第二章 弹性力学基本理论及变分原理
弹性力学是固体力学的一个分支。它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）
作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理
在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式
弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量
11
121314151622
23
24252633
34353644
454655
5666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫
⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪
⎩⎭⎣
⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为
[]T u u v u v w w ⎧⎫
⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(2.1.2)
弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为
x y T
z x
y z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
(2.1.3)
对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程
0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f x
y
z
τστ∂∂∂+++=∂∂∂
0yz zx z
z f x y z
ττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
平衡方程的矩阵形式为
0A f σ+= （在V 内） (2.1.4)
其中A 是微分算子
00
00
0000
0x y z A y x z z y x ⎡⎤
∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥
⎢⎥∂
∂∂
=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥
∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣
⎦
体积力向量T
x
y
z f f f f ⎡⎤=⎣⎦
2 几何方程——位移~应变关系
在小变形情况下，几何关系为
x u x ε∂=∂ y v y ε∂=∂ z w
z
ε∂=∂
xy yx u v y x γγ∂∂=
+=∂∂ yz zy v w z y γγ∂∂=+=∂∂ zx xz u w
z x
γγ∂∂=+=∂∂ (2.1.5)
几何关系矩阵形式为
Lu ε= （在V 内） (2.1.6)
其中算子L 为
000000000
T
x y z L A y x z y z
x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂==⎢
⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣
⎦
3 物理方程——应力~应变关系
对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可以用矩阵形式表达
D σε= (2.1.7)
其中
1000
111
00011
000(1)1200(1)(12)2(1)
1202(1)
122(1)v v v v v v E v v D v v v v v v v ⎡
⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥
-⎢
⎥-==⎢
⎥+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥-⎣
⎦
D 称为弹性矩阵，它取决于弹性体的弹性模量
E 和泊松系数v ，D 也可以采用拉梅（Lam ’e ）常数G 和λ表示
2(1)
E G v =
+， (1)(12)Ev
v v λ=+-
对称
注意到(1)
2(1)(12)
E v G v v λ-+=
+-，则独立的弹性常数只有两个。
物理方程的另一表达式为
C εσ= (2.1.8)
C 为柔度矩阵，1C
D -=。 4 边界条件
弹性体V 的全部边界条件为S ，边界1S 上的位移已知，而2S 上的作用力是已知，且12S S S +=。在1S 上，弹性体的位移已知，为u 、v 、w ，则有
u u v v w w === v v = w w =
用矩阵形式表示
u u = （在1S 上） (2.1.9) 在2S 上，x x y xy z zx x
x xy y y z zy y x xz y zy z z z
n n n T n n n T n n n T στττστττσ++=++=++= (2.1.10)
采用矩阵形式，则为
n T σ= (2.1.11)
其中边界外法线n r
用矩阵表示为
0000
0000
0x y z y x z z
y z n n n n n n n n n n ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
T
x y z T T T T ⎡⎤=⎣⎦
综上所述，弹性力学方程记作矩阵形式为
平衡方程 0A f σ+= （在V 内） 几何方程 Lu ε= （在V 内） 物理方程 D σε= （在V 内） 力边界条件 n T σ= （在2S 上） 位移边界条件 u u = （在1S 上） 并且12S S S +=，S 为弹性全的全部边界条件。
5 弹性体的应变能和余能
单位体积的应变能（应变能密度）
1
()2
T U D εεε= (2.1.12)
应变能是个正定函数。
单位体积的余能（余能密度）为
1
()2
T V C σσσ= (2.1.13)
余能也是个正定函数，在线弹性体中()()U V εσ=。 §2.1.2 弹性力学基本方程的张量形式
弹性力学基本方程均可用张量表示，笛卡尔张量是广义曲线坐标系张量中最简单的特例，本文采用笛卡尔张量符号表示，有关张量的知识可参阅本文附录A 。
在直角坐标系(1,2,3)i x i =中，应力张量和应变张量都是对称的二阶张量，分别表示为ij σ和ij ε，且有ij ji σσ=，ij ji εε=。体积张量、面积张量和位移张量都是一阶张量，用i f 、i T 和i u 表示。 1 平衡方程
,0ji j i f σ+= (在V 内) (2.1.14)
其中()
(),j j
x ∂=
∂。 2 几何方程
1(,,)2
ij i j j i u u ε=+ (在V 内) (2.1.15)
其展开形式为
1111u x ε∂=
∂ 2222
u
x ε∂=∂ 3333u x ε∂=∂
1212212112u u x x εε⎛⎫∂∂=+=
⎪∂∂⎝⎭ 3223
323212u u x x εε⎛⎫∂∂=+= ⎪∂∂⎝⎭ 3131131312u u x x εε⎛⎫
∂∂=+= ⎪∂∂⎝⎭
此处应注意的是：11x εε= 22y εε= 33z εε=
1212xy εγ= 2312yz εγ= 311
2zx εγ=
3 物理方程
广义虎克定律可表示为
ij ijkl kl D σε= (在V 内) (2.1.16)
ijkl D 是四阶张量，代表了81个弹性常数，由于ij σ和kl ε的对称性，则ijkl D 的前面和后
面两个指标分别是对称的，即
ijkl jikl D D = ijkl jilk D D =
在考虑了对称性后，对于各向异性弹性体，81个弹性常数中仅有21个是独立的；而对于各向同性弹性材料，独立的弹性常数仅有两个，即Lam ’e 常数G 和λ或E 和v ，此时可以简化为
2ijkl ik jl ij kl D G δδλδδ=+ (2.1.17)
广义虎克定律也可表示为
2ij ij ij kk G σελδε=+ (2.1.18)
其中ij δ为Kroneeker 符号
10ij i j
i j δ=⎧=⎨
≠⎩
(2.1.18)的展开式为
11111122332()G σελεεε=+++
22221122332()G σελεεε=+++ 33331122332()G σελεεε=+++
12122G σε= 23232G σε= 31312G σε=
物理方程也可写为
ij ijkl kl C εσ=
4 边界条件 力边界条件
i ij j T n σ= (在2S 上) (2.1.19)
位移边界条件
i i u u = (在1S 上) (2.1.20)
5 应变能和余能 1
()2mn ijkl ij kl U D εεε=
(2.1.21) 和1
()2
mn ijkl ij kl V C σσσ= (2.1.22)
§2.1.3平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式——虚功原理
变形体的虚功原理：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即系统外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称，虚位移原理是平衡方程和力的边界 条件的等效积分弱形式；虚功原理则是几何方程和位移边界条件的等效积分弱形式。 1 虚位移原理
平衡方程和力的边界条件为
,0ij j i f σ+= (在V 内)
