初中七年级奥数竞赛-专题06 有理数的计算_答案.docx

初一奥林匹克数学竞赛真题及答案一、选择题(每题1分，共10分)1.如果a，b都代表有理数，并且a+b=0，那么()A.a，b都是0.B.a，b之一是0.C.a，b互为相反数.D.a，b互为倒数.2.下面的说法中正确的是()A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式.C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式.3.下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数.B.没有最小的正有理数.C.没有的负整数.D.没有的非负数.4.如果a，b代表有理数，并且a+b的值大于a-b的值，那么()A.a，b同号.B.a，b异号.C.a>0.D.b>0.5.大于-π并且不是自然数的整数有()A.2个.B.3个.C.4个.D.无数个.6.有四种说法：甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身;丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身.这四种说法中，不正确的说法的个数是()A.0个.B.1个.C.2个.D.3个.7.a代表有理数，那么，a和-a的大小关系是()A.a大于-a.B.a小于-a.C.a大于-a或a小于-a.D.a不一定大于-a.8.在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A.乘以同一个数.B.乘以同一个整式.C.加上同一个代数式.D.都加上1.9.杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()A.一样多.B.多了.C.少了.D.多少都可能.10.轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将()A.增多.B.减少.C.不变.D.增多、减少都有可能.二、填空题(每题1分，共10分)1.______.2.198919902-198919892=______.3.=________.4.关于x的方程的解是_________.5.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______.6.当x=-时,代数式(3x3-5x2+6x-1)-(x3-2x2+x-2)+(-2x3+3x2+1)的值是____.7.当a=-0.2，b=0.04时，代数式的值是______.8.含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克.9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么完成这批零件的一半，一共需要______天.10.现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合.答案及解析一、选择题1.C2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.D9.C10.A提示：1.令a=2，b=-2，满足2+(-2)=0，由此2.x2，2x2，x3都是单项式.两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A.两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B.两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D.3.1是最小的自然数，A正确.可以找到正所以C“没有的负整数”的说法不正确.写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无非负数，D正确.所以不正确的说法应选C.5.在数轴上容易看出：在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3，-2，-1，0共4个.选C.6.由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的.由(-1)3=-1，可知丁也是正确的说法.而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确.即丙不正确.在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确.所以选B.7.令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D.8.对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数.所以排除A.我们考察方程x-2=0，易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1，得(x-1)(x-2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B.若在方程x-2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根.所以应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D.9.设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a;第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a;第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C.10.设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v>v0)则往返一次所用时间为由于v-v0>0，a+v0>a-v0，a+v>a-v所以(a+v0)(a+v)>(a-v0)(a-v)∴t0-t<0，即t0二、填空题提示：2.198919902-198919892=(19891990+19891989)×(19891990-19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979.3.由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28-1)(28+1)(216+1)=(216-1)(216+1)=232-1.2(1+x)-(x-2)=8,2+2x-x+2=8解得;x=45.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=-2500.6.(3x3-5x2+6x-1)-(x3-2x2+x-2)+(-2x3+3x2+1)=5x+27.注意到：当a=-0.2，b=0.04时，a2-b=(-0.2)2-0.04=0，b+a+0.16=0.04-0.2+0.16=0.8.食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克)设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000(克).。

初一有理数竞赛试题及答案试题一：判断题1. 任何数的相反数都是负数。

（）2. 两个负数相加，结果一定是负数。

（）3. 绝对值是正数的数一定是正数。

（）4. 有理数的加法运算满足交换律和结合律。

（）试题二：选择题1. 下列哪个数是正数？A. -3B. 0C. 5D. -12. 若a < 0，b > 0，且|a| > |b|，下列哪个不等式是正确的？A. a + b > 0B. a + b < 0C. a + b = 0D. 无法确定试题三：计算题1. 计算下列各题，并写出计算过程：（1）(-3) + (-5)（2）|-8| - 2试题四：解答题1. 某商店第一天亏损了200元，第二天盈利了150元，第三天又亏损了50元，求该商店三天的总盈亏情况。

