几何画板迭代全解(谢辅炬)

几何画板迭代全解佛山市南海区石门中学谢辅炬目录✧迭代的基本概念以及迭代的基本操作◆迭代的概念◆迭代在代数、几何中的应用◆画正多边形◆数列的图像、前n项和与积✧迭代与分形几何◆Sierpinski 三角形◆Sierpinski 地毯◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树◆分形树◆KOCH 曲线◆KOCH Snowflake柯克雪花◆数学之美◆H迭代◆蜂巢◆其它分形欣赏✧函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集◆迭代法求方程解◆MIRA◆Henon-Attractor◆Mandelbrot集合◆Julia Sets集合◆牛顿迭代法✧下期预告第一章：迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。

通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。

最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。

递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。

我们先来了解下面这几个最基本的概念。

迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。

原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。

与原象是相对概念。

更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。

我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。

以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。

在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。

图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。

所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。

在几何画板中，如何用“迭代法”构造二次函数轨迹及动态演示函数图象的生成过程？下面以二次例函数.2y 05x x 6=-++为例（见最后的截图）：1.定义直角坐标系，绘制函数.2y 05x x 6=-++的图象；2.描图象“轨迹”的起点：新建参数=.1x 37-→计算().1y x 455=-（计算过程：数据→计算→点击.2y 05x x 6=-++→点击=.1x 37-→确定即可完成）→同时选定=.1x 37-和().1y x 455=-绘图绘制点即可完成（也可分别点选输入绘制）；3.新建.b 02=，计算.1x b 350+=-；4.新建反映迭代次数的参数n 47=（注意数据设置成整数，并注意迭代范围和速度时间和单位的设置）；5.迭代：同时选定=.1x 37-、n 47=→按住Shift →变换→深度迭代→=.1x 37- →+.1x b 350=-（点击+.1x b 350=-即可）→迭代.见上面的示意图，若不需要标示的迭代，只需选定=.1x 030和n 22=来进行迭代（见反比例函数的示意图）；6.在x 轴上构造控制轨迹线段，线段的终点(如图的M )：建立参数+.1x n b 564⋅=，通过“绘图”的绘制点点击和输入的方式（+.1x n b 564⋅=，0）完成；线段起点(如图的N )可以点选完成，落在迭代轨迹的起点的区间内，这样动画的效果更好；构造线段MN .7.在x 轴上构造控制轨迹线段的控点和构造轨迹：选定线段→线段上的点→平移点→过线段上的点→作射线或直线（若轨迹在正半轴和负半轴则作直线）或作垂直于x 轴的直线（道理是一样的）→构造此射线或直线与函数图象的交点→选择线段上的构造的点和交点→构造→轨迹.8.隐藏不需要的点、线、迭代等（包括隐藏原反比例函数的图象、动画参数表）；9.选定迭代次数的按钮n 47=，制作动画按钮（设置范围和速度等）.补充说明：①、构造轨迹的辅助平移点的环节可以舍去，直接过“线段上的点”作轴的垂线（直线、射线），再构造交点，构造轨迹；②、要使动画不显得那么慢，除了速度设置，还可以把作为迭代平移的+.1x b 350=-中平移距离参数b 值设置大一些；③、要使轨迹动画全覆盖，除了构造轨迹的线段的端点注意设置，还要注意迭代次数的参数范围比轨迹参数实际的设置大一些来解决.④.若在动画演示中显现坐标，设计还要多一些步骤.动画参数的范围的范围要反映迭代次数的范围.⑤.比如本例输入在0～47之间.见截图（截图上的的一些点线还没有作隐藏，课件完成后根据需要作隐藏）：郑宗平 2015/7/29。

例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。

关键词：几何画板；深度迭代；数学课件几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。

笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。

现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。

•深度迭代功能在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。

这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。

几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。

原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。

几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。

•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术"，其体现了朴素的极限思想。

在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。

(2)制作步骤①画一个圆，在圆上取一点A,圆心标记为0。

将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n,参数值为6,计算和的值。

②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。

几何画板迭代详解之:迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。

分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。

欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的.分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。

人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。

分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。

因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。

1.用（A，B，C）表示有顺序的两点A、B和C.2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I，如此类推。

【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯"、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛"。

如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。

它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。

著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。

不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割——-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。

Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski 三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。

【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F，连接DEF.2.新建参数n＝33.顺次选择B，C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。