0ij j i n T σ-= (在2S 上)
取权函数W u δ=，则有
()()2
,0ij
i i ij
j i i V
S j f u dV n T u dS σ
δσ
δ+--=⎰⎰
(2.1.23)
对上式体积积分中的第一项进行分部积分，并注意到ij ji σσ=，以及在1S 上
0i u δ=和
()1
,,2
i j j i ij u u δδδε+=则有 ()22
1
,,,2i ij j i ij j i j j i ij V S V i ij j ij ij S V
u dV u n dS u u dV u n dS dV
δσδσδδσδσδεσ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰ (2.1.24)
将上式代回(2.1.23)中，就得到它经分部积分后的弱形式。
()2
0ij
ij
i i i V
S u f dV u TdS δεσ
δδ-++=⎰⎰ (2.1.25)
上式积分中的第一项是变形体内的应力在虚应变上所作的功，即内力的虚功；第二项
及第三项积分分别是体积力和面积力在虚位移上所作的功，即外力的虚功。内力的虚功和外力的虚功总和为零，这就是虚功原理。此虚功原理是外力和内力分别在虚位移和与之相协调的虚应变上所作的功。故此为虚功原理中的虚位移原理。它是平衡方程和力的边界条件的等效弱形式。对此虚位移原理有必要进一步作以下几点说明： （1）在物理意义上，如果力系(ij σ、i f 和i T )是平衡的(即在内部满足,0ij j i f σ+=，在
2S 上满足ij j i n T σ=)，则它们在给定的虚位移(在1S 上满足0i u δ=)和虚应变上
(()1
,,2
ij i j j i u u δεδδ=
+)所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移(及虚应变)上所作的功之和等于零，则它们一定满足平衡，所以虚位移原理表达了力系平衡的必要充分条件。
（2） 作为平衡方程和力边界条件的等效积分弱形式，虚功原理的建立是从选择在1S 上满足边界条件和几何关系的函数为条件的。如果所选择的函数不是连续函数，尽管等效的积分形式仍可建立，但不能得到其积分形式。
（3）在推导虚位移原理过程中，未涉及到本构关系，故此原理不仅可用于线弹性，而且可用于非线性弹性及其它各种关系描述的材料模型。 2 虚应力原理
一物体的几何关系和位移边界条件为
()1
,,2
ij i j j i u u ε=
+ (在V 内) i i u u = (在1S 上)
取权函数为真实应力的变分ij δσ及其相应的边界值i T δ，i ij j T n δδσ= 在2S 上有0i T δ=，这样构成等效积分
()()11,,02ij ij i j j i i i i V
S u u dV T u u dS δσεδ⎡⎤
-
++-=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ (2.1.26) 上式进行分部积分后，有
()()1
,0ij ij
i ij j ij j i i i i V
S
S u dV n u dS T u u ds δσε
δσδσδ+-+-=⎰⎰⎰ (2.1.27)
由于ij δσ是真实应力的变分，它应满足平衡方程，故,0ij j δσ=，并考虑到1S 上有
i ij j T n δδσ=和2S 上有0i T δ=，则上式可简化为
1
0ij ij i i V
S dV Tu dS δσεδ-=⎰
⎰ (2.1.28)
上式第一式为虚应力ij δσ在应变上所做的虚功，第二项为在1S 上虚约束力在给定位称上作的虚功。采用变分原理中余功原理的术语，也可叫虚余功原理或虚应力原理。
虚应力原理的力学意义是：如果位移是协调的(在V 上有()1
,,2
ij i j j i u u ε=
+和在上1S 有i i u u =)，则虚应力(在V 内满足,0ij j i f σ+=，在2S 上满足i i T T =)和虚边界约束反
力在他们上面所做功的总和为零。反之，如果上述虚应力在它们上面所做功之和为零，则它们一定满足协调条件。虚余功原理表述了位移协调的必要充分条件。
这里需要说明的是：
（1）虚应力原理的建立是以选择虚应力作为等效积分形式的任意函数为条件的，否则作为几何方程和位移边界条件的等效形式在形式上和现在导出的虚应力原理有所不同。
（2）在导出此虚应力原理时未涉及本构关系，因此该原理可应用于任意本构模型描述的材料，而不一定要局限于线弹性本构关系。但是虚位移原理和虚功原理在推导过程中采用了小变形理论的平衡方程和几何关系，所以不能直接应用于有限变形理论的力学问题。
§2.1.4线弹性力学的变分问题
弹性力学变分原理包括最小势能原理、最小余能原理，以及广义变分原理，相应章节将简要给予说明。 1 最小势能原理
在满足位移应变—位移关系和位移边界条件的所有容许的应变ij ε和位移i u 中，真实的应变ij ε和位移i u 必须使弹性体的总位能
2()ij i i i i V S A f u dV Tu dS ε⎡⎤∏=--⎣
⎦⎰⎰ (2.1.29) 为最小。此处()ij A ε为V 中的应变能密度。∏为系统的总势能，它是由三部分势能组成的：
总应变能1∏ 1()ij V
A dV ε∏=⎰
体力i f 在i u 中所做的功，从而降低了其位能 2i i V
f u dV ∏=-⎰
面力i T 对表面位移i u 所做的功，也降低了位能 2
3i i S Tu dS ∏=-⎰
式(2.1.29)所表示的∏为总势能，它等于123∏+∏+∏。
为了证明最小位能原理，将∏变分，得
2
ij i i i i V S ij A f u dv T u dS δδεδδε⎛⎫
∂∏=--
⎪
⎪∂⎝⎭
⎰⎰ (2.1.30)
根据(2.1.15)，有
()1,,2ij i j j i ij ij
A A u u δεδδεε∂∂=+∂∂ 由于
ij ji
A A εε∂∂=∂∂故上式可写为 ,ij i j ij ij
A A u δεδεε∂∂=∂∂ (2.1.31) 通过分部积分，得
,,,ij i j i i V V V V ij ij ij ij j j
A A A A dV u dV u dV u dV δεδδδεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ (2.1.32) 利用格林定理，并考虑到在S 上有，则0i u δ=
2,i i i i i V S S ij ij ij j
A A A
u dV u n dS u n dS δδδεεε⎛⎫∂∂∂== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(2.1.29) (2.1.33) 从而变分有
2,i i j i i V S ij
ij j
A A f u dS n T u dS δδδεε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎢⎥∏=--+-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰ (2.1.34)
极值条件0δ∏=给出平衡方程和边界条件
,0i ij j
A
f ε⎛⎫
∂+= ⎪ ⎪∂⎝⎭ 在V 内 (2.1.35) 0j i ij
A
n T ε∂-=∂ 在2S 上 (2.1.36) 把上式和(2.1.14)及(2.1.19)相比，得
ij ij
A
σε∂=∂ (2.1.37) 对各向异性材料而言，这实际上是应力—应变关系。对于线性应力—应变关系，有
ij ijkl kl ij
A
D σεε∂==∂ (2.1.38) 积分后得
1
()2
ij ijkl kl ij A D εεε=
(2.1.39) 对于各向同性体的应力—应变关系(2.1.18)，同样有
2ij ij ij kk ij
A
G σελδεε∂==+∂ (2.1.40) 积分后得
()1
()22
ij kl ll kl kl A G ελεεεε=
+ (2.1.41) 下面证明这个极值是最小值。
设精确解为i u ，满足位移边界条件i i u u =的容许位移函数为i u *，则
i i i u u u δ*=+ (2.1.42)
将上式代入(2.1.15)中，则有
ij ij ij εεδε*
=+ (2.1.43)
其中
()
,,12i j j i
ij u u ε***=
+ ()1
,,2
ij i j j i u u δεδδ=+ 将它们代入总位能表达式(2.1.29)，则有
2****
21()2i i ij i i V S A f u dV Tu dS εδδ⎡⎤∏=--=∏+∏+∏⎣⎦⎰⎰ (2.1.44) 其中∏δ和∏2δ分别是总位能的一阶和二阶变分。它们的具体表达式如下：
dV
D dV A dS
u T dV u f A kl ij ijkl V V ij i S i i i V
ij ))((21
)(2
1])([22
δεδεδεδδδεδδ⎰⎰⎰⎰==∏--=∏ (2.1.45)
由于0δ∏=，并且但()ij A δε为ij δε的应变能密度，它一定是正定的，故
2()0ij V
A dV δδε∏=≥⎰ (2.1.46)
这样从(2.1.44)可知
20δδ*∏=∏=∏+∏≥ 即()()*∏≥∏容许的正确解
这就证明了最小位能原理。 2 最小余能原理
在满足小位移变形的平衡方程(2.1.14)式和已知力边界条件(2.1.19)式的所有容许的应力ij σ中，真实的应力ij σ必须使弹性体总余能
1
()ij i ij j V
S B dV u n dS σσ∏=-⎰⎰ (2.1.47)
为最小。证明略。
