最新-奥奥数提高班第一讲有理数的巧算(含答案) 精品

………………………………………………最新资料推荐………………………………………七年级数学培优（2）——有理数的巧算 班级：________ 姓名：_________ 知识点精析：“算对与算巧”求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。

这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。

有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。

例题精讲：一. 巧用运算律例1. 计算12345678201220132014S变式题：计算1121231279()()()233444808080二. 巧添辅助数 例2. 计算：三. 巧用倒序相加法 例3、计算：12340272014201420142014 四. 巧用拆项法例4计算111112233420132014变式：.1111144771020112014五、巧用错位相加减法 例5、计算22013201412222变式：22013201415555 六、巧用整体换元法 例6、11111111111111232015232014232015232014七、巧用倒数法 例7、计算：......................................................最新资料推荐 (111171111711)36461218364612183636练习反馈：1. 计算：111111111111112319972319972319972319962、计算：1211230310653、求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++-+++++++++++++++++ （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义学员姓名 初一1班 年 级 初一 辅导科目 初中数学学科教师车胜男上课时间01-14 12:00:00-12:30:00知识图谱有理数的混合运算知识精讲有理数的混合运算顺序是：先乘除，后加减，如果有括号，应先算括号里面的． 小学学过的运算律对有理数同样成立．若a 、b 、c 是有理数，则：加法交换律 a b b a +=+加法结合律()()a b c a b c ++=++ 乘法交换律ab ba =乘法结合律 ()()ab c a bc =乘法分配律()a b c ab ac ⨯+=+二．有理数的巧算我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙使用正确的方法，能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类分组求和 法计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n ．分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1” 解：S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n ．下面需对n 的奇偶性进行讨论：当n 为偶数时，上式是2n个(-1)的和，所以有当n 为奇数时，上式是12n -个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n ，所以有11998+⨯一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们利用关来把每一项拆成两项之差，然后再计算解 由于111111111,,121223233434=-=-=-⨯⨯⨯ 原式=1111111111998+++=11223341998199919991999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭总结 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用，常用裂项方法：①111(1)1n n n n =-++ ②1111()n n d d n n d ⎛⎫=-⎪++⎝⎭③1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+++++⎝⎭⎣⎦整体法计算11111111111123192182192318⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析 四个括号中均包含一个共同部分：1112318+++，我们可以把它当做一个整体，用一个字母表示 解 设A=1112318+++，则原式=()22111111191919191919A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++=+++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭拓展：数列公式数列类型数列特征 通项公式求和公式等差数列 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 1(1)n a a n d =+-（d 表示公差）1(1)=2n n n dS na -+或1()=2n n n a a S + 等比数列 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 11n n a a q -=⋅（q 表示公比）1(1)=1n n a q S q --三点剖析一．考点：有理数的四则运算，有理数的巧算．二．重难点：有理数的巧算．三．易错点：注意运算顺序，先乘方再乘除，最后相加减．有理数的混合运算例题例题1、计算：（1）(5)4(2)(9)--÷-+-（2）22511141||(2)632-+÷-⨯-【答案】（1）－12（2）7148-【解析】（1）(5)4(2)(9)--÷-+- 529=-+- 12=-；（2）22511141||(2)632-+÷-⨯-25113161()632=-+÷⨯-5119161634=-+÷⨯191624=-+⨯11618=-+7148=-．例题2、计算：（1）1(4)33()3-⨯-÷-；（2）211662[()]321111---⨯-【答案】（1）－3（2）4311-【解析】（1）原式1293=-+=-；（2）原式16443111111=-++=-．例题3、计算（1）( 4.3)(4)( 2.3)(4)+--+--+（2）21|10.5|()632-+÷-⨯（3）22016231333(1)()(2)864-+⨯--+-⨯-．【答案】（1）2 （2）18（3）316-【解析】（1）原式 4.3 2.344=-+- 2=（2）原式11626=÷⨯1662=⨯⨯ 18=（3）原式313931()4864=-+⨯-+-⨯3293(3)23=-+-+-316=-例题4、已知：a ，b ，c 是有理数，满足15510a b c -+++-=，求()()1271132a b c a b c ⨯⨯÷⨯⨯的值．【答案】15【解析】由15510a b c -+++-=，得1a =，5b =-，15c =． 因此()()()()()21271273113211111151555a b c a b c⎡⎤⎛⎫⨯⨯÷⨯⨯=-÷⨯-⨯=-÷-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．随练随练1、计算：（1）－2－1＋（－16）－（－13）；（2）13255()()54÷⨯-÷-；（3）755()(18)9618-+⨯-；（4）22511141||(2)632-+÷-⨯-．【答案】（1）－6（2）43（3）－4（4）7148-【解析】（1）原式＝－2－1－16＋13＝－6；（2）原式1144255533=⨯⨯⨯=；（3）原式＝－14＋15－5＝－4；（4）原式113997161614611488=-+⨯⨯=-+=-．