几何画板迭代全解

⼏何画板迭代功能真强⼤，不知道的来看看！传统时代，⼈们都是⽤笔在纸上⼀步⼀步来构造美的图案的，⽽随着计算机技术的飞速发展，出现了很多代替⼿⼯绘图的画图软件，现在已经很少有⼈完全凭靠双⼿去打造美丽的图案了，都是借助画图软件来构造，不仅省时省⼒，⽽且构造的图案⾮常标准、美观。

⽐如接下来⼩编要说的这款画图软件——⼏何画板，它是当下⽐较受欢迎的⼀款画图软件，之所以如此受追捧，那是因为它其中的功能很强⼤，就⽐如它的迭代功能，利⽤此功能可以构造很多精美图案，下⾯就以来学学具体的制作技巧。

迭代是⼏何画板中⼀个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。

通俗地讲，就是⽤⾃⾝的结构来描述⾃⾝，通过迭代可以产⽣很酷的效果。

⼏何画板迭代教程中涉及的基本术语如下：迭代：按⼀定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。

原象：产⽣迭代序列的初始对象，通常称为“种⼦”。

初象：由原象经过⼀系列变换操作⽽得到的。

迭代深度：迭代次数（带参数的迭代中的参数值，按住Shift键则“迭代”变成“带参数的迭代”）。

迭代变换使⽤的前提条件：1.选定⼀个（或⼏个）⾃由的点，即平⾯上任⼀点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任⼀点。

2.由选定的点产⽣的⽬标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点、或由选定点经过变化产⽣的点。

凡是和原象点或初象点相关联的对象（点、先、弧、内部等），也可作为原象点的组成部分进⾏迭代。

⼀、利⽤迭代命令制作分形树迭代是分形的基础，利⽤⼏何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形。

分形树的制作步骤如下：1.在垂直⽅向上画线段AB，选中线段AB，执⾏“构造”—“中点”命令，构造线段AB中点C。

2.双击B点，以B为旋转中⼼将点C旋转120度得E点，旋转-120度得D点。

构造线段BD、BE。

3.新建参数n=3，依次选点A、B和参数n，按住Shift键在“变换”菜单下选择“深度迭代”命令，在弹出的迭代对话框将A映射到B，B映射到E，选择结构下的“添加新的映射”，继续将A映射到B，B映射到D就可以了。

几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学 谢辅炬【多项式432()f x ax bx cx dx e =++++求根】 【分析】多项式求根的迭代式是1()()n n n n f x x x f x +=-'。

【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n ＝5。

2. 新建函数432()f x ax bx cx dx e =++++，画出它的图像。

3. 在图像上任取一点A ，度量A 的横坐标A x 。

4. 计算()()A A A f x x f x -'；计算()()()A A A f x f x f x -'。

5. 依次选择()()A A A f x x f x -'，()()()A A Af x f x f x -'单击【图表】【绘制点】。

得到点B 。

6. 度量B 的横坐标B x 。

7. 选中点A ，和参数n ，按住Shift 键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B 。

结果如图1所示。

图 1图 28. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C ，度量C点的横坐标C x 。

9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10. 拖动A 点，改变它的位置。

观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。

如图2所示。

【MIRA 】【步骤】1. 在平面上取一点A ，度量A 的横坐标A x 和纵坐标A y 。

2. 新建参数a ＝0.4，b=0，99875。

（b 取得尽量接近1）3. 新建函数22(1)()1a x f x ax x-=++。

4. 计算f(A x )＋b A y ,f(f(A x )＋b A y )-A x 。

注意这里用的是函数嵌套。

顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x ，y ）】。

得到点B 。

5. 顺次选择点B 和三个计算结果：f(A x )＋bA y ,f(f(A x )＋b A y )-A x ，A x 。

几何画板迭代详解之:迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。

分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。

欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的.分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。

人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。

分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。

因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。

1.用（A，B，C）表示有顺序的两点A、B和C.2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I，如此类推。

【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯"、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛"。

如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。

它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。

著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。

不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割——-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。

Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski 三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。

【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F，连接DEF.2.新建参数n＝33.顺次选择B，C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。

