初一奥数题：有理数的巧算

七年级奥数题(有理数的巧算)有理数的巧算1.计算题1.计算(1)2002的值。

答案：B。

12.a为有理数，则a+2000的值不能是什么？答案：C。

03.计算2007{2006[2007(20062007)]}的值。

答案：B。

20094.计算(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)的结果。

答案：A。

-15.计算(-1)2006+(-1)2007÷(-1)2008的结果。

答案：A。

06.计算-2÷(-2)+(-2)的结果。

答案：D。

07.计算：3.825×(-1.825)+0.25×3.825+3.825×0.的结果。

答案：无8.计算：2002-2001+2000-1999+。

+2-1的结果。

答案：无9.计算：(-1)3÷2.5×(-0.75)×(-1)÷(-1)的结果。

答案：无10.计算：-5×+6×的结果。

答案：无11.练：计算2-2+2-3+2-4+。

+2-29+2-10的结果。

答案：2n(2-1)=2n-112.计算：(1/3)1+(1/3)2+(1/3)3+。

+(1/3)10的结果。

答案：(1-1/3^10)/(1-1/3)=2.13.计算：(1/2)+(2/3)+(3/4)+。

+(98/99)+(99/100)的结果。

答案：无14.求x+1+x-2的最小值及取最小值时x的取值范围。

答案：最小值为-1/2，x的取值范围为[1/2，2]15.练：已知实数a,b,c满足-1c>a，求c-1+a-c-a-b的值。

答案：-2b7年级奥数教案——有理数的巧算1.计算 $(-1)^{1998}+(-1)^{1999}+\cdots+(-1)^{2007}$ 的值为（C）A。

1B。

$-1$C。

0D。

102.若 $m$ 为正整数，那么 $1-\dfrac{(-1)^{m^2-1}}{4}$ 的值为（B）A。

第一讲有理数有理数的巧算1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．例6计算103×97×10 009的值．例7计算：例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．例9计算：通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．例14 计算：练习1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．绝对值例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．例4若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例5例6 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例7已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．例8 设a ＜b ＜c ＜d ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜+｜x-c ｜+｜x-d ｜的最小值．分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a ｜，｜x-b ｜，｜x-c ｜，｜x-d ｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．例11 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．分析与解 要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x ｜=4-5x 且｜1-3x ｜=3x-1．例12已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++- 求()f x 的最小值。

有理数的巧算考考你:1、2002)1(-的值 ( B )A. 2000B.1C.-1D.-20002、a 为有理数，则200011+a 的值不能是 （ C ） A.1 B.-1 C .0 D.-20003、()[]}{20072006200720062007----的值等于 （ B ）A.-2007B.2009C.-2009D.20074、)1()1()1()1()1(-÷-⨯---+-的结果是 （ A ）A.-1B.1C.0D.25、2008200720061)1()1(-÷-+-的结果是 （ A ）A.0B.1C.-1D.26、计算)2()21(22-+-÷-的结果是 （ D ） A.2 B.1 C.-1 D.07、计算：.21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯8、计算：.311212311999212000212001212002-++-+-Λ9、计算：).138(113)521()75.0(5.2117-⨯÷-÷-⨯÷-11、计算：.363531998199992000⨯+⨯-练习：.22222222221098765432+--------.2)12(2221n n n n =-=-+ 612、计算：)9897983981()656361()4341(21++++++++++ΛΛ 结果为：5.612249122121=⨯++⨯+Λ13、计算:.200720061431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ应用：)111(1)1(+-=+n n d n n d练习：.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯Λ13、计算:35217106253121147642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 结果为5214、求21-++x x 的最小值及取最小值时x 的取值范围.练习:已知实数c b a ,,满足,01b a c <<<<-且,a c b >>求b a c a c ---+-1的值.答案：练习：1、计算2007200619991998)1()1()1()1(-+-++-+-Λ的值为 （ C ）A.1B.-1C.0D.102、若m 为正整数，那么()[])1(11412---m m 的值 （ B ） A.一定是零 B.一定是偶数C.是整数但不一定是偶数D.不能确定 3、若n 是大于1的整数，则2)(12)1(n n n p ---+=的值是 ( B ）A.一定是偶数B.一定是奇数C.是偶数但不是2D.可以是奇数或偶数4、观察以下数表，第10行的各数之和为 ( C ） 14 36 7 813 12 11 1015 16 17 18 1926 25 24 23 22 21…A.980B.1190C.595D.4905、已知,200220012002200120022001200220012⨯++⨯+⨯+=Λa 20022002=b ，则a 与b 满足的关系是 （ C ）A.2001+=b aB.2002+=b aC.b a =D.2002-=b a6、计算: .35217201241062531211471284642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯527、计算：.561742163015201412136121++++++83288、计算：.100321132112111+++++++++++ΛΛ9、计算: .999999999999999999999+++++10、计算)100011)(99911)(99811()411)(311)(211(10201970198019992000-------++-+-ΛΛ.610 11、已知,911,999909999==Q p 比较Q P ,的大小. Q p ==⨯⨯=⨯⨯=9099909999099119991199)911(12、设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++ .1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++ΛΛΛ 2)1(21+=+++n n n Λ13、2007加上它的21得到一个数,再加上所得的数的31又得到一个数,再加上这次得到的41又得到一个数,… ,依次类推,一直加到上一次得数的20071,最后得到的数是多少?2005003)200211()311()211(2002=+⨯⨯+⨯+⨯Λ14、有一种“二十四点”的 游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的 自然数，将这四个（每个数用且只用一次）进行加减四则运算与)321(4++⨯应视作相同方法的运算，现有四个有理数3，4，-6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，运算式：（1）_______________________;(2)________________________;(3)________________________;15.黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添上0，等等。