答案解析：试题一：1. 错误。

因为0的相反数是0，而不是负数。

2. 正确。

两个负数相加，结果的绝对值是两个数绝对值的和，符号是负号。

3. 错误。

绝对值是正数的数可以是正数或0。

4. 正确。

有理数的加法运算确实满足交换律和结合律。

试题二：1. 正确答案是C。

5是正数。

2. 正确答案是B。

因为|a| > |b|，所以a的绝对值大于b的绝对值，a是负数，b是正数，a的绝对值减去b的值，结果仍然是负数。

试题三：1. （1）(-3) + (-5) = -8（2）|-8| - 2 = 8 - 2 = 6试题四：第一天亏损200元，第二天盈利150元，第三天亏损50元，三天的总盈亏情况为：-200 + 150 - 50 = -100元所以，该商店三天总共亏损100元。

结束语：本次初一有理数竞赛试题涵盖了判断题、选择题、计算题和解答题，旨在考查学生对有理数概念的理解、运算能力以及实际应用能力。

希望同学们通过本次竞赛能够加深对有理数的认识，提高解题技巧。

有理数的运算一、知识要点1、有理数的运算律：2、添、去括号，凑整，分组，拆项，等差数列求和公式。

3、巧算方法倒写相加法--------高斯求和 等差数列 通项公式： 1(1)n a a n d =+-，求和公式：1()2n n a a nS +=二、典型例题分析 类型一、合理分组例1：计算 85314)526(612)833(5312155---+--+--答案：19-变式练习：计算 201220117654321-+-+-+-+-答案：1006-类型二、巧用乘方的意义例2、913712)53()8()321()125.0(-⨯-⨯-⨯-答案：2572-类型三、反序相加----探索等差数列的求和公式 例3、计算 1+3+5+7+…+2011+2013变式练习、计算：11212312341259()()()()2334445555606060++++++++++++++提示：通项()2121n n n n a n =++=类型四：列项求和例4：计算 201320121431321211⨯++⨯+⨯+⨯变式练习：计算 201320111751531311⨯++⨯+⨯+⨯例5：（第15届五羊杯） 计算 333129117151311513111⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯提示：⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=⨯⨯1513113111411513111例6：化简 n+++++++++++++++32114321132112111【课后练习】 （要求认真详细书写出解题过程，送给自己的数学老师批改） 1、计算 4(123)(5)1251274755⨯-+-⨯-⨯-⨯； 2、()1110188⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭3、2008年希望杯 计算 03125.075.049113129530322÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-4计算：9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-5、计算： 99971252312321121191⨯+⨯+⨯+⨯6、计算 21856154213301120912731⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-7、 （第11届华罗庚杯邀请赛题）计 算⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+10098119997116411531142113111答案：原式=98.11009921100989999999798985316429314=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯8、已知n m ,互为相反数，b a ,互为倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20132011231ab n m x ab n m x -++++++-的值。

初一年级奥数重点题型：有理数概念和计算奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。

国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。

奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥一些。

下面是无忧考网为大家带来的初一年级奥数重点题型：有理数概念和计算，欢迎大家阅读。

【难度】★★★☆【考点】“四非”的概念、有理数的乘除法、绝对值的性质下列说法正确的是（）A．若a表示有理数，则-a表示非正数B．和为零，商为-1的两个数必是互为相反数C．一个数的绝对值必是正数D．若|a|＞|b|，则a＜b＜0【答案】B【易错点】-a可以是正、负数或零，绝对值是非负数，绝对值大的数本身不一定大【难度】★★☆☆【考点】倒数、平方、有理数的比较若0＜a＜1则a, 1/a，a2从小到排列正确的是（）A.a2＜a＜1/a；B.a＜1/a＜a2；C.1/a＜a＜a2；D.a＜a2＜1/a【答案】A【易错点】正数范围内，真分数倒数比本身大、平方比本身小。

【难度】★★★★【考点】倒数、有理数的比较、科学记数法和精确位、方程的概念下列说法：⑴2-b的倒数是1/(2-b)；⑵+a比-a大；⑶近似乎数6.02*103精确到百分位；⑷对任意有理数a，（a+3）2的值是一个正数；⑸m+|m|是非负数；⑹一元一次方程有且只有一个解，其中正确的个数为A．1个B．2个C．3个D．5个【答案】B【易错点】0没有倒数，精确数位是最后一个有效数字在原数中的所在位，平方和绝对值都是非负数。

