求解正则长波方程的一种基于NV TVD的高分辨率有限体积格式
- 格式：pdf
- 大小：648.11 KB
- 文档页数：11
下载文档原格式
合集下载
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》范文
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》篇一基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究一、引言计算流体动力学（CFD）是解决复杂流体流动问题的重要工具，其核心在于高精度的数值格式。
高分辨率的有限体积格式是其中一种重要的数值格式，具有广泛的应用领域，如气象学、工程流体动力学等。
近年来，基于CBC/TVD（Cell-Based Color Correction/Total Variation Diminishing）的高分辨率有限体积格式逐渐成为研究的热点。
本文旨在探讨基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式的研究现状及其应用前景。
二、CBC/TVD理论基础CBC/TVD理论是一种用于改善数值解精度的技术。
其中，CBC用于提高颜色的精确性，TVD则是一种用来减小数值解的误差的守恒方法。
在有限体积法中，CBC/TVD理论的应用主要体现在对数值格式的改进上。
CBC通过调整有限体积的权重系数，使得计算结果更加接近真实解；而TVD则通过保持解的守恒性，减小了数值解的误差。
三、高分辨率有限体积格式高分辨率有限体积格式是在传统的有限体积法的基础上发展起来的，具有高精度的特点。
它通过对网格内的物理量进行平均化处理，计算各控制体上物理量的平均值及流体的传播情况。
与传统的数值格式相比，高分辨率有限体积格式可以更准确地捕捉流场中的激波和流动细节，对于流场的解析有着更为出色的表现。
四、CBC/TVD与高分辨率有限体积格式的结合将CBC/TVD理论引入高分辨率有限体积格式中，可以进一步提高数值解的精度和稳定性。
在CBC的帮助下，可以更准确地确定各控制体的权重系数，使得计算结果更加接近真实解；而TVD的应用则保证了数值解的守恒性，减小了误差。
这种结合方式在处理复杂流体流动问题时具有显著的优势，能够更好地捕捉流场中的激波和流动细节。
五、应用实例分析以某复杂流场为例，采用基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式进行数值模拟。
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》范文
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》篇一基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究一、引言计算流体动力学（CFD）是近年来广泛应用于各种工程领域的重要技术。
其中，有限体积法因其能够很好地处理复杂流动和守恒性强的特点而备受关注。
高分辨率的有限体积格式则是提高数值模拟精度的关键手段之一。
本研究主要针对基于CBC/TVD （Corrected Boundary Condition / Total Variation Diminishing）的高分辨率有限体积格式展开研究，以进一步改善CFD模拟的精度和稳定性。
二、CBC/TVD理论基础CBC/TVD方法是一种改进的数值格式，旨在提高数值模拟的精度和稳定性。
CBC主要关注边界条件的修正，以减少边界层效应对计算结果的影响。
TVD则是一种限制器技术，通过减少数值解的震荡和伪振荡，从而提高解的光滑性和稳定性。
将CBC和TVD结合使用，能够显著提高有限体积法在处理复杂流动时的精度和稳定性。