七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳【知识要点】1．乘法分配律法2．约分法3．倒写相加法4．裂项相消法有些求若干个分数之和的计算题，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．下面给出五类常见的裂项公式：(1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 （3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式： )2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k （5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n k 211)2)((2++-+=++ 5.错位相减法6．整体换元法【典型例题】1．乘法分配律法例1 计算：① .21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯② 103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯2．约分法 * 例2 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+1719116191319121911911917118171317121711713．倒写相加法例3 设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++.1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++4．裂项相消法例4 计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-* 例51111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯* 例6:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++199911411311211199914113112114131121131211215.错位相减法* 例7 200843220081200812008120081200811++++++6．整体换元法例8 计算)20071......3121()20081......31211()20081......3121()20071......31211(+++⨯-----+++⨯----1．1436.171464.8295135159513518⨯+⨯+⨯-⨯2．求和19993222221+++++= S3201918143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++99113112119914113112114131121131211215.计算：.311212311999212000312001212002-++-+-1．填空题（1）4213012011216121-----=________________ （2） 20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值的整数部分是_________（3） 111111123456761220304256++++++=__________________ （4） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-10001141131121110201970198019902000 =_____________（5） ()()_____________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯； （6）____________19197676767676191919=-；2．计算：（1） 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-110031120021120031120041（3）.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯751517315151537319315151537319751517537319751517315151（5） 311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯（6） 200020001999199919992000⨯-⨯2)6543187(36-+-⨯-（7） 求和20083277771+++++= S3．已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1， 求--21-51+81+111+201+411+110116401的值4．若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数5．217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-766554433276655443322116．2001200420002004200120012001200120012001200020002000200020002000个个+++++7．n n n n n n 93186293142842421⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯ ** 8.求 ++++3227252321共2008项的和.。

有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷． 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算： －(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)= (－0.5 + 2.75) + (341－721)= 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度， 提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、 整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、 变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]= 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)]= 11＋(－73)= 1074．评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活 变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例4 计算：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88．解：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88 =17.48³37＋(17.48³10)³1.9＋17.48³44=17.48³37＋17.48³19＋17.48³44 = 17.48³(37＋19＋44) = 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005³20042003－1001³10021001．解：2005³20042003－100210011001= (2004＋1)³20042003－(1002－1)³10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001)=100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路， 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-) =c ab a +³(b ＋ac ) =c ab a+³ac ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．七、 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算 21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、 添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2³103＋2³104＋…＋2³109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45 = 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地 加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，①则①³(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ②① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

初一奥赛培训01：有理数的巧算（优选.)一、解答题（共16小初一奥赛培训01：有理数的巧算题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）2、计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．3、计算：S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．9、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．14、计算：+++…+．15、计算下列各式的值：（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）4726342+472 6352﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+ (244)（7）1+（8）116、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）考点：有理数的混合运算。

