2017届二轮复习 四海八荒易错集专题03函数的图像与性质 文 专题卷(全国通用)

2017届高三数学跨越一本线精品误区二：三角函数图象变换失误三角函数的图象变换,是三角函数考查热点之一,也是易错点之一,虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类,但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是,究其原因,是对函数性质及其图象特征认识不够深入,因此在变换中,对变换的数据无法完全把握,从而造成失误.本文重点从高考中涉及较多的伸缩变换和平移变换加以辨析.一、伸缩变换伸缩变换是容易出现错误的一个类型,是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样,比如：将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝2f (x )的图象,需要将y ＝f (x )图象上每一点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝f (2x )的图象,则需要将y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的12.之所以出现这个差异(一个是扩大,一个是缩小),原因很简单,注意到后一个关于横坐标的变化中,系数2就是x 的系数,而前一个关于纵坐标的变换,系数2并不是y 的系数,如果要将这个系数写到y 身上,则是12y ＝f (x ),这样以来,变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了.【例1】【山西省运城市2017届高三上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6π个单位,这是对应于这个图象的解析式为（）A．sin(2)3y x π=-B．sin(26y x π=-C．sin(23x y π=-D．sin(26x y π=-【分析】本题的第一步变换容易出现失误,题目要求“把所得各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)”,不少考生将x 的系数由1变为12,导致解题错误【解析】函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变得到sin 2x ,再把图象向右平移6π个单位,得到sin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】A【小试牛刀】把函数)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点向左平移6π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为【分析】本题与例1及极其相似,关键是后一步伸缩变化时,不要将系数12误写为2.【答案】)621sin(π+=x y .二、平移变换相对来说,平移变换似乎问题少一些,因为大家都记住了一个口诀：左加右减,上加下减.却很少有人追问：为什么向y 轴正方向(上方)平移就是加,而向x 轴正方向(右方)平移却是减？其实,理由与伸缩变换的理由很类似,y ＝f (x )变换为y ＝f (x )＋1,确实是纵坐标增大了一个单位,所以向上平移；而将y ＝f (x )变换为y ＝f (x ＋1),对应的x 应该减小1个单位,函数式才能保持等量关系,所以需要向左(负方向)平移1个单位.【例2】【2017湖北省荆州市高三上学期第一次质检】将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移0m m >个单位长度,所得函数图象关于轴对称,则的最小值为()A．B． C.D．【分析】先得到平移后的解析式y,再根据所得函数的图象关于轴对称,写出m 的表达式,找出最小值.【答案】C【点评】(1)平移变换中,记住“左加右减,上加下减”的口诀是没有错,但这只能确定平移方向,还需要注意平移的幅度,否则也是很容易出现差错的.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x ,±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴．【小试牛刀】【2016届福建省师大附中高三上学期期中】要得到函数的图象,只需要将函数的图象（）。

