复旦版数学分析答案全解ex1
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复旦大学数学系陈纪修《数学分析》 第二版 习题答案ex
− x ≤ sup S ，即 x ≥ − sup S ；同时对任意 ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ，
于是 − y ∈ T ，且 − y < − sup S + ε 。所以 − sup S 为集合 T 的下确界，即
inf T = − sup S 。
5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设 sup S 既等于 A ，又等于 B ，且 A < B 。取 ε = B − A > 0 ，因为 B 为
m
可能：
（i）⎜⎛ n ⎟⎞2 < 3 ，由（1）可知存在充分小的有理数 r > 0 ，使得 ⎜⎛ n + r ⎟⎞2 < 3 ，
⎝m⎠
⎝m ⎠
这说明 n + r ∈ S ，与 sup S = n 矛盾；
m
m
（ii） ⎜⎛ n ⎟⎞2 > 3 ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4r − r 2 < ⎜⎛ n ⎟⎞2 − 3 ，于是
m +1
n < n < n + 1 ，所以 maxC 与 minC 都不存在。
m+1 m m+1
3. A, B 是两个有界集，证明：
(1) A ∪ B 是有界集；
(2) S = { x + y | x ∈ A, y ∈ B} 也是有界集。 证 （1）设 ∀x ∈ A ，有 x ≤ M1 ， ∀x ∈ B ，有 x ≤ M 2 ，则 ∀x ∈ A ∪ B ，有
xn+k
= a。
证
设 lim n→∞
xn
=
a
，则 ∀ε
>
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
2 / 44
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/（α＋1）之间，从而
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这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
1 / 44
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台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
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求 F''（x）．
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解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45
1 0
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
一解 a = 0 舍去），因此
lim
n→∞
xn
=
2。
（3）首先有 x1 =
2 > −1，设 xk > −1，则 xk+1 =
−1 > −1 ，由数学
2 + xk
25
归纳法可知 ∀n ，xn
> −1。由 xn+1
− xn
=
−1 2 + xn
− xn
=
−
(xn + 1)2 2 + xn
< 0 ，可知{xn}
)n
= 0。
证（1）设
lim
n→∞
an
=
+∞ ，则 ∀G
>
0, ∃N1
>
0, ∀n
>
N1
: an
>
3G
。对固定的
N1 ，
∃N > 2N1,∀n > N :
a1 + a2 + " + aN1 n
< G ，于是
2
a1 + a2 + " + an ≥ aN1+1 + aN1+2 + " + an − a1 + a2 + " + aN1 > 3G − G = G 。
n→∞ ⎝ n ⎠
⑴ lim ⎜⎛1 − 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n ⎠
⑵ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n + 1⎠
⑶ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ 2n ⎠
数学分析复旦答案
数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;
高等数学(经管类)下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
复旦版数学分析答案
A ∪ B = {a1,b1, a2 ,b2 , , an ,bn , }。
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设f⎜⎛ ⎝xx −{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设f⎜⎛ ⎝xx −{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编)
高等数学（上）第一章 函数与极限1.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21= 224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ；⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
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(A ∪ B)C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律：
(1) A ∪ B = A ∪ C ≠> B = C ； (2) A ∩ B = A ∩ C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c, d}，C = {c, d}，则 A∪ B = A ∪ C ，但 B ≠ C 。 （2）设 A = {a,b,c}， B = {c, d,e}， C = {c, d}，则 A∩ B = A ∩ C ，但 B ≠ C 。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
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3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域：
(1) y = f (u) = loga u , u = g(x) = x2 − 3 ; (2) y = f (u) = arcsin u , u = g(x) = e x ；
(3) y = f (u) = u2 − 1 , u = g(x) = sec x ；
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = {a1，a2， ，an }有 2n 个子集。
解
由 k 个元素组成的子集的个数为 Cnk ，
n
∑
C
k n
=
(1 + 1)n
=
2n
。
k =0
⒉ 证明：
(1) 任意无限集必包含一个可列子集；
(2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。
证（1）设T 是一个无限集，先取 a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 a2 ∈T ， a2 ≠ a1 。再由T 是无限集，必存在 a3 ∈ T ， a3 ≠ a1 ， a3 ≠ a2 。这样的过
程可以无限进行下去，于是得到可列集 S = {a1, a2 , , an , }， S ⊂ T 。 （2）设 A = {a1, a2 , , an , }， B = {b1,b2 , ,bn , }，则 A ∪ B 可表示为
证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A ，并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D 。于是
或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D ，即 x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ；
