弹性力学系统中的应变与应力分布

弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。

以下是对弹性力学主要知识点的总结。

一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。

2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。

3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。

4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。

5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。

二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。

2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。

3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。

三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。

2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。

3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。

四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。

通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。

五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。

对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。

六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。

2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。

七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。

极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。

八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。

2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。

关于弹性力学平面问题中的主轴应力坐标
弹性力学平面问题中的主轴应力坐标是一种弹性力学分析中经常使用的技术，它直接影响着弹性介质的应力分布和变形，并根据这些分布和变形来计算载荷对该介质的影响。

一般来说，应力和变形的两个坐标系中的应力坐标可以用来表示弹性体的应力与变形。

主轴应力坐标，也就是法向应力坐标，是决定应力坐标的基础。

主轴应力坐标的形成是按照主应力的大小和方向建立的，它有两个平面，叫做正应力平面和副应力平面，其中正应力平面是主应力所在的平面，而副应力平面是法向力所在的平面。

在主轴应力坐标中，惯性组中的三个特定轴线被用于表示应力状态，它们分别是正应力轴线（σ1），副应力轴线（σ2）和法向应力轴线
（σ3），分别表示应力主轴、副轴和法向应力的大小。

法向应力轴线的参数表征了正应力和副应力之间关系的强弱，同时也是确定应力分布状态的关键参数。

由于主轴应力坐标是在惯性组中建立的，因此它具有一定的不变性。

当应力坐标发生旋转时，它们依然保持不变，不会受外力影响而发生变形，这为弹性力学分析提供了独立性。

此外，主轴应力坐标还可以简化计算的过程，因为只需要计算法向应力轴线的参数，就可以针对特定的情况得出应力分布的结果。

总之，主轴应力坐标是弹性力学分析中经常使用的技术，它直接影响着弹性介质的应力分布和变形，在进行弹性力学分析时可以简化计算的过程，从而提高分析能力和准确性，并为载荷分析提供了可靠的数据。

机械工程中的弹性力学分析弹性力学是机械工程中非常重要的一门学科。

它研究的是材料的变形和弹性行为，以及在外力作用下恢复原状的能力。

在机械工程中，弹性力学的分析对于设计和制造各种机械部件和结构至关重要。

1. 弹性力学的基本概念弹性力学是力学中的一个重要分支学科。

它研究材料在外力作用下的变形和应力分布规律。

弹性力学以固体力学为基础，结合材料力学和热力学等相关学科，形成了一个完整的理论体系。

2. 弹性力学的应用在机械工程中，弹性力学的应用非常广泛。

例如，在设计机械结构时，需要对受力部件进行弹性力学分析，以确定它们的最大应力和变形程度，确保结构的安全性和可靠性。

此外，弹性力学的原理也被应用于材料的性能测试和材料的强度计算等工作中。

3. 弹性力学模型要进行弹性力学分析，需要建立适当的数学模型。

目前，常用的弹性力学模型包括胡克定律、泊松比等。

胡克定律是经典的线弹性模型，它表明应力与应变成正比。

泊松比则描述了材料在受力过程中的纵向变化与横向变化之间的关系。

4. 弹性力学分析的方法在进行弹性力学分析时，常用的方法包括理论分析和数值分析。

理论分析是基于理论推导和解析解的方法，适用于简单的几何形状和边界条件。

而数值分析则依赖于计算机模拟和数值方法，可以处理更加复杂的力学问题。

5. 弹性力学分析在机械工程中的应用案例以连杆为例，连杆是机械传动中常用的零件，其弹性力学分析对于确定其受力情况和设计结构具有重要意义。

通过弹性力学分析，可以计算出连杆在不同受力情况下的应力和变形，并根据计算结果进行结构修正，以满足设计要求。

6. 弹性力学分析的局限性虽然弹性力学分析在机械工程中起着重要作用，但它也有一定的局限性。

首先，弹性力学分析常常基于一些理想化的假设，如材料的均匀性和各向同性。

其次，弹性力学分析只适用于弹性变形范围内，当受力过大时，材料会发生塑性变形，此时需要考虑塑性力学和断裂力学等相关学科。

总之，弹性力学作为机械工程中的重要学科，为我们理解和解决机械问题提供了有效的工具和方法。

应力应变关系我所认识的应力应变关系一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。

在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即,E ,,XX在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。

(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。

在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足:,,,,,，，CCCxxyz111213,,,,,，，CCCyxyz212223,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3),,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为:CCCa==,112233CCCCCCb=====,122113312332 (2-4)所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。

在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。

广义胡可定律如下式,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz2GE,,,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,EGv泊松比剪切模量 E:弹性模量/杨氏模量 ,2(1),，,,,E虎克定律 ,G,,对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。

2 屈服条件拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线P,,A0,ll0,,lBC:屈服阶段,,CD:强化阶段塑性阶段,,DE:局部变形阶段,弹性变形时应力应变关系的特点1.应力与应变完全成线性关系;即应力主轴与全量应变主轴重合2.弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程)无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。

我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。

首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。

但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。

由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。

对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。

平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。

本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。

本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。

在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。