专题四函数的图像、函数与方程一、基本初等函数1.五种幂函数的性质2.3.考点一：知式选图1．【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．2.【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（ ）A B C D3．(2016·浙江，3，易)函数y ＝sin x 2的图象是( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x＝π时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.4．(2016·课标Ⅰ，9，中)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )5．(2014·浙江，8，易)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )A B C D 5．D [考向1]方法一：分a ＞1，0＜a ＜1两种情形讨论．当a ＞1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0＜a ＜1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a 递增较慢，所以选D. 6．(2012·湖北，6，中)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )(排除法)：当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A ，C ；当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，排除D.故选B. 7.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )8.(2013·山东，9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x ＝π时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.9. (2016·山东省实验中学模拟，3)函数f (x )＝sin xln （x ＋2）的图象可能是( )解．A [考向1]由题意知⎩⎨⎧x ＋2＞0，ln （x ＋2）≠0，∴x ＞－2且x ≠－1，故排除B ，D.由f (1)＝sin 1ln 3＞0，可排除C ，故选A. 10．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为( )解析：选B 该函数图象可以看作偶函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移1个单位得到的．11．函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )A B C D解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C. 12.【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称考点二：利用函数的图象研究方程根的个数13. (2011·课标全国，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( ) A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个解：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.14.(2015·安徽，14)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解：函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.15．(2016·浙江金华模拟，4)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若f (x )＝min {}|x |，|x ＋t |的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解．D [考向2]由图知t ＝1.16．(2012·北京，5，易)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解．B 令f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数，如图所示．由图可知，两函数图象有1个交点，故选B.17．(2013·天津，7，中)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：B 易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.18．(2015·湖南，14，中)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 因为y ＝f (x )有两个零点，所以|2x－2|－b ＝0有两个实根．即|2x－2|＝b 有两个实根． 令y 1＝|2x －2|，y 2＝b ，则y 1与y 2的图象有两个交点． 由图可知b ∈(0，2)时，y 1与y 2有两个交点．【答案】 (0，2)判断函数零点个数的常见方法(1)方程法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点；(2)图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数；(3)将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．考点三：由函数图像求参数范围19.(2013·课标Ⅰ，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若||f （x ）≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】 (1)||f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.其图象如图．由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤||f （x ），则a ≤0， 且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对x <0恒成立，所以a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0，故选D.20.已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解．B 设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象，两个函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点； 当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3. 此时两函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点， 综上，共有两个零点．21.函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解：令f (x )＝0，则a ＝x 2＋1x .令g (x )＝x 2＋1x ，则g ′(x )＝1－1x2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(x )＜0，当x ∈(1，3)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，3)上单调递增，∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.22.已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ≤0时，f (x )＝2－x－1.当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，f (x )在(0，＋∞)是周期为1的函数，如图，若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点 故a ＜1.【答案】 (－∞，1)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．考点四：比大小23.(2016·课标Ⅰ，8，中)若a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log c a <log c bC ．a c<b cD ．c a>c b解．B [考向4]对于选项A ，log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B ，∵0<c <1，∴y ＝log c x 为减函数，又a >b >0，∴log c a <log c b ；对于选项C ，利用y ＝x c 在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c ；对于选项D ，由0<c <1知，y ＝c x在R 上为减函数，易得c a <c b，故选B.24．(2014·天津，4，易)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ． c >b >a解．C [考向4]∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝π－2＝1π2>0，但c <1，∴b <c <a .25．(2013·课标Ⅱ，8，易)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 解．D [考向3]a ＝log 32<log 33＝1，c ＝log 23>log 22＝1， 由对数函数的性质可知log 52<log 32， ∴b <a <c ，故选D.26.(2014·辽宁，3)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 解：由a ＝2－13知0<a <1，而b ＝log 213<0，c ＝log 1213>1，∴c >a >b .27.(2012·重庆，7)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 解．B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 23 3＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 2 3＝log 23 3＝a .c ＝log 32＜log 33＝1.∴a ＝b ＞c .28.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f ()log 0.53，b ＝f (log 25)，c＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a ∵f (x )是偶函数，∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1，在[0，＋∞)上单调递增，a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)＝f (log 21)．又log 21<log 23<log 25，∴c <a <b .。

函数的图象与性质试题课程名称高考数学二轮复习模拟考试教研室___________________ 高三数学组_________________复习时间年月日时分至适用专业班级成绩开卷A卷闭卷_±B卷班级_______________________ 姓名______________________ 学号___________________ 考生注童：舞弊万莫償，那祥要退学，自爱当守诺，最怕錯上第，若真不及格，努力下次过。

