【大纲版】2012高三数学理《学案》高考总复习第7章7.3测试

§7.3 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定与性质2.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (3)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( × )(4)空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF ∥平面BCD .( √ ) (5)若α∥β，直线a ∥α，则a ∥β.( × )1．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有( ) A ．①或② B ．②或③ C ．①或③ D ．①或②或③答案 C解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C. 2．下列命题中，错误的是( )A ．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．平行于同一个平面的两个平面平行C ．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D ．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 答案 C解析 由面面平行的判定定理和性质知A 、B 、D 正确．对于C ，位于两个平行平面内的直线也可能异面．3．空间中，下列命题正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β 答案 D解析 对于A ，b 可以在α内，A 错；对于B ，当a ，b 相交时才能有β∥α，B 错；对于C ，b 可能在β内，C 错；由面面平行的性质知，D 正确．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 答案2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ， 且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ， 又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点， 由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.题型一 直线与平面平行的判定与性质例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .思维点拨 (2)中可证明平面OFH ∥平面P AD .证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点． 又∵F 是PC 的中点， ∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD .思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°. (1)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (2)求三棱锥D —PBC 的体积．方法一 (1)证明 如图①，取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是 P A 的中点， ∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3，又CD ∥AB ，CD ＝3， ∴MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MNCD 为平行四边形， ∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ， ∴DM ∥平面PBC .(2)解 V D —PBC ＝V P —DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43， 所以V D —PBC ＝8 3.方法二 (1)证明 如图②，取AB 的中点E ，连接ME ，DE . 在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ， ∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE ∥平面PBC . 又在△P AB 中，ME ∥PB ， ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴ME ∥平面PBC ，又DE ∩ME ＝E ， ∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ， ∴DM ∥平面PBC . (2)同方法一．题型二 平面与平面平行的判定与性质例2 (2013·陕西)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积． (1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V －＝S △ABD ×A 1O ＝1. 思维升华 证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证： (1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明 (1)如图，连接SB ， ∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB ⊂平面BDD 1B 1， EG ⊄平面BDD 1B 1， ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD . 又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1，由(1)知， EG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维点拨 利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值． 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝b a (a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解 在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点．又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝ a 2－(63a )2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .立体几何中的探索性问题典例：(14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan ∠SDA＝23. (1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，[4分] V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分](2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论． 第二步：证明探求结论的正确性． 第三步：给出明确答案．第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.方法与技巧1．平行问题的转化关系2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.失误与防范1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．l1∥α且l2∥αC．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2答案 D解析 m ∥l 1，且n ∥l 2⇒α∥β，但α∥βm ∥l 1且n ∥l 2，∴“m ∥l 1，且n ∥l 2”是“α∥β”的一个充分不必要条件． 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( )A ．a 平行于α内的所有直线B ．α内有无数条直线与a 平行C ．直线a 上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 成90°角答案 A解析 若直线a 平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a 平行，也存在无数条直线与a 异面且垂直，所以A 不正确，B 、D 正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C 正确．3．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定 答案 A解析 如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m .γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎨⎧ l ∥γl ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图)．④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .6．在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABD 与平面ABC解析 如图，取CD 的中点E .则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB .所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .7．