第2讲 根轨迹绘制的基本原则

实轴上的会合点和分离点
5、根轨迹的会合点和分离点： 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。 如图所示某系统的根轨迹，由开环 极点 p1 , p2 出发的两支根轨迹， 随着 K g的增大在实轴上A点相遇再 Kg 0 Kg Kg Kg 0 分离进入复平面。随着 K g的继续增 2 p B A p1 z 大，又在实轴上B点相遇并分别沿 实轴的左右两方运动。当 K g 时，一支根轨迹终止于 z , 另一支 走向 。A、B点称为根轨迹在实 轴上的分离点和会合点。
根轨迹的支数和起始点
绘制根轨迹的基本准则
1、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 K g 从0到无穷大变化时，n个根在 复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶 数。 2、根轨迹的起点和终点： m 根轨迹方程为： ( s zi )
(s p j ) j 1
i 1 n

实轴上的会合点和分离点
5、根轨迹的会合点和分离点： 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分 离点或会合点。
Kg
Kg
B
z
p
Kg 0
2
Kg 0
A p1

一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两 相邻极点之间必有分离点； 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间 有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间 可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。
注意：由上式可求得的点是分离点和会合点必要条件，还需求 出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点 为分离会合点。

证明：（2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对 称于实轴。
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K0 s zi 0 (1 GH 0)
l 1
i 1
当K0 由0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化
的轨迹称为根轨迹的一条分支；
例1 绘制下图所示系统的根轨迹
解： 1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
j j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
Im j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
180
60
2
1 60
0
Re
控制系统方框图
j1.414
❖ n=[1]; ! 分子 1 各项系数 ❖ d1=[1 0]; ! 分母第一项 (s+0) 各项系数 ❖ d2=[1 3 2]; ! 分母第二项( s^2+3s+2) 各项系数 ❖ d=conv(d1,d2); ! 分母二项相乘 ❖ rlocus(n,d); ! 绘制根轨迹 ❖ sgrid; !绘制出阻尼系数和自然频率栅格
例3 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为

解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j 开环极点为 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5
1). 实轴上(-，-2.5]，[-1.5，0]为根轨迹
2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；
3). 无分离点。
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程：
34 5
s2
K1
0
令 s j
得： 1.1
[例]开环传递函数为：
的交点和 K gp 。
Gk(s)s(s1K)g(s5)，试求根轨迹与虚轴
方法一：闭环系统的特征方程为：
F ( s ) s ( s 1 )s ( 5 ) K g s 3 6 s 2 5 s K g 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
p3
根据对称性，可知 p2 点的出射角为：2c 26.6
请根据相角条件自行计算。
[注意]： 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。
注意矢量的方向。p 2 p 1 , p 1
例.设系统开环传递函数为：
G (s) K *(s 1 .5 )s(2j)s(2j) s(s2 .5 )s( 0 .5j1 .5 )s( 0 .5j1 .5 )
所以 3 1 ( 2 k 8 1 ) 0 ( 1 1 3 . 4 8 5 9 ) 0 7 . 6 1
同理不难求得极点-p4处的起始角：4 71.6 终止角在无穷远处。
(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求
特征方程 ：s4 5 s3 8 s26 sK 10
s j (4 82 K 1) j(-5 3 6) 0

例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的点 交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式