设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ，则或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D 。于是 x ∈ A ，
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
2. (1) 建立区间[ a, b ]与[ 0, 1 ] 之间的一一对应；
(2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 (−∞,+∞) 之间的一一对应。
解（1） f :[a,b] → [0,1] x y= x−a；
b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞) x tan(x − 1)π = − cot(π x) 。
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
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（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因 此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
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习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
解（1）{x | −2 < x ≤ 3}。
（2）{(x, y) | x > 0且 y > 0}。
（3）{x | 0 < x <1且 x ∈Q}。
（4）
⎨⎧ ⎩
x
|
x
=
kπ
+
π 2
,
k
∈
Z
⎬⎫ ⎭
。
⒌ 证明下列集合等式：
(1) A ∩(B ∪ D) = ( A ∩ B) ∪( A ∩ D) ；
(2) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC 。
A ∪ B = {a1,b1, a2 ,b2 , , an ,bn , }。
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
（2） a 是集合 { a,b, c } 的元素，应表述为 a∈ { a,b, c } 。
1
（3） {a,b}是集合 { a,b, c } 的子集，应表述为 {a,b}⊂ { a,b, c } 。
（ 4 ） {a,b,{a,b}} 是 由 a,b 和 { a,b } 为 元 素 构 成 的 集 合 ， 所 以
{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
(1) A ∪ B = A ∪ C ≠> B = C ； (2) A ∩ B = A ∩ C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c, d}，C = {c, d}，则 A∪ B = A ∪ C ，但 B ≠ C 。 （2）设 A = {a,b,c}， B = {c, d,e}， C = {c, d}，则 A∩ B = A ∩ C ，但 B ≠ C 。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
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3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域：
(1) y = f (u) = loga u , u = g(x) = x2 − 3 ; (2) y = f (u) = arcsin u , u = g(x) = e x ；
(3) y = f (u) = u2 − 1 , u = g(x) = sec x ；
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = {a1，a2， ，an }有 2n 个子集。
解
由 k 个元素组成的子集的个数为 Cnk ，
n
∑
C
k n
=
(1 + 1)n
=
2n
。
k =0
⒉ 证明：
(1) 任意无限集必包含一个可列子集；
(2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。
证（1）设T 是一个无限集，先取 a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 a2 ∈T ， a2 ≠ a1 。再由T 是无限集，必存在 a3 ∈ T ， a3 ≠ a1 ， a3 ≠ a2 。这样的过
程可以无限进行下去，于是得到可列集 S = {a1, a2 , , an , }， S ⊂ T 。 （2）设 A = {a1, a2 , , an , }， B = {b1,b2 , ,bn , }，则 A ∪ B 可表示为
证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A ，并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D 。于是
或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D ，即 x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ；
设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ，则或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D 。于是 x ∈ A ，
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
⎪⎩γ c
⎪⎩γ b
⎪⎩γ a
2. (1) 建立区间[ a, b ]与[ 0, 1 ] 之间的一一对应；
(2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 (−∞,+∞) 之间的一一对应。
解（1） f :[a,b] → [0,1] x y= x−a；
b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞) x tan(x − 1)π = − cot(π x) 。
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
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（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因 此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
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习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
解（1）{x | −2 < x ≤ 3}。
（2）{(x, y) | x > 0且 y > 0}。
（3）{x | 0 < x <1且 x ∈Q}。
（4）
⎨⎧ ⎩
x
|
x
=
kπ
+
π 2
,
k
∈
Z
⎬⎫ ⎭
。
⒌ 证明下列集合等式：
(1) A ∩(B ∪ D) = ( A ∩ B) ∪( A ∩ D) ；
(2) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC 。
A ∪ B = {a1,b1, a2 ,b2 , , an ,bn , }。
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
（2） a 是集合 { a,b, c } 的元素，应表述为 a∈ { a,b, c } 。
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（3） {a,b}是集合 { a,b, c } 的子集，应表述为 {a,b}⊂ { a,b, c } 。
（ 4 ） {a,b,{a,b}} 是 由 a,b 和 { a,b } 为 元 素 构 成 的 集 合 ， 所 以
{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。