三次函数图像与性质3精品PPT课件
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三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
三次函数图像与性质
2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结 函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。
2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数的性质和图像
预测经济指标：通过建立三次函数模型，可以预测各种经济指标，如GDP、 失业率等。
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
感谢您的观看
汇报人：XX
单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
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三次函数与其他函数的 比较
感谢您的观看
汇报人：XX
单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数PPT 演示文稿
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求证：不论a怎样变化, 点P总在一条定直线上; (2) 若a>0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
△>0 a≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
综上所述 a 的取值范围为 ，5
3
2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
导 数 及 其 应 用
函数的 单调性
极值与 最 值 切线 问题
三次函数 的图象
三 次 函 数
三次函数 的性质 与三次方 程的关系
导 数
课 堂 小 结
感悟数学
发现数学
应用数学
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
思考题：
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
三次函数的单调区间和极值课件
-6 -6
-8 -8
5
10
18
结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
19
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
14
(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
9
三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
10
思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
11
热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
江苏省2020届高三数学二轮复习第24讲 三次函数的图象和性质 (共49张PPT)
������������
������������
坐标是二阶导数为零的根.
一、知识梳理
证明：设函数������ ������ = ������������������ + ������������������ + ������������ + ������(������ ≠ ������)的对称中心为
高三数学二轮复习 第24讲
三次函数的图象和性质
〇、引言
有 关 三 次 函 数 ������ ������ = ������������������ + ������������������ + ������������ + ������(������ ≠ ������)的 问 题在近几年的数学高考中屡屡出现，利用导数研究三次函数 的图象和性质，以及借助数形结合的思想方法解决问题，可 以迁移到其他函数的研究中，其研究的过程与方法具有普适 性、一般性和有效性．
一、知识梳理
2、性质
此时结合函数图象可知： ������������若������ ������������ ∙ ������ ������������ > ������，即函数������ = ������ ������ 的极大值和极小值同 号，所以函数有且只有一个零点；
(������, ������).将函数的图象进行平移，
则 所 得 函 数 ������ = ������ ������ + ������ − ������ 是 奇 函 数 ， 所 以 ������ ������ + ������ +
������ −������ + ������ − ������������ = ������
三次函数的图像和性质
对函数f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用-第四节 三次函数的图象与性质
[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数 的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,
−
< ,
即
−
−
−
−
+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,
（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求 的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；
− ,
3
−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3
3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2
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的图象最有可能的是
y
C
O 12
x
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
A
B
2
O1
x
C
O
12 x
D
探究二 三次方程根的问题
讨论方程ax3 bx2 cx d 0(a 0)
的根的个数
a 0时
x1 x2
1个交点 2个交点 3个交点
xx
x
x xx
x x
x0
有且只有1个交点
探究二 三次方程根的问题
• 三次方程与三次函数有何关系？
x x0
(一) 三次函数的图像
f (x) ax3 bx2 cx d的图象和性质
f ' (x) 3ax2 2bx c
a 0时 4b2 -12ac 4(b2 - 3ac)
Δ>0
Δ≤0
图象
x x
1
2
x1 x2
极值 极大值f(x1) 极小值f(x2)
单调 区间
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
探究一：初识三次函数图象形状
• 观察几何画板中几个三次函数图象，思考下列问 题
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
f ' (x) 3ax2 2bx c
4b2 -12ac 4(b2 - 3ac)
a>0
a<0
Δ>0
Δ≤0
Δ>0
Δ≤0
x x1 x2
x x0
x x1 x2
无极x0 值 (-∞,+∞)
总结: a 0时
Δ>0
图象
极值 单调 区间
x x
1
2
x1
x2
极小值f(x1) 极大值f(x2)
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
Δ≤0
x0
无极值 (-∞,+∞)
思考 已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的
导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求 a的
（Ⅱ）已知不等式f (x)>x2-x-a+1对任意a∈ （0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。
2.a为何值时，方程x3-3x2-a=0恰有一个实根 、两个实根、三个实根，有没有可能无实 根？
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
三次函数图像与性质（1）
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）
a>o
y
0
o
x
y
a<0
y
o
x
y
图 0
象
o
x
0
y
o
x
o
x
y
o
x
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y Байду номын сангаасx3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
• 只画x轴，画出有一根、两根、三根各种情 况图象大致形状，标注相应的a与△的取值 限制条件
• 由图像分析，探究a＜0时，三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，有一根、两根、三根的 问题，你有哪些方法？
若方程ax3 bx2 cx d 0,
如 -x3+6x2-9x+10=0
a 0呢？
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
f (x) 3ax2 2bx c
4b2 -12ac 4(b2 - 3ac)
例1.画出下列函数草图
f (x) x3
f (x) x3 3x
f (x) x3 f (x) x3 3x
C:\Users\Public\D esktop\几何画 板.lnk
f (x) ax3 bx2 cx d的图象呢？
x0
2： 已知函数 f (x) x3 ax2 3x, a R
（1）若 f (1) 0,关于 x 的方程 f ( x) k
恒有3个不等实根，求实数K的取值范围 (高考题节选)
分析：由 f 1 0 a 0
借助导数工具画原函数图像的大致形状，数形结 合得到K的取值范围
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象
如图所示则f / ( x) 0的解集？
12 x
（-∞，1）∪（2，+∞）
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题；
3、思想方法： 数形结合,函数与方程， 分类讨论，转化思想
作业：
1.设函数f（x）=x3-xx22+（a+1)x+1，其中a为 实数
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日