七年级奥数：有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则x —(1+m +n +ab )x +(m +n )x+(—ab )的值等于_________．(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．例2 把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )．(A )6次 (B )7次 (C )8次 (D )9次 (江苏省竞赛题)解题思路 探索对折的规律，运用估算求解．例3 计算： (1) 1111..12123123100+++⋯+++++++⋯⋯+ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2) 23419987777.7++++⋯+(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3) 22222221949195019511952199719981999-+-+⋯+-+(北京市竞赛题)解题思路 对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联3220012002想到平方差公式．例4 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0、、b 的形式，求的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论．例5 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到2．(全国初中数学竞赛题)解题思路 要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可．能力训练 A 级1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，-6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：(杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1)111135577919971999+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ (2) 43421(0.25)(8)2(2)(6)3⎛⎫⎡⎤-⨯--+-÷-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=ab20001999b a+30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+2297100-+4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，直主最后减去余下的，最后的答数是_________． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如果对于任意非零有理数a 、b 定义运算△如下:a ba b ab-=，则 5(43)=____ 6.如果有理数c 、b 、c 满足关系式0a b c <<<那么代数式23bc acab c-的值（ ). （A ）必为正数 （C ）可正可负 （B ）必为负数 （D ）可能为0（第十六届江苏省竞赛题） 7．199797199898,,,199898199999----这四个数由小到大的排列顺序是（)・ 199797199898(A) 199898199999199819979897 (B) 199919989998979819971998 (C) 989919981999981998971997 (D) 991999981998-<-<-<--<-<-<--<-<-<--<-<-<-(重庆市竞赛题)8.若a 与（一b ）互为相反数，则221898991997a b ab+= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1997 9.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是（)・(A) 2 (B) 1 （C ） 0 （D ） -1 （第十三届“希望杯”邀请赛试题）10.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数9且abed = 9,则d+b+c+d 等于（ ）. (A) 0 (B) 4 (C) 8 （D ）值无法确定 1 1 亠1L 把111,3.7,6,2.9,4.652分别填在图中五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中找出一种填法，使△中的数尽可 能小,并求这个数.2131415119971（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 12.已知a 、b 、c 都不等于零，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，求(+1)1998m n +的值.B 级1.计算：1131351397=244666989898⎛⎫⎛⎫⎛++++++++++⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝） （第十届“五羊杯”竞赛题）2．计算：23456789102222222222--------+= （第十届“希望杯”邀请赛试题）3．计算：212424824139261839n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎛⎫= ⎪⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎝⎭4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知底，人类知识总量为以a ．假如从底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020年是每73天翻一番．则： (1)2009年底人类知识总量是——； (2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——． (北京市顺义区中考题) 5.你能比较两个数20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题.我们先写岀它的一般形式，即比较1n n +与+1nn （）的大小（n 是自然数），然后，我们从分析1,2,3,n n n ===中发现规律，经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写<，=，>号）2132435465(1)12;(2)23;(3)34;(4)45;(5)56-----（2）从第（1）题的结果经过归纳.以猜想出1n n+与+1nn （）的大小关系是——； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20022001_20012002 (福建省龙岩市中考题)6．如果ac<0,那么下面的不等式22330,0,0,00aac a c c a ca c<<<<<，中必定成立的有（）个(A )1 (B )2 (C )3 (D )47. a 、b 都是有理数,代数式222222222,,(),(),1,0.001,a b a b a b a b a a b +--++++24231a b ++中，其中值为正的共有（ ）个・(A )3 (B )4 (C )5 (D )68．三进位制数201可用十进位制数表示为21230312901219⨯+⨯+=⨯++；二进位制数1011可用十进位制法表示为3211202121802111⨯+⨯+⨯+=+++=．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a =221，二进位制数b =10111，则a 与b 的大小关系为( )．(D )不能判定(重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a +b >c +d ，则( )． (第十一届“希望杯”邀请赛试题)222233334444(A) |1||1| (B) (C) (D) a b c d a b c d a b c da b c d-++>++>++>++>+10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )． (《学习报》公开赛试题)999997998999(A)(B)(C)(D)199719971998199811．设n 为自然数，比较与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)n n ns 223222132++++=n s。