三、高分辨率有限体积格式研究高分辨率有限体积格式是提高数值模拟精度的关键技术之一。
本研究采用基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式，通过优化数值格式，提高计算结果的精度和稳定性。
具体而言，我们采用了以下方法：1. 边界条件修正：通过引入CBC技术，对边界条件进行修正，以减少边界层效应对计算结果的影响。
这有助于提高计算结果的精度和可靠性。
2. 总变差缩减：利用TVD限制器技术，对数值解进行限制，以减少数值解的震荡和伪振荡。
这有助于提高解的光滑性和稳定性。
3. 高分辨率格式构建：基于CBC/TVD技术，构建高分辨率的有限体积格式。
通过优化格式参数，提高计算结果的精度和稳定性。
四、实验与结果分析为了验证基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式的有效性，我们进行了多组实验。
实验中，我们采用了不同的流动场景，包括层流、湍流、复杂流动等。
通过对不同场景下的计算结果进行分析，我们得出以下结论：1. 基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式能够有效提高计算结果的精度和稳定性。
基于全和谐型浅水方程的有限体积海啸数值模型开发与应用
2 控制方程
越洋海啸的传播需要考虑地球的曲率和地转偏
向力的影响，因此控制方程选取考虑科氏力的球坐标
系下的非线性浅水方程，其矩阵形式为[19]
∂U ∂t
+
∂F ∂θ
+
∂G ∂φ
=
S,
（1）
式中，θ 和 φ 分别为地球的经度和纬度；t 为时间；向
量 U 为变量；F 和 G 分别是 θ 和 φ 方向的通量；S 为
收稿日期: 2020−05−24；修订日期: 2020−10−19。 基金项目: 国 家 重 点 研 发 计 划 （ 2017YFC1404205， 2018YFC1407000）； 国 家 自 然 科 学 基 金 面 上 项 目 （ 51579090）； 中 央 高 校 基 本 科 研 业 务 费 （2019B12214）。 作者简介: 周文（1995—），男，江苏省靖江市人，主要从事海啸数值模型开发研究。E-mail：wenzhou_hhu@ * 通信作者: 王岗（1982—），男，河北省张家口市人，博士，副教授，主要从事港湾共振、水波模拟及海啸与洪水风险评估研究。E-mail：gangwang@
29
h
∂ξ ∂θ
=
1 2
∂(η2 − 2ηzb) + η ∂θ
∂zb , ∂θ
（6）
式中，zb 为基准线上的海底地形高程；η = zb + h 为波 面高程。
在此不考虑 zb 和 hs 随时间 t 改变，从而有
∂η = ∂h = ∂ξ , ∂t ∂t ∂t
（7）
因此式（2）至式（5）的最[终形式为]
一致，后文将统一介绍。
3 数值方法
本文基于均匀矩形空间单元，利用 Godunov 格式
越洋海啸的传播需要考虑地球的曲率和地转偏
向力的影响，因此控制方程选取考虑科氏力的球坐标
系下的非线性浅水方程，其矩阵形式为[19]
∂U ∂t
+
∂F ∂θ
+
∂G ∂φ
=
S,
（1）
式中，θ 和 φ 分别为地球的经度和纬度；t 为时间；向
量 U 为变量；F 和 G 分别是 θ 和 φ 方向的通量；S 为
收稿日期: 2020−05−24；修订日期: 2020−10−19。 基金项目: 国 家 重 点 研 发 计 划 （ 2017YFC1404205， 2018YFC1407000）； 国 家 自 然 科 学 基 金 面 上 项 目 （ 51579090）； 中 央 高 校 基 本 科 研 业 务 费 （2019B12214）。 作者简介: 周文（1995—），男，江苏省靖江市人，主要从事海啸数值模型开发研究。E-mail：wenzhou_hhu@ * 通信作者: 王岗（1982—），男，河北省张家口市人，博士，副教授，主要从事港湾共振、水波模拟及海啸与洪水风险评估研究。E-mail：gangwang@
29
h
∂ξ ∂θ
=
1 2
∂(η2 − 2ηzb) + η ∂θ
∂zb , ∂θ
（6）
式中，zb 为基准线上的海底地形高程；η = zb + h 为波 面高程。
在此不考虑 zb 和 hs 随时间 t 改变，从而有
∂η = ∂h = ∂ξ , ∂t ∂t ∂t
（7）
因此式（2）至式（5）的最[终形式为]
一致，后文将统一介绍。
3 数值方法
本文基于均匀矩形空间单元，利用 Godunov 格式
流体流动的高精度高分辨率格式
流体流动的高精度高分辨率格式High Accuracy and High Resolution Schemes of Fluid Flows 采用高精度高分辨格式不仅可以降低对网格规模的要求，而且能够正确分辨其中复杂的流动现象。
近年研究表明，在提高数值模拟可靠性和有效性方面，高精度高分辨率要求已成为计算流体力学（CFD）技术发展中的一个决定性因素。
高精度高分辨数值方法的研究已极大地推动了CFD学科的快速发展和应用型人才的培养，它也已在很多实际应用领域例如航空航天、海洋船舶、核物理等的产品 (如飞行器)设计、制造和研究中发挥着重要作用。
本课程即是围绕当前CFD及应用研究中的核心高精度高分辨率数值方法而设计的。
课程主要讲授高分辨激波捕捉方法、高精度有限体积方法、高阶紧致差分方法、湍流计算方法、同伦分析方法及应用、并行计算等。
内容涉及线性双曲方程的差分格式和拟线性双曲型守恒律方程的守恒型差分格式，高分辨激波捕捉方法(TVD, ENO, WENO等)，间断Galer kin方法，高阶紧致格式和应用，结构网格及非结构网格的有限体积方法，高精度有限体积方法的最新进展，结构网格及非结构网格的有限体积方法，高精度有限体积方法的最新进展，湍流计算方法（包括RANS,LES及DNS）、转捩预测方法，并行计算，同伦分析方法的基本思想、广义同伦概念及其在力学、数学中应用等。
通过模型方程和精选的示例介绍基本原理、数学理论，阐释求解问题的思路及实践应用；以专题方式介绍最新发展、若干前沿，以及复杂流体流动直接数值模拟等知识。
课程兼具理论性、实用性和前沿性。
本课程面向力学、航空航天、数学及相关理工科专业的研究生、高年级本科生。
本课程负责人为田振夫教授，并邀请国内CFD 及其应用领域三位知名教授组成教学团队。
李新亮,研究员/博导 中国科学院力学研究所高温气体动力学国家重点实验室研究员，中国科学院大学岗位教授。
主要研究方向是计算流体力学，可压缩湍流与转捩，飞行器空气动力学等。
一种基于正则化的边缘定向插值算法_季成涛
由于dfdf算法仅仅考虑了未知像素在两个方向上的估计所以最终的插值结果也会在边缘处产生模糊锯齿和振铃等现为了更好地保持图像的边缘等局部结构研究者提出了基于线性回归模型的图像插值算法该类算法认为局部区域内的图像结构可以用线性回归模型进行描述这样图像插值的过程也就变为确定回20130425收到20130727改回国家自然科学基金61071161国家自然科学基金委员会和中国工程物理研究院联合基金11176018资助课题通信作者
性回归模型得以成功应用。通过以上分析，可以将 图像插值的目标转变为对线性回归模型参数 a 的估 计。在局部窗口内通过邻域像素采样对自回归模型 参数 a 进行估计：
= arg min a
a
(i , j )ÎW
å
X(i, j ) -
(m ,n )ÎT
å
a(m,n )X(i +m, j +n )
(2)
图 1 基于线性回归模型插值示意图
第2期
季成涛等： 一种基于正则化的边缘定向插值算法
295
素，白色点是第 1 遍插值操作的像素，灰色点是第 2 遍插值操作的像素。本文对边界采样用双三次插 值算法进行处理。下文以第 1 遍插值过程为例说明 算法流程，算法流程图如图 2 所示。
