何画板逆向分析圆的面积公式推导课件，并将课件还原制作出来。
四、实验课时：8课时五、实验步骤（略）一、方法：分割拼凑法、划曲为直展开法（等腰三角形）、划曲为直展开法（直角三角形）。
二、实施步骤方法一：分割拼凑法1.新建文件新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：圆的面积推导分割拼凑法。
2.构建参数：【数据】—【新建参数】—构建两个参数：半径r=3厘米，t1=6。
【数据】—【计算参数】—【计算2个数据：分别是2*trunc(t1) 和360度/ 2*trunc(t1) 】。
3.做圆和分割圆：选择【点工具】—在空白处做点A—（保持A为选中状态）+选中r—【构造】—【以圆心和半径作圆】—（保持圆为选中状态）【构造】—【圆上的点】（为点B）。
选中参数360度/ 2*trunc(t1) —鼠标右击—【标记角度】，【双击点A+选中点B】—【变换】—【旋转】—【确定】（得到点B’）。
依次选中点A，点B，点B’—【构造】—【圆上的弧】—（保持弧选中状态）【构造】—【弧内部】—【扇形内部】。
选中点B+选中参数2*trunc(t1)—【按住shift 键】—【变换】—【深度迭代】—【将点B迭代到点B’】—【确定】(得到一个分割好扇形的圆)。
4.做分割后的一个扇形：选中点B+选中点B’—【度量】—【距离】—（保持参数选中状态）鼠标右击【标记距离】。
选择【点工具】—在空白处作点C—【变换】—【平移】（按标记距离平移，得到点C’）。
选中点C和点C’+选中参数r —【构造】—【以圆心和半径作圆】—取两圆上面交点D.。
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何 佛山市南海区石门中学 谢辅炬 分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。 1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。 2. (A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。 【Sierpinski三角形】 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。 著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。 【步骤】 1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。 2. 新建参数n＝3 3. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)。 4. 添加新的映射, (B,C,A)(B,E,D)。 第 3 步 第 4 步 5. 继续添加映射。(B,C,A)(E,C,F) 6. 改变参数n可观察图形变化。
第 5 步 第 6 步 【Sierpinski地毯】 和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。 【步骤】 1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。 2. 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分； 3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。
第 2 步 第 3 步 4. 新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）
（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。 如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？ 【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】 毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。 【步骤】 1. 在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取
半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。 2. 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。 3. 新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。
第2 步 第 3 步 4. 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的
效果。当E点在OCD的中点时，整个树显出对称美。 【分形树】 【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。 【过程】 1. 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。 2. 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。 3. 双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。 4. 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。
第 3 步 第4 步 5. 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。
6. 移动C点的位置，改变树枝的形状。 【KOCH 曲线】 瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60o的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，
第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为60o的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。 【步骤】 1. 画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。 2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。 3. 新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示） 4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。
5. 改变参数n，观察图形变化。 【KOCH雪花】 因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。 柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。 【步骤】 1. 在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。
2. 以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。
【数学之美】 【 步骤】 1. 任取两点A、B，并作正方形ABCD。 2. 在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。 3. 双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。 4. 新建参数n＝5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代，(A,B)(F,E) 。如下图所示：
5. 选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。
【H迭代】 【步骤】 1. 在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。 2. 以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。 3. 同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB
