探讨三次函数及其图像

三次函数及其切割线的关系曾文远中国/北京市/北京十一学校指导教师：***摘要本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。

全文结构安排如下：第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。

第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。

包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。

第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。

第四章研究了三次函数图像的对称问题。

第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。

第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。

第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。

关键词：三次函数三次函数图像零点极值点拐点斜率切线割线对称中心面积n次函数范德蒙德行列式目录摘要1第一章4 1.1 4 第二章82.1 8第三章123.1 123.2 13第四章154.1 15附录参考文献致谢第一章…2.1 …3.1 …4.1 …附录参考文献[1]人教版高中数学必修1. 人民教育出版社,2007.[2]人教版高中数学选修1-1. 人民教育出版社,2007.[3]刘玉琏傅沛仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第五版）上册.高等教育出版社,2008.[4]卢刚线性代数第三版. 高等教育出版社,2009.[5]Wikipedia致谢感谢指导老师对我的鼓励与帮助.感谢我的家长和同学们，是他们的支持和鼓励给了我勇气和信心来完成这篇论文.。

关于三次函数图象切线问题的探讨韩尚石【摘要】近年来,三次函数图象的切线问题在高考中时常出现,一些考生感到束手无策.本文利用高等数学知识,探讨了三次函数过定点的切线问题,以期为学生解决此类问题提供新的方法、新的思路.【期刊名称】《延边教育学院学报》【年(卷),期】2015(029)001【总页数】2页(P79-80)【关键词】三次函数图像;切线问题;高等数学;方法;思路【作者】韩尚石【作者单位】延吉市教师进修学校,吉林延吉13000【正文语种】中文【中图分类】G633.6过一点作三次函数图象切线的问题，在历年高考试题当中频频出现。

如2009年江西省文科第12题，2004年天津市理科第20题，2004年重庆市文科第15题等。

这类问题对于一些高考考生来说会感到束手无策，不知如何去解决。

那么，如何才能顺利解决此类问题，在高考中能迎刃而解呢？本文借助高等数学知识，对三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）图像过定点p（m，n）可作几条切线的问题进行了研究，给出了解决此类问题的方法和思路。

一般地，三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）图像过定点p（m，n）可作几条切线呢？下面给出解决方法：设三次函数f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）上的点（切点）的坐标为M（t，f （t）），则过点M（t，f（t））的三次函数的切线l的斜率为:k=f´（t）=3at2+2bt+c所以，切线l的解析式为y-f（t）=f´（t）（x-t）由于切线l过点p（m，n），所以n-f（t）=f´（t）（m-t）。

令g（t）=f´（t）（t-m）-f（t）+n，于是切线的条数就是由g（t）在实数集R上零点的个数决定的。

因为g´（t）=f"（t）（t-m），f´（t）=3at2+2bt+c，f"（t）=6at+2b，故g´（t）=（6at+2b）（t-m）。

三角函数图像变换规律三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。

这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。

首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。

三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。

图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。

图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。

其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。

cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。

但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。

首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。

其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。

最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。

类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。

在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。

数学中的函数性质和图像分析在数学中，函数是一种非常重要的概念。

它描述了一种对应关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的性质以及图像的分析是数学中的一个重要研究领域，它们有助于我们更好地理解和应用数学知识。