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案 223a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .8．在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的为________．①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.答案 ③解析 ∵PQMN 是正方形，∴MN ∥QP ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故①②正确．又∵BD ∥MQ ，∴异面直线PM 与BD 所成的角即为∠PMQ ＝45°，故④正确．9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求三棱锥E －BCD 的体积．(1)证明 取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形．所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)解 因为AD ∥EG ，EG ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以AD ∥平面BCE ，所以V E－BCD＝V D－BEC＝V A－BCE＝V E－ABC，由(1)知，DE∥平面ABC.所以V E－ABC＝V D－ABC＝13AD·12BC·AG＝16×3×6×4＝12.10．如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：35分钟)11．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是()A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n答案 D解析正三棱锥P－ABC的侧棱P A，PB与底面所成角相等，但P A与PB相交，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C ；因为m ，n 共面，设经过m ，n 的平面为β，因为m ⊂α，所以α∩β＝m .因为n ∥α，所以n ∥m .12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈线段FH解析 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 相连，都有MN ∥平面B 1BDD 1.13．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．答案 (8,10)解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的范围为(8,10)．14．平面α内有△ABC ，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝7，梯形BCDE 的底DE＝2，过EB 的中点B 1的平面β∥α，若β分别交EA 、DC 于A 1、C 1，求△A 1B 1C 1的面积．解 ∵α∥β，∴A 1B 1∥AB ，B 1C 1∥BC .又因∠A 1B 1C 1与∠ABC 同向，∴∠A 1B 1C 1＝∠ABC .又∵cos ∠ABC ＝52＋82－722×5×8＝12，∴∠ABC ＝60°＝∠A 1B 1C 1.又∵B 1为EB 的中点，∴B 1A 1是△EAB 的中位线，∴B 1A 1＝12AB ＝52， 同理知B 1C 1为梯形BCDE 的中位线，∴B 1C 1＝12(BC ＋DE )＝5. 则111A B C S ＝12A 1B 1·B 1C 1·sin 60° ＝12·52·5·32＝2583. 故△A 1B 1C 1的面积为2583.15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A —PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥P A .又因为EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM ，所以P A ∥平面EDM .所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。

7.3 简单的线性规划考试要求：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能将加以解决.基础知识1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线A x+B y+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.当B＞0时，①A x0+B y0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②A x0+B y0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式A x+B y+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①A x+B y+C＞0表示直线A x+B y+C=0上方的区域；②A x+B y+C＜0表示直线A x+B y+C=0下方的区域.2.线性规划：性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为（）问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做（），由所有可行解组成的集合叫做（）（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做（）.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.3.规律与方法(1)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是那个顶点为最优解,有两种解定方法:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是;另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时,其最优解可能有无组解.(2)求整点的最优解方法：①调整优值法,适用于较复杂的问题.②网格法,精确作图,适用于可行域较小的问题.③逐点验证法,可行区域是有限区域且整点个数又较少基础练习1.设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.2x－y+1≥0，x－2y－1≤0，2.不等式组表示的平面区域为x+y≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域3.点（－2，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是________________.4.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有______个.典例精讲例：求不等式|x －1|+|y －1|≤2表示的平面区域的面积.若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？随堂练习 x －4y+3≤0， 3x+5y －25≤0， x ≥1， 2.给出平面区域如图所示,目标函数t ax y =-, 若当且仅当24,35x y ==时,目标函数t ax y =-取 得最小值,则实数a 的取值范围是3.已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围4实系数方程f （x ）=x 2+a x+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.1.变量x 、y 满足条件 设z =x y ，则z 的最小值为_______，最大值为。

直线、平面平行的判定与性质考试要求从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b3.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.微思考1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，l∥α，则l与m的位置关系如何？提示平行或异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)题组二教材改编2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案平行解析连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.3．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．答案④解析①若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，①错；②若a∥α，b∥α，则a∥b，或异面或相交，②错；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，③错； ④若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α或b ⊂α，④对．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过直线AC 1的平面交直线BB 1于点E ，交直线DD 1于点F ，则四边形AEC 1F 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由面面平行的性质定理可得AE ∥C 1F ，AF ∥C 1E . 故四边形AEC 1F 为平行四边形． 题组三 易错自纠5．已知直线a ，b 和平面α，β，若a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α，β的位置关系是____． 答案 平行或相交6．考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a ，b 为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为_________________．①⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥bb ∥α ⇒a ∥α. 答案 a ⊄α解析 根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的条件，可知①缺少的条件是“a 为平面α外的直线”， ②同样缺少平面外直线．故答案为：a ⊄α.题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE .证明 方法一 如图，设M 为PC 的中点，连接EM ，MF ，∵E 是AB 的中点， ∴AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，又∵MF ∥CD ，且MF ＝12CD ，∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 是平行四边形，∴AF ∥EM ， 又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .方法二 如图，设G 为CD 的中点，连接FG ，AG ，∵F ，G 分别为PD ，CD 的中点， ∴FG ∥PC .同理AG ∥EC ， 又FG ⊄平面PCE ，AG ⊄平面PCE ， PC ⊂平面PCE ，EC ⊂平面PCE ， ∴FG ∥平面PCE ，AG ∥平面PCE ， 又FG ，AG ⊂平面AFG ，FG ∩AG ＝G ，∴平面AFG ∥平面PCE ，又AF ⊂平面AFG ，∴AF ∥平面PCE . 命题点2 直线与平面平行的性质例2 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面交BD 于点H .求证：P A∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥OM，又OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD，又平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1 如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.题型三平行关系的综合应用例4 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，∴AF∥平面DCE，∵四边形ABCD是正方形，AB∥CD，又CD⊂平面DCE，AB⊄平面DCE，∴AB∥平面DCE，∵AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，(2)解 存在点G ，满足题意，理由如下：假设存在一点G ，过G 作MG ∥BF 交EC 于M ，连接BG ，BM ，如图，由V ABCDEF ＝V B －ADEF ＋V B －CDE ＝13×3×(1＋3)×32＋13×3×3×32＝212，设EG ＝t ，则V GFBME ＝V B －EFG ＋V B －EGM ＝212×38＝6316， 设M 到ED 的距离为h ， 则h 3＝EM EC ＝t 3－1，即h ＝32t ， 则S △EGM ＝12×t ×32t ＝34t 2，V GFBME ＝V B －EFG ＋V B －EGM ＝13×3×12×3×t ＋13×3×34t 2＝6316，即4t 2＋8t －21＝0， 解得t ＝32，或t ＝－72(舍)，则存在点G ，满足EG ＝32，即G 为ED 的中点时满足条件．思维升华 解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．跟踪训练3 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23.(1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ；(2)若R 是AB 上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明．(1)证明 连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD 1， 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AD ， 故△PBC ∽△PDM ， 所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23，所以CQ QD 1＝CP PM ＝23，所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ， 故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解 当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23，故BR RA ＝BPPD .所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.课时精练1．(2021·哈尔滨市第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．2．(2021·泸州诊断)已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bC．若a∥α，α∥β，则a∥βD．若a∥α，a∥β，则α∥β答案B解析A选项，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，所以A选项错误；B选项，若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b，所以B选项正确；C选项，若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，所以C选项错误；D选项，若a∥α，a∥β，则α∥β或α∩β＝b，所以D选项错误．3．(2020·金华十校联考)已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为() A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交答案B解析∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；取A1C1的中点P，连接PM，PN，如图，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1答案D解析选项A，由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是错误的；选项B ，由中位线定理可知EF ∥A 1B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD ，EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C ，由中位线定理可知EF ∥A 1B ，而直线A 1B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D ，由三角形中位线定理可知EF ∥A 1B ，EH ∥A 1D 1，所以有EF ∥平面A 1BCD 1，EH ∥平面A 1BCD 1，而EF ∩EH ＝E ，因此平面EFGH ∥平面A 1BCD 1，故本题选D.5.(多选)(2020·青岛市58中模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则( )A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线EF 与直线AD 1平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 答案 BC解析 A 项，若D 1D ⊥AF ， 又因为D 1D ⊥AE 且AE ∩AF ＝A ， 所以DD 1⊥平面AEF ， 所以DD 1⊥EF ，所以CC 1⊥EF ，显然不成立，故结论错误； B 项，直线EF ∥直线BC 1， 又直线BC 1∥直线AD 1， 所以EF ∥AD 1，故结论正确；C 项，如图所示，连接D 1F ，D 1A ，延长D 1F ，AE 交于点S ，因为E ，F 分别为BC ，C 1C 的中点， 所以EF ∥BC 1， 又BC 1∥AD 1， 所以EF ∥AD 1，所以A ，E ，F ，D 1四点共面， 所以截面即为梯形AEFD 1， 又因为D 1S ＝AS ＝42＋22＝25，AD 1＝22，所以1△AD S S ＝12×22×(25)2－⎝⎛⎭⎫2222＝6， 所以1AEFD S 梯形＝6×34＝92，故结论正确；D 项，设点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为h 1，h 2， ∵V C －AEF ＝13S △AEF ·h 1＝V A －CEF ＝13×1×12×2＝13，V G －AEF ＝13S △AEF ·h 2＝V A －GEF ＝13×1×22×2＝23，∴h 1≠h 2，故结论错误．6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值答案AD解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH 为定值，故D正确．7．