数学分析_复旦_欧阳光中陈传璋第三版3版上下册课后习题答案解析(下)

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。

数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。

数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。

数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。

课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。

课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。

主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。

多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。

内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。

数学分析第三版答案下册数学分析第三版答案下册【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）：1、126；2、2；3、1?x?x2xn?o(xn)；4、arcsinx?c（或?arccosx?c）；5、2.二、选择题（每小题3分，共15分）1、c;2、a；3、a；4、d；5、b三、求极限（每小题5分，共10分）1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0n?n1??lim?1?2?n??n??1nn2?1n1lnx（3分） ?lim?li??x?0x?0112xx（3分）(?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim?n??x?03n23 。

四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分）n??n?3证明：当n?3时，有（1分）3n299（3分） ?3??22n?3n?3n993n2因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分）n?n?33n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。

n?393n23（1分）即得证lim2n??n?3五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。

（10分）证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分）f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?1(b?a),21??(ab) （3分）所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分）bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta六、求函数的一阶导数：y?xsinx。

（10分）解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分）两边求一次导数，有：y??xsinx(cosxlnx?y?sinx（4分） ?cosxlnx?yxsinx)（2分） x七、求不定积分：?x2e?xdx。

（10分）解：2?x2?xxedx?xde = （2分） ??= ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分）= ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分）=?e?x(x2?2x?2)?c （2分）15八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。

分析几何答案尤承业【篇一：数学专业参考书整理推荐】>从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。

我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。

另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。

我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。

网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。

不少经济类工科类学校也用这一本书。

里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。

不过仍然不失为一本好书。

能广泛被使用一定有它自己的一些优势。

2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。

课本最后讲了一些流形上的微积分。

虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。

3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。

4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。

5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。

大学数学学习参考书点评yjyao 日月光华站2000一、数学分析-高等数学从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此.到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错.总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理".后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷.下面开始讲一些课本,或者说参考书:1.菲赫今哥尔茨"微积分学教程","数学分析原理".前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典."微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.这两套书在理图里面都有.2.Apostol"Mathematical Analysis"在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.3.W.Rudin"Principles of Mathematical Analysis"(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书.说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等"数学分析习题集","数学分析习题课教材".北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.5.克莱鲍尔"数学分析"记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有.6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.理图里有.下面的一些书可能是比较"新颖"的.7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.7b."数学分析"忘了是谁写的了[E.卓里奇],也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高".8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.9.说两句关于非数学专业的高等数学.这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.[另外,我记得徐利治有一本数学分析中的方法什么的书很好,不厚,名字不记得啦]10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金(Lusin)的"实变函数论"里面,总书库里面有.11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.理图里有.12.何琛,史济怀,徐森林"数学分析"这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以放在最后.关于数学分析的习题,还有一本书,就是G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了.该书的内容还是非常丰富的.在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的."微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,到总书库里面去看看吧!Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863二、空间解析几何空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.当然,这里还要提到十来年前大概做过教材的一本书:项武义,潘养廉等"古典几何学".这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.可以考虑的参考书包括:1.陈(受鸟)"空间解析几何学"内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.2.朱鼎勋"解析几何学"这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝如果想了解比较"新"的动态,可以考虑3.Postnikov"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本.我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去.上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解.4.狄隆涅"(解析)几何学"这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.总书库里面有.5.穆斯海里什维利"解析几何学教程"这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已).三、高等代数-线性代数高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了).好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.1.蒋尔雄,吴景琨等"线性代数"这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.理图里有.2.屠伯埙等"高等代数"这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.3.屠伯埙等"线性代数-方法导引"这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.另外,讲到矩阵论.就必须提到4.甘特玛赫尔"矩阵论"我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.总书库里有.图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.5.许以超"线性代数和矩阵论"虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.6.华罗庚"高等数学引论"华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如7.贾柯勃逊(N.Jacobson)Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear AlgebraGTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31("抽象代数学"第二卷:线性代数)这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.8.GreubLinear Algebra(GTM23)这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:9.丘维声"高等代数"(上,下)北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.10.李炯生,查建国"线性代数"这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.三、常微分方程从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.这里我打算还是从现行课本讲起.常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响), 该书在理图老分类的那一块里有.但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.1.彼得罗夫斯基"常微分方程讲义"在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.2.庞特里亚金"常微分方程"庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字不感冒的话绝对值得一读.下面转到欧美方面,3.Coddington & Levinson"Theory of Ordinary Differnetial Equations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.比较"现代"的表述有4.Hirsh & Smale"Differential Equations ,Linear Algebra andDynamical Systems"(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问.图书馆里有中译本.5.Arnol'd"常微分方程"必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多.看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.6.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看:7.卡姆克(Kamke)常微分方程手册那里面的方程多得不可胜数,理图里有.对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象8.Courant-Hilbert"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些.而且,9.王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室有一本.四、单复变函数单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数一样的地位...")就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的--举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.张老师用的是他自己的讲义,那书要到今年夏天才能印出来.所以还是这两年上过这门课的ddmm来谈谈感受比较好.现在具体的情况我不是很清楚,复旦以前有一本1.范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的.。

欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。

数值分析第三版课本知识题及答案解析第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);j j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"?;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩?r 是否唯⼀? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[ ]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----??.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.27.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f hA f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dxf f x f x -≈-++?;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1x e dx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式(2.9)和⾟普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx.7. ⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)?8. 1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。

微积分和数学分析引论答案【篇一：高数参考书】（国内教材大同小异）1高等数学第Ⅱ卷:一元微积分与微分方程，居余马等著，清华大学出版社2高等数学／西安交通大学高等数学教研室编．—2版．—北京：高等教育出版社，1986.23高等数学引论／华罗庚著．—北京：科学出版社，1984.7习题集1高等数学附册学习辅导与习题选解（同济五版）（注意：不是“高等数学习题全解指南”这本！）6 微积分／（美）m.r.施皮格尔=murray r. spiegel著；施建兵等译．—北京：科学出版社，20024，344页；30cm．—（全美经典学习指导系列）数学史与其他1古今数学思想／(美)克莱因著．—上海：上海科学技术出版社，1981.74 一个数学家的自白／(英)g. h. 哈代著；李泳评注＝a mathematicians apology．—长沙：湖南科学技术出版社，2007网站网易公开课维基百科【篇二：学习数学分析的一些建议和书籍】本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。

希望作者莫见怪。

旧版网站里许多有用的东西，但是现在找不到了，实在很可惜。

数学专业参考书整理推荐学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。

206习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d D x y σ+⎰⎰与2[ln()]d D x y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而 0l n ()x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y+≥+ 所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2从而 ln(x +y )>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y+<+207所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰; （3）2222(49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰. 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而 04xy ≤≤.从而22≤故2d D D σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而 d D σσ=⎰⎰ （σ为区域D 的面积），由σ=4 得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即220sin sin d d D D x y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰ 而2πσ=所以2220sin sin d πD x y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以22229494()925x y x y ≤++≤++≤故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰208而2π24πσ=⋅=所以2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1）222(,{(,)|};D a D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,D a σ⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3Da a σ=⎰⎰ （2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰ 4.设f (x ，y )为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，00(,)(,),x y ξη→ 于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d D f x y σ⎰⎰化为累次积分： (1) {(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥209(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yD y f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y D yf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y =2x 与曲线2y x=的交点(1，2)，与x =2的交点为(2，4),曲线2y x=与x =2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x≤≤≤≤图10-5210所以2221(,)d d (,)d xD xf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： (1) 2220d (,)d yyy f x y x⎰⎰; (2)e ln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰;(3) 1320d (,)d yy f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰;(5) 1233001d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以2224002d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D ：1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为：01,e e,y y x ≤≤≤≤211所以e ln 1e10ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D 亦可看成D 1与D 2的和，其中 D 1：201,0,x y x ≤≤≤≤D 2：113,0(3).2x y x ≤≤≤≤-所以2113213(3)2001d (,)d d (,)d d (,)d yx x y f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D 为：0π,sinsin .2xx y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D 亦可看成由D 1与D 2两部分之和，其中 D 1：10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ D 2：01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin 12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx y yx f x y y y f x y x y f x y x ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D 1与D 2两部分组成，其212中 D 1：01,02,y x y ≤≤≤≤D 2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤- 所以()1233230012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7.解：因为(,)Df x y d σ⎰⎰为一常数，不妨设(,)Df x y C =⎰⎰则有(,)x y f xy C =+从而有(,)()x y Df xy f uv C dudv =++⎰⎰而{}2(,)0 1.0D x y x y x =≤≤≤≤21(,)00()u x y f xy uv C dv du ⎡⎤∴=+⎰⎰+⎣⎦2120012u xy uv cv du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦ 152012xy u cu du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦163011123xy u cu ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11123xy C =++18C ∴=故(,)18x y f xy ∴=+8. 计算下列二重积分：213(1) 221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰ (2) e d d ,x yD x y ⎰⎰D由抛物线y 2 = x ,直线x =0与y =1所围；(3) d ,x y ⎰⎰D 是以O (0,0)，A (1，-1)，B (1，1)为顶点的三角形; (4) cos()d d ,{(,)|0π,π}D x y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx D x x x x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000ed d de d d e d()xx x y y yyyD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2111100ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰ (3) 积分区域D 如图10-13所示.214图10-13D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxxx y x y x y x x --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰ 112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x x x x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224(1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d x x x⎰求不出来，故应改变积分次序。

关于数学参考书（大学数学系本科所有课程）来源：复旦BBS数学一、数学分析从数学分析的课本讲起吧。

复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版)，那本书在香港等地翻印后反应据说非常好，似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此。

到90年代市面上还能看到的课本里面，有一套陈传璋先生等编的，可能就是上面的书的新版，交大的试点班有几年就拿该书做教材。

另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟)，秦曾复，朱学炎三位编的课本，好象后来数学系不用了，计算机系倒还在用。

那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错。

总的说来，这些书里面都可以看到一本书的影子，就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理"，其原因，按照秦老师的说法，是最初在搞教材建设的时候，北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程"，而复旦则选了"数学分析原理"。

后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析。

我不否认那是一种尝试，但是感觉上总有点别扭。

以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流，但是从这个意义上说该书做得并不是非常好。

而且从整体的课程体系上说，在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷。

下面开始讲一些课本，或者说参考书:1。

菲赫今哥尔茨"微积分学教程"，"数学分析原理"。

前一本书，俄文版共三卷，中译本共8本;后一本书，俄文版共二卷，中译本共4本。

此书堪称经典。

"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授，门下弟子无数，包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantoro vitch)都承认不太合适作为教材，为此他才给出了能够做教材的后一套书，可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介)。

相信直到今天，很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程"，因为里面的各种各样的例题实在太多了。

