《概率统计教学资料》第4-6节随机事件及概率

4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
n
m
Cnm
n (n 1)L (n m!
m 1)
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例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
内容回顾
1. 概率论中的基本概念： 样本点，样本空间，随机事件
2. 随机事件的四种关系和三种运算以及运算定律 3. 事件的统计性规律 4. 概率的公理化定义：非负性，规范性，可加性 5. 概率的四条性质
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第四节 古典概型
古典概型: 假定随机试验满足
1o有限性 试验的基本事件只有有限个； 2o等可能性 任一基本事件发生的可能性大小相同. 则称其为古典概率模型, 简称古典概型. 定义 对于古典概型,如果样本空间的基本事件总数是 N, 而 事件 A 包含的基本事件数是 M , 则事件 A 发生的概率
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)
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例2. 设一批产品共100件,其中共有95件正品和5件 次品, 从中任取15件，求其中恰有2件次品的概率。 解：设事件A表示“取出的15件样品中恰有2件次品”, 不放回地抽取15件样品共有C11050 种取法， 事件A的取法共有 C9153C52种，于是所求概率为
二、概率乘法公式
概率的乘法定理：对事件A和B，若P(B)>0, 则
P(AB) P(B)P(A | B); 或若P(A)>0 , 则 P(AB) P(A)P(B | A).
乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
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贝叶斯公式 (或逆概率公式)
如果事件组 B1, B2,L , Bn 是S的一个划分, 则
P(Bi
|
A)
P( ABi ) P( A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bj )P(A | Bj )
,
i 1,2, , n
j 1
B2
B1
A
B3 …Bi… Bn
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引例：10张彩票中只有1张中奖票，10人同时摸这10张彩票，
张三和李四各有1张，记A=张三中奖，B=李四中奖，则
P( A) 1 P(B) 10
若李四先刮开奖票，并且李四中奖了，即B发生，此时
P( A) 0 此时的概率我们记作 P( A B) 0;
若李四先刮开奖票，并且李四没有中奖，即B发生，此时
多大，即计算P（A|B）
根据贝叶斯公式
P(A)P(B | A)
P(A | B)
P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)
0.01 0.30
0.1316
0.01 0.30 0.99 0.02
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肝癌普查问题
甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌 的普查和诊断。设A={肝癌患者}, B={AFP检验反应为阳 性};由过去的资料已知：
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行刺美国总统里根案
1981年3月30日，美国总统里根在华盛顿希尔顿饭店 召开一次劳工集会上发表演讲后遭到枪击胸部受伤，同 行的白宫新闻秘书詹姆斯. 布雷迪、一名华盛顿当地警察 及一名联邦特工也在枪击中受伤。行刺的枪手是25岁的 科罗拉多州失业青年Hinckley。
1982年审判他时， Hinckley以精神病为理由作为其 无罪的辩护。在18个医师中作证的医师Danial，他告诉 法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描时，扫描 显示30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时， 只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿 他的扫描结果为依据，争辩说因Hinckley的扫描展示了 脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于收到法院的 起诉。
同理，若P( A)>0,也可定义事件B在A已经发生条件下的
条件概率：
P(B A) P(AB)
P( A)
可验证条件概率符合三个假设，
亦是概率，具有概率的一切性质.
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条件概率 P(A|B)的样本空间
BA
BA
Sample space
P( AB)
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Reduced sample space given event B
则称Bi 为一个完备事件组或者说样本空间的划分.
则对于任一随机事件A,有
A A S A (B1 B2 L Bn )
事件分配律
A(BC ) ABAC
B2
B1
A
B3 …Bi… Bn
AB1 AB2 L ABn AB1 AB2 L ABn
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A AB1 AB2 L ABn
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行刺美国总统里根案
案例分析： 令A=｛该人是精神病患者}, B=｛该人CAT扫描为脑萎缩｝，
根据医学资料知 P(B | A) 0.3, P(B | A) 0.02;
一个国家所以人群中，得精神病的比例比较低 P(A) 0.01,
因Hinckley已扫描为脑萎缩，要判断他是精神病人的概率
2 4 1 19 3 5 3 20
51 60
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进一步考虑下列问题，如果抽检的确实件次品，那 么该件产品究竟是由哪个厂家生产的呢？ 显然，甲的可能性要大得多，因为甲产量多，次品率也高。
实际上
P(B | A)= 8 9
以上这类问题在医药领域相当重要， 因为人们常常需要从诊断的结果来寻找真正的原因。
记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，
问 A，B，C是否两两独立?
并验证P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立？
解: 由于在四面体中红、白、黑分别出现两面,
因此 P( A) P(B) P(C ) 1 ,
又由题意知
P( AB)
2 P(BC) P(AC)
P( A) P( AB1 AB2 L ABn ) 和的概率等于概率的和
=P( AB1) P( AB2 ) L P( ABn ) 由概率乘法公式
=P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) L P(Bn )P(A | Bn)
这就是全概率公式. 如图
B2
B1
A
B3 …Bi… Bn
A与B
A与B
A与B
也相互独立.
证明
推论：若 A, B; A, B; A这, B四; A对, B事件中,只要有一对独立， 则其余三对也独立.
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伯恩斯坦反例
例2:一个均匀的正四面体,其第一面染成红色，
第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同
时染上红、白、黑三种颜色.现以A, B, C 分别
P(A) 定义为:
P( A) M N
这个定义称为概率的古典定义.
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预备知识：
1.加法原理：完成1件事，有n类办法. 在第1类办法中
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
0.04036
P( A
|
B)
P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) P(A)P(B
|
A)
0.0004 0.94 0.04036
0.93%
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第六节随机事件的独立性
一、事件相互独立
1. 问题的引入 设A，B是试验E的两事件，若P(B)>0，可定义 P( A | B) P( AB) P(B)
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例. 1件次品与4件正品混在了一起，需要逐个进 行检验将次品找出来。
（1）求至少需要检验3次才能找出这件次品的概率； (2)求这件次品在第3次检验时得到的概率。
解：设A表示至少需要检验3次才能找出这件次品
Bi表示“第
(1) P(A)
i 次检验时得到正品”,
P(B1B2 ) P(B1)P(B2 | B1)
真阳性率 P(B | A) 0.94, 假阳性率 P(B | A) 0.04;
又已知在人群中肝癌的发病率为 P(A) 0.0004,
今有一人AFP检测为阳性,现问该人患肝癌的可能性有多大？
解： 由全概率公式知 P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.0004 0.94 0.9996 0.04
P(A | B)
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条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性 P(B A) 0
归一性 可加性
P( A) 1
P
i1
Bi
A
P
i1
Bi
A
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A)
P(B A) 1 P(B A)
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B1B2 A)
现比较P(A|B)与P(A). 一般地, P(A|B) ≠P(A). 只有 B的发生对A发生的概率无影响，才会有 P(A|B) =P(A), 这时有