首先，我们来讨论函数的性质。

函数可以有不同的性质，其中最基本的是定义域和值域。

定义域是指函数的输入可以取的值的集合，而值域是指函数的输出可能的值的集合。

定义域和值域的确定对于理解函数的范围和特性非常重要。

另外，函数还可以是奇函数或偶函数。

奇函数是满足f(x)=-f(-x)的函数，而偶函数是满足f(x)=f(-x)的函数。

这些性质可以帮助我们简化函数的分析和计算。

其次，我们来探讨函数图像的分析。

函数图像是函数在坐标系中的可视化表示。

通过观察函数图像，我们可以得到很多关于函数的信息。

首先，我们可以通过函数图像来确定函数的增减性。

如果函数图像在某个区间上是上升的，那么函数在该区间上是递增的；如果函数图像在某个区间上是下降的，那么函数在该区间上是递减的。

另外，我们还可以通过函数图像来判断函数的最值。

如果函数图像在某个区间上是上凸的，那么函数在该区间上有一个局部最小值；如果函数图像在某个区间上是下凸的，那么函数在该区间上有一个局部最大值。

除了增减性和最值，函数图像还可以告诉我们函数的对称性。

例如，如果函数图像关于y轴对称，那么函数是关于y轴对称的；如果函数图像关于原点对称，那么函数是关于原点对称的。

对称性是函数图像的一个重要特征，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。

此外，函数图像还可以帮助我们解决实际问题。

例如，在物理学中，我们经常需要分析物体的运动。

通过建立合适的函数模型，并绘制函数图像，我们可以更好地理解物体的运动规律。

另外，在经济学中，我们也可以通过函数图像来分析市场需求和供给的关系，从而做出更好的决策。

总结起来，函数的性质和图像分析在数学中起着重要的作用。

函数的性质可以帮助我们理解函数的范围和特性，而函数图像的分析可以帮助我们得到更多关于函数的信息。

函数的图像与图像的特征分析函数图像是数学中常见的一种表示方法，通过绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和特征。

本文将探讨函数图像的分析方法，包括图像的形状、对称性、零点、极值点等特征。

一、图像的形状函数的图像形状可以通过观察函数的导数来确定。

导数表示函数的变化率，可以帮助我们判断函数图像的增减性和凹凸性。

1. 当导数大于零时，函数图像上升，表示函数递增；2. 当导数小于零时，函数图像下降，表示函数递减；3. 当导数等于零时，函数图像可能存在极值点或拐点。

通过观察函数图像的升降和凹凸性，可以进一步分析函数的特征。

二、图像的对称性函数图像的对称性可以通过观察函数的表达式得到。

常见的对称性包括：1. 偶函数：当函数满足f(x) = f(-x)时，函数具有关于y轴对称的特点，图像关于y轴对称；2. 奇函数：当函数满足f(x) = -f(-x)时，函数具有关于原点对称的特点，图像关于原点对称。

通过观察函数图像的对称性，可以简化函数分析的过程。

三、图像的零点函数的零点是指使函数取值为零的输入值。

通过观察函数图像与x轴的交点，可以得到函数的零点。

零点对应于函数的根，可以帮助我们求解方程和解决实际问题。

四、图像的极值点函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

通过观察函数图像的局部最高点和最低点，可以确定函数的极值点。

1. 极大值点：当函数在某一区间内最高点对应的y值大于相邻点的y值时，该点为函数的极大值点；2. 极小值点：当函数在某一区间内最低点对应的y值小于相邻点的y值时，该点为函数的极小值点。

通过观察函数图像的极值点，可以进一步分析函数的变化趋势和特征。

综上所述，通过对函数图像的形状、对称性、零点和极值点的分析，可以全面了解函数的特征和性质。

函数图像分析是数学中重要的工具和方法，可以应用于各个领域的问题求解和模型建立。

通过深入理解函数图像的特征，我们可以更好地理解函数的行为和变化规律，为数学学习和实际应用提供有力支持。

三次函数高中什么时候学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三次函数是高中数学重要的内容之一，通常在高中数学的二年级学习。

它在数学的重要性不言而喻，因此在教学中被赋予了特别的重要性。

三次函数的概念广泛应用于数学、物理、化学等领域，在解决各种实际问题中都起着重要的作用。

它是一种具有特定形式的二次多项式函数，具有特定的性质和图像，是高中数学的重要内容之一。

在高中数学的学习过程中，三次函数通常是在函数与方程章节中教授的。

学生在学习三次函数之前，需要具备一定的数学基础，例如函数的概念、二次函数的性质和图像等。

在三次函数的学习中，学生将会接触到三次函数的定义、性质、图像以及与二次函数的比较等内容。

通过学习三次函数，学生将会更深入地了解函数的性质和变化规律，进一步提高对函数的理解和运用能力。

三次函数在数学中的应用十分广泛，可以用来描述各种实际问题中的变化规律。

在物理学中，三次函数可以描述物体的运动轨迹、速度、加速度等变化规律；在化学中，三次函数可以描述化学反应速率、溶解度等变化规律。

在经济学、生物学等领域中，三次函数也有着重要的应用。

学习三次函数对于学生将会具有很高的实用性和意义。

三次函数是高中数学中的一个重要内容，通过学习三次函数，可以提高学生对函数的理解和运用能力，为他们将来的学习和工作奠定坚实的数学基础。

学生在学习三次函数时需要认真对待，扎实掌握相关知识，提高自己的数学素养，为将来的学习和发展打下良好的基础。

【三次函数高中什么时候学】文章就到这里，希望对大家有所帮助。

第二篇示例：高中数学中的三次函数一般会在高中数学的第二学期被学习，通常会在高中数学的第一年的下学期进行教学。

三次函数是一种比二次函数更高级的函数，它的表示形式为y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d为常数且a不等于0。

三次函数的图像通常是一个倆臾個波浪线，比起二次函数更加复杂且具有更多的起伏变化。

学习三次函数的学生需要掌握如何求三次函数的导数、驻点、凹凸性和拐点等相关知识，并能够利用这些知识来解决实际问题。

二次函数与三次函数的性质函数是数学中的重要概念，而二次函数和三次函数是函数的两种特殊形式。

它们在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。

本文将探讨二次函数和三次函数的性质，并比较它们之间的异同点。

一、二次函数的性质二次函数是一个以二次项为最高次幂的多项式函数。

它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数且a不等于0。

二次函数的性质如下：1. 平移性质：二次函数可以沿x轴和y轴的方向进行平移。

当函数表达式中加上常数h时，图像沿x轴的正方向平移h个单位；当函数表达式中加上常数k时，图像沿y轴的正方向平移k个单位。

2. 对称性质：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴的方程为x = -b/2a，即抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 开口方向：当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。

4. 最值：当二次函数的开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

5. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

一般来说，二次函数有两个零点。

二、三次函数的性质三次函数是一个以三次项为最高次幂的多项式函数。

它的一般形式为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为实数且a不等于0。

三次函数的性质如下：1. 平移性质：与二次函数类似，三次函数也可以进行平移。

当函数表达式中加上常数h时，图像沿x轴的正方向平移h个单位；当函数表达式中加上常数k时，图像沿y轴的正方向平移k个单位。

2. 对称性质：三次函数的图像可能存在关于某个点的对称性，这取决于函数的具体形式。

3. 开口方向：三次函数的图像可能存在开口向上或开口向下的情况，这取决于函数的a的正负。

4. 最值：三次函数没有固定的最值。

它的图像可能存在局部最小值或局部最大值，但不一定存在全局最小值或全局最大值。

九年级数学综合复习专题教案(函数及其图象)第一章：函数的概念1.1 复习目标：a. 理解函数的定义及概念b. 掌握函数的表示方法c. 理解函数的性质1.2 教学内容：a. 函数的定义及概念b. 函数的表示方法：解析式、表格、图像c. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性1.3 教学活动：a. 复习函数的定义及概念，通过实例让学生理解函数的本质b. 通过示例讲解函数的表示方法，让学生学会如何用不同的方式表示函数c. 分析函数的性质，让学生理解函数的单调性、奇偶性、周期性的含义及如何判断1.4 练习题目：a. 判断下列各组函数是否为函数，说明理由b. 将下列函数用解析式、表格、图像三种方式表示出来c. 根据函数的性质，判断下列函数的单调性、奇偶性、周期性，并说明理由第二章：一次函数与二次函数2.1 复习目标：a. 理解一次函数和二次函数的定义及概念b. 掌握一次函数和二次函数的图像特点c. 学会一次函数和二次函数的解析式求法2.2 教学内容：a. 一次函数的定义及概念，图像特点b. 二次函数的定义及概念，图像特点c. 一次函数和二次函数的解析式求法2.3 教学活动：a. 复习一次函数和二次函数的定义及概念，通过实例让学生理解其本质b. 通过示例讲解一次函数和二次函数的图像特点，让学生学会如何分析图像c. 讲解一次函数和二次函数的解析式求法，让学生掌握求解技巧2.4 练习题目：a. 判断下列各组函数是否为一次函数或二次函数，说明理由b. 画出下列一次函数和二次函数的图像c. 根据给定的条件，求解一次函数和二次函数的解析式第三章：函数图像的变换3.1 复习目标：a. 理解函数图像的平移、旋转、缩放等变换规律b. 学会运用变换规律对函数图像进行操作3.2 教学内容：a. 函数图像的平移变换规律b. 函数图像的旋转变换规律c. 函数图像的缩放变换规律3.3 教学活动：a. 复习函数图像的平移、旋转、缩放变换规律，通过实例让学生理解变换规律b. 通过示例讲解如何运用变换规律对函数图像进行操作，让学生学会运用变换规律3.4 练习题目：a. 根据给定的变换规律，对下列函数图像进行变换b. 判断下列变换后的函数图像是否正确，说明理由第四章：反比例函数与函数图像的应用4.1 复习目标：a. 理解反比例函数的定义及概念b. 掌握反比例函数的图像特点c. 学会反比例函数图像在实际问题中的应用4.2 教学内容：a. 反比例函数的定义及概念，图像特点b. 反比例函数图像在实际问题中的应用4.3 教学活动：a. 复习反比例函数的定义及概念，通过实例让学生理解其本质b. 通过示例讲解反比例函数的图像特点，让学生学会如何分析图像c. 讲解反比例函数图像在实际问题中的应用，让学生学会运用反比例函数解决实际问题4.4 练习题目：a. 判断下列各组函数是否为反比例函数，说明理由b. 画出下列反比例函数的图像c. 根据给定的条件，运用反比例函数解决实际问题第六章：正比例函数与函数图像的应用6.1 复习目标：a. 理解正比例函数的定义及概念b. 掌握正比例函数的图像特点c. 学会正比例函数图像在实际问题中的应用6.2 教学内容：a. 正比例函数的定义及概念，图像特点b. 正比例函数图像在实际问题中的应用6.3 教学活动：a. 复习正比例函数的定义及概念，通过实例让学生理解其本质b. 通过示例讲解正比例函数的图像特点，让学生学会如何分析图像c. 讲解正比例函数图像在实际问题中的应用，让学生学会运用正比例函数解决实际问题6.4 练习题目：a. 判断下列各组函数是否为正比例函数，说明理由b. 画出下列正比例函数的图像c. 根据给定的条件，运用正比例函数解决实际问题第七章：函数图像的交点与解析式的解7.1 复习目标：a. 理解函数图像的交点意义b. 学会求解函数解析式的解7.2 教学内容：a. 函数图像的交点意义及其应用b. 函数解析式的解法：代数法、图像法、图表法7.3 教学活动：a. 复习函数图像的交点意义，让学生理解交点与函数值的关系b. 通过示例讲解求解函数解析式的解的方法，让学生学会求解技巧7.4 练习题目：a. 判断下列函数图像是否有交点，若有，求出交点坐标b. 根据给定的条件，求解下列函数的解析式第八章：函数图像的切线与导数8.1 复习目标：a. 理解函数图像的切线概念b. 掌握求解函数在某一点的导数方法8.2 教学内容：a. 函数图像的切线概念及其应用b. 导数的定义及其求法：导数的几何意义、导数的计算规则8.3 教学活动：a. 复习函数图像的切线概念，让学生理解切线与函数值的关系b. 通过示例讲解求解函数在某一点的导数的方法，让学生学会求解技巧8.4 练习题目：a. 判断下列函数图像在某一点是否有切线，若有，求出切线方程b. 根据给定的条件，求解下列函数在某一点的导数第九章：实际问题中的函数应用9.1 复习目标：a. 理解实际问题中的函数模型b. 学会运用函数解决实际问题9.2 教学内容：a. 实际问题中的函数模型：线性模型、非线性模型b. 函数在实际问题中的应用：优化问题、预测问题、计算问题等9.3 教学活动：a. 复习实际问题中的函数模型，让学生理解函数在实际问题中的作用b. 