在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中，以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段，特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用；“迭代”构图要弄清以下几个方面问题：1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思，简单点说“迭代”就是一种重复操作，将上一步的参数保持不变，再执行一次的意思. （“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变）. 迭代分为两种类型：第一种类型是简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点） → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点） → 最后按迭代按钮，即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.（后面的图②③④都是简单迭代）第二种类型是深度迭代：按照设定参数确定迭代次数，不用进入迭代菜单，直接控制参数的增减就能控制迭代的深度（次数的多少）.①.构造方法：选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.（见下面的截图①） ②.作用：简化重复作图过程，选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键，按“＋”号增加迭代，选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象：产生迭代序列的初始对象（起点的位置），通常称为“种子”.原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件，原象点必须是自由的点或自由路径上的点（主要不受其它路径控制的端点！“自由”是个关键词，即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点）. 如：正方形ABCD 是由线段AB “变换”（这里是旋转）和“构造”方式得到的，所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点（见组图②）；而线段BC CD DA 、、 以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后，点B 可以作为建立迭代关系的后原象点，而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点（不受其它路径控制，比如起始线段的端点）才是原象点，而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象 ：原象经过一系列变换操作而得到的象（第二个点的位置），与原象是相对概念. 初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立，不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点，只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点（因为它是以正方形的边为基础），但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点，抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注：通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点，此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点，也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②：选定A B 、作为原象点，而边的中点E F 、 作为初象点来迭代构图.组图③：直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====；此时选定A B C D E 、、、、作为原象点，截取的得到点H I J K L 、、、、 作为初象点进行迭代构图.组图④：以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ，再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点，以A C 、为初象点迭代构图，不但可以构造一个正五边形，还可以把其中点五边形同时构造出来，残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的？②④③利用几何画板的“迭代”功能构图，关键是映射点（初象点）与原象点的“迭代”对应关系，在选择对应的初象点是要注意方向；“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明：例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点，点C 为初象点，则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……，依次类推！.（见截图⑤） ⑫.若以点A 为原象点，点C 为初象点，则点C 会成了下一个旋转中心，……； “迭代”出来的图形，点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.（见截图⑥）⑬.若以点B A 、 为原象点，点A C 、分别对应为初象点，则点C 成了下一个旋转中心，则“迭代”出来的图形，会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来，后面迭代出来图形依然如此.（见截图⑦，因为默认迭代次数为3次，所以恰好为正五边形.）注：若在线段AB AC 、取点连线，会把“连线”同时进行“迭代”，也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形，依次类推！如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ；以A C 、为原象点，分别以D B 、 为初象点，会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”，但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .（见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的，有点近似“勾股螺”图案.）⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念，是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素，在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射，初象点就是映射点；因此只要还有新的初象点，那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明：例：画勾股树.⑪.画一条线段（见图⑨隐藏了字母标签），并且构造一个矩形，以一边（本例取起始线段的对边）为直径作一个半圆，在半圆上取两点，隐藏半圆和圆心点；进行第一次映射点的添加（操作和前面一样，见迭代对话框和图中标示）.⑫.添加新的映射：在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑩标示）. ⑬.继续添加新的映射：在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑪中的标示）.⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图，中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理，右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定，对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来（前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的）.下面是其它一些迭代构图的效果图：注：昨天在几何画板上画的，比较漂亮！几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。

目录第一篇画板入门第一章用工具框作图 (3)第二章用构造菜单作图 (19)第三章用变换菜单作图 (33)第四章动作按钮的制作 (51)第五章智能化菜单详解 (58)第六章认识奇妙的参数 (64)第二篇范例赏析范例1 眩目的动画彩轮 (69)范例2 漂亮的勾股树 (70)范例3 一个梦幻万花筒 (72)范例4 闪烁效果的制作 (75)第三篇精选附录附录一迭代帮助文件 (79)附录二平面几何著名定理 (87)附录三圆锥曲线教材培训 (93)第一章：用工具框作图通过本章，你应1、 熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”2、 学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆”3、 学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧4、 学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏5、 理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍1、启动几何画板：单击Windows何画4.06中文完美增强版”，单击即可启动几何画板。