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC，平面ABD解析如图，连接AM并延长交CD于点E，连接BN并延长交CD于点F，由重心性质可知，E，F重合，且E为CD的中点，∵EMMA＝ENBN＝12，∴MN∥AB，又AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，∴MN∥平面ABD，又AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②P A∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．答案①②③④解析先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．①∵E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，∴EF∥AD，GH∥BC，∵AD ∥BC ，∴EF ∥GH ， ∴EF ，GH 确定平面EFGH ，∵EF ⊂平面EFGH ，AD ⊄平面EFGH ， ∴AD ∥平面EFGH ，同理AB ∥平面EFGH ，AB ∩AD ＝A ， AB ，AD ⊂平面ABCD ，平面EFGH ∥平面ABCD ，所以①正确； ②连接AC ，BD 交于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，G 为PC 的中点， ∴OG ∥P A ，OG ⊂平面BDG ，P A ⊄平面BDG ，∴P A ∥平面BDG ，∴②正确； ③同②同理可证EF ∥平面PBC ，∴③正确； ④同②同理可证FH ∥平面BDG ，∴④正确； ⑤EF ∥GH ，GH 与平面BDG 相交， ∴EF 与平面BDG 相交， ∴⑤不正确．11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .证明 (1)如图，连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE ，BC ＝AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ， AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点， 所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面P AD ，FH ⊄平面P AD ， 所以FH ∥平面P AD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， 所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面P AD ，OH ⊄平面P AD ， 所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ， 所以平面OHF ∥平面P AD . 又因为GH ⊂平面OHF ， 所以GH ∥平面P AD .12.(2021·银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝DC ＝SA ＝12BC ＝2，点E ，G 分别在线段SA ，AD 上，且SE ＝AE ，AG ＝GD ，F 为棱BC上一点，且CF ＝1.证明：平面SCD ∥平面EFG .证明 因为点E ，G 分别在线段SA ，AD 上，且SE ＝AE ，AG ＝GD ， 故EG ∥SD ，又EG ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ， 故EG ∥平面SCD ； 因为∠ADC ＝∠BCD ＝90°， 故AD ∥BC ，因为GD ＝FC ＝1，故四边形GDCF 为平行四边形，故GF ∥CD ；又GF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，故GF ∥平面SCD ， 因为GF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， 所以平面SCD ∥平面EFG .13．(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.则以下四个说法中正确的是( )A ．MN ∥平面APCB ．C 1Q ∥平面APC C ．A ，P ，M 三点共线D ．平面MNQ ∥平面APC 答案 BC解析 对于A 项，连接MN ，AC ， 则MN ∥AC ，连接AM ，CN ， 易得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的； 对于B 项，由A 项知M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，AN ⊂平面APC ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的；对于C 项，由A 项知A ，P ，M 三点共线是正确的； 对于D 项，由A 项知MN ⊂平面APC ， 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．14．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________． 答案 8解析 如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.15．(2021·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且P A 1∥平面AMN ，则P A 1的长度范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤1，52 B.⎣⎡⎦⎤324，52 C.⎣⎡⎦⎤324，32D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 B解析 取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ，∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且P A 1∥平面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值A 1O ，A 1O ＝⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫242＝324， 当P 与E (或F )重合时，P A 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52. ∴P A 1的长度范围为⎣⎡⎦⎤324，52. 16.(2021·宜昌调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，P A ＝AB ＝2，AD ＝3BC ＝3，E 在棱AD 上，且AE ＝1，若平面CEF 与棱PD 相交于点F ，且平面CEF ∥平面P AB .(1)求PF FD的值； (2)求点F 到平面PBC 的距离．解 (1)∵平面CEF ∥平面P AB ，且平面CEF ∩平面P AD ＝EF ，平面P AB ∩平面P AD ＝P A ， ∴P A ∥EF ，又AE ＝1＝13AD ，∴PF ＝13PD ，∴PF FD ＝12. (2)∵F 为PD 的三等分点，∴F 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的13， 设D 到平面PBC 的距离为h ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又∵BC ∥AD ，AB ⊥AD ，∴BC ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ，由等体积法得V D －PBC ＝V P －BCD ，即13S △PBC ·h ＝13S △DBC ·P A ， ∵P A ＝AB ＝2，AD ＝3BC ＝3，∴PB ＝22，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PB ·BC ＝2，S △DBC ＝12BC ·AB ＝1， ∴h ＝2，∴F 到平面PBC 的距离等于23.。

第7章第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：结合图形分析知上为圆台，下为圆柱．答案： C2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有D正确，选D.答案： D3．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析：棱柱的结构特征有三个方面：有两个面互相平行，其余各面是平行四边形；这些平行四边形所在面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．由此可知A、B均不正确．各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥，如正八面体，故C不正确．棱台是由平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的，故可知棱台各侧棱的延长线交于一点．答案： D4．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：各个面都是三角形的几何体可能是其它多边体，A错；由正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体为两个圆锥形成的一个组合体，B错；六棱锥的侧棱长大于底面多边形的边长，C 错；D 正确．答案： D5．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.32π B.54π C ．πD.π4解析： 由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为r ＝12，高h ＝1，∴S 侧＝2πrh ＝π.答案： C6．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )A ．模块①，②，⑤B ．模块①，③，⑤C ．模块②，④，⑤D ．模块③，④，⑤解析： 观察得：先将⑤放入⑥的空缺中，然后在上面放入①②，其余验证不合题意． 答案： A 二、填空题7．