通过示例讲解如何运用函数解决实际问题，让学生学会运用函数模型解决实际问题9.4 练习题目：a. 根据给定的实际问题，建立相应的函数模型b. 根据给定的函数模型，运用函数解决实际问题第十章：函数图像的综合分析与应用10.1 复习目标：a. 理解函数图像的综合分析方法b. 学会运用函数图像解决复杂问题10.2 教学内容：a. 函数图像的综合分析方法：比较函数值、分析函数单调性、奇偶性、周期性等b. 函数图像在复杂问题中的应用：图像交点问题、最值问题、图像变换问题等10.3 教学活动：a. 复习函数图像的综合分析方法，让学生理解如何全面分析函数图像b. 通过示例讲解如何运用函数图像解决复杂问题，让学生学会运用函数图像解决实际问题10.4 练习题目：a. 根据给定的条件，综合分析下列函数图像的性质b. 根据给定的条件，运用函数图像解决复杂问题第十一章：函数与方程11.1 复习目标：a. 理解函数与方程的关系b. 掌握解函数方程的方法11.2 教学内容：a. 函数与方程的概念及其关系b. 解函数方程的方法：代入法、消元法、图像法等11.3 教学活动：a. 复习函数与方程的关系，让学生理解函数与方程的密切联系b. 通过示例讲解解函数方程的方法，让学生学会解方程的技巧11.4 练习题目：a. 判断下列函数是否与某个方程有解，说明理由b. 解下列函数方程，并验证解的正确性第十二章：函数的极限与连续性a. 理解函数极限的概念b. 掌握函数连续性的性质12.2 教学内容：a. 函数极限的概念及其性质b. 函数连续性的定义及其性质12.3 教学活动：a. 复习函数极限的概念，让学生理解函数极限的含义b. 通过示例讲解函数连续性的性质，让学生学会判断函数的连续性12.4 练习题目：a. 判断下列函数在某一点的极限是否存在，说明理由b. 判断下列函数在某一点的连续性，说明理由第十三章：函数的单调性与凹凸性13.1 复习目标：a. 理解函数单调性的概念b. 掌握函数凹凸性的判断13.2 教学内容：a. 函数单调性的概念及其性质b. 函数凹凸性的定义及其判断方法13.3 教学活动：a. 复习函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义b. 通过示例讲解函数凹凸性的判断方法，让学生学会判断函数的凹凸性a. 判断下列函数的单调性，说明理由b. 判断下列函数的凹凸性，说明理由第十四章：函数的最大值与最小值14.1 复习目标：a. 理解函数最值的概念b. 学会求解函数最值的方法14.2 教学内容：a. 函数最值的概念及其性质b. 求解函数最值的方法：解析法、图像法、积分法等14.3 教学活动：a. 复习函数最值的概念，让学生理解函数最值的重要性b. 通过示例讲解求解函数最值的方法，让学生学会求解最值的技巧14.4 练习题目：a. 判断下列函数是否存在最大值或最小值，说明理由b. 求解下列函数的最大值或最小值，并说明求解过程第十五章：函数的应用与拓展15.1 复习目标：a. 理解函数在实际问题中的应用b. 掌握函数的一些拓展知识15.2 教学内容：a. 函数在实际问题中的应用实例b. 函数的一些拓展知识：反函数、复合函数、函数逼近等15.3 教学活动：a. 复习函数在实际问题中的应用，让学生理解函数的实际意义b. 通过示例讲解函数的拓展知识，让学生学会函数的更多应用15.4 练习题目：a. 根据给定的实际问题，运用函数的知识解决问题b. 探讨下列函数的拓展知识，说明其含义与应用重点和难点解析本文主要介绍了九年级数学综合复习专题教案(函数及其图象)，包括函数的概念、一次函数与二次函数、函数图像的变换、反比例函数与函数图像的应用、正比例函数与函数图像的应用、函数图像的交点与解析式的解、函数图像的切线与导数、实际问题中的函数应用、函数图像的综合分析与应用、函数与方程、函数的极限与连续性、函数的单调性与凹凸性、函数的最大值与最小值以及函数的应用与拓展等十五个章节。

