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第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)

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5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。

高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5

高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
本讲整合
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课件 a选修45a高二选修45数学课件

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课件 a选修45a高二选修45数学课件

2021/12/7
第九页，共二十三页。
练一练 2021/12/7
2．设 a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 【证明】 不妨设 a≥b≥c＞0，则 a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有： a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4. 又 a3≥b3≥c3＞0，且 ab≥ac≥bc＞0， 所以 a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即 a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
B.1 2 D．4
【解析】 ∵4＝lg x＋lg y≥2 lg x·lg y，∴lg x·lg y≤4.
【答案】 D
2021/12/7
第十九页，共二十三页。
随堂检测( jiǎn cè)
4．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是( )
A．2 6
B. 6
C．6
D．12
2021/12/7
第六页，共二十三页。
练一练
1．设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：a＋a2 x＋b＋b2 y≥a＋2 b.
【证明】 ∵a，b，x，y 都大于 0，且 x＋y＝a＋b.
由柯西不等式，知a＋a2 x＋b＋b2 y[(a＋x)＋(b＋y)]
≥
a · a＋x＋ a＋x
cè)
5．数列{an}的通项公式 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大项是(
)
A．第 9 项
B．第 8 项和第 9 项
C．第 10 项
D．第 9 项和第 10 项
【解析】
an＝n2＋n 90＝n＋190≤2

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 1 2 2 2 n 1 2 n
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

又因
1 1 1 1 ... 2 2 2 3 n2
由排序不等式，得：
an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0

人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第三课 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (共63张PPT)


3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. a1c1+a2c2+…+ancn
4.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当____时,命题成立. (2)假设当nn==kn(0 k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明 ______时,命题也成立.
2 3 4 2n 1 2n 2
【证明】1- 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2n 1 2n
(1 1 1 1 1 1 ) 2(1 1 1 1 ) 2 3 4 2n 1 2n 2 4 6 2n
1 1 1 1 . 所n以1求n证式2 等价2于n 1<2n
<.
4
1 1 ... 1
n=k+1
【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)对假设设而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度.
类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
4 ＜1- 1 1 1 ... 1 1 ＜ 2 .
7
【变式训练】1.用数学归纳法证明:
(1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 2 (n∈N+).
【证3明】4(1)当5n=1时,左n边 2=1n- 2 ,右边=
aA bB cC . abc 3
方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,

第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)


又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2

1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a 1 1 1 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ( ＋ ＋ ＋ )≥16， s－d s－a s－b s－c s s s s 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， s－d s－a s－b s－c 3 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号， 1 1 1 1 16 即 ＋ ＋ ＋ > . a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 3a＋b＋c＋d
2 2 2
点击下图片 进入:
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
解析：构造两组数：x， 2y， 3z 和 1， 2， 3， 由柯西不等式得[x2＋( 2y)2 ＋( 3z)2][12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x ＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤18， ∴－3 2≤S≤3 2. 答案：A
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例 2 .求 函 数 y 5
x 1
1 0 2 x的 最 大 值 .
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 a 1 b 4
注意应用公式： ( a b )( 1 a 1 b ) 4
练习：
1 .已 知 2 x 3 y 6 ,
2 2
求证x 2y
11
2 .已 知 a b 1,
2 2
求 证 | a c o s b s in | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
又因
1
1
2
2

1
3
2
...
1
n
2
由排序不等式，得： a3 an b3 bn a2 b2 a 1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式同