上述给出的最小势能原理和最小余能原理是极值原理，它们可以给出能量的上界和下界，这对估计近似解的特性是有重要意义的。
我们用p ∏、c ∏表示取真实解系统的总位能和总余能，p *∏、c *∏表示取近似解系
统的总位能和总余能。
2
1
(,)()0p ij i ij ij ij i i i i i i V
V
S S u dV f u dV Tu dS Tu dS εσσε∏+∏=---=⎰⎰⎰⎰ (2.1.48)
这是因为第一项体积积分为应变能的二倍，后三项之和（不包括负号）是外力功的二倍。由能量平衡，应变能等于外力功，故可知总位能和总余能之和为零。
假定1S 上0i u =，可以推得
1
()2c ijkl ij kl ij V V
C dV V dV σσσ∏=-⎰
⎰ (2.1.49) 21
2p ijkl ij kl t i i i
V V S D dV f u dV Tu dS εε∏=--⎰⎰⎰ (2.1.50)
上式后二项积分（不包括负号）此时是外力功的二倍，因此总位能数值上等于弹性体系统的总应变能，取负号，即
1
()2p ijkl ij kl ij V V
D dV U dV εεε∏=-=-⎰
⎰ (2.1.51) 由最小势能原理知
p p *∏>∏
则有
()()ij
ij V
V
U dV U dV ε
ε*
≤⎰⎰ (2.1.52)
由最小余能原理知
c c *∏>∏
则有
()()ij
ij V dV V dV σ
σ*
≥⎰⎰ (2.1.53)
由(2.1.52)和(2.1.53)式知，利用最小势能原理求得的位移近似解的弹性能是真实解的下界，即近似的位移场在总体上偏小，在有限单元法中采用位移法时，结构的计算模型显得“硬”，真实解是其上界；与此相反，用用最小余能原理求得近似应力较总体上偏大。这样采用力法有限元时，结构的计算模型偏“软”，真实解是其下界，这一点对于工程计算具有实际意义。 §2.1.5 弹性力学的广义变分原理
上述最小势能原理和最小余能原理实际上是条件变分原理，在最小势能原理中，
ij ε和i u 要服从几何关系、位移边界条件；而在最小余能原理中，ij σ必须满足平衡方程和力的边界条件的约束。采用我们§1.4.2节中给出的拉格朗日乘子法将附加条件引入泛函，可导出无约束条件的广义变分原理。 1 胡海昌—鹫津久一朗原理（H —W 变分原理）
现在考虑的场函数ij ε，i u 不要求事先满足几何关系和位移边界条件，此时系统的总位能
()211,,22()H w ijkl ij kl i i i i ij ij i j j i V S V i i i D f u dV T u dS u u dV u u u dS
εελε-⎛⎫⎡⎤
∏=--+-++
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-⎰⎰⎰⎰ (2.1.54) 其中ij λ和i u 分别为V 内和1S 上的拉格朗日乘子，泛函的变分为
()()()2111,,,,220H W ij ijkl kl i i ij ij i j j i ij ij i j j i V
i i i i i i i S S D u f u u u u dV u T dS u u u u u dS δδεεδδλελδεδδδδδ-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∏=-+-
++-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭
-+-+=⎡⎤⎣
⎦⎰⎰⎰
对上述体积积分中最后一项()1
,,2
ij i j j i u u λδδ+进行分部积分后，则上式可改写为
{()()()()()()2
1,,,20
H W ij ijkl ij i ij j i ij ij i j j i V
i ij j i i i ij j i i i S D u f u u dV u n T dS u u n u u u dS δδελδλδλδεδδδλδλδ-⎫⎡
⎤∏=++-+-
+⎬⎢⎥⎣
⎦⎭⎡⎤-++-+-=⎣⎦⎰⎰
⎰ (2.1.56)
因为ij δε、i u δ、ij δλ都是相互独立的，由变分预备定理知其H W -∏的驻值条件为
0ijkl kl ij D ελ+= 在V 内 (2.1.57)
,0ij j i f λ-= 在V 内 (2.1.58) ()1
,,02
ij i j j i u u ε-
+= 在V 内 (2.1.59) 0ij j i n T λ+= 在2S 上 (2.1.60)
0i ij j p n λ-= 在2S 上 (2.1.61)
0i i u u -= 在1S 上 (2.1.62)
由上边可认识到拉格朗日乘子ij λ和i μ的力学意义，它们分别是ij σ和边界力i
T （取负值），即
ij ijkl kl ij D λεσ=-=- (2.1.63) i ij j ij j i n n T μλσ==-=- (2.1.64) 将ij λ和i μ代入(2.1.57)~ (2.1.62)式，则除了用来确定(2.1.61)外，还得到了弹性力学全部微分方程和边界条件。
将ij λ和i μ代回(2.1.54)式中，则得到泛函
()()()2
1
11,,,,22H W i ij ij ijkl ij kl i i ij ij i j j i V i i ij j i i S S u D f u u u dV
Tu dS n u u dS
σεεεσεσ-⎫
⎧⎡⎤∏=---+⎨⎬⎢⎥⎩⎣⎦⎭---⎰⎰⎰ (2.1.65)
这一原理是由胡海昌(1954年)和鹫津久一郎(K. Washizu ，1955年)各自独立的提出的。需要注意的是：
（1）此变分原理中ij ij i u σε,,都是独立的常函数，它们的变分是完全独立的，没有任何附加条件。
（2）此变分原理是驻值原理而不是极值原理。
（3）此变分原理是用拉格朗日乘子法建立的约束变分原理，原来泛函中由i u 表示的
ij ε成为独立的场变量，较原问题增加的场变量ij σ就是拉格朗日乘子。 2 Hellinger —Reissner 变分原理（H —R 变分原理）
我们可以采用(2.1.16)式，将(2.1.65)式中的应变用应力表示，则其中的
11
()22ijkl ij kl ij ij ijkl ij kl ij D C V εεσεσσσ-=-=- 这样得到新的泛函
()()()()()22
1
11,,,221,,()2H R i ij i j j i ij ijkl ij kl i i V i i i i i i j j i ij ij i i S V i i i i i S S u u u C f u dV T u dS T u u dS u u V f u dV T u dS T u u dS
σσσσσσ-⎡⎤
∏=+---
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
--=+--⎢⎥⎣⎦---⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2.1.67) 这就是Hellinger —Reissner 变分原理，泛函中的独立变量为i u 和ij σ。此变分原理是没有附加条件的约束变分原理，同样它是驻值原理，由于独立场变量有位移和应力，故也称为混合变分原理。
§2.2大位移变形弹性理论的变分原理
§2.2.1大位移变形弹性理论的势能原理
上节中给出的最小势能原理也适用于大位移变形，大位移变形也称为有限变形。一般研究有限变形问题采用拉格朗日坐标，这种坐标也可称作拖带坐标(commoving coordinates)，此时定义的应变为Green 应变，应力可采用Christoffe 应力张量。 全部微分方程和边界条件为
(),,0ik i k kl j i u f δσ++=⎡⎤⎣⎦ 在V 内 (2.21)
()1
,,,,2
ij i j i j k i k j u u u u ε=
++ 在V 内 (2.2.2) i i u u = 在1S 上 (2.2.3)
(),ik i k kj j i u n T δδ+= 在2S 上 (2.2.4)
大位移弹性理论的最小位能原理：
在满足大位移应变关系(2.2.2)式和边界条件(2.2.3)式的所有容许的i u 和ij ε中，真实的i u 和ij ε必须使弹性体的总位能
2()ij i i i i V S A f u dV Tu dS ε⎡⎤∏=--⎣
⎦⎰⎰ (2.2.5) 为最小值。与小变形理论的形式完全一样，差别是采用了非线性的应变位移关系。我们下面简略证明这一变分原理。
2
0ij i i i i V S ij A f u dV T u dS δδεδδε⎛⎫∂∏=--= ⎪ ⎪∂⎝⎭
⎰⎰ (2.2.6)
利用(2.2.2)式，并利用Green 公式 体积分中第一项可写为
()1,,,,,,2ij i j j i k i k j k i k j V ij ij A A
dV u u u u u u dV δεδδδδεε∂∂=+++∂∂⎰⎰
(),,,i j k i k j V ij
A
u u u dV δδε∂=+∂⎰ (),,ki k i k j ij
A
u u dV δδε∂=+∂⎰
()(),,,,ki k i k ki k i j k V V ij ij j
A A u u dV u u dV δδδδεε⎡⎤∂∂=+-+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()2,,,,j
k i k i k j ki k i uk S V ij ij A A u u n dS u dV δδδδεε⎡⎤∂∂=+-+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ (2.2.7) 因为12S S S =+，在1S 上k k u u =故有0k u δ=，所以上式积分中采用2S ，把(2.2.7)式代入(2.2.6)式中，则
