第九章 电路的复频域分析法

第十四章线性动态电路的复频域分析一、教学目标应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。

一般来说，后一种方法比前一种方法简便。

本章介绍的就是后一种方法。

1.知识教学点(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展开定理(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电路的画法(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用(4)线性动态电路的复频域分析法(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()H jω之间的关系H s与()2.能力训练点（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数（2）正确画出运算电路（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路（4）求网络函数及其极点、零点（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应3.其它（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘二、教学方法1 教法指导（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。

重点放在部分分式展开法。

（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。

（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。

（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。

讲解清楚()H s的求法及其几种表示方法；H jω及()h t的联系；网络函数的一些应用。

H s、()()2 学法指导预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。

第九章电路的复域分析法§9.1 引言对于这一过程，在第七章中曾讨论过以下两个问题：（1）可否省掉第一步，即不列微分方程而直接写出含待求相量的微分方程；（2）可否将电阻电路的分析法引入到正弦稳态电路的相量分析法中。

为此，我们讨论了电路定律的相量形式，即基尔霍夫定律和元件约束关系（VCR）的相量形式，发现基尔霍夫定律的相量形式和其时域形式的表述是相同的；另外，在讨VCR的相量形式时，还发现无源元件（R、L、C）上的电压相量和电流相量是成正比的。

对比线性电阻电路的特点后，我们得到的结论是不仅可以省掉第一步，直接写出含待求相量的复系数方程，而且还可引入电阻电路的分析法及相关的电路定理。

这就是正弦稳态电路相量分析法的推导过程。

显然，和推导相量法的过程类似，这就需要先讨论以下两个问题（1）基尔霍夫定律的复域形式（2）元件约束关系（VCR）的复域形式§9.2 电路定律的复域形式9.2.1 基尔霍夫定律的复域形式1. KCL的复域形式KCL的时域形式为∑=0)(t i上式两端同取拉氏变换∑=0☹[t i)](根据拉氏变换的线性定理∑∑∑=[sIt i☹(t i☹=))]()]([所以，KCL的复域形式为∑s I(=)上式用语言表述为：在电路的任何一个节点上，流入该节点的电流的象函数之和等于流出该节点的电流的象函数之和。

2. KVL的复域形式和上面推导KCL的复域形式类似，不难推出KVL的复域形式为∑=0U)(s上式用语言表述为：对于电路的任一回路，沿回路绕行一周，各支路电压象函数的代数和为零。

9.2.2 VCR 的复域形式1. 电阻元件-)(t u RR(a) (b)图9-3 电阻元件的VCR 如图9-3（a ）所示，电阻元件的电压电流关系为)()(t Ri t u R R =对上式两端同取拉氏变换后可得其复域形式为)()(s RI s U R R =可见，电阻元件的端电压的象函数和端电流的象函数也是成正比关系的。

复频域分析法在电路跃变中的应用摘要：复频域分析法是一种基于拉普拉斯变换的电路分析方法，其实质是将电路分析中的高阶微分方程用拉普拉斯变换法求解。

人们从电路元件和电路定理本身的时频关系出发，画出运算电路，从而大大简化了许多电路问题的求解。

本文将针对电路中的跃变现象，使用复频域分析法进行分析，往往能收到很好的效果。

关键词：复频域跃变电路时频关系电感割集电容回路理论分析：图1 电感割集产生的越变在动态电路中，往往存在换路现象（比如打开、闭合开关等），当电容电流，电感电压为有限值时，换路过程应当满足换路定律，即换路前后，电容电压和电感电流不发生改变： (0)(0)c c u u +-=(0)(0)L L i i +-=但是，在有些情况下，不能保证电容电流或者电感电压为有限值，这样一来电容电压或者电感电流就会发生跃变，换路定律不再成立。

这时传统的时域分析方法往往要对电路分析中的微分方程进行积分，才能得到电容电压或者电感电流的初始值。

电路跃变往往含有电感割集（其中可能含有一些独立电流源）或者电容回路（其中可能含有一些独立电压源），我们针对前一种情况，即电感割集进行分析，电容回路的分析是完全对偶的。