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________________．解析： 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对． 答案： ①与④，②与⑥，③与⑤8．已知正三角形ABC 的边长为a ，则△ABC 的水平放置直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析： 如图：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝616a 2. 答案：616a 2 9．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．解析： 在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°， ∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2， B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′， ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 答案： 2＋22三、解答题10．已知四棱锥P －ABCD 水平放置如图，且底面ABCD 是边长为2 cm 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB .试画出该几何体的三视图．解析： 该几何体的三视图如下：11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解析： 作出圆台的轴截面如图． 设O ′A ′＝r ，∵一底面周长是另一底面周长的3倍， ∴OA ＝3r ，SA ′＝2r ，SA ＝32r ，OO ′＝2r . 由轴截面的面积为12(2r ＋6r )·2r ＝392，得r ＝7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14 2.12．如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图(2)为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1) (2)(1)根据图(2)所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A【解析方法代码108001087】解析：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由左视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD＝6且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝63(cm)．高╗考!试#题∽库。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．命题(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α”，命题(2)“若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线”，则()A．(1)是真命题，(2)是真命题B．(1)是真命题，(2)是假命题C．(1)是假命题，(2)是真命题D．(1)是假命题，(2)是假命题解析：直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l有可能与α斜交；反之若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线．答案： C2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解析：选项A、B、C的结论中都含有直线在平面内的位置关系．在选项D中可以证明α、β所成二面角为直二面角．答案： D3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、C，可能l∥β，所以A、C均不正确．对于选项D，可能l∥β或l⊂β，所以D不正确．答案： B4．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面P AE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．答案： D5．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a与b确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β.答案： B6．如右图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线CA 上D ．△ABC 内部解析：⎭⎪⎬⎪⎫CA ⊥AB CA ⊥BC 1⇒CA ⊥面ABC 1⇒面ABC ⊥面ABC 1， ∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内，∴H ∈AB .答案： A二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________.解析： 在正方体中，C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，而MN ⊂平面ABB 1A 1，∴C 1B 1⊥MN .又∠B 1MN 是直角，即MN ⊥MB 1.而MB 1∩C 1B 1＝B 1，∴MN ⊥平面MB 1C 1，即∠C 1MN ＝90°.答案： 90°8．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为________．解析： 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④⇒①或①③④⇒②.答案： ②③④⇒①或①③④⇒②9．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)．∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BD ，又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥面P AC ，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案： DM ⊥PC (不唯一)三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点．(1)求证：A 1E ⊥平面ADE ；(2)求三棱锥A 1－ADE 的体积．【解析方法代码108001094】解析： (1)证明：由勾股定理知：A 1E ＝1＋1＝2，AE ＝1＋1＝2，则A 1A 2＝A 1E 2＋AE 2，∴A 1E ⊥AE .∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，A 1E ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1E ⊥AD ，而AD ∩AE ＝A ，∴A 1E ⊥平面ADE .(2)S △AA 1E ＝12·2·2＝1，∴VA 1－ADE ＝VD －A 1AE ＝13·S △AA 1E ·AD ＝13·1·1＝13. 11．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，且P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，△ADC 和△ABC 均为等腰直角三角形，且P A ＝AD ＝DC ＝a ，点E 为侧棱PB 上一点，且BE ＝2EP .(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ；(2)求证：直线PD ∥平面EAC .证明： (1)∵P A ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，∴DC ⊥P A .∵AD ⊥DC ，且P A 与AD 是平面P AD 内相交直线，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面P AD .(2)连接BD ，设BD 与AC 相交于点F ，连接EF ，在等腰Rt △ADC 中，∵AD ⊥DC ，∴∠DAC ＝∠ACD ＝π4. ∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝π4. ∵△ABC 为等腰直角三角形，且底面ABCD 是直角梯形，∴∠BAC ＝π2. 由AD ＝DC ＝a ，易知AB ＝AC ＝2a ，BC ＝2a ，∴BF ＝2FD .∵BE ＝2EP ，∴PD ∥EF .∵EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ，∴直线PD ∥平面EAC .12．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .解析： (1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴EB ⊥P A .又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面P AB ，∴EB ⊥平面P AB ，又AF ⊂平面P AB ，∴AF ⊥BE .又P A ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，∴AF ⊥PB .又∵PB ∩BE ＝B ，PB 、BE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥平面PBE .∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE .高★考ο试じ题⌒库。