()()2
,,,j ki k i k k ki k i k k j V S ij ij A A u f u dV u T u n dS δδδδδεε⎧⎫⎡⎤⎧⎫∂∂⎪⎪⎪⎪
∏=-+-++-⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭
⎰⎰ (2.2.8) 由极值条件给出欧拉方程和边界条件
(),,0j
kl k i k ij A u f δε⎡⎤
∂++=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦ 在V 内 (2.2.9) (),0ki k i j k ij
A
u n T δε∂+-=∂ 在2S 上 (2.2.10)
将(2.2.9)和(2.2.1)式相比较，将(2.2.10)和(2.2.4)式相比较，即得
ij ij
A
σε∂=∂ (2.2.11) 这是应力—应变关系，下面我们证明它最小
设容许解i i i u u u δ*=+代入(2.2.5)式中
()2()i i i u u u δδδ∏+=∏+∏+∏ (2.2.12) 其中，根据(2.2.6)式0δ∏=，而
22
1122ij kl ij ij V
ij kl A dV dV δδεδεδσεεε∂∏==∂∂⎰⎰ (2.2.13)
由(2.2.12)式
()2()i i i u u u δδ∏+-∏=∏ (2.2.14) 对于线性弹性体
11
022
ij ij ijkl ij kl D δσδεδεδε=≥ 而对于非线性弹性体，一般材料应力—应变关系曲线都向ij ε轴下弯，亦即
20ij kl ij kl
A
δεδεεε∂≥∂∂ (2.2.15)
所以2δ∏是正定的，这就证明了在极值函数i u 附近()()i i i u u u δ∏+≥∏。 §2.2.2大位移变形弹性理论的余能原理
大位移变形弹性理论的最小势能原理是大家都知道的，但有关的余能原理却长期以来没有解决，当然由于变形中体积元素产生有限的变化，所以，像小位移变形弹性理论那样的最小余能原理的确不存在，如果把这些体积元素的变形考虑在内，则相应的余能原理仍是存在的。
大位移弹性的理论的余能原理：在描述大位移变形平衡方程(2.2.1)式及边界条件(2.2.4)所有的容许的ij σ、i u 中，实际的应力ij σ和位移i u 必须使弹性体的泛函
1
1(),,(,)2ij k i k j ij i ik i k kj j V S B u u dV u u n dS σσδσ⎡⎤
∏=+-+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ (2.2.16)
为驻值。该定理的证明可参阅有关文献[钱伟长]。 §2.2.3大位移非线性弹性理论的完全的广义变分原理
满足(2.2.1)、(2.2.2)、(2.2.3)和(2.2.4)式的解ij σ、ij ε和i u 必须使下述泛函∏为驻值
2
1
1()(,,,,)2()(,)ij ij i j j i k i k j ij i i V i i i i ik i k kj j S S A u u u u f u dV
Tu dS u u u n dS
εεσδσ⎧⎫⎡⎤
∏=--++-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭----⎰⎰⎰ (2.2.17) 事实上，这是利用拉格朗日乘子法从(2.2.5)式导出的无条件广义变分泛函。下面给出这一驻值原理的证明。和证明H —W 原理相类似，由有限变形下的最小势能原理(2.2.5)式引入乘子ij λ和i μ后为
21
()1(,,,,)()2ij i i i i V S ij i j j i i k j k ij i i i V S A f u dV Tu dS u u u u dV u u dS εελμ⎡⎤∏=--⎣
⎦⎡⎤
+-+++-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰ (2.2.18) 通过相似的运算，当0δ∏=时，可得出
(a) 0ij ij σλ+= 在V 内
(b) 1
(,,,,)02
ij i j j i i k j k u u u u ε-++= 在V 内
(c) ,(,)0j ik k i ij k u f δλ⎡⎤+-=⎣⎦ 在V 内 (d) 0i i u u -= 在1S 上 (e) (,)0ik i k ij j i u n T δλ++= 在1S 上 (f) (,)0ik i k ij j i u n δλμ+-= 在1S 上 从(1.8.19)中a 、f 可得到乘子ij λ和i μ
ij ij λσ=- (,)i ik i k kj j u n μδσ=-+ (2.2.20) (2.2.20) 除了满足(2.2.19a)和(2.2.19f)外，还满足几何关系(2.2.19b)式，平衡方程(2.2.19c)式，位移边界条件(2.2.19d)式和外力边界条件(2.2.19e)式。另外把(2.2.20)代入(2.2.18)即得出(2.2.17)式。
(2.2.19)
同样，我们也可以从余能原理采用拉格朗日乘子法导出不同形式的大位移非线性弹性理论的广义变分原理，它表述为：
满足(2.2.1)、(2.2.2)、(2.2.3)和(2.2.4)式的必使下述泛函∏取驻值
{}{}2
1
1
(),,(,),2(,)(,)ij k i k j ij ij i j jk k i i i ij i j jk k i i ij i j jk k i S S B u u u u f u dV u n T u dS u n u dS
σσδσδσδσ⎡⎤∏=++++⎣⎦-+--+⎰⎰⎰ (2.2.21)
该驻值原理的详细证明可参阅有关参考文献。 §2.2.4弹性动力学问题的变分原理
对于弹性动力学问题而言，所有i u 、ij ε和ij σ都是空间坐标i x 和时间坐标t 的函数，即
(,)
(,)(,)
i i i ij ij i ij ij i u u x t x t x t εεσσ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩ (2.2.22) 而体力i f 和面力i T 也是时间坐标的函数
(,)i i i f f x t = 在V 内 (,)i i i T T x t = 在2S 上
此时平衡方程即动力方程
(,),ik i k kj j i u f u
σσρ⎡⎤++=⎣⎦&& (大位移) (2.2.23) 此处()
()t
∂=
∂g
，其它关系如上所述。 如果把这一系统看作是能量守恒系统，即能量是没有耗散的，则最小作用量定理同样适用，但这里的位能中必须包括弹性应变能，此时有（Hamilton 原理）
2()ij i i i i V S U A f u dV Tu dS ε⎡⎤=--⎣
⎦⎰⎰ (2.2.24) 动能为
1
2
i i V K u u dV ρ=
⎰&& (2.2.25) 作用量为
2()2i i ij i i i i V S L K U u u A f u dV T u dS ρε⎡⎤
=-=-++⎢⎥⎣⎦
⎰⎰&& (2.2.26) 最小作用量原理要求
0δ∏= 而1
2
t t Ldt ∏=⎰ (2.2.27)
这里i u 在1t 和2t 两个积分限的值是给定的，这样弹性动力学的哈密顿原理为： 在边界1S 上满足边界位移条件式，在V 内满足应变位移关系(1.8.2)式，在1t t =和2t t =时，i u 也是已知的条件下，使泛函
1
221()2t i i ij i i i i
t V S u u A f u dV Tu dS dt ρε⎧⎫⎡⎤
∏=-++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
⎰⎰⎰&& (2.2.28) 为极值的i u 必导出问题的精确解，即必导出满足动力学方程(2.2.23)式和力边界条件(2.2.4)式的i u 。
∏的变分极值给出
{}
12
2
0t ij ij i i i i t V
V
S dV K f u dV T u dS dt σδεδδδ---=⎰⎰
⎰⎰ (2.2.29)
现在我们假设一近似解
2(;,;)i i i i n u u x q q q t =L (2.2.30)
其中(1,2,,)i q i n =L 为时间的函数，也称为广义坐标，而且不论i q 有多少，i u 满足位移边界条件。根据(2.2.30)式，有
1n
i i i
k
k k du u u q dt q t
=∂∂=+∂∂∑& (2.2.31) 1n
i
i k k k
u u q q δδ=∂=∂∑
(2.2.32) 把(2.2.31)和(2.2.32)式代入(2.2.25)和()ij A ε的表达式中，有k q 和k q &来表示
()ij V
L K A dV ε*=-⎰ (2.2.33)
这样(2.2.29)式中的第二、三项成为
221
1
1n t t k k t t k k
k L L L dt q q dt q q δδδ**
*
=⎡⎤⎛⎫∂∂=+⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦∑⎰
⎰
&
