椭圆经典解题思路

专题06椭圆解题技法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）椭圆的定义应用 （二）焦点三角形的应用（三）椭圆的几何意义与离心率 （四）椭圆与圆的综合（五）向量的几何意义与椭圆 （六）向量的数量积与椭圆综合 （七）椭圆中的反射 （八）椭圆的应用问题 （九）轨迹的求法 四．【题型方法】 （一）椭圆的定义应用例110=的化简结果为（ ）A.2212516x y += B.2212516y x += C.221259x y += D.221259y x +=【答案】D【解析】曲线方程()()2222+4+410x y x y ++-=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以223b a c =-=，所以曲线方程的化简结果为221259y x+=.故选D 项.练习1．已知椭圆221259x y +=，1F 、2F 是其左右焦点，过1F 作一条斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ） A.5 B.10C.20D.40【答案】C【解析】由椭圆221259x y +=，得5a =，如图：由椭圆定义可得，12||||210AF AF a +==，12||||210BF BF a +==；2ABF ∴∆的周长为：2122C ||||||ABF AB AF BF ∆=++1212||||||||420AF AF BF BF a =+++==．故选：C ．（二）焦点三角形的应用例2．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得123PF PF b -=，1294PF PF ab ⋅=.则该椭圆的离心率为（ ） A.23 B.223C.13D.24【答案】B【解析】椭圆定义可得122PF PF a +=，又123PF PF b -=， 解得11|(23)2|a b PF =+，21(23)2PF a b =-，1294PF PF ab ⋅=，可得()22194944a b ab -=，即为224990a ab b --=，化为(3)(34)0b a b a -+=，可得3a b =，2222922c a b b b b =-=-=，则该椭圆的离心率为22c e a ==． 故选：B ．练习1．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形 答案选B（三）椭圆的几何意义与离心率例3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（ ） A.12 B.23 32 【答案】D 【解析】设|F 1B |=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB |=4k ，∴|AF 2|=2a -3k ，|BF 2|=2a -k∵cos ∠AF 2B =35，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4k ）2=（2a -3k ）2+（2a -k ）2-65（2a -3k ）（2a -k ），化简可得（a +k ）（a -3k ）=0，而a +k ＞0，故a =3k ，∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c =22a ，∴椭圆的离心率e =22c a =，故选：D ．练习1．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C. （四）椭圆与圆的综合例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）3B.122 6 【答案】D【解析】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ====，故选：D. 练习1. ．如图，已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．53C ．63D ．255【答案】B【解析】如图：连接OQ ，1PF ，Q 点Q 为线段2PF 的中点，1//OQ PF ∴，112OQ PF =，122PF OQ b ∴==，由椭圆定义，122PF PF a +=，222PF a b ∴=-Q 线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，2OQ PF ∴⊥，12PF PF ∴⊥，且122F F c =，222(2)(22)(2)b a b c ∴+-=即32b a =，2259a c =，5c e a ∴==故选：B ．（五）向量的几何意义与椭圆例5. 设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b y x a =与椭圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则椭圆的离心率是( )A 221+B ．2217C ．213D 21【答案】A【解析】根据()FO FC BO BC λ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r，由平面向量加法法则，则BF 与OC 交点为OC 的中点，故BFOBFC S S ∆∆= ，由22221x y a b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22C ，BFO BFC S S ∆∆=Q ，则2BOFC BOF S S bc ∆==112222BOFC BOC OFC S S S b c bc ∆∆=+=+= 可得(221)a c = 2217221c e a ∴===- 故选：A ．方法2，设BF 与OC 交于点M ，由条件知M 是OC 的中点，则)22,22(baM又B （0，b ），F （c ，0），B ，M ，F 三点共线,所以MF BF k k =,即c abcb-=-2222可得(221)a c =2217221c e a ∴===-练习1．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u r u u u r，2FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．25,23⎣⎦ B ．)5⎣ C ．2312⎤⎢⎥⎣⎦D ．)31,1⎡⎣ 【答案】A【解析】设椭圆左焦点为F '，连接,AF BF ''由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形0FA FB ⋅=u u u r u u u rQ FA FB ∴⊥ ∴四边形AFBF '为矩形设AF m =，AF n '=，则2m n a +=()222222424m n m n mn a mn c ∴+=+-=-=，解得：22mn b =22222m n m n c mn n m b+∴=+= ※(关键步骤)2FB FA FB ≤≤Q []1,2AF AF m FB AF n ∴==∈' 52,2m n n m ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦即222522c b ≤≤ 2222522c a c ∴≤≤-，即2225212e e ≤≤-，解得：21529e ≤≤25e ∴∈⎣⎦本题正确选项：A方法2,设∠AF’F =α,直角∆F’AF 中，AF’=2ccosα，AF=2csin α，AF+AF’=2a 即2ccosα+2csin α=2a)4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 直角∆F’AF 中tan α=AF AF' =AF BF ∈[1,2],则],4[0απα∈其中2tan 0=α，51cos ,52sin 00==αα )4sin(21cos sin 1πααα+=+==a c e 在],4[0απα∈上单调递增， 当4πα=是e 最小值为22当0αα=时，e 最大值为3551521=+（六）向量的数量积与椭圆综合例6. ．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u u r u u u r ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD．4【答案】C【解析】222AF F B =u u u u r u u u u rQ 设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-，120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥ 在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3ax =，2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.练习1. 已知椭圆C ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且12AF AF 0⋅=u u u r u u u r，直线2AF 交y 轴于点M ，若12FF 6OM =，则该椭圆的离心率为( ) A.13C.58【答案】D【解析】结合题意，可知122,3c F F c OM ==则，故21tan 3MF C ∠=，结合120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，可知01290F AF ∠= 故1213AF AF =，设12,3AF x AF x ==，所以234a x x x =+=，()22224310c x x x =+=，所以c e a ==D 。

椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

高考数学中的椭圆问题技巧高考椭圆题技巧高考数学复习策略和高考椭圆大题技巧对考生来说极其重要。

以下是边肖为大家整理的高考数学大椭圆题技巧内容。

希望你喜欢！高考椭圆大题技巧1。

设定点或直线一般来说，问题需要点的坐标或线性方程组，其中求解点或线性方程组的方法有很多。

该点可以设置为等于，或者如果它是椭圆上的点，也可以设置为。

一般来说，如果题目中只涉及椭圆xx上的运动点，这个点可以设置为。

还需要注意的是，很多点的坐标都是不求而设的。

对于直线，如果经过一个固定点，且不平行于Y轴，则可以设置为一个斜点；如果不平行于X轴，可以设置为参数方程，其中为直线的倾角。

一般题目涉及xx运动直线时，可以设置直线的参数方程。

二、转型条件有时题目给出的条件不直接适用或者直接使用不方便，此时需要对这些条件进行转化。

这是解决问题的关键一步。

如果翻译得巧妙，计算量可以大大减少。

例如，圆上的一个点可以转化为乘以零的向量点，三个共线性点可以转化为平行的两个向量。

如果一个角的平分线是一条水平或垂直的直线，则该角两边的斜率之和为零。

有些问题可以不通过变换直接带入条件解题，有些问题可以通过多种变换方法给出条件。

这个时候X最好不要急着做题，多想想几种变换方法，估计哪种方法更简单。

第三，代数运算在转换条件之后，没有什么可以计算的了。

在很多题目中，直线和椭圆要结合使用二次方程的vieta定理，但需要注意的是，并不是所有题目都是这样的。

有些题目可能需要计算弦长，可以用弦长公式。

设置参数方程后，弦长公式可以简化为解析几何中有时需要的面积。

如果O是坐标原点，椭圆上的两点A和B 的坐标分别是和，AB和X轴相交D，那么(d为O点到AB点的距离；我自己推了第三个公式，但是课本上没有。

几何分析中的许多问题都有移动的点或移动的线。

如果主题只涉及一个移动点，可以考虑用参数设置点。

如果只涉及一条移动的直线经过一个固定的点，而题目涉及到像求长度和面积这样的东西，那么直线的参数方程就会简单一些。

专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图 设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r， 椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒， 可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =， 设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-， 因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒， 故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =， 因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =， 由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221， 【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点， 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+， 从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22， 故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。