答案耳在答题娥上，耳在试题妖上无效。

一、选择题一、选择题1. （2017-高考山东卷）设函数y=\/4二x2的定义域为A,函数y=\n（\~x）的定义域为b则AHB=（）A・(1, 2) B. (1, 2C・(一2, 1) D. -2, 1)[log4 工.工＞0 •2・（2017-沈阳模拟）已知函数f（x）= \则师4））的值为（）A. —£B. —99D.3. （2017-湖南东部六校联考）函数y=\M（）A・是偶函数，在区间0）上单调递增B.是偶函数，在区间（一8, 0）上单调递减C.是奇函数，在区间(0, +8)上单调递增 D ・是奇函数，在区间(0, +8)上单调递减5. (2017-西安模拟)对于函数y=f(x),部分x 与y 的对应关系如下表:上，则 Xl+X2~\ ----- X2 017 = ( ) A. 7 554B. 7 540C. 7 561D. 7 5646. 已知/(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0, +8)上单调递增，若/(lgx)<0, 则x 的取值范围是() A. (0, 1) B ・(1, 10) C. (1, +8)D. (10, +8)7. (2016-福州质检)已知偶函数/⑴满足：当xi, x 2e(0, +8)时,(x!-x2)[/(xi) -Ax2)]>0 恒成立.设 “=/(一4), b=/(l), c=/(3),则 d, h, c 的大小关系为( ) A. a<b<c B ・ h<a<c C. b<c<aD. c<b<a8. 函数/W 的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且血)=1,则/⑻+/(9)=( )A. —2B. —1C. 0试 题 共页 第页.V1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824D. 1数列｛忌｝满足：xi = 1,且对于任B 点3,亦1)都在函数y=f(x)的图象9. （2017-高考山东卷）设/⑴=心,0<x<l, 1 U H）,Q.若何％+】）'©=（）A. 2 C. 6B. 4 D. 810. （2017•山西四校联考）已知函数/W满足：①定义域为R；®VxeR,都有/U+2）=/U）；③当A-G［-1, 1］时，/W=—Lrl+1.则方程/W=*log2lxl在区间［一3, 5］内解的个数是（）A. 5 C. 7B. 6 D. 811.（2017.天津模拟）已知函数爪）的图象如图所示，则/⑴的解析式可能是（）A. x2cos xC. xsin x12・已知定义在R上的奇函数几兀）满足/（A—4）=-/«,且在区间［0, 2］上是增函数，贝|J（）A.X-25)<All)</(80)B./(80)</(ll)</(-25)C.几11)勺(80)勺(一25)D・人一25)彳80)今(11)二、填空题13. (2017-高考全国卷II)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当兀丘(一8, 0)时,X A)=2A3+A2,则f(2)= _____________ ・试题共页第页14.若函数f(x) = 2x+a^x为奇函数，则实数4= ____________ ・215・已知函数几丫)=苑丁+sin卅则人一2 017)+几一2 016)+用))土A2 016)+/(2 017)= ________ .16.已知定义在R上的函数/U)满足：①函数y=f(x-V)的图象关于点(1, 0)对称；②VxeR,石一"=石+寸：③当炸(一扌，一弓时，_/W = log2( — 3卄1).则/(2 017)= _______ ・（-log., T>0,且何一厶则曲「） = （）B.-扌5C・-42.（2017-高考北京卷）已知函数妙=3'—（分，则金）（）A. 是奇函数, 且在R上是增函数B. 是偶函数, 且在R上是增函数C.D.3.4.A.C.是奇函数,是偶函数,且在R上是减函数且在R上是减函数函数劝2站的图象大致是（函数y=kl（l—x）在区间4上是增函数，那么区间4是（）B •卜 I](―°°,0)[0, +oo) D.伶 +8)A. — log377D・_4函数/(x)的上确界.则函数用・)=是奇函数，则实数。

专题06 三角函数的图像与性质1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A5．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.163 3 C ．8 D ．16答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.6．义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6. (1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin2ωx ＋3cos2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12)(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan α＋1，∴原式＝－－1－＋1＝－1. 【变式探究】(1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．。

2017年高考数学（四海八荒易错集）专题05 导数及其应用文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（四海八荒易错集）专题05 导数及其应用文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考数学（四海八荒易错集）专题05 导数及其应用文的全部内容。

专题05 导数及其应用1．（2016·四川）已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点,则a等于( )A．－4B．－2C．4D．2答案D2．(2016·课标全国乙)若函数f（x）＝x－错误!sin2x＋a sin x在(－∞，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是( )A．[－1,1] B。

错误!C.错误!D。

错误!答案C解析方法一(特殊值法）:不妨取a＝－1，则f（x)＝x－错误!sin 2x－sin x，f′（x)＝1－错误!cos 2x－cos x，但f′（0)＝1－错误!－1＝－错误!<0，不具备在（－∞，＋∞)单调递增,排除A，B，D.故选C.方法二(综合法)：∵函数f(x）＝x－错误!sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞）单调递增，∴f′(x)＝1－错误!cos 2x＋a cos x＝1－错误!(2cos2x－1)＋a cos x＝－错误!cos2x＋a cos x＋错误!≥0，即a cos x≥错误!cos2x－错误!在（－∞，＋∞)恒成立．当cos x＝0时,恒有0≥－错误!，得a∈R；当0〈cos x≤1时，得a≥错误!cos x－错误!，令t＝cos x，f（t）＝错误!t－错误!在（0,1]上为增函数，得a≥f（1)＝－错误!；当－1≤cos x<0时，得a≤错误!cos x－错误!，令t＝cos x，f（t）＝错误!t－错误!在[－1，0)上为增函数，得a≤f(－1）＝13.综上,可得a的取值范围是错误!，故选C。

专题2：函数的图象与性质一、前测训练1．求下列函数的值域：（1）y ＝sin(2x ＋π3) x ∈[0，π6] （2）y ＝1－x 21＋x 2 （3）y ＝x ＋1－x(4)f (x )＝(12)x －x ，x ∈[－1，2] （5）f (x )＝x 2＋2x 2＋1 （6）f (x )＝x ln x（7）y ＝x2．（1）f (x )＝x (12x －1＋12)的奇偶性为．（2）若f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 的值为．3．（1）函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的增区间为； (2)f (x )＝log 12(x 2－2x )的增区间为；(3)f (x )＝ln x －2x 2的减区间为．4．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2) 0，则f (x )＜0的x 的取值范围是．5．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝．6．（1）已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，①将函数y ＝f (x )图象向右平移2个单位后的解析式为． ②与函数y ＝f (x )图象关于y 轴对称的函数解析式为． （2）方程1－x 2＝x ＋m 有一个实数解，则m 的取值范围为．7．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )=．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝．二、例题讲解专题一、函数单调性例1：已知函数x a x x x f 3)(+-=在R 上为增函数，则实数a 的范围为又例：已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R)．若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为．再例：已知函数)(x f 的定义域是0≠x 的一切实数，对定义域内的任意21,x x 都有)()(121x f x x f =⋅),(2x f +且当1>x 时.1)2(,0)(=>f x f 则不等式.2)12(2<-x f的解集为围是___________．又例：已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-.0,12,0,2)(x ax x e x f x (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜.2)()(21x f x f +其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．例3：若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．又例：若函数()(1)xf x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是.专题二：奇偶性与周期性 例 1.已知f (x )=|x +1|+|x +2|+|x +3|++|x +2017|+|x -1|+|x -2|+|x -3|++|x -2017|（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的取值范围是.又例：已知函数0)1()1(),1lg()(22<++-++=m f m f x x x f 如果，则实数m 的取值范围是___________.再例.f(x)为偶函数，且在[)+∞,0上是增函数，若)1(2)1(ln )(ln f tf t f ≤+，则t 的范围是再例：已知函数(),如果(),那么的值是______.则实数a 的取值范围是.例2：f(x)为偶函数，)2()()4(f x f x f +=+，若2)1(=f ，则)2018()2017(f f +=又例：f(x)满足)()()()(3,31)3(y x f y x f y f x f f -++==，则=)1812(f再例：设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．再例：设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意x R ∈,都有()(4)f x f x =+,且当[2,0]x ∈-时,1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根,则a 的取值范围为______________.例3．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b aab b ≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++= ，则1a =．又例．对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22， 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为m x f =)(（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123x x x 、、，则123x x x ++的取值范围是_____________．再例：函数()f x 的定义域为D ,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有()f x k=-是对称函数, 那么k 的取值范围是_____________.例4：若满足2x+=5, 满足2x+2(x －1)=5, +＝又例：若R a y x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈,4,4,ππ，且满足方程：0cos sin 402sin 33=++=-+a y y y a x x 和，则=+)2cos(y x 。