第二章 弹性力学基本理论及变分原理 弹性力学是固体力学的一个分支。它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化） 作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。 §2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理 在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。 §2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量 11 121314151622 23 24252633 34353644 454655 5666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫ ⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪ ⎩⎭⎣ ⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为 []T u u v u v w w ⎧⎫ ⎪⎪ ==⎨⎬⎪⎪⎩⎭ (2.1.2) 弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为
x y T z x y z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭ (2.1.3) 对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程 0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0yz zx z z f x y z ττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。 平衡方程的矩阵形式为 0A f σ+= （在V 内） (2.1.4) 其中A 是微分算子 00 00 0000 0x y z A y x z z y x ⎡⎤ ∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥ ⎢⎥∂ ∂∂ =⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥ ∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣ ⎦ 体积力向量T x y z f f f f ⎡⎤=⎣⎦ 2 几何方程——位移~应变关系 在小变形情况下，几何关系为 x u x ε∂=∂ y v y ε∂=∂ z w z ε∂=∂ xy yx u v y x γγ∂∂= +=∂∂ yz zy v w z y γγ∂∂=+=∂∂ zx xz u w z x γγ∂∂=+=∂∂ (2.1.5)
弹性力学简明教程 第一章绪论 1.弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学的一个分支，其中研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2. 作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，称做面力；另一种是分布在物体体积内的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，称为体力。 3.内力：物体本身不同部分之间相互作用的力。 4.弹性力学的基本假定：1假定物体处处连续；2假定物体是完全弹性的；3假定物体是均匀的；4假定物体是各向同性的；5假定位移和形变很小。（满足前四个为理想弹性体）第二章平面问题的基本理论 一、弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 。 二、弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。 三、平面应力问题：（1）等厚度的薄板；（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变；（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。 四、平面应变问题：（1）很长的常截面柱体；（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。 五、挡土墙和很长的管道、隧洞问题，是很接近于平面应变问题。 六、平衡微分方程： 七、边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。（分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件） 八、圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将著的改变，但远处所受的影响可以不计。 九、静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同； 十、圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 十一、圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。 十二、当体力呈常量（如重力、平衡移动时内慢性力）时，如果两个弹性体具有相同的边界形状并受到同样分布的外力，就不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是平面应力还是平面应变，应力分量ðx、ðy、τxy的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量ðz，以及形变和位移，却不一定相同）。 第三章平面问题的直角坐标解答 一、逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力函数Φ；并求出应力分量；然后在根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。 二、半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式。并从而推出应力函数的形式。然后代入相容方程求出应力函数的具体表达式，再由应力函数求得应力分量，并考察完这些应力分量能佛满足全部应力边界条件。如果所有的条件都能满足，自然得出 ()z y x f, , ()z y x f, ,
弹性力学网络课程 第一章绪论 内容介绍 知识点 弹性力学的特点 弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务 弹性力学的研究方法 内容介绍： 一. 内容介绍 本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。 弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。 偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。 课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点 1.课程的研究对象； 2.基本分析方法和特点； 3.弹性力学的基本假设； 4.课程的学习意义； 5.弹性力学的发展。 特点： 弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。 弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。 材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。 线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。 另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。 如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学
弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。 这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力 体力是作用于物体体积内的外力 应力单位截面积上的内力 切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变 成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变 成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变 平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件