计误差，本文加入了已经估计过的高分辨率像素作 为训练像素，如图 3 中灰色框内的像素结构，对应 2 的求解公式为 Y - Ca 2 ,Y 为图 3 中高分辨率像素 C 为 Y 中所有像素的的邻域像素构成 组成的向量， 的矩阵。合并以上两式可得 2 = arg min Y - C a 2 a (4) 2 + h Y0 - C 0 a 2
2
图像自回归模型
图像插值是一个病态问题，为了更好地进行插 值操作，通常将图像的局部区域用线性回归模型进 行描述，对于局部区域内的每个像素点 X(i, j ) 可表示 为 X(i,j ) = å a(m,n )X(i +m, j +n ) + v(i, j ) (1) (m ,n )ÎT 其中 T 表示像素点 X(i, j ) 邻域结构，线性回归模型定 义在该邻域结构上， T 中元素的个数决定了回归模 型的阶； a(m,n ) 为线性回归模型的参数； v(i, j ) 是白噪 声误差项，服从高斯分布[12]。 对图像统计分析发现，在插值窗口内图像几何 结构基本保持一致， 线性回归模型参数 a (其中 a 是 a(m,n ) 构成的向量)具有分段统计稳态性质， 在插值窗 口内可以认为是固定的，即对于利用线性回归模型 进行预测的未知像素存在较小的误差，这就使得线
性回归模型得以成功应用。通过以上分析，可以将 图像插值的目标转变为对线性回归模型参数 a 的估 计。在局部窗口内通过邻域像素采样对自回归模型 参数 a 进行估计：
= arg min a
a
(i , j )ÎW
å
X(i, j ) -
(m ,n )ÎT
å
a(m,n )X(i +m, j +n )
(2)
图 1 基于线性回归模型插值示意图
第2期
季成涛等： 一种基于正则化的边缘定向插值算法
295
素，白色点是第 1 遍插值操作的像素，灰色点是第 2 遍插值操作的像素。本文对边界采样用双三次插 值算法进行处理。下文以第 1 遍插值过程为例说明 算法流程，算法流程图如图 2 所示。
计误差，本文加入了已经估计过的高分辨率像素作 为训练像素，如图 3 中灰色框内的像素结构，对应 2 的求解公式为 Y - Ca 2 ,Y 为图 3 中高分辨率像素 C 为 Y 中所有像素的的邻域像素构成 组成的向量， 的矩阵。合并以上两式可得 2 = arg min Y - C a 2 a (4) 2 + h Y0 - C 0 a 2
2
图像自回归模型
图像插值是一个病态问题，为了更好地进行插 值操作，通常将图像的局部区域用线性回归模型进 行描述，对于局部区域内的每个像素点 X(i, j ) 可表示 为 X(i,j ) = å a(m,n )X(i +m, j +n ) + v(i, j ) (1) (m ,n )ÎT 其中 T 表示像素点 X(i, j ) 邻域结构，线性回归模型定 义在该邻域结构上， T 中元素的个数决定了回归模 型的阶； a(m,n ) 为线性回归模型的参数； v(i, j ) 是白噪 声误差项，服从高斯分布[12]。 对图像统计分析发现，在插值窗口内图像几何 结构基本保持一致， 线性回归模型参数 a (其中 a 是 a(m,n ) 构成的向量)具有分段统计稳态性质， 在插值窗 口内可以认为是固定的，即对于利用线性回归模型 进行预测的未知像素存在较小的误差，这就使得线
基于分层特征提取和多尺度特征融合的高分辨率遥感影像水体提取深度学习算法