专题六函数与导数建知识网络明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]函数与导数专题是历年高考的“常青树”，在高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象与性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．突破点14函数的图象和性质提炼1函数的奇偶性(1)若函数y＝f(x)为奇(偶)函数，则f(－x)＝－f(x)·(f(－x)＝f(x))．(2)奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝0.(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f (－x )＝－f (x )，还是f (－x )＝f (x )，有时需用其等价形式f (－x )±f (x )＝0来判断．(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．提炼2 函数的周期性 (1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(2)若奇函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以4|a |为周期的周期性函数．(3)若偶函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(4)若f (a ＋x )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f (a ＋x )＝1f (x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(5)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )对称，则函数y ＝f (x )是以2|b －a |为周期的周期性函数．提炼3 函数的图象 (1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．回访1 函数的奇偶性与周期性1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]2．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(－1,3)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]回访2函数的图象3．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1 B.1C.2D.4C设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，所以有－x＝2－y＋a，从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1，解得a ＝2.故选C.]4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是()D ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]热点题型1 函数图象的判断与应用题型分析：函数的图象是近几年高考的热点内容，主要有函数图象的判断和函数图象的应用两种题型．(1)(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在－2,2]的图象大致为( )(2)(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0 B.m C.2mD.4m(1)D (2)B (1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)， 故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选D.(2)∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]函数图象的判断方法1．根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．2．根据函数的单调性，判断图象的变化趋势． 3．根据函数的奇偶性，判断图象的对称性． 4．根据函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．取特殊值代入，进行检验．变式训练1] (1)(2016·济南模拟)函数y ＝xe cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )【导学号：85952058】A ．B.C.D.(2)(2016·石家庄二模)如图16-1，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )图16-1A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2}(1)A (2)C (1)令f (x )＝xe cos x ，则f (－x )＝－x ecos (－x )＝－xe cos x ＝－f (x )，即函数的图象关于原点对称，排除选项C ，D ；当x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2>0，排除选项B.故选A.(2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]热点题型2 函数性质的综合应用题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性质的判断是关键，应用是难点．(1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ (2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对于任意x ∈R ，恒有f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈－1,0]时，f (x )＝2x －1，则f (2 017)＝________.(1)A (2)12 (1)法一：∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.法二：令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0， ∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－110.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0， ∴f (2)－f (3)<0， 即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A.(2)由f (x －1)＝f (x ＋1)得f (x )的周期为2，则f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－1)＝12.]函数性质的综合应用类型1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．变式训练2] (1)(2016·长春二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )【导学号：85952059】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D.(e ，＋∞)(2)(2016·江西师大附中二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号是________．(1)C (2)①②③ (1)∵f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f (ln x )＋f (ln x )|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，∴－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，∴－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e ，故选C. (2)令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0， 得f (－1)＝f (1)． ∵f (－1)＝－f (1)， ∴2f (1)＝0， ∴f (1)＝0， 故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③.]。

专题06 三角函数的图像与性质1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A5．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.163 3 C ．8 D ．16答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.6．义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6. (1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin2ωx ＋3cos2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12)(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 【变式探究】(1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【锦囊妙计，战胜自我】1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.【变式探究】(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C【名师点睛】(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【锦囊妙计，战胜自我】 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωϕ>横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．【变式探究】设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．【名师点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C. 3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3 答案 A解析 π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32 B.32C ．－12D.12答案 D 解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f(3)＋…＋f (2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ， ∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________． 答案 2＋ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 因此当πx 6－π3＝π2时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2. 当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3， 因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3]8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________. 答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125， 化简得2sin αcos α＝－2425， 则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， 由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75， 将该式与sin α＋cos α＝15联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， 且0<α－π4<π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x . x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 则当x ＝0时，g (x )的最大值为12； 当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14. 10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案 2212．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值． 解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1. 又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2， 所以f (x )＝2sin(x ＋π4)． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． 故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1)＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)， 又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3， 即sin(2x ＋π6)＝－12. 因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)， 所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。