弹性力学简明教程全程导学及习题全解第三版课程设计 引言 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和变形后恢复原状的学科。它在材 料力学、结构力学、工程力学等领域均有重要应用。本文旨在通过提供弹性力学简明教程的全程导学及习题全解来帮助学生学习和掌握弹性力学的基础知识。 教材介绍 本文所提供的教材为《弹性力学简明教程》（第三版），作者为盛卫民教授。 该教材涵盖了弹性力学的基础理论、方法和应用，并通过大量的例题和习题帮助读者掌握理论知识。 课程设计 第一章弹性力学基础 第一章主要介绍弹性力学的基本概念和基础公式，包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。学生需掌握应力、应变概念的定义和计算方法，理解弹性模量、泊松比的物理意义和计算方法。讲解应弹性材料的线弹性和非线弹性。 第二章弹性力学理论 第二章主要介绍静力学平衡方程和应变能原理，帮助学生理解弹性力学的理论 基础和计算方法。讲解各种计算方法和弹性力学理论在结构工程中的应用。 第三章弹性力学的基本问题 第三章主要介绍弹性体在不同约束条件下的应力、应变和位移的计算，并通过 典型例题帮助学生掌握弹性力学的基本方法和技巧。讲解各种问题的纵横波、功率分解方法以及三维应力状态下的问题解决。
第四章弹性力学的复合材料 第四章主要讲解弹性力学的各种复合材料的计算问题。强调了复合材料弹性力学的复杂性和未来发展的方向，介绍复合材料力学的基础理论和应用。 第五章弹性力学的可视化技术 第五章主要讲解弹性力学的计算方法与可视化技术的结合和应用。讲解有限元分析和相关软件的使用以及可视化技术与弹性力学的结合。 习题全解 本教材提供了大量的习题，每章后面都附有习题及解答。这些习题既包括基础知识的应用，也包括理论问题的探讨和应用实例的分析。通过做这些习题，学生可以进一步巩固弹性力学的基础知识，掌握解决实际问题的方法。 总结 弹性力学是一门重要的力学学科。本文介绍了一本适合初学者学习的《弹性力学简明教程》第三版，并通过全程导学及习题全解的方式帮助学生掌握弹性力学的基本理论和方法。本教材的重点在于旨在帮助学生发现弹性力学的应用和魅力，同时也能为大家提供一些思路和方法，使学生在解决工程问题时更加得心应手。
弹性力学原理 引言： 弹性力学原理是工程力学的一个重要分支，研究材料在外力作用下 的弹性变形和应力分布规律。本文将探讨弹性力学原理的基本概念、 公式和应用，以及一些实际工程中常见的弹性力学问题。 1. 弹性力学基本概念 1.1 应力和应变 弹性力学研究的核心概念是应力和应变。应力是单位面积上的内力，表示材料受力状态的强度和方向。应变是单位长度上的变形量，表示 材料受到外力作用后的形变程度。 1.2 弹性恢复 弹性力学的基本原则是材料在外力作用下会发生弹性变形，即承受 外力后会产生形变，但在作用力消失后会完全恢复到原来的状态。这 个特性使得弹性材料非常适合许多工程应用。 2. 弹性力学公式 2.1 长度变化和应力关系 弹性力学公式中最基本的是胡克定律，它描述了材料在拉伸等均匀 变形情况下的应力和应变之间的关系。胡克定律可以用公式表示为σ = Eε，其中σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
2.2 弯曲弹性力学 在弯曲问题中，弹性力学公式需要考虑横截面的形状和材料的性质。弯曲弹性力学在结构设计中起着重要的作用，可以用公式M = EIθ 表示，其中M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，θ是单位长度的 转角。 3. 弹性力学应用 3.1 结构设计 弹性力学原理在结构设计中有广泛的应用，可以通过计算应力和应 变来确定材料的安全强度和结构的合理性。例如，根据桥梁的设计要 求和材料的性质，可以计算出合适的截面尺寸和材料类型，以确保桥 梁在负荷下不会发生过度的弯曲或破坏。 3.2 材料研究 弹性力学原理在材料研究中也起着重要的作用。通过测量材料的应 变和应力，可以获得材料的弹性性质和力学特性。这些信息可以用于 开发新的材料或改进现有材料的性能。 3.3 软件模拟 随着计算机技术的发展，弹性力学原理被应用于软件模拟和计算机 辅助设计。通过建立弹性力学模型，可以在计算机上模拟各种力学行为，并进行虚拟测试和分析。这些技术在工程设计和产品开发中起到 了关键作用。
静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭 转问题最小余能近似解 有 限元原理与变分原理 有限 元原理的基本概念 有限元 整体分析 第十一章 弹性力学的变分原理 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(『anQpKUH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。 一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。 变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。 知识点
、重点 1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。 §11.1弹性变形体的功能原理 学习思路： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力 和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为S 0如图所示
弹性力学的变分原理及其应用 弹性力学的基本概念 •弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的力学学科。 •弹性力学主要关注物体的弹性变形，即物体在受到外力作用后可以恢复到原始形状的能力。 •弹性力学可以用数学模型来描述物体的变形行为，其中变分原理是一种重要的分析工具。 变分原理的概念 •变分原理是数学中的一种重要方法，可以用来求解函数的极值问题。 •在弹性力学中，变分原理是用来求解物体的形变问题的一种方法。 •变分原理通过将弹性力学问题转化为一个变分问题，通过对变分方程进行求解，可以得到物体的形变情况。 弹性力学的变分原理 •弹性力学的变分原理基于能量最小化的原理。 •变分原理假设物体的形变状态是能量最小的状态，通过对能量进行变分求解，可以求得物体的形变情况。 •变分原理可以用来推导出弹性力学中的重要方程，如弹性能量密度函数和应力-应变关系等。 变分原理的应用 •变分原理在弹性力学中有着广泛的应用。 •变分原理可以用来推导出弹性力学中的基本方程，如胡克定律、拉梅定律和势能函数等。 •变分原理还可以用来求解复杂的边界值问题，如弹性体的静力平衡问题和弹性体的振动问题等。 弹性力学的变分原理应用案例 •弹性体的静力平衡问题：通过变分原理可以求解弹性体在给定外力作用下的形变情况，并得到物体的位移场和应力场等信息。 •弹性体的振动问题：通过变分原理可以推导出物体的振动方程，并得到物体的共振频率和振动模态等信息。 •弹性体的材料参数求解：通过变分原理可以推导出物体材料的一些参数，如弹性模量和泊松比等。
总结 弹性力学的变分原理是研究物体形变问题的重要方法，并且在弹性力学中有着广泛的应用。通过对能量的变分求解，可以得到物体的形变情况和应力分布等重要信息。变分原理不仅可以用来求解弹性体的静态问题，还可以用来求解弹性体的动态问题和材料参数等。因此，掌握弹性力学的变分原理对于深入理解和应用弹性力学有着重要的意义。
第二章 变分原理 变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。1872年Betti 提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。 § 2.1 历史上著名的变分法命题 历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。 1、最速降线命题 1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命 题。如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。 设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有： 2 2 1mv mgy = (2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图 gy dt ds v 2= = (2-2) 曲线弧长为： dx dx dy dy dx ds 2 2 2 1⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+= += (2-3) 于是，时间为： () dx gy y v ds dt 212 '+= = (2-4)
弹性力学的变分原理和应用 1. 弹性力学的基本原理 •弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。 •弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。 1.1 胡克定律 •胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。 •胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。 •弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。 1.2 平衡条件 •在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。 •平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。 1.3 应变能最小原理 •应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。 •应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。 2. 弹性力学的变分原理 •变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。 •弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。 2.1 广义虚功原理 •广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。 •广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。 •广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。 2.2 最小势能原理 •最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。