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｒｅｎｍｉｎｚｈｕｊｉａｎｇ．ｃｎＤＯＩ：１０ ３９６９／ｊ ｉｓｓｎ １００１ ９２３５ ２０２４ ０２ ００６第４５卷第２期人民珠江 ２０２４年２月 ＰＥＡＲＬＲＩＶＥＲ基金项目：国家重点研发计划项目（２０２２ＹＦＣ３００２７０１）收稿日期：２０２３－０６－１３作者简介：盛晟（１９９６—），女，博士研究生，主要从事径流模拟与预报等方面研究。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｅｎｇｓｈｅｎｇ＠ｗｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ通信作者：陈华（１９７７—），男，教授，主要从事水利信息化、流域水文模拟等方面的研究。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈｕａ＠ｗｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ盛晟，万芳琦，林康聆，等．基于分层特征提取和多尺度特征融合的高分辨率遥感影像水体提取深度学习算法［Ｊ］．人民珠江，２０２４，４５（２）：４５－５２．基于分层特征提取和多尺度特征融合的高分辨率遥感影像水体提取深度学习算法盛 晟１，万芳琦２，林康聆１，胡朝阳３，陈 华１（１．武汉大学水资源工程与调度全国重点实验室，湖北 武汉 ４３００７２；２．江西省自然资源测绘与监测院，江西 南昌 ３３０００９；３．福建省水利水电勘测设计研究院，福建 福州 ３５０００１）摘要：高精度的水体提取有助于水资源监测和管理。
目前基于遥感影像的水体提取方法缺乏对于边界质量的重视，造成边界划分不准确，细节保留度低的问题。
为了提升遥感影像水体提取的边界与细节的精度，提出了一种基于多尺度特征融合的高分辨率遥感影像水体提取深度学习算法，包括分层特征提取模块与融合多尺度特征的堆叠连接解码器模块。
分层特征提取模块中，引入了通道注意力结构，用于整合高分辨率遥感影像中水体的形状、纹理和色调信息，以便更好地理解水体的形状和边界。
在融合多尺度特征的堆叠连接解码器模块中，进行了多层次语义信息的堆叠连接，并加强了特征提取，同时捕捉了广泛的背景信息和细微的细节信息，以实现更好的水体提取效果。
在自行标注的数据集与公开数据集上的试验结果表明，模型的准确率达到了９８．３７％和９１．２３％，与现有的语义分割模型相比，提取的水体边缘更加完整，同时保留细节的能力更强。
高超声速飞行器前缘流-热-固一体化计算
高超声速飞行器前缘流-热-固一体化计算LI Jiawei;WANG Jiangfeng;YANG Tianpeng;JI Weidong【摘要】针对高超声速流动气动加热与结构传热的复杂耦合问题,探索和研究基于有限体积法的高超声速流-热-固一体化求解方法,将流场与结构温度场进行统一建模与数值模拟.该方法避开了传统气动加热和结构传热耦合求解方法在时间域内进行流场与结构温度场耦合交替迭代计算所带来的大量数据交换与计算,将流场与结构温度场作为一个物理场,采用统一的控制方程进行求解.采用典型高超声速绕流二维圆管稳态或非稳态流-热-固耦合算例对该一体化方法进行验证,稳态时圆管驻点温度最高达到648 K,非稳态时的热流密度和结构温度与参考文献和实验值吻合较好,由此证明了该方法的可靠性和正确性.与耦合计算方法的对比分析结果表明:该一体化求解方法所得计算结果更接近实验值,并且计算量和网格依赖性都相对较小,具有更好的稳定性和计算精度,能为高超声速飞行器一体化热防护设计提供有效的理论和技术支撑.【期刊名称】《国防科技大学学报》【年(卷),期】2018(040)006【总页数】8页(P9-16)【关键词】流-热-固;一体化求解;结构传热;高超声速;数值模拟【作者】LI Jiawei;WANG Jiangfeng;YANG Tianpeng;JI Weidong【作者单位】;;;【正文语种】中文【中图分类】V211.3飞行器以高超声速出入大气层或持续在空间飞行时，由于压缩效应以及飞行器表面与空气的剧烈摩擦，飞行器头部、进气道前缘等关键部位将承受巨大的气动加热，产生强烈的气动力、气动热及结构耦合问题，对飞行安全带来极大隐患[1]。
因此，准确预测气动加热与结构传热的物理过程，对高速飞行器的热防护系统轻量化设计，起到重要作用。