习题一1. 下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩即 40x x ≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数).也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).所以函数的定义域是ππ[π,π]66k k -++, k 为整数.3. 求函数1sin ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没1()1xf x x-=+,求1(0),(),().f f x f x -解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 5.设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩6. 设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====7. 证明:3()21f x x =-和()g x =. 证:由321y x =-解得x =故函数3()21f x x =-的反函数是)y x =∈R ,这与()g x =数,所以3()21f x x =-和()g x =. 8. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11xy x-=+解得11y x y -=+,所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x=+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界.又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x =+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -==-+解: (1)()()f x f x -==()f x ∴=.(2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-故()()f x f x --为奇函数.12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x xy =⨯=;当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x xx x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且 其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.16. 证明:11(1)arcsin h ln(h ln ,1121xx x x x x+=+=-<<-证: (1)由e e sinh 2x x y x --==得2e 2e 10x xy --=解方程2e2e 10xx y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x xy x ---==+得21e 1xy y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;又由101yy+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21xy x x x+==-<<-17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<.当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有21n ε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.20. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立. 证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2nx <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x+-=0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)nn n n n n n n n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得1122a a +-==(不合题意，舍去). 所以lim n n x →∞=22. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x xx x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-,故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim221x x x →--=+. (5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=. 23. 求下列极限：222423123242233(1)lim ;(2)lim ;1311(3)lim ;(4)lim ;21311(1)(2)(3)(5)lim ;(6)lim ;215x x x x x n x x x x x x x x xx x x x x n n n x n→→→∞→∞→∞→∞-++-+-----++++++ (7)若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 解：()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++. 2221424242112222333422424lim()11(2)lim 2.31lim(31)13111111(3)lim lim .1121221111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-⨯+--==----⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭由无穷大与无穷小的关系知， 21lim21x x x →∞+=∞+. 3(1)(2)(3)1123(6)limlim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24. 解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-. 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:(1)lim[(1)],01;k k n n n k →∞+-<<(2)n 其中11,,,m a a a 为给定的正常数;1(3)lim(123);(4)nn nn n →∞++解: 1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k kk k n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤<+-=<=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim0kn n -→∞=lim[(1)]0k k n n n →∞∴+-=.(2)记12max{,,,}m a a a a =则有n <<即1na m a <<⋅而 1lim , lim ,nn n a a m a a →∞→∞=⋅=故n a = 即12lim max{,,,}m n a a a =.(3)111(3)(123)(33)n nn n nn n<++<⋅即 113(123)3n nn n n+<++<而 1lim33,lim33n nn n +→∞→∞==故 1lim(123)3nn nn →∞++=.(4)11111n n<+<+ 而 1lim10,lim(1)1n n n→∞→∞=+=故1n =. 26. 通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim; (2)lim;1222168(3)lim; (4)lim ;154n n nx x n n xx x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++⎪⎝⎭-+-+--+32233π5422(5)lim ;1cot lim;2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)nx x x x x xxx x x x x x →+∞→→→→∞---+++< 112231100(1(1)lim ;(1)113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n n x x x x a x x x x x x x x x x a x x-→→→→→----+⎛⎫- ⎪---⎝⎭+-3sin 00;sin (15)lim(12); (16)lim ln .xx x x x x→→+解：22123(1)(1)111(1)limlim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--⎛⎫===- ⎪⎝⎭1221112244411112(2)lim lim 2.11221221(1)(3)lim lim lim(1)0.1168(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x xx x x x x x xx x x x xx x x x xx x x +→∞→∞→→→→→→⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==+++ ⎪⎝⎭--+-==-=---+---===-+---32222000(5)lim lim lim2.(1lim lim(1 2.x x x x x x xx x →+∞→→→=====-+=--5555x x x x →→→→=====3333ππ4422π422π41cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )(1cot )(1cot cot )lim (1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim .2cot cot 4x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x →→→→--=---+--++=-+++++==++122222(9)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim111lim .11nnn x x x x x x x x x x x xx x x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--111211211(1(1)(10)lim(1))(1))(1)11.234!n n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x x n n -→--→-→--=++++=++++==⨯⨯⨯⨯ 22223111221113213(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim lim 1.(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-⎛⎫==- ⎪-++-++--⎝⎭-+-+===--++++2212211221lim(1)(1)(12)lim 01lim(1)1lim.(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞-1log (1)(13)log (1)a x a x x x+=+ 而10lim(1).xx x e →+= 而1limlog log ln a a u eu e a→==0log (1)1lim.ln a x x x a→+∴=(14)令1,xu a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →.所以00011limlim ln log (1)log (1)lim x x u aa u a u a u x u u→→→-===++(利用(13)题的结果). 1122000336ln(12)ln(12)sin sin 2sin 0lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)limelimeeee e .xx x x x xx x xxx xx x x xxx x xx x →→→++→→→⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯+======(16)令sin x u x =， 则00sin lim lim1x x xu x→→==而1limln 0u u →= 所以0sin limln0.x xx→= 27. 