【难度】★★★☆【考点】正负数的概念，绝对值的性质下列说法正确的个数有（）①-（-a）表示正数；②|a|一定是正数，-|a|一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果|a|>|b|，则a>b．⑤有理数a>b，则a2>b2A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【易错点】-a不一定是负数、+a不一定是正数；可以用特殊值法快速排除。

有理数的运算中考要求重难点1. 理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2. 理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3. 能利用有理数的运算法则简化运算4. 能借助数轴比较有理数的大小课前故事古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷了下棋。

为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。

大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。

第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、......一直到第64格。

”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑。

大臣说：”就怕您的国库里没有这么多米！“后等于：+++210222……+632=642-1 =18446744073709551615粒 约2200多吨例题精讲模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。

专题06 有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律． 2．以符代数． 3．裂项相消． 4．分解相约． 5．巧用公式等．例题与求解【例1】 已知m ，n 互为相反数，a ，b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则2002200123)()()1(-ab x n m x ab n m x ++++++的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】 已知整数d c b a ,,,满足25=abcd ，且d c b a >>>，那么d c b a +++等于（ ） A ． 0 B ． 10 C ．2 D ．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】 计算： （1）;100321132112111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）199843277777+⋅⋅⋅++++；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-． （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】 n m ,都是正整数，并且)11)(11()311)(311)(211)(211(mm A +-⋅⋅⋅+-+-=， )11)(11()311)(311)(211)(211(nn B +-⋅⋅⋅+-+-=．(1)证明：m m A 21+=，n n B 21+=； (2)若261=-B A ，求m 和n 的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】 在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值． （2）请你用图②，在设计一个能求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】 记，令nS S S T nn +⋅⋅⋅++=21称n T 为n a a a ⋅⋅⋅,,21这列数的“理想数”，已知50021,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为2004．求50021,,,8a a a ⋅⋅⋅的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为n S 为各项和，n T 为各项和的和乘以n1． 能力训练 A 级1．若y x ,互为相反数，n m ,互为倒数．1=a ，201220112)()(mn y x a -++-的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若21)1(22)1(1)1(32=+-⨯--⨯-+--M ，则M =___________． （“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）199919971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯＝________________； （2）()()()()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0＝__________________．4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，⋅⋅⋅，依次类推，直至最后减去余下的19971，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数c b a ,,满足关系式c b a <<<0，那么代数式32-c ab acbc 的值（ ） A ． 必为正数 B ．必为负数 C ．可正可负 D ．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数z y x ,,两两不相等，则z y x -y -，x -z z -y ，y--x xz 中负数的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若a 与)-(b 互为相反数，则abb a 199********2+＝（ ）A ． 0B ． 1C ． －1D ．1997（重庆市竞赛试题）9．如果()-12001=+b a ，()1-2002=b a ，则20032003b a +的值是（ ）A ．2B ． 1C ． 0D ．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若d c b a ,,,是互为不相等的整数，且9=abcd ，则d c b a +++等于（ ） A ．0 B ． 4 C ． 8 D ．无法确定 11． 把511，3.7，216，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知c b a ,,都不等于零，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，求)1(1998++n m 的值． B 级 1．计算：)9897983981()656361()4341(21+•••+++•••++++++＝________________． （“五羊杯”竞赛试题）2．