由于此类问题的地面实验难度大、成本高，目前所采用的分析手段主要是数值模拟技术。
现阶段，高超声速飞行器气动热结构传热耦合问题的数值模拟主要分为分区耦合计算和一体化求解两种。
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》范文
《基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究》篇一基于CBC-TVD的高分辨率有限体积格式研究一、引言在计算流体动力学（CFD）中，数值模拟方法的精度和效率对于科学研究和工程应用具有重要意义。
其中，高分辨率的数值格式是实现高精度计算的关键。
近年来，基于CBC/TVD（中心差分/总变差递减）的高分辨率有限体积格式在流体动力学模拟中得到了广泛的应用。
本文旨在研究这种格式的原理、应用及其在提高计算精度方面的作用。
二、CBC/TVD高分辨率有限体积格式原理CBC/TVD高分辨率有限体积格式是一种基于有限体积法的数值格式。
其核心思想是在每个控制体积内对流体进行积分，并利用CBC（中心差分）和TVD（总变差递减）的思想来提高数值解的精度和稳定性。
CBC方法通过在计算过程中使用中心差分公式来减小数值色散，从而在空间上提高数值解的精度。
而TVD方法则是一种保证总变差递减的格式，它可以有效避免数值计算过程中的数值振荡，保证计算的稳定性。
三、CBC/TVD高分辨率有限体积格式的应用CBC/TVD高分辨率有限体积格式被广泛应用于各种流体动力学模拟中，如大气模拟、流体流动模拟等。
其应用主要得益于其高精度和高稳定性的特点。
在大气模拟中，CBC/TVD格式能够准确地捕捉到气象现象的细节，如风场、温度场等。
在流体流动模拟中，该格式能够有效地处理复杂的流动现象，如湍流、涡旋等。
四、提高计算精度的方法为了进一步提高CBC/TVD高分辨率有限体积格式的计算精度，可以采取以下方法：1. 优化空间离散化：通过优化控制体积的划分和离散化方法，可以提高数值解的精度。
2. 引入更多的物理信息：在计算过程中引入更多的物理信息，如湍流模型、化学反应模型等，可以提高计算的准确性和精度。
3. 改进算法：通过改进CBC/TVD算法本身，如采用更高级的差分公式或优化算法参数等，可以进一步提高计算精度和稳定性。
五、结论本文研究了基于CBC/TVD的高分辨率有限体积格式的原理、应用及提高计算精度的方法。
高精度差分格式及湍流数值模拟(一)
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
u a u 0 a 0
x x
f j a1 f j3 a2 f j2 a3 f j1a4 f j a5 f j1 a6 f j2
1） 若高精度逼近
， u
x
必然利用多个基架点
【国家自然科学基金】_有限体积格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
科研热词 推荐指数 有限体积法 5 径向基函数 3 euler方程 3 非结构网格 2 溃坝波 2 eno格式 2 龙格库塔间断有限元方法 1 高精度格式 1 颤振 1 颗粒流动 1 非结构任意多边形网格 1 静态重构 1 障碍物 1 阻力特征 1 运动边界 1 运动界面 1 边界非协调类方法 1 边界条件 1 跨音速"凹坑" 1 超限插值 1 计算流体力学 1 虚拟网格法 1 节点加权方式 1 耦合方程组 1 紧耦合 1 移动网格 1 直升机 1 爆轰波 1 混溶驱动 1 混合格式 1 浸入边界法 1 泥石流 1 桨-涡干扰 1 极限环振动 1 有限差分法 1 有限体积方法 1 旋翼 1 数学基本格式 1 数值模拟 1 数值模型 1 数值摄动算法 1 摄动有限体积格式 1 摄动差分格式 1 广义网格速度法 1 嵌套网格 1 山地灾害 1 局部网格加密 1 多矩有限体积法 1 可压缩流动 1 反应euler方程 1 动边界 1 动态重构 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