•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。 •最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。 3. 弹性力学的应用 •弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。 3.1 结构力学 •弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。 •结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。 3.2 地质力学 •地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。 •弹性力学的原理用于分析地壳运动、岩石断裂和岩体的稳定性等问题，具有重要意义。 3.3 液体力学 •液体力学研究液体的流体静力学和流体动力学性质。 •弹性力学在液体力学中的应用主要集中在流体介质的变形、承载能力和流体流动中的应力分析等方面。 3.4 生物力学 •生物力学研究生物体内部的力学行为和相应的力学原理。 •弹性力学的原理在生物力学中用于探索骨骼、肌肉、血管等生物组织的力学性能和变形特性。 3.5 力学系统的稳定性分析 •弹性力学的变分原理可以应用于力学系统的稳定性分析，包括刚度、振动和失稳等问题的研究和预测。 以上只是弹性力学的一部分应用领域，随着科学技术的进步和工程需求的提高，弹性力学的应用将继续扩大和深化。
《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修 适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务： 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求： 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明： 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时：6学时（讲课6学时） 本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力学包括原子级、波动方程、量子力学。 2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。 3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初应力。 4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。 5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。 6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。 10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。 12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
弹性力学简明教程 弹性力： 弹性物体因外力产生形变后的恢复力，简称弹力。形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。 基本概念： 弹性物体因外力产生形变后的恢复力。简称弹力。形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。一定范围内弹性力和变形程度成正比，这个范围称弹性限度。在限度内，撤去外力，物体能恢复原状；超过这限度，变形程度不再和外力成正比，撤去外力后物体也不能恢复原状。对弹簧来说，弹性力为F=－k某，某表示弹簧终端的位移，k为弹性力和位移值之比，称刚度系数，负号表示弹性力的方向与位移的方向相反。弹性力也是保守力，弹性力作功可用弹性势能表示，其值为，某为位移的值。 在外力作用下弹性物体形变后所产生的一种恢复力。弹性力的特点是它在变形体上所做的功并不转化为热，但可转化为势能。弹性力是一种保守力。物体中任何两个质点相对位置的变化，称为物体变形。当物体的形变很小时，弹性力F和物体中质点M开平衡位置
时的位移成正比,其方向指向力图使质点复到平衡位置的方向。包括 风化作用、侵蚀作用、搬运作用、沉积作用和固结成岩作用。指由太阳辐射、重力、日月引力、水流、风力等来自地球外部的营力(通过大气、水、生物等)所引起的作用。来自地球外部，主要是太阳辐射能，包括风化、 堆积、侵蚀、搬运固结成岩作用等。 弹性力学： 固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下 产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学 和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界 因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体 变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性 体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹 性体处理。 内容提要： 全书共有14章,包括弹性力学的基本理论、基本概念和基本方法;简 单的和一些工程上常见的弹性力学问题;弹性弯曲和扭转;弹性薄板和薄壳;热应力问题;变分原理和数值方法等。本书理论与应用并重,概念清晰,易 于理解,列有习题和思考题,举一反三,便于掌握。 图书目录： 第1章绪论
第二章弹性体动力学的变分原理 第二章弹性体动力学的变分原理 §2.1 弹性体动力学的功能概念 第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互关系，根据动量定理建立它的基本方程。这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问题，根据能量变分原理来建立基本方程（控制方程）。首先介绍外力功、应变能、动能等三个弹性体的能量概念。 2.1.1 外力功的概念 弹性体上作用的外力一般地分为两类：一类分布在区域V 内的体积力f i ；一类作用在边界S 上的面积力i i 。在运动过程中弹性体发生微小位移du i ，外力在微小位移上所作的功，称为外力元功∫∫+=ΔV S i i i i e dS du t dV du f W (2.1) 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和，即 ∑Δ=e e W W (2.2) 一般情况下，外力可能是时间、速度和位移等的函数，（2.2）式不一定存在积分形式。只是外力是位移场变量的函数且具有位，积分形式才有意义。上述功的的对内力同样适合。 2.1.2 应变能的概念 弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。它发生变形时，伴随产生力图恢复变形的弹性力，同时在弹性体内贮存一种位能，称为应变能。在1.5.2节已叙述了它的概念，应变能是个相对值，一般取初始构形（未变形构形）为零应变能构形，瞬时构形的应变能是该瞬时应变分量的函数，是变形过程中弹性恢复力所作的功，是个非负的标量。它为 ∫∫==V V kl ij ijkl ij ij ij i dV C dV U εεεσε21 21 )( （2.3） 它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关，取决于当时
弹性力学基础知识归纳 第一篇：弹性力学基础知识归纳 一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说
370511班弹性力学复习整理 一、基本概念 弹性力学与材料力学的区别(研究对象、研究方法、应力应变定义应力符号定义等） 弹性力学基本原理 1、迭加原理：某物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且与加载顺序无关。
2、解的唯一性定理（基尔霍夫唯一性定理）：线性弹性问题的解是唯一的 3、圣维南原理，两种表述： 局部影响原理：由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。（局部平衡力系对远离作用区域影响可忽略） 静力等效原理：若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。 应力不变量与应变不变量 （这部分可能不会以概念题的形式出，但个人认为比较重要，而且由于推导过程比较复杂，大家可能往往忽略。至少说，这个结果是值得记住的） 应力不变量是在推导主应力方向时得出的一组不随坐标改变而改变的有量纲量，其一般公式为： 1112233 ii σσσσ=++I ＝ 111213 3212223123 313233 ijk i j k e σσσσσσσσσσσσ==I