多次函数的图像与方程分析多次函数是数学中常见的一类函数，其图像和方程分析对于我们理解函数的性质和解题有着重要的意义。

在本文中，我们将探讨多次函数的图像和方程分析，从而深入了解多次函数的特点和应用。

一、多次函数的定义和性质多次函数是指次数大于1的整数次幂的函数，其一般形式为f(x) = ax^n +bx^(n-1) + ... + k，其中a、b、k为常数，n为正整数，且a≠0。

多次函数的次数决定了其图像的形状和特点。

二、多次函数的图像分析1. 首先，我们关注多次函数的开口方向。

当n为偶数时，多次函数的图像开口向上或向下取决于a的正负；当n为奇数时，多次函数的图像必然经过原点并开口向上或向下取决于a的正负。

2. 其次，我们研究多次函数的对称性。

多次函数的对称轴可以是y轴、x轴或y=x轴。

当多次函数的对称轴为y轴时，其图像关于y轴对称；当对称轴为x轴时，其图像关于x轴对称；当对称轴为y=x轴时，其图像关于y=x轴对称。

3. 再次，我们考察多次函数的零点和极值。

多次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过因式分解、配方法等求解。

多次函数的极值点可以通过求导数来确定，极大值点对应函数图像的局部最高点，极小值点对应函数图像的局部最低点。

4. 最后，我们关注多次函数的渐近线。

多次函数的水平渐近线可以通过求极限来确定，当x趋向正无穷或负无穷时，函数值趋向于某个常数；多次函数的斜渐近线可以通过求斜率来确定，当x趋向正无穷或负无穷时，函数值与直线的距离趋向于0。

三、多次函数的方程分析1. 我们可以通过给定多次函数的图像来确定其方程。

首先，我们可以通过图像的开口方向、对称性和零点来确定多次函数的形式；然后，我们可以通过已知点的坐标来确定多次函数的具体参数。

2. 反过来，我们可以通过给定多次函数的方程来分析其图像。

首先，我们可以通过方程的次数来确定图像的开口方向；然后，我们可以通过方程的系数来确定图像的对称性、零点和极值点；最后，我们可以通过方程的常数项来确定图像的纵向平移。

三次函数最值问题及解题技巧介绍本文旨在探讨三次函数最值问题及相应的解题技巧。

三次函数在数学中具有重要的地位，而求解三次函数最值问题是其中的一个重要应用。

三次函数最值问题三次函数是一个三次多项式函数，其一般形式为：$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 是实数常数。

三次函数在数学中具有许多重要的性质和特点。

在求解三次函数最值问题时，我们通常关心的是函数的最大值或最小值。

具体而言，我们希望找到三次函数的顶点或拐点，确定函数的最值所对应的 $x$ 值。

最大值和最小值的求解方法类似，只是注意方向的不同。

解题技巧在解决三次函数最值问题时，以下是一些常用的技巧：1. 寻找函数的顶点或拐点。

三次函数的最值通常出现在顶点或拐点处。

可以通过求导数或观察函数图像的形态来找到这些点。

2. 利用导数求解。

通过求函数的导数，可以确定函数的变化趋势和拐点。

最值通常对应于导数为零的点。

3. 利用对称性。

三次函数具有一定的对称性质，可以利用这种对称性来求解最值问题。

4. 利用边界条件。

有时候，给定的三次函数在一定区间内，最值出现在区间的端点处。

因此，可以通过考虑边界条件来确定最值。

总结三次函数最值问题是解决三次函数应用中的重要内容。

通过寻找函数的顶点或拐点、利用导数求解、利用对称性和考虑边界条件等技巧，我们可以有效地解决这类问题。

在实际应用中，解决三次函数最值问题往往需要考虑具体情况，采用合适的方法。

因此，熟练掌握解题技巧，并结合具体问题的特点进行分析和求解，是取得正确答案的关键。

希望本文对您理解三次函数最值问题及解题技巧有所帮助！。

常见函数图像的变化规律随着数学的发展，函数的概念成为数学中的重要组成部分。

函数可以用来研究各种现实问题，在数学中，函数图像是一个重要的概念，它能够让我们更加直观地了解函数的变化规律。

本文将探讨常见函数图像的变化规律。

一、线性函数首先介绍的是线性函数，线性函数是一种以一次方程形式表示的函数。

它的图像是一条直线，因此也叫直线函数。

线性函数的标准式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示斜率和截距。

当 k>0 时，该直线呈现向上倾斜的情况；当 k<0 时，该直线呈现向下倾斜的情况；当 k=0 时，该直线为水平线；当 b=0 时，该直线过原点；当 b>0 时，该直线在 y 轴上方平移 b 个单位；当b<0 时，该直线在 y 轴下方平移 -b 个单位。