计算：109876543222-2-2-2-2-2-2-2-2+＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：2)93186293142842421(nn n n n n ••+•••+××+×ו•+•••+××+××＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量a ，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________； （2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较1+n n 与nn )1(+的大小（n 是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”） ①122__1，②233__2；③344__3；④455__4；⑤••••••566__5 （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出1+n n与nn )1(+的大小关系是_____________________________________________________________________________； （3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20022001_____20012002：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（ ） A ． －2 B ．－1 C ．0 D ．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果1332211=++t t t t t t ，那么321321t t t t t t 的值为（ ） A ． －1 B ．1 C ．1± D ．不确定（河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为1910921303212=++×=+×+×；二进制数1011可用十进制法表示为1112081212021123=+++=+×+×+×．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数221=a ，二进位制数10111=b ，则a 与b 的大小关系为（ ）． A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数d c b a ,,,满足d c b a +>+，则（ ）A ．d c b a +>++11-B ．2222d c b a +>+C ．3333d c b a +>+D ．4444d c b a +>+（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（ ） A ．1997999 B ．1997997 C ．1998998 D ．1998999（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：223214111××==， 22333241921××==+，22333434136321××==++22333354411004321××==+++．．． 回答下面的问题：（1）猜想33333)1-(321n n ++•••+++＝______________．（直接写出你的结果） （2）利用你得到的（1）中的结论，计算3333310099321++•••+++的值． （3）计算①3333100991211++•••++的值； ②3333310098642++•••+++的值．专题 06 有理数的计算例1 28或-26例2 D 提示 ：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3 （1）101200 提示：2)1(13211+-++++n n n=()12+n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1112n n .（2）6771999- 提示：设s=1998327777++++ ，则7s=1999327777++++（3）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+56174217301520151213613211+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-90197219=1+1-1019191814131312121-+-++-+-+ =2-101=1091例4 （1）A=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m 1131121111311211 =m m m m 1342313221+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =m m 21+ 同理B=nn 21+由A-B=mm 21+-n n 21+=n m 2121-=261得13111=-n m ∴m=n n +1313=13-n+⨯131313，又∵m ，n 均为正整数，∴13+n 为13×13的因数，∴13+n=213∴n156，m=12.例5 （1）原式=1-n21，（2）例6 由题意知 ()()()[]n n a a a a a a a a a nT ++++++++++=213212111，即()()[]n n n a a a n a n na n T +++-+-+=-13212311.又[]50049932150024984995005001a a a a a T +++++⨯= ∴5004993212498499500a a a a a +++++ =2004×500. 故8，1a ，2a ，…，5a 的“理想数“为[]50499321501249849950085015011a a a a a T ++++++⨯=””=[]500200485015011⨯+⨯⨯=2008. A 级1.2 提示：原式=()201220112201-+-=1+1=2.2.2 提示：M-1+21221=+--，解得 M=2.3.（1）5997998；（2）-8 4. 1提示：设a=1997，由题意原式= -⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---41623122a a a a a a =19961997342312⨯--⨯-*-⨯-a a a a a 5.-13 6.B 7.B 提示：不妨设x>y>z. 8.B 9.D 10.A 11.提示：设○内从右到左填的数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a 则△内填的数为923254321a a a a a ++++.要使△中填的数尽可能小，则5113=a ，2a ， 4a 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为1a ，5a . 12.1998 提示 ：1=x x 时，m=4；1-=xx时，n-4. B 级1.612.5 提示：倒叙相加. 2.6 提示：n n n 2221=-+3.72964 4.（1）a ∙32 （2）a ∙132 （3）a ∙182 5.（1）略 （2）当n<3时，()nn n n11+<+；当n ≥3时，()nn n n 11+>+ （3）>001-00076. A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7. A8. A9. A 10 A 11.（1）14×π2×（n ＋1）2（2）原式＝14×1002×（100＋1）2＝25 502 500（3）①原式＝14×100×（100＋1）2－14×102×（10＋1）2＝25 499 475;②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23×14×502×（50＋1）2＝13 005 000.。