22233331111223233131121221 )2 ii jj ij ij I σσσσσσσσσσσσσσσσ-=++ ＝（ 这个表达式还是比较繁，下面给出用主应力表示的公式： 3 21332312123 211σσσσσσσσσσσσ=++=++=I I I ，321σσσ、、分别为三个主应力的大小 完全类似的，可得到应变不变量公式： ()1123 2122331 3123123 1 2 ii ii jj ij ij ijk i j k e θεεεεθεεεεεεεεεεθεεεεεε==++=-=++==，各符号意义与应力相似 二、基本公式推导 本构关系 （本构关系中有比较多的公式，再次就不一一列举了。我只是想说一点心得，关于将平面应力问题转化为平面应变问题，只需将公式中的 2 1,1,υυ υ υ-→ -→ →E E G G ；反过来，将平面应变问题转化为平面应力问题，只需将公式中的2 )1()21(,1,υυυ υ υ++→ +→→E E G G ） L-N 方程 （用位移表示应变，代入本构关系，进而表示应力，最后代入平衡方程，即可得到L-N 方程。这也就是所谓的位移解法。此方程中包含了
第二章 弹性力学的基本原理 §2.1 应力分析 2.1.1应力与应力张量 应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0 存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。 考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有 j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3 1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到 九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量： ⎪ ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α ),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。 设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为 ⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即 j n j n T e T )()(= (2.4) 另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为 ()031 3)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5) 其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅3 1 为此微元的体积。当
第2章弹性力学基础 内容提要：本章主要介绍弹性力学的基本概念，主要包括应力、应变的定义和性质，应力平衡方程、几何方程和物理方程，并对弹性力学问题的基本求解方法进行简介。为了便于对机械结构有限元计算结果能够很好地分析评价，本章还介绍了结构强度与失效的基本理论。有关能量法的简单知识是后续有限元法的重要理论基础。 教学要求：学习掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等，了解弹性力学平面问题的应力函数法，掌握结构强度失效准则中的等效应力理论等内容，了解能量法的基本思想。 2.1 引言 弹性力学（Elastic Theory）作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。 弹性力学与材料力学(Foundamental Strengths of Materials)在研究内容和基本任务方面，是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有较大的差别。弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力学、几何学、物理学三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件，分析这类构件在拉压、剪切、弯曲、扭转等几类典型外载荷作用下的应力和位移。在材料力学中，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，为了简化推导，还引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定（如平面截面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等等）。杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，因此综合分析的结果，即问题求解的
基本方程，是常微分方程。对于常微分方程，数学求解是没有困难的。而在弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用那些假定，所以其解答要比材料力学里得出的解答精确得多。当然，弹性力学在研究板壳等一些复杂问题时，也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推导。但是由于弹性力学除研究杆状构件之外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，因此问题分析只能从微分单元体入手，以分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，所以除少数的典型问题外，对大多数工程实际问题，往往都无法用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，有些只能通过数值计算方法来求得其近似解。 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要在于它的基本方程——偏微分方程边值问题求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 本章主要介绍弹性力学基本概念、用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识，主要包括弹性力学基本方程、边界条件表达式等。掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来对分析结果更好地评价和理解，还介绍了机械结构强度失效准则、结构分析中的能量法等方面的基本内容。 作为固体力学(Solid Mechanics)学科的一个分支，弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。弹性力学的研究对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。所谓理想弹性体，是指符合下述假设的物体。 ⑴连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。尽管一切物体都是由微小粒子组成的，并不能符合这一假定，但是只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则对于物体的连续性假定，就不会引起显著的误差。有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变、位移等等）才可能是连续的，因而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。 ⑵完全弹性假定。这是假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。反映这一比例关系的常数，就是所谓的弹性常数。弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。由材料力学已知：脆性材料的物体，在应力未超过比例极限前，可以认为是近似的完全弹性体；而韧性材料的物体，在应力未达到屈服极限前，也可以认为是近似的完全弹性体。这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 ⑶均匀性假定。也就是假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。 ⑷各向同性假定。这是假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的。也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。 （5）小位移和小变形的假定。在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作出小位移和小变形的假定。这就是说，要假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。所以，在