二、二次函数第二种要介绍的是二次函数，二次函数是一种以二次方程形式表示的函数。

它的标准式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，a≠0。

二次函数的图像可以是一个开口向上或向下的抛物线或者是一条直线。

而二次函数的决定因素在于二次项系数 a 的正负性。

当a>0 时，图像开口向上；当 a<0 时，图像开口向下。

三、幂函数第三种要介绍的是幂函数，幂函数是一种以幂指数形式表示的函数。

它的标准式为 y = x^p，其中 p 是实数。

幂函数的图像性质与指数 p 的奇偶性和正负性有关。

当 p>0 时，图像为右上方至左下方倾斜的曲线；当 p<0 时，图像为右下方至左上方倾斜的曲线；当 p=0 时，函数为常值函数 y=1，图像是一条平行于 x 轴的直线。

四、指数函数第四种要介绍的是指数函数，指数函数是一种以指数形式表示的函数。

它的标准式为 y=a^x，其中 a 是正实数，a≠1。

指数函数的特点是y值大量增加，而x值轻微增加时，y值急剧上升。

当a>1 时，函数逐渐增长；当0<a<1 时，函数逐渐减小；当 a=1 时，函数为常值函数 y=1。

三次函数的对称性中心问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。

在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。

所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。

高中数学教案：三角函数的图像与性质分析一、教学目标1.知识与技能：（1）理解三角函数的概念及性质。

（2）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征。

（3）能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

2.过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，探究三角函数的图像与性质。

（2）运用数学软件，绘制三角函数的图像，加深对函数性质的理解。

3.情感态度与价值观：（1）培养观察能力、分析能力、归纳能力。

（2）提高对数学美的欣赏能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：（1）三角函数的概念及性质。

（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征。

2.教学难点：（1）三角函数图像的变换。

（2）运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课（1）回顾初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考三角函数的图像与性质。

（2）介绍本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

2.探究三角函数的图像与性质（1）引导学生观察正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析它们的特征。

（2）组织学生进行小组讨论，归纳三角函数的性质。

（2）通过数学软件，展示三角函数的图像，加深学生对函数性质的理解。

4.三角函数图像的变换（1）引导学生探究三角函数图像的平移、伸缩变换。

（2）通过实例，让学生掌握三角函数图像变换的方法。

5.运用三角函数的图像与性质解决实际问题（1）举例说明如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

（2）组织学生进行练习，巩固所学知识。

（1）引导学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

（2）鼓励学生提出疑问，教师解答。

四、课后作业1.绘制正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，并分析它们的性质。

（1）已知一艘船从A点出发，向东航行30海里到达B点，然后改变航向，向东北航行40海里到达C点。

求船从A点出发到C点的航行距离。

（2）已知一物体在水平地面上做简谐振动，振幅为5cm，周期为2s。

求物体在任意时刻的位移。

五、教学反思本节课通过观察、分析、归纳，让学生掌握了三角函数的图像与性质，以及运用三角函数解决实际问题的方法。

三次函数与四次函数的概念与计算在数学中，函数是一种将一个或多个输入值映射到唯一输出值的关系。

而三次函数和四次函数则是指函数中最高次项为三次和四次的多项式函数。

本文将详细介绍三次函数与四次函数的概念，并探讨它们的计算方法。

一、三次函数的概念与计算三次函数，也被称为三次多项式函数，是指最高次项为三次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c和d分别表示函数中各项的系数，x表示自变量。

对于三次函数的计算，常见的需要进行的操作包括函数值计算、零点求解和作图。

下面将逐一介绍这些计算方法。

1. 函数值计算要计算三次函数在某个特定点的函数值，只需将该点的自变量代入函数表达式中即可。

例如，若要计算三次函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在 x = 2 的函数值，将 x 替换为 2，得到：f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 1 = 15因此，该三次函数在 x = 2 的函数值为 15。

2. 零点求解三次函数的零点即为函数与 x 轴相交的点，也就是函数取值为 0 的自变量值。

为了求解三次函数的零点，常用的办法是使用因式分解、配方法或牛顿法等。

以牛顿法为例，求解三次函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的零点：首先，取一个初始近似值 x0。

假设取 x0 = 1。

计算切线方程的截距：f(x0) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 1 = 2计算切线斜率：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，同样代入 x0 得到 f'(1) = 4计算切线与 x 轴的交点坐标：(1 - f(x0) / f'(x0)) = (1 - 2 / 4) = 0.5将新的交点坐标作为新的近似值，继续迭代计算，直到满足精度要求或收敛。

通过迭代计算，可得到该三次函数的零点近似值为x ≈ 0.548。