利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim elim elim ee e x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln elim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.xx x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()11002(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x xxx xx x x xx x a b c x x x x →→→∞→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+ 于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x xxx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅= 即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+. (2)令13xxxxa b c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1ln ln3x x x a b c y x ++= 于是00333303300001lim(ln )lim ln 313lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x xxx x x xx x a b c x x x a b c x xxxxxxa b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦++-⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫---++=⋅++ ⎪+⎝⎭33331(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++⋅=即0lim(ln )ln x y →= 即()lim ln x y →=故0lim x y →=即1lim 3x x xxx a b c →⎛⎫++=⎪⎝⎭(3)令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是11sin cos 1111sin cos 1111sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11xx x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-→∞→∞+-→∞→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫=⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫- ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭2111sin 2ln e (10)ln e 1lim lim 11x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=⋅=-⋅= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 即limln 1x y →∞= 从而()lim ln 1x y →∞= 故lim e x y →∞= 即 11lim e sin cos xx x x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(4)令211xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21ln ln 1y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是：22221222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 即 ()lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞→∞==lim 1x y →∞∴= 即21lim 11xx x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 29. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.30. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111(1)limlim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.31. 利用0sin lim 1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx→→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2xxx x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xx x →→==.sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .222n nn n n n n n nx x x x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅. (9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx x xx x xxαβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，arcsin~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 l n [1(c o s 1)]~c o s 1,l n [1(c o s 1)]a x a xb x b x +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→ 故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 32. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？,0,(1)()10,xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处; 2,2(2)()102x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 在2x =处. 解：00(1)lim ()lim lim 1,x x x x xf x x x+++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 1x x xxxf x xx---→→→-===- 因为 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ 所以0lim ()x f x →不存在.(2)22221lim ()lim ,lim ()lim(2)42x x x x f x f x x x ++--→→→→==+∞=+=-因为2lim ()x f x +→不存在，所以2lim ()x f x →不存在. 33. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 221(3)()lim ;(4)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续，综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++ 1,0,()lim0,0,1,0.x xx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(4)当|x |=1时，221()lim0,1nnn x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn nn n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-534. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：2221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,;tan 21(3)cos ,0;x y x x x x x y x k x k k x y x x-===-+===+=±±==1,1,(4) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx →=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点(3)∵当0x →时，21cosx 呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)11lim lim(3) 2.x x y x ++→→=-= 11lim lim(1)0x x y x --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)35. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).x xf x f x x f x x f x x x ====+解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x xf x x x→→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.1(3)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.10(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续. 36. 怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2x ax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而0lim ()lim(),x x f x a x a ++→→=+= 0lim ()lim e 1,xx x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而ππ22ππ22lim ()lim (sin )1,πlim ()lim (1)1,2π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=+=+ ∴当π112b a +=+，即π2b a =时，()f x 在π2x =处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续.37. 试证：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-=即方程21xx ⋅=有一个小于1的正根.38. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续， 且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程s i n x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.39. 设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=,即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.40.设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 41. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二1． 设212s gt =，求2d d t s t =. 解：d d sgt t =，故2d 2d t s g t ==. 2．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠解：0021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解：00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-3．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.(1) 000()()lim ;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆故0()A f x '=- (2) 000()()0,lim;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- (3) 000()()lim.h f x h f x h A h→+--=解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f xf x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '= 4．讨论函数y =0x =点处的连续性和可导性.解：00(0)x f →==,故函数在0x =处连续.又2300lim x x x -→→==∞,故函数在0x =处不可导. 5．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===。