6.计算──工具与算法的变迁知识纵横研究数学、学习数学总离不开计算,随着时代的变迁,计算工具在不断在改变,•从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机(computer)运算.初中代数中运算贯穿于始终,运算能力是运算技能与逻辑能力的结合,它体现在对算理算律的理解与使用,综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上,这要求我们要善于观察问题的结构特点,灵活选用算法和技巧,有理数的计算常用的方法与技巧有:1.巧用运算律;2.用字母代数;3.分解相约;4.裂项相消;5.利用公式等.例题求题【例1】现有四个有理数3,4,-6,10,将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24,其三种本质不同的运算式有:(1)________________;(2)__________________;(3)____________________. (浙江省杭州市中考题)思路点拨从24最简单的不同表达式入手,逆推、拼凑.解:下列算式供参考:3×[4+10+(-6)],(10-4)-3×(-6),4-(-6)÷3×10.【例2】如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,•那么m+n+p+q 等于( ).A.10B.21C.24D.26E.28(2001年新加坡数学竞赛题) 思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式.解:选E 提示:4=2×(-2)×1×(-1)【例3】计算:(1)1+112++1123+++…+1123100+++⋅⋅⋅+(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2)19492-19502+19512-19522+…+19972-19982+19992; (北京市竞赛题)(3)5+52+53+ (52002)思路点拨对于(1),首先计算每个公分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;(2)式使人易联想到平方差公式;对于(3),•由于相邻的后一项与前一项的比都是5,可从用字母表示和式着手.解:(1) 200101提示:1123n+++⋅⋅⋅+=1(1)2n n+=2(1)n n+=2(1n-11n+)(2)3897326;(3) 2003554- 提示:设s=5+52+53+...+52002,则5s=52+53+ (52003)【例4】(1)若按奇偶分类,则22004+32004+72004+92004是________数;(2)设a=355,b=444,c=533,则a 、b 、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002是5的倍数.思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,•解与乘方运算有关问题常用到以下知识:①乘方意义;②乘方法则;③a 2n ≥0;④a n 与a 的奇偶性相同;⑤在n 4k+r 中(k,r 为非负整数,n ≠0,0≤r<4),当r=0时,n 4k+r 的个位数字与n 4的个位数字相同;当r ≠0时,n 4k+r •的个位数字与n r 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c.(3)因为32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以32002与42002的个位数字分别与32、42的个数数字相同,即9、6,•从而32002+42002的个位数字为5,因此,32002+42002是5的倍数.【例5】有人编了一个程序:从1开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如,30可以这样得到:13+−−→42⨯−−→82+−−→103⨯−−→30. (1)证明:可以得到22;(2)证明:可以得到2100+297-2.思路点拨 要证明可以得到相应的数,只要编出符合要求的程序即可.解:(1)1 2⨯−−→ 2 2+−−→ 4 2⨯−−→ 8 2+−−→ 10 2⨯−−→ 20 2+−−→ 22; (2)1 2⨯−−→ 3×2-4 2+−−→ 3×2-2 2⨯−−→ 3×22-4 2+−−→ 3×22-2 2⨯−−→ 3×23-4 2+−−→ 3×23-2…(不断乘以2，再加2) 2⨯−−→3×296-43+−−→3×296-1 3⨯−−→ 299+296-3 2+−−→ 299+296-1 2⨯−−→ 2100+297-2.学力训练一、基础夯实1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)若a= -20042003,b=-20032002,c=-20022001,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号连接〉.2.计算:(1)0.7×149+234×(-15)+0.7×59+14×(-15)=________;(第15届江苏省竞赛题)(2) 191919767676-76761919=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)(3)135⨯+157⨯+…+119971999⨯=________; (天津市竞赛题)(4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________.(第14届“五羊杯”竞赛题)3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),•使得等式成立:6□3□2□12=24. (第17届江苏省竞赛题)4.1999加上它的12得到一个数,再加上所得的数的13又得到一个数,再加上这次得数的14又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的11999,那么最后得到的数是_________.5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为32,则输出的结果为( ).A.72B.94C.12D.92(2002年北京市海淀区中考题)y=-x+21<x≤2y=x2-1<x≤1y=x+2-2≤x≤-1输出y值输入x值6.已知a=-199919991999199819981998⨯-⨯+,b=-200020002000199919991999⨯-⨯+,c=-200120012001200020002000⨯-⨯+,则abc=( ).A.-1B.3C.-3D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题)7.如果有理数a 、b 、c 满足关系a<b<0<c,那么代数式23bc acab c 的值( ).A.必为正数B.必为负数C.