如图1所示，若该割集由M 个电感和N 个独立电流源组成（图中分别只画出了2个以示意）， 假设换路动作为闭合所有电流源支路上的开关，换路发生在0t =时刻，则在0t <时有：10M Lm m i==∑再根据一些条件可以确定出各个电感电流的(0)Lmi -的数值。

当0t >时，各电流源接入，则有： 110M N Lm sn m n ii ==+=∑∑根据电路的拓扑结构及元件参数可以列出一些特性方程（或者状态方程）0L L s Au Bi Ci ++=（1）其中L u 为电感电压列向量，L i 为电感电流列向量，s i 为独立电流源列向量，A ，B ，C为系数矩阵，由电路的拓扑结构和元件参数决定。

将该矩阵方程的某一行写出来即为： 1110M M N m Lmm Lm n sn m m n a u b i c i ===++=∑∑∑ 将电感的电压电流特性方程LmLm m di u L dt =（假设电感的电压电流为一致参考方向）代入上式中去：1110MMN Lm m m m Lm n sn m m n di a L b i c i dt ===++=∑∑∑（2） 两边从0-到0+进行积分则有： 0000001110M M N Lm m m m Lm n sn m m n di a Ldt b i dt c i dt dt +++---===++=⎰⎰⎰∑∑∑ 一般来说，跃变时有限值，故上式第二项为0，上式第三项由于电流源必为有限值，故为-，所以有：_1((0)(0))0M m mLm Lm m a L i i +=-=∑（3）由矩阵方程（1）式出发列出形如（3）式的一组方程从而确定电感电流的初始值，这就是传统时域分析所采用的方法。

本章重点：(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F (s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。

应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。

2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f (t )的拉普拉斯变换式： ⎪⎩⎪⎨⎧⎰=⎰=∞+∞-+∞--d )(πj 21)( d )()(0反变换正变换se s F tf t e t f s F stj c j c st [][])s (L )( )(L )s ( F t f t f F -1，简写==S: 复频率，ωσj s +=注意：● 积分域：0-：积分下限从0- 开始，称为0- 拉氏变换 。

0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。

今后讨论的均为0 - 拉氏变换。

t e t f t e t f t e t f s F st st st d )(d )( d )()(0000⎰+⎰=⎰=∞--+∞-++--（[0- ,0＋]区间f (t) = δ (t) 时，此项≠0）● 象函数F(s) 存在的条件：∞<⎰∞--t e t f st d )(0如果存在有限常数M 和 c 使函数 f(t) 满足：),0[ )(∞∈≤t Me t f ct ，即：cs Mt Me t e t f tc t -=⎰≤⎰∞---∞--d d )(0)s (s 0 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。

象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。

3.典型函数的拉氏变换变换公式： d )()(0t e t f s F st⎰=+∞--(1)单位阶跃函数)()(t t f ε=的象函数s e s t e t e t t s F st st st 101d d )()]([L )(00=∞-=⎰=⎰==--∞--∞--εε(2)单位冲激函数)()(t t f δ=的象函数1d )(d )()]([L )(0000==⎰=⎰==---∞+--s st st e t e t t e t t s F δδδ(3)指数函数at e t f =)(的象函数[]a s e a s t e e e s F t a s st at at -=∞--=⎰==----∞-101d L )()(0 14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质)(])(L[ , )(])(L[ 2211s F t f s F t f ==若 ，[][][])()()(L )( L )()( L 221122112211s F A s F A t f A t f A t f A t f A +=+=+则证明：[][]t e t f A t f A t f A t f A std )()()()( L 022112211-∞⎰+=+-)()(d )(d )(2211022011s F A s F A t e t f A t e t f A st st +=⎰+⎰=-∞-∞--结论：根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。

哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。

纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。

而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。

对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。

数学模型建立起来之后就要求解。

在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。

人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。

这就是傅立叶和拉普拉斯解法。

在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。

/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。