高等数学教材第三版答案为了方便广大高等数学学习者更好地学习，我特意整理了高等数学教材第三版的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

下面是对教材中各章节习题的答案解析。

第一章微分学1.1 函数与极限1.2 导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用第二章积分学2.1 定积分2.2 反常积分2.3 定积分的应用第三章无穷级数3.1 数项级数3.2 幂级数3.3 函数项级数第四章高次方程及其解法4.1 代数方程与代数方程的根4.2 高次代数方程的整数根与有理根4.3高次代数方程的正根与实根4.4高次代数方程的复根第五章傅立叶级数5.1 傅立叶级数的定义与性质5.2 奇延拓与偶延拓5.3 傅立叶级数的收敛性第六章偏微分方程6.1 偏导数与偏微分方程6.2 一阶线性偏微分方程6.3 高阶线性偏微分方程第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 一阶偏导数与全微分7.3 高阶偏导数与多元函数微分学应用第八章向量代数与空间解析几何8.1 向量代数8.2 空间解析几何8.3 平面与直线的夹角与距离第九章多元函数积分学9.1 二重积分9.2 三重积分9.3 三重积分的应用第十章曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 曲面积分第十一章广义重积分与格林公式11.1 广义重积分11.2 格林公式及其应用11.3 闭曲线上格林公式的应用第十二章级数的一致收敛性12.1 函数项级数的一致收敛性12.2 幂级数的一致收敛性12.3 一致收敛性的应用第十三章线性代数初步13.1 行列式13.2 向量空间与线性方程组13.3 特征值与特征向量第十四章线性代数进阶14.1 线性空间与线性映射14.2 矩阵与线性映射14.3 特征多项式与相似矩阵注意：以上只是教材中各章节的题目答案简要解析，建议在学习过程中，除了参考答案之外，还需要仔细研读教材中的知识点，并通过大量的练习来巩固和加深理解。