在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中，以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段，特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用；“迭代”构图要弄清以下几个方面问题：1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思，简单点说“迭代”就是一种重复操作，将上一步的参数保持不变，再执行一次的意思. （“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变）. 迭代分为两种类型：第一种类型是简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点） → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点） → 最后按迭代按钮，即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.（后面的图②③④都是简单迭代）第二种类型是深度迭代：按照设定参数确定迭代次数，不用进入迭代菜单，直接控制参数的增减就能控制迭代的深度（次数的多少）.①.构造方法：选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.（见下面的截图①） ②.作用：简化重复作图过程，选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键，按“＋”号增加迭代，选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象：产生迭代序列的初始对象（起点的位置），通常称为“种子”.原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件，原象点必须是自由的点或自由路径上的点（主要不受其它路径控制的端点！“自由”是个关键词，即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点）. 如：正方形ABCD 是由线段AB “变换”（这里是旋转）和“构造”方式得到的，所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点（见组图②）；而线段BC CD DA 、、 以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后，点B 可以作为建立迭代关系的后原象点，而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点（不受其它路径控制，比如起始线段的端点）才是原象点，而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象 ：原象经过一系列变换操作而得到的象（第二个点的位置），与原象是相对概念. 初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立，不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点，只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点（因为它是以正方形的边为基础），但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点，抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注：通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点，此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点，也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②：选定A B 、作为原象点，而边的中点E F 、 作为初象点来迭代构图.组图③：直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====；此时选定A B C D E 、、、、作为原象点，截取的得到点H I J K L 、、、、 作为初象点进行迭代构图.组图④：以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ，再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点，以A C 、为初象点迭代构图，不但可以构造一个正五边形，还可以把其中点五边形同时构造出来，残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的？②④③利用几何画板的“迭代”功能构图，关键是映射点（初象点）与原象点的“迭代”对应关系，在选择对应的初象点是要注意方向；“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明：例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点，点C 为初象点，则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……，依次类推！.（见截图⑤） ⑫.若以点A 为原象点，点C 为初象点，则点C 会成了下一个旋转中心，……； “迭代”出来的图形，点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.（见截图⑥）⑬.若以点B A 、 为原象点，点A C 、分别对应为初象点，则点C 成了下一个旋转中心，则“迭代”出来的图形，会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来，后面迭代出来图形依然如此.（见截图⑦，因为默认迭代次数为3次，所以恰好为正五边形.）注：若在线段AB AC 、取点连线，会把“连线”同时进行“迭代”，也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形，依次类推！如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ；以A C 、为原象点，分别以D B 、 为初象点，会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”，但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .（见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的，有点近似“勾股螺”图案.）⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念，是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素，在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射，初象点就是映射点；因此只要还有新的初象点，那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明：例：画勾股树.⑪.画一条线段（见图⑨隐藏了字母标签），并且构造一个矩形，以一边（本例取起始线段的对边）为直径作一个半圆，在半圆上取两点，隐藏半圆和圆心点；进行第一次映射点的添加（操作和前面一样，见迭代对话框和图中标示）.⑫.添加新的映射：在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑩标示）. ⑬.继续添加新的映射：在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑪中的标示）.⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图，中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理，右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定，对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来（前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的）.下面是其它一些迭代构图的效果图：注：昨天在几何画板上画的，比较漂亮！几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。

—74—工作研究用几何画板中的迭代法寻找极限信建榕（闽江师范高等专科学校，福建 福州 350000）摘 要：由于几何画板的出现，在高等数学教学中，已有技术上的手段，改进因计算能力不足，学生无法直观的体验高等数学中出现的概念、公式、定理等问题。

本文力求借助于几何画板中的迭代法，加强进一步的计算，寻找存在的极限。

关键词：几何画板；迭代法；随机逼近；迭代优选；极值；费尔马点及其拓展一般情况下，学生学完高等数学中的极限知识，已知一些问题是存在极限现象的，但要找出存在的极限是困难的。

比如，极值可以认为是一个变化过程中的极限，教材上都有利用导数知识求存在的极值的方法，但面对复杂的函数，用导数求出一阶导为0的点，而后判断出极值情况，并求出极值，但常常是求出一阶导为0的点就很难做到，当然无法求极值了，况且，面对复杂的几何现象，列出的函数可能相当复杂，即使能列出函数表达式，但求极限的过程虽然能求出，但过程相当复杂，比如著名的费马定理。

在几何画板中，可以利用迭代法超强的计算能力，通过不断的迭代优化，每一次的迭代，都使得数据更接近于所要寻找的极限，虽然最终的答案仍是近似的，但精确度极高，如果极限本身是精确值，将这近似值取有效数字后，常常就是所要寻找的精确值了。

本文先以求极值为例，探讨极值的迭代法求法，而后将其方法拓展到费尔马点及其拓展，解决平面几何中求极限的问题。

1 迭代法求极值1.1对简单的函数：一般地，极值可以认为是一个变化过程中，函数值达到局部最小或最大。

这极值点特殊，如极小值，函数值是局部最小的，利用这性质，可以在曲线上任取一点，利用迭代法，让这点了函数值越变越小，当然其也会越来越接近极小值，当迭代次数足够多时，可以看见，这点与实际的极小值点几乎没有区别了，如函数y=x 3-2x ，在曲线上任取一点A 及随机取点B ，将两点进行比较，若A 点的函数值小于B 点的函数值，则保留A 点的函数值，若A 点的函数值大于B 点的函数值，则将A 点变化到B 点，此时A 点的函数值则变小了，继续随机取点B 与A 点进行比较，每次都取小的，则经过多次迭代计算后，A 点的函数值越变越小，会无限接近极小值。