随练2、计算：（1）135()(12)6412-+-⨯-（2）4211[2(3)]6--⨯--【答案】（1）－2（2）16【解析】（1）原式135(12)(12)(12)6412=-⨯-+⨯--⨯-295=-+ 2=-；（2）原式11(29)6=--⨯-11(7)6=--⨯-716=-+16=．随练3、（1）1|71|32()3--++-÷-（2）5277()()63122-+÷-⨯（3）3221(2)13[()]20.1258[13(2)]--÷--⨯+-⨯- 【答案】（1）3 （2）1 （3）2.2 【解析】（1）原式＝－6＋3＋6＝3；（2）原式1127()1672=-⨯-⨯=；（3）原式852442.2111820-+===++．有理数的巧算例题 例题1、计算：11111122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯． 【答案】99100【解析】11111111111 (122334)98999910022399100+++++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯ 1991100100=-=例题2、计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】12012【解析】设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练随练1、计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91216-【解析】()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭91216=-．随练2、已知220ab a -+-=，求 ()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】20142015【解析】由220ab a -+-=知，2a =，1b =．原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯随练3、计算：11111111111111112345345623456345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】112【解析】换元法，设11112345a =+++，111345b =++．因此原式()1111116666612a b b a ab a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+=+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．拓展拓展1、计算：（1）4211(10.5)[5(3)]3---⨯⨯--（2）533(1)[4(2)]3()5-⨯---+÷-【答案】（1）13-（2）－9【解析】（1）4211(10.5)[5(3)]3---⨯⨯--111(59)23=--⨯⨯-111(4)23=--⨯⨯-213=-+13=- （2）533(1)[4(2)]3()5-⨯---+÷-(1)[4(8)]5=-⨯---- (1)45=-⨯- 45=-- 9=-．拓展2、计算：322121(3)2()42()433-÷⨯-+-⨯-【答案】0【解析】322121(3)2()42()433-÷⨯-+-⨯-441(27)44()993=-⨯⨯+-⨯-164433=-++0=．拓展3、（1）24＋（－14）＋（－16）＋8 （2）33(2)()424-⨯÷-⨯（3）21114()(60)31215--⨯-（4）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--【答案】（1）2（2）16（3）70（4）16【解析】（1）原式＝32－30＝2；（2）原式342423=⨯⨯⨯＝16；（3）原式21114(60)606031215=⨯-+⨯++＝－40＋55＋56 ＝70；（4）原式111711(29)1(7)123666=--⨯⨯-=--⨯-=-+=拓展4、请计算：（1）13112(3)(2) 1.25848+-+--（2）2018311(2)()|12|2-+-⨯----（3）11112()342-⨯-+【答案】（1）5 （2）0 （3）－7【解析】（1）原式113(122)(3 1.25)1055884=-+--=-=；（2）原式1430=-+-=； （3）原式4367=-+-=-．拓展5、计算：（1）2531(9)36()39412⨯--⨯-+ （2）231111()(6)()()3222-⨯-+-÷-【答案】（1）－2（2）－1 【解析】（1）2531(9)36()39412⨯--⨯-+ 53163636369412=--⨯+⨯-⨯620273=--+- 2=-；（2）231111()(6)()()3222-⨯-+-÷-111(6)()648=-⨯-+÷-12=- 1=-．拓展6、计算：（1）201652511[(2)3()] 2.5147-⨯---÷--； （2）2313(4)|2|6-⨯--÷-． 【答案】（1）36 （2）－1【解析】（1）原式551(329)22=-⨯--+-5532922=+--415=- 36=；（2）原式19(4)86=-⨯--÷ 3122=-+1=-．拓展7、计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 【答案】49.5-【解析】()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯ 5.59=-⨯ 49.5=-．拓展8、计算：()()()()1111133********++++⨯-⨯-⨯-⨯-【答案】50101-【解析】原式可等价于111113355799101⎛⎫-++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭，然后裂项即可．()()()()1111133********++++⨯-⨯-⨯-⨯- 111113355799101⎛⎫=-++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111111123355799101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112101⎛⎫=-- ⎪⎝⎭50101=-．拓展9、计算：23456111111333333+++++【答案】364729【解析】利用错位相减法．记23456111111333333S =+++++，则2345111113133333S =+++++，所以2345234566111111111111728311333333333333729S S ⎛⎫⎛⎫-=+++++-+++++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此364729S =．拓展10、计算：1117111711364121836412183636⎛⎫⎛⎫÷+--++--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】103-【解析】先计算11711412183636⎛⎫+--÷ ⎪⎝⎭．117111171369314134121836364121836⎛⎫⎛⎫+--÷=+--⨯=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11171364121836⎛⎫÷+-- ⎪⎝⎭即为11711412183636⎛⎫+--÷ ⎪⎝⎭的倒数， 因此1117113641218363⎛⎫÷+--=- ⎪⎝⎭． 所以原式()110333=-+-=-．。