可正可负D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ).A.322、910、810、414B.322、910、414、810C.910、810、414、322D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,•每一项与它前一项的比都等于2.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,•这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;(2)如果一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 •21a a =q, 32a a =q, 43aa =q,…, 所以a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,…,a n =_______(用a 1与q 的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)10.(1)已知a 、b 、c 都不等于零,且||a a +||b b +||c c +||abcabc 的最大值是m,最小值为n,求m n mn的值.(2)求证:5353-3333是10的倍数.二、能力拓展11.计算:(1) 2200340042003200240082003200422003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯=_________.(第15届“希望杯”邀请赛试题)(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;(3) 123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=_______________.(4)98+998+9998+…+5099998⋅⋅⋅个=_________.(2003年“信利杯”竞赛题) 12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数(a<b<c<d),且abcd=121,则a c +b d =________. 14.你能比较20012002与20022001的大小吗?为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较n n+1与(n+1)n 的大小(n 是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、•“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______54; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出n n+1和(n+1)n 的大小关系是_______.(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果11||t t +22||tt +33||t t =1,则123123||t t t t t t 的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式ac<0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0中必定成立的有( • ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17.设S=213⨯+2235⨯+3257⨯+...4929799⨯,T=13+25+227+ (48)299,则S-T=( ).A.49299B.1-49299C.49299-1D.49299+1 (第14届“五羊杯”竞赛题)18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ). A.12 B. 1118 C. 76D. 59 (第11届江苏省竞赛题)19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: 14,12,1,2,4,8,•16,•32,64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值. (上海市竞赛题)64x3220.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, ab,b的形式,求a2002+b2001的值.三、综合创新21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;(3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?(2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?(2002年扬州中学招生试题)C nmj2 j1答案：1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-334;(3) 9985997; (4)•48,•注意13672=•8•×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+12)(1+13)×…×(1+11999)5.C6.A7.B8.A9.(1)-135;(2)a n =a 1q n-1;(3)a 1=5,a 4=40. 10.(1)-16 提示:||xx =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. 11.(1)667668;(2)6 提示:2n+1-2n =2n ;(3)25; (4) 111000491⋅⋅⋅ 个 12.(1)9;(2)115200 13.-1214.(1)略;(2)当n<3时,n n+1<(n+1)n ;当n ≥3时,n n+1>(n+1)n ;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示:1111()(2)22n n n n =-++ 18.A 19.这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64=643, 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为14,12, 2,4中的某个数,推得x=8. fed c b a 64x 3220.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b 与a•中有一个为0,ba与b 中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. 21.(1)222;(2)444=4256>444;(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大. 22.由题意设输出数,设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,•1)•=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.。