交错网格 二维潮流 weno重构 tvd高阶对流格式 tvd方法 runge-kutta方法 riemann邶求解器 riemann 问题 mq函数 mhd euler方程 eno方法 ale方法 "红斑"现象
高分辨率有限体积LW格式
高分辨率有限体积LW格式
刘建军;蒋洪德
【期刊名称】《工程热物理学报》
【年(卷),期】1993(14)3
【摘要】一、引言采用通量差分分裂技术或通量分裂技术设计出的高分辨率格式,推广应用到双曲型气动方程组时,编程要比常规的中心差分格式复杂很多。
使用校正通量技术设计的TVD格式,集中了TVD格式分辨率高,中心差分格式编程容易的优点。
在中心差分格式的基础上,根据TVD理论添加新的数值耗散项,通过感知流场的变化,耗散项的大小能够自动地得以调整和控制,使基恰好能抑制住流场中出现的振荡。
与常规的人工耗散(AD)不同,新的数值耗散具有感受一反馈机制,不含和问题相关的自由参数,为了和人工耗散相区别,不妨称之为智能耗散(ID)。
【总页数】5页(P263-267)
【关键词】有限体积;气体流动;LW格式
【作者】刘建军;蒋洪德
【作者单位】中国科学院工程热物理研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O354
【相关文献】
1.浅水流动有限元分析及其高分辨率格式 [J], 张修忠;王光谦;金生
2.基于牛顿插值的高分辨率有限体积格式 [J], 高巍;张庆;李宏;刘洋;;;;
3.一维Euler方程的高分辨率有限体积格式 [J], 康亦欣;谢桃枫;高巍;;;
4.求解正则长波方程的一种基于NV/TVD的高分辨率有限体积格式 [J], 高巍;睢国钦;李宏;;;
5.二维浅水流动的一种普适的高性能格式——有限体积Osher格式 [J], 谭维炎;胡四一
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
CFD差分格式及限制器计算对比分析_潘沙
域 , B区压力为 PB, C区为 正激波传播 后的区域 , C区 压力后 正激波后压力 PC, 且 PB=PC, 但是 B区和 C区的温度和密度 是不同的 , 所以两个区是以一个接触间断分开 。
图 1 间断分解示意图
2.2 一维非定常 Euler方程
对 Riemann问题的建模采 用一维 守恒型 的非定 常 Euler
方程 :
Ut+
F x
=
0
ρ
ρu
U = ρu, F = ρu2 +p
(1)
ρE
(ρE+p)u
上式为非线性双曲型方程 组 , 其 Jacobi矩阵 DF/DU=A可写
成形式
A(U) =R(U)A(U)L(U)
这里 A(U)为由 A之特征值组成之对角矩阵 , R(U)和 L
(U)分别为由矩阵 A的 右 、左特 征矢量 组成 的矩阵 , 其 具体
在此指出 , Harten的 TVD格式本质上是属于 Roe格式加 上 TVD限制器 , 从 而使 格 式带 有 TVD属 性 , 本 文采 用 的是 Harten-Yee的 TVD格式 , 具体可见文献 [ 4] 。
5)NND(NonOscillatoryNonFreeParameterDissipation Scheme)格式
间断分 解如图 1所示 , t=0 时刻管内 速度为 零 , 隔膜左 边为高压 P1, 右边为 低压 P2 , 突 然撤 去隔 膜 , 初始 的压 力间 断将以非定常正激波的形 式向右传播 , 同 时一个等 熵非定常 中心稀疏波向左传播 。 在某 t>0时刻 管内流 体被分 成 4个
区域 , A区和 D区是波还没 有传 播到的 区域 , 其 未受扰 动保 持初始间断 的 左右 状态 ;B区 为中 心 稀疏 波 传播 过 后 的区