专题：有理数加减法重难点易错点解析例1题面：计算：(-40)+(+28)+(-19)24711137⎛⎫+- ⎪⎝⎭有理数的加法： 1、同号两数相加 2、异号两数相加 例2.题面：计算：(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)517(10)125--- 有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 有理数计算两步走： 先定号，再定绝对值金题精讲题一题面：计算：-7.5+3.4-6.82651432131313⎛⎫--+- ⎪⎝⎭()()273.732 3.770299⎛⎫-++--+--- ⎪⎝⎭题二题面：某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ （3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 题三 题面：计算5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()6.6 5.2 3.8 2.6 4.8++---+--+ ()()3120.1253310 1.25483⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题四题面：已知10个连续整数a 1，a 2，a 3，…，a 10，在这10个数中任意选择5个数，每一个数前面添加1个“+”号，另外5个数，每一个前面添加1个“-”号后，求此时10个数和的最大值．思维拓展题面：计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：-3138 491 -例2.答案：6.147 2 60金题精讲题一答案：-10.9 -20 99题二答案：（1）297辆（2）减少21辆（3）35辆题三答案：54--2.21106题四答案：25 思维拓展答案：16。

有理数的巧算【考点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不但能够简化运算，提升解题速度，而且能够养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消）⑷分组相约法⑸倒写相加法⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法【水平训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。

（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法【典型例题解析】：1、计算：3510.752(0.125)1244782、计算：（1）560.9 4.48.11（2）（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）（-423）+1113623243、计算：①232321 1.75343②1111422434化简：计算：（1）711145438248（2）35123.7540.1258623（3）340115477（4）235713346（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（7957618）5、计算：（1）3242311 （2）219981110.5333（3）22831210.525521426、计算：3413312100.516447、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001【培优典型例题解析】：1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.311731182、1111111111(1)()(1)23199623419972319971111()23419963、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)②235324[3(2)(4)(1)]74、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y xy xy 并求当2,x 9y 时的值。

初中数学培优辅导资料（2）有理数的巧算一、内容提要有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．二、典型例题例1 计算：（1+3+5+……+2005+2007）+(2+4+6+……+2004+2006)(利用运算律巧算)例2 计算：89+899+8999+89999+899999（凑整法计算）例3 计算：1111 (12233420122013)++++⨯⨯⨯⨯（裂项相消法巧算）例4 计算：1+2－3－4+5+6－7－8+9+－……+2005+2006（恰当分组法巧算）例5 计算：2320131222......2+++++（错位相减法巧算）例6 计算：1131351397............244666989898⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（寻找规律巧算）三、专项练习用简便方法计算（1）1+5+52+53+…+599+5100（2）-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；（3）1111 (14477108891)++++⨯⨯⨯⨯ （4）1111 (155991320012005)++++⨯⨯⨯⨯ （5）2310011111 (2222)+++++ （6）201220132013201320122012⨯-⨯（7）1－2+3－4+5－6+7－8+……+2007－2008（8）1121231259............233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （9）1111112612203042----- （10）比较大小：207200720082008,2008200820092009a b ==。

有理数的巧算提高题
1 计算：

2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．

3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．
4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并
依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

5计算 3001×2999的值．
6 计算 103×97×10 009的值．
7 计算：
8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
9 计算：
10某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们
的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，
92，88，90，91，86，89，92，95，88．

11 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
12 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
13 计算：
14 -1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；
15 11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
16 1991×1999-1990×2000；