习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2)s==(3)s==(4)s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故s==5s==.z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得14z=9）.即所求点为M（0，0，1497. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()a b c a b c.++=++证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a, b, c 表示23.-u v 解：10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB =c，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A(x, y, z)，则 解得x=-2, y=3, z=0故A 的坐标为A(-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == (2)12(7PP ==(3) 12cos 14x a PP α==12cos 14z a PP γ==(4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i+j+k, b=2i-3j+5k 和c=-2i-j+2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b, c. 解：||==a16. 设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x 轴上的投影ax=13,在y 轴上分向量为7j. 17.解：设{,,}x y z a a a a =则有 求得12x a =.设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 4a ba bπ⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12y a =±又1,a=则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,22a =或11{,,22-18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M 在线段M1M2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标. 解：设向径OM ={x, y, z}因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}.19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x, y, z ）,2222||(12)49PA x y z =++-= 得2229524x y z z ++=-+又122190cos 2, 749x x α==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a, b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a·b; (2) (3a -2b)·(a+ 2b). 解：（1）a·b=2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b 21. 已知a=(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：（1）a·b; (2) (2a -3b)·(a+ b)； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影. 解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}23. 若向量a+3b 垂直于向量7a-5b,向量a-4b 垂直于向量7a-2b,求a 和b 的夹角.解: (a+3b)·(7a -5b)=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a-4b)·(7a -2b) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==.24. 设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a －b,且a+b={2,4,-2} a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a -b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a+b)⊥(a-b).25. 已知a=3i+2j-k, b=i-j+2k,求： (1) a×b;(2) 2a×7b;(3) 7b×2a; (4) a×a. 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b)×(a－b)|； (2) |(3a ＋b)×(a－2b)|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b a27. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j+k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b 平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++=l l i j k 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y zxyzi j k a b a a a b b b ⨯=则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）若,,C a b 共面，则有 a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2）C xyz x y z xyza a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） 由行列式性质可得: 故C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A, B, C, D. 则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k . 同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13BCDV Sh =⋅⋅，而11948222BCDSBC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h == 故1942323V =⋅⋅=33. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC = 显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x, y, z) 因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=. 即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.35.求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为: 且直线的参数方程为：37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行 故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 即3x-2y+6z+2=0.38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2. 故所求平面方程为1424x y z ++=40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+ 化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x –y=0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y=0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x –y=0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-642. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0 0, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩ 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k 的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1） 因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得2k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}(2) n1={3, -5,l }, n2={1,3,2}45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}. 故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k47. 求下列直线与平面的交点： (1) 11126x y z-+==-, 2x+3y+z-1=0; (2) 213232x y z +--==, x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x ty t z t=-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=533321i j k--={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=221381i j k-={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为π2.(2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s1={4,-12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量 故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z ++==--和4x-2y-2z=3; （2）327x y z ==-和3x-2y+7z=8; （3）223314x y z -+-==-和x+y+z=3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程. 解：直线的方向向量为12123111-=++-i jk i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x+2y+3z=0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++=其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s=n={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x ty t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 得23t =- 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---i jk n s j k故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d == 55. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z) 3.=化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8（3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11.（6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=;（5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.(4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x2+y2+z2=a2与z=0,z=2a(a>0); (2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点： (1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-;(2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为 代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为 代入曲面方程可解得t=1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程. 解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有 即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0; (3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x=2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y=5上的一个椭圆.(4) 截线方程为229252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z=2上的两条直线.64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为 故曲线在xOy面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x2+y2=x+1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x, y)|x≠0};(2) {(x, y)|1≤x2+y2<4}; (3) {(x, y)|y<x2};(4) {(x, y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2≤1}. 