七年级数学思维探究：有理数的运算(有答案)(数学竞赛)杨辉,中国南宋时期杰出的数学家,大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多,著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着,他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算．运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决例1 （1）已知()()21,2,3,1n aa n n ==+,记()1121b a =-,()()212211b a a =--,…,()()()122111n n b a a a =---,则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的代数式表示）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是____． 试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题．例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12试一试解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3计算（1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）111112123123100+++++++++++；（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加；对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手；对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手,例4在数学活动中,小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键． 例5在1,2,…,2002前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值．分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手． 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数．因此,所求非负代数和不会小于1．又()()()()()123456789101112131419992000200120021-++--++--++--+++--+=∵,∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中,你发现了什么？用字母表示这一规律．（2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问．爱因斯坦曾说：。

专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m ，n 互为相反数，a ，b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则2002200123)()()1(-ab x n m x ab n m x ++++++的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】已知整数d c b a ,,,满足25=abcd ，且d c b a >>>，那么d c b a +++等于（）A ．0B ．10C ．2D ．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】计算：（1）;100321132112111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）199843277777+⋅⋅⋅++++；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】n m ,都是正整数，并且)11)(11()311311)(211)(211(m m A +-⋅⋅⋅+-+-=，11)(11()311)(311)(211)(211(n n B +-⋅⋅⋅+-+-=．(1)证明：m m A 21+=，n n B 21+=；(2)若261=-B A ，求m 和n 的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值．（2）请你用图②，在设计一个能求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】记，令nS S S T nn +⋅⋅⋅++=21称n T 为n a a a ⋅⋅⋅,,21这列数的“理想数”，已知50021,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为2004．求50021,,,8a a a ⋅⋅⋅的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为n S 为各项和，n T 为各项和的和乘以n1．能力训练A 级1．若y x ,互为相反数，n m ,互为倒数．1=a ，201220112)()(mn y x a -++-的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若21)1(22)1(1)1(32=+-⨯--⨯-+--M ，则M =___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）199919971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯＝________________；（2）()()()()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0＝__________________．4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，⋅⋅⋅，依次类推，直至最后减去余下的19971，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数c b a ,,满足关系式c b a 0，那么代数式32-c ab acbc 的值（）A ．必为正数B ．必为负数C ．可正可负D ．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数z y x ,,两两不相等，则z y x -y -，x -z z -y ，y--x xz 中负数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若a 与)-(b 互为相反数，则abb a 199********2+＝（）A ．0B ．1C ．－1D ．1997（重庆市竞赛试题）9．如果()-12001=+b a ，()1-2002=b a ，则20032003b a +的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若d c b a ,,,是互为不相等的整数，且9=abcd ，则d c b a +++等于（）A ．0B ．4C ．8D ．无法确定11．把511，3.7，216，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知c b a ,,都不等于零，且abcabcc c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，求)1(1998++n m 的值．B 级1．计算：9897983981()656361()4341(21+•••+++•••++++++＝________________．（“五羊杯”竞赛试题）2．计算：109876543222-2-2-2-2-2-2-2-2+＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：293186293142842421(nn n n n n ••+•••+××+×ו•+•••+××+××＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量a ，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________；（2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较1+n n 与nn )1(+的大小（n 是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）①122__1，②233__2；③344__3；④455__4；⑤••••••566__5（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出1+n n与nn )1(+的大小关系是_____________________________________________________________________________；（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20022001_____20012002：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）A ．－2B ．－1C ．0D ．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果1332211=++t t t t t t ，那么321321t t t t t t 的值为（）A ．－1B ．1C ．1±D ．不确定（河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为1910921303212=++×=+×+×；二进制数1011可用十进制法表示为1× 23 + 0× 22 +1× 21+1 = 8 + 0 + 2 +1 = 11．前者按 3 的幂降幂排列，后者按 2 的幂降幂排列，现有三进位制数a = 221，二进位制数b = 10111 ，则a 与b 的大小关系为（ ）．A ．ba >B ．ba =C ．ba <D ．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数d c b a ,,,满足d c b a +>+，则（）A ．d c b a +>++11-B ．2222dc b a +>+C ．3333dc b a +>+D ．4444dc b a +>+（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（）A ．1997999B ．1997997C ．1998998D ．1998999（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：223214111××==，22333241921××==+，22333434136321××==++22333354411004321××==+++．．．回答下面的问题：（1）猜想33333)1-(321n n ++•••+++＝______________．（直接写出你的结果）（2）利用你得到的（1）中的结论，计算3333310099321++•••+++的值．（3）计算①3333100991211++•••++的值；②3333310098642++•••+++的值．专题06有理数的计算例128或-26例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3（1）101200提示：2)1(13211+-++++n n n=()12+n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1112n n .（2）6771999-提示：设s=1998327777++++ ，则7s=1999327777++++ （3）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+56174217301520151213613211+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-90197219=1+1-1019191814131312121-+-++-+-+ =2-101=1091例4（1）A=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m 1131121111311211 =m m m m 1342313221+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =m m 21+同理B=nn 21+由A-B=m m 21+-n n 21+=n m 2121-=261得13111=-n m ∴m=n n +1313=13-n+⨯131313，又∵m ，n 均为正整数，∴13+n 为13×13的因数，∴13+n=213∴n156，m=12.例5（1）原式=1-n 21，（2）例6由题意知()()()[]n n a a a a a a a a a nT ++++++++++=213212111，即()()[]n n n a a a n a n na nT +++-+-+=-13212311.又[]50049932150024984995005001a a a a a T +++++⨯=∴5004993212498499500a a a a a +++++ =2004×500.故8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数“为[]500499321501249849950085015011a a a a a T ++++++⨯=””=[]500200485015011⨯+⨯⨯=2008.A 级1.2提示：原式=()201220112201-+-=1+1=2.2.2提示：M-1+21221=+--，解得M=2.3.（1）5997998；（2）-84.1提示：设a=1997，由题意原式= -⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---41623122a a a a a a =19961997342312⨯--⨯-*-⨯-a a a a a 5.-13 6.B7.B提示：不妨设x>y>z.8.B 9.D 10.A11.提示：设○内从右到左填的数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a 则△内填的数为923254321a a a a a ++++.要使△中填的数尽可能小，则5113=a ，2a ，4a 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为1a ，5a .12.1998提示：1=x x 时，m=4；1-=xx时，n-4.B 级1.612.5提示：倒叙相加.2.6提示：nn n 2221=-+3.72964 4.（1）a∙32（2）a∙132（3）a∙1825.（1）略（2）当n<3时，()nn n n11+<+；当n≥3时，()nn n n 11+>+（3）>001-00076.A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7.A 8.A 9.A 10A 11.（1）14×π2×（n ＋1）2（2）原式＝14×1002×（100＋1）2＝25502500（3）①原式＝14×100×（100＋1）2－14×102×（10＋1）2＝25499475;②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23×14×502×（50＋1）2＝13005000.。