cos x 在0，π2为减函数， ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β
＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关 系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不 等式中地位的对称性，限定一种大小关系．
3．设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋cba＋acb≥a＋b＋c. 证明：由题意不妨设 a≥b≥c＞0， 由不等式的单调性，知 ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a. 由排序不等式，知 ab×1c＋ac×1b＋bc×1a ≥ab×1b＋ac×1a＋bc×1c， 即所证不等式bac＋cba＋acb≥a＋b＋c 成立．
4．设 a1，a2，…，an 是 1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n－n 1≤aa12＋aa32＋…＋aan－n1. 证明：设 b1，b2，…，bn－1 是 a1，a2，…，an－1 的一个排 列，且 b1<b2<…<bn－1；c1，c2，…，cn－1 是 a2，a3，…， an 的一个排列，且 c1<c2<…<cn－1， 则c11>c12>…>cn1－1且 b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2， c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有 aa12＋aa23＋…＋aan－n 1≥bc11＋bc22＋…＋bcnn－－11≥12＋23＋…＋n－n 1. ∴原不等式成立．
中 x1x2，…，xn 都是正数，则 A 与 B 的大小关系为 ( )
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和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
1 1 ＋„＋ ， 2n n＋2 所以求证式等价于 4 1 1 1 2 ＜ ＋ ＋„＋ ＜ . 7 n＋1 n＋2 2n 2
由柯西不等式，有
1 1 1 ＋ ＋„＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2， n＋1 n＋2 2n
1 1 1 n2 于是 ＋ ＋„＋ ≥ 2n n＋1＋n＋2＋„＋2n n＋1 n＋2 2n 2 2 4 ＝ ＝ ≥ ＝ ， 1 1 7 3n＋1 3＋n 3＋ 2
2
w＝2 时取到“＝”号， v4 w4 6 8 u 32 ∴当 u＝ ，v＝ ，w＝2 时 ＋ ＋ 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25
4
[例 4]
设 ai∈R＋(i＝1,2，„，n)且 ai＝1，求：
i＝1
n
a1 a2 S ＝ ＋ ＋ „ ＋ 1＋a2＋„＋an 1＋a1＋a3＋„＋an an 的最小值． 1＋a1＋„＋an－1 a1 a2 an [解] S＝ ＋ ＋„＋ 关于 a1，„，an 对称， 2－a1 2－a2 2－an
49 7 a 7 a 2 所以 a≥(x＋y＋z) ，即－ ≤x＋y＋z≤ . 36 6 6 7 a 因为 x＋y＋z 的最大值是 7，所以 ＝7，得 a＝36， 6 36 9 4 当 x＝ ，y＝ ，z＝ 时，x＋y＋z 取最大值， 7 7 7 所以 a＝36.
(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件
2 2 2 2ຫໍສະໝຸດ ≥(1＋1＋1＋1)2. 1 1 1 1 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ( ＋ ＋ ＋ )≥16， s－d s－a s－b s－c s s s s 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， s－d s－a s－b s－c 3 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号， 1 1 1 1 16 即 ＋ ＋ ＋ > . a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 3a＋b＋c＋d
1 1 [(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]2－a ＋2－a ＋ 1 2
1 „＋ ≥n2， 2－an 而(2－a1)＋(2－a2)＋„＋(2－an)＝2n－1，
1 n2 n 所以，S≥n× ＝ ， 2n－1 2n－1 1 当且仅当 a1＝a2＝„＝an＝n时， 上面几个不等式的等号 n 成立，于是 S 的最小值为 . 2n－1
构造两组数 1 1 1 s－d， s－a， s－b， s－c； ， ， ， s－d s－a s－b 1 ，由柯西不等式得 s－c
1 [( s－d ) ＋ ( s－a ) ＋ ( s－b ) ＋ ( s－c ) ]· [ 2＋ s－d 1 1 1 2＋ 2＋ 2] s－a s－b s－c
又由 0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． aA＋bB＋cC π 得 ＜ .② 2 a＋b＋c 由①、②得原不等式成立．
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 当且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
[例5]
已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
由柯西不等式：
2 2 2
且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[解]
2
12 12 [x ＋(2y) ＋(3z) ][1 ＋( ) ＋( ) ] 2 3 1 1 ≥(x＋ ×2y＋ ×3z)2. 2 3 因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
一、选择题 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 A. 3 C．3 B. 5 D．5 ( )
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2

1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
[例 1]
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意
取等号的条件能否满足．
[例 3]
u4 已知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求 9
v4 w4 ＋ ＋ 的最小值． 16 25 [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
2 2 2
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答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2 ＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解 ： ∵ 4(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋d2)＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即 4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即 5e2－16e≤0， 16 ∴e(5e－16)≤0，故 0≤e≤ . 5
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
二、填空题 a2 b2 4． a， 是给定的正数， 设 b 则 2 ＋ 2 的最小值为________． sin α cos α a2 b2 a2 解析： 2 ＋ 2 ＝(sin2α＋cos2α)( 2 ＋ sin α cos α sin α
b2 a b 2 ＋cosα· ) ＝(a＋b)2. 2 )≥(sinα· cos x sinα cosα
答案：2
2 9 1 6．函数 y＝x＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
答案：(a＋b)2
5．x∈R，则 1＋sinx＋ 1－sinx的最大值为________．
解析：( 1＋sinx＋ 1－sinx)2≤(12 ＋12)(1＋sinx＋1－sinx) ＝4， ∴ 1＋sinx＋ 1－sinx≤2. 当且仅当 1＋sinx＝ 1－sinx，即 sinx＝0 时取等号．
B．n
1 C．n D.n 解析：设 n 个正数为 x1，x2，„，xn，由柯西不等式，得(x1
＋ x2 ＋ „ ＋ xn)
1 1 1 ＋ ＋„＋ xn x1 x2
≥

1 x1× ＋ x2 x1
1 1 2 × ＋„＋ xn× ＝(1＋1＋„＋1)2＝n2. x2 xn
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
解析：构造两组数：x， 2y， 3z 和 1， 2， 3， 由柯西不等式得[x2＋( 2y)2 ＋( 3z)2][12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x ＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤18， ∴－3 2≤S≤3 2. 答案：A
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．