解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x, y)|x=0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x, y)|1≤x2+y2≤4}，边界：{(x, y)|x2+y2=1}∪{(x, y)| x2+y2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x, y)|y≤x2}， 边界：{(x, y)| y=x2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x, y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2=1}. 2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan x y,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函数的定义域： 解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>5. 求下列各极限： 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞.(3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=02.x y →→=(5)原式=0sin lim 100.x y xyy xy→→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y ++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O(0,0)处连续.(2)00sin lim lim 1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O(0,0)是z 的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P(x,y) 沿直线y=-x 趋于(0，0)点，则 故0lim x y z →→不存在.故函数z 在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x,y)=233x y x y-+; (2) f (x,y)=2222y xy x+-; (3) f (x,y)=ln(1－x2－y2);(4)f (x,y)=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y=-x 时，函数无定义，所以函数在直线y=-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续. (4)因为点P(x,y)沿直线y=x 趋于O(0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： (1)z = x2y+2x y ;(2)s =22u v uv+;(4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy)y; (6)u = zxy; (7)u = arctan(x-y)z; (8)yzu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂(2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)222221ln 2ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+ (4)21122sec csc ,tan z x xx x y y y yy∂=⋅⋅=∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+ 故 []221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+ (6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- (8)1.yz u y x x z-∂=∂9.已知22x y u x y=+，求证：3u u xy u x y∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++.由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+.于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z x y z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x,y 的对称性得故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设fx(x,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z zx xx ∂∂==∂∂设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tanα=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z = x4+ y4-4x2y2; (2)z = arctan y x; (3)z = yx;(4)z = 2e x y +.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x,y 的对称性知 (2)222211z y y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂(4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx=+15.设z = x ln ( x y)，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy) 取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则 (1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm, 当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.解：因为圆锥体的体积为21.3V r hπ=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h====-而221.33V VV dV r h yh r r hr hππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂0030,0.1,60,0.5r r h h====-时，2213.1430600.130(0.5)33Vπ≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-230()cm=-21.解：设水池的长宽深分别为,,x y z则有:V xyz=精确值为：50.242 2.850.22 3.6 2.80.2V=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯313.632()m=近似值为:V dV zx y xy z≈=+0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.4540.2V dV ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； (2)z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v,y ＝u －v,求z u ∂∂,z v∂∂； (3)ln(e e )xyu =+,y ＝x3,求d d ux; (4)u ＝x2＋y2＋z2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1)22(,e );xyu f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+25. 设22()yz f x y =-，其中f(u)为可导函数，验证： 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,zy yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yzxf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u uuu u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22u η∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂ 29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)2sin e 0xy xy +-=，求d d yx ;(2)arctan y x =，求d d y x；(3)20x y z ++-=，求,z zx y∂∂∂∂; (4)333z xyz a -=，求22,z z x y ∂∂∂∂. 解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2, 则 2e ,cos 2,xx y F y F y xy =-=-故 22d e e d cos 2cos 2x xx y F y y y x F y xy y xy--=-=-=--. [解法2] 方程两边对x 求导，得()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅故 2e .cos 2xy y y xy-'=- (2)设()221(,)ln arctanln arctan ,2y y F x y x y x x==-+ ∵222222121,21x xx y y F x y x y x y x +⎛⎫=-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭222221211,21y yy x F x y x x y y x -=-⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴d .d x y F y x y x F x y+=-=- (3)方程两边求全微分，得d 2d d 0,x y z ++-=,z x y =则d ,z x y =+故z z x y ∂∂==∂∂ (4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--,23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-则223,33x z F z yz yzx F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xzy F z xy z xy∂-=-=-=∂--()()()()22222222322232222()zz z x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xzxzz x x xz z xy z xyx yzz xy xy z zxy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--30. 设F(x, y, z)=0可以确定函数x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y),证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证明：∵,,,y x z x y zF F F x y zy F z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∴1.y z x y z x F F F x y z F F F y z x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫---⋅⋅=⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 31. 设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数z = z(x,y),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222011111z y x z y zF F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F zyy F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩ 求：d d ,;d d y z x x (2)1,0,xu yv yu xv +=⎧⎨-=⎩求：,,,;u v u v x x y y ∂∂∂∂∂∂∂∂ (3)2(,),(,),u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩ 其中f,g 具有连续偏导数函数，求,;u v x x∂∂∂∂(4)e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求,,,.u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：(1)原方程组变为222222320y z xy z x⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得d d 22d d d d 23d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z-==+≠21d 16(61),3d 622(31)22d 12.2d 6231x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-,,,,,,,,x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-22u v u v F F x yJ x y G G y x===---故 22xvx v F F u yG G v x uux yv x J J x y --∂-+=-=-=∂+ 222222,,.uxu x y v yvuy u y F F xuG G y v vvx uy x J J x y F F v yG G u x u vx uy yJ J x yF F x vG G y u vxu vy y J J x y-∂--=-=-=∂+-∂--=-=-=∂+∂-=-=-=∂+。