专题检测（二） 函数的图象与性质（“12+4”提速练）一、选择题1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[0，1)2．(2016·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|3．(2016·沈阳质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9 C.19D ．94．(2016·赣中南五校联考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( )A ．5B ．1C ．－1D ．－35．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4 D.12 0166．(2016·湖北七市联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥T ，T ，f （x ）<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋17．(2016·江西两市联考)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )8．(2016·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．19．(2016·湖北枣阳模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( )A ．f (x －a )一定为奇函数B ．f (x －a )一定为偶函数C ．f (x ＋a )一定为奇函数D ．f (x ＋a )一定为偶函数10．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝lnπ，当任意x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )11．已知函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017x ＋1＋2 017sin x 在x ∈[－t ，t ]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为( )A ．0B ．4 036C ．4 032D ．4 03812．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－2，1) D ．(1，2) 二、填空题13．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．14．(2016·南昌一模)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |. 其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．15．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 16．如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．给出下列命题：①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2 015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数．其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．答 案1. 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．2. 解析：选B A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3. 解析：选C 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 1x ，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.4. 解析：选A ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6，∴f (－3)＝－6，∴9－3a ＝－6.解得a ＝5.故选A.5. 解析：选C 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C .6. 解析：选C 由题意得，f (e)＝e －1<2，∴f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，∴f 3[f 2(e )]＝3，故选C.7. 解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.8. 解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.9. 解析：选D 由条件可知f (a )＝1，则x ＝a 是f (x )的一条对称轴．又y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到的，所以y ＝f (x ＋a )关于x ＝0对称，即y ＝f (x ＋a )为偶函数，故选D.10. 解析：选D 依题意，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y 轴对称，则f (a )＝f (－a )＝f ⎝⎛⎭⎫－ln 1π＝f (ln π)，f (c )＝f (lnπ)＝f ⎝⎛⎭⎫12ln π，而0<12ln π<ln π<(ln π)2，所以f ⎝⎛⎭⎫12ln π>f (ln π)>f [(ln π)2]，即f (c )>f (a )>f (b )，故选D. 11. 解析：选B 记g (x )＝2 017x ＋1＋2 0192 017x ＋1，则g (x )＝2 017（2 017x ＋1）＋22 017x＋1＝2 017＋22 017x ＋1， 记p (x )＝22 017x ＋1，则p (－x )＝22 017－x ＋1＝2×2 017x 2 017x ＋1. 因为函数y ＝2 017sin x 是奇函数，它在[－t ，t ]上的最大值与最小值互为相反数，所以最大值与最小值的和为0.又因为y ＝2 017x ＋1是[－t ，t ]上的增函数，所以M ＋N ＝2 017＋2×2 017t 2 017t ＋1＋2 017＋22 017t ＋1＝4 036，故选B.12. 解析：选C 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x ＞0，作出函数f (x )的图象：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )， 所以2－x 2>x ， 解得－2<x <1，故选C.13. 解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1.所以0<1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln 1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14. 解析：分析题意易知①③中的函数在(0，1)内单调递增，不满足题意，②④中的函数在(0，1)内单调递减，满足题意．答案：②④15. 解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1，1)上f (x )的解析式，得 f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－2516. 解析：①因为sin(x ＋π)＝－sin x ＝sin(－x )，所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”，所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4，因为f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1，所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，即f (2－x )＝f (2＋x )，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )，所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称，且在(－2，－1)上单调递减，根据偶函数的对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确；④因为y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确．答案：①③④。