进入几何画板系统后的屏幕画面如下图所示几何画板的窗口是不是和其他Windows 应用程序窗口十分类似？有控制菜单、最大/最小化以及标题栏，画板窗口的左侧是画板工具栏，画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。

画板的左侧是画板工具箱，把光标移动到工具的上面，一会儿就会显示工具的名称，看看它们分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。

和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点？几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形。

而几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。

因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。

这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大，源远流长。

从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。

《几何画板》新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代（Iterate）与带参数的迭代(Iterate To D epth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】（带参数的迭代）功能。

情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。

二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。

例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。

还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。

但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。

1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。

新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。

下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。

例1：制作Koch曲线（源文件）（1）画线段AB，以A为中心，缩放点B(固定比为13)，得到'B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A，得到'A，把它改为D，隐藏线段AB；（2）双击C点（标记中心），选择点D，旋转60°，得到点E；（3）连接线段AC、CE、ED；（4）【图表】→[新建参数]t，把它的值该为2；（5）依次选择点A、B，t，按Shift键，，选择【变换】→[带参数的迭代]，弹出对话框如图1图1（6）依次选择A、C，按Ctrl＋A，增加一列（对应点），依次选择C、E，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择E、D，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择D、B，选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；图2（7）选择参数t，按键盘上的“－”、“＋”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。

几何画板迭代全解目录✧迭代的基本概念以及迭代的基本操作◆迭代的概念◆迭代在代数、几何中的应用◆画正多边形◆数列的图像、前n项和与积✧迭代与分形几何◆Sierpinski 三角形◆Sierpinski 地毯◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树◆分形树◆KOCH 曲线◆KOCH Snowflake柯克雪花◆数学之美◆H迭代◆蜂巢◆其它分形欣赏✧函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集◆迭代法求方程解◆MIRA◆Henon-Attractor◆Mandelbrot集合◆Julia Sets集合◆牛顿迭代法✧下期预告第一章：迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。

通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。

最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。

递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。

我们先来了解下面这几个最基本的概念。

迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。

原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。

与原象是相对概念。

更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。

我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。

以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。

图 1.1 图 1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。

图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。

所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。

例说几何画板4.04版的迭代功能天津市葛沽第三中学李玉强用过几何画板4.0版的朋友们都知道【变换】菜单下有个【迭代】命令。

但大部分读者觉得该命令有些高深莫测，不知它有什么作用。

其实迭代就是指一个初始对象（可以是数值、几何图形等）按一定的规则反复映射的过程。

本文通过实例对【迭代】命令进行说明。

通过阅读本文您可以对【迭代】命令有所了解，并能在教学中初步运用。

让我们一起进入【迭代】世界，感受它的强大功能吧！例1：【迭代】在代数学中的运用（1）在【图表】菜单中，选择【新建参数】命令，在工作区建立一个参数a（关于参数的相关内容，请读者参阅《中国电脑教育报》第46期《用好几何画板的参数》一文）。

然后利用【度量】菜单下的【计算】命令，得到a2的值；（2）单击选中参数a后，在【变换】菜单下选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】，如（图1）。

单击工作区的计算值a2＝4，来映射 a a2，工作区显示如（图2）；（3）单击【迭代】按钮后，最后效果如（图3），迭代完成。

改变原象参数a的值，初象a2的值相应改变，如（图4）；选中迭代产生的表格，按小键盘上的“＋”号键可以增加迭代的次数，如（图5），按“－”键则减少迭代的次数。

通过本例，您应该了解在代数学中，一个迭代就是一个计算结果的循环（用一个输入值计算一个输出值）。

迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的输入。

当然，若要开始迭代过程，首先必需有个初始值，如上例中的参数a。

请您以a为原象，以a的不同计算值为初象，来试试【迭代】吧！例2、【迭代】在几何学上的运用（1）用画圆工具在工作区中画出⊙O，以⊙O的半径OA为直径构造⊙P如（图6）。

这样点P 和点O发生关联，它P 既是大圆半径的中点同时也是绿色的小圆的圆心；（2）单击选中点O，从【变换】菜单选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】，如（图7）；（3）单击工作区中的点P，来建立原象O到初象P的映射，效果如（图8）；（4）单击迭代按钮，完成迭代，效果如（图9）。