数学分析的辅导书排名“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。

这里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期，学的时间也够长的。

本课程主要讲的是以集合为基础而发展起来的变量和函数中的数学规律、分析与计算，是通往高等数学领域的基础工具之一。

这么多年来，国内外出现了很多非常优秀的教材和习题集以及辅导书，而且很多高校一直使用着。

辅导书：1、《数学分析》(共两册)华东师范大学数学系编著这应该是师范类使用最多的书，课后习题编排的还不错，同时这也是考研用得比较多的一本书。

书的最后讲了一些流形上的微积分。

虽然是师范类的书，不过还是值得一看的。

2、《数学分析新讲》(共三册)张筑生著很好的书，内容和高度在国内算得上是比较突出的。

值得一提的是，张老师文笔清晰详细，证明深入浅出，通俗易懂。

这个对初学者来说非常有帮助。

本书同时也被公认为是一本具有新观点的书，主要体现在一些经典问题处理方法上与一般的书有所不同：本书比较强调一般化，融入了一些更高的观点，如泛函、点集拓扑等。

尤其精彩的是，这本书里面提供了一些问题讨论的专题附录，如Stolz定理、正交曲线坐标系中的场论计算、二项式级数在收敛区间端点的敛散情况、布劳威尔不动点定理、斯通－维尔斯特拉斯逼近定理及其证明，等等。

本书书在证明过程中通过技术化处理，降低了难度，容易被一般人理解。

遗憾的是书中没有课后习题，又由于书写的早，有的符号以现在的观点来看，不是很标准(按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所以版面不是很好看)；另外感觉实数理论部分和含参数广义积分那章的内容写得不太全面。