图 1 间断分解示意图
2.2 一维非定常 Euler方程
对 Riemann问题的建模采 用一维 守恒型 的非定 常 Euler
方程 :
Ut+
F x
=
0
ρ
ρu
U = ρu, F = ρu2 +p
(1)
ρE
(ρE+p)u
上式为非线性双曲型方程 组 , 其 Jacobi矩阵 DF/DU=A可写
成形式
A(U) =R(U)A(U)L(U)
这里 A(U)为由 A之特征值组成之对角矩阵 , R(U)和 L
(U)分别为由矩阵 A的 右 、左特 征矢量 组成 的矩阵 , 其 具体
在此指出 , Harten的 TVD格式本质上是属于 Roe格式加 上 TVD限制器 , 从 而使 格 式带 有 TVD属 性 , 本 文采 用 的是 Harten-Yee的 TVD格式 , 具体可见文献 [ 4] 。
5)NND(NonOscillatoryNonFreeParameterDissipation Scheme)格式
间断分 解如图 1所示 , t=0 时刻管内 速度为 零 , 隔膜左 边为高压 P1, 右边为 低压 P2 , 突 然撤 去隔 膜 , 初始 的压 力间 断将以非定常正激波的形 式向右传播 , 同 时一个等 熵非定常 中心稀疏波向左传播 。 在某 t>0时刻 管内流 体被分 成 4个
区域 , A区和 D区是波还没 有传 播到的 区域 , 其 未受扰 动保 持初始间断 的 左右 状态 ;B区 为中 心 稀疏 波 传播 过 后 的区
CFD软件的精度与可信度提高方法
CFD若要想在工程中得到广泛的应用，必须克服两大难点：准确性与可信性。
在工程上，尤其是一些关键的工程中，谁也不敢轻易的应用一些精度与可信度得不到保证的数据。
有人会说，在固体计算领域，利用数值计算方法进行辅助设计已经很普遍了啊，用CFD支持设计存在哪些额外的困难呢？与固体应力计算使用有限单元法不同，目前主流的CFD软件几乎都是采用的有限体积法（除了CFX采用混合有限元法与有限体积法外，FLUENT、STAR-CD、Phonecis.Flow-3D等都是采用的有限体积法）。
在计算量上来说，相同网格数量的模型，有限体积法消耗的内存要少于有限元法。
在有限单元网格中存在的高次单元，其单元节点位于网格边的中点及网格体的中心，但是有限体积法中的高阶格式，其并非在网格单元中添加节点，而是更多的利用周围的节点。
正因为如此,有限体积法计算精度要低于有限元法（在相同网格数量情况下）。
影响CFD计算精度及可信度的原因自然不可能全怪罪于算法，更多的是问题存在于使用者及客观环境。
CFD软件是一个黑盒子，利用CFD软件解决工程问题，软件使用者对于数据流向并不清楚，实际上对于非CFD专业的人事来说，也不必完全清楚CFD的内部运作方式，但如何有效的利用当前的软件，如何最大限度的发挥当前软件的计算性能，将计算结果精度及可信度提高，仍然是非常重要的，也是每一个从事CFD工程应用的人必须注意的。
最需要注意的部分包括下面一些内容。
一、精度1 .算法导致的精度问题一般来说，高阶算法的精度要高于低阶精度。
但是收敛性却相反，采用高阶算法要比低阶算法收敛更困难一些。
在一些高速流动情况中，采用迎风格式比中心差分格式能更好的收敛，在扩散占优的流动中则相反。
以FLUENT为例，其具有一阶迎风格式与二阶迎风格式、幕律格式、QUlCK 格式，以及三阶MUSCL格式。
通常一阶迎风格式用于初步求解，较少用于最终计算结果的获得；QUICK格式在结构网格中具有三阶精度且收敛性较好，但是在非结构网格中只有二阶精度；二阶迎风格式在实际工程中用得非常多；三阶MUSCL格式用得较少，收敛性不是很好。
基于有限体积法对洪水汇合流流场的数值模拟
散得：
∑ ( ) ( ) Uin+=1
U in
−
∆t Vi
3
T −1 θi, j
j =1
F Ui, j
Li, j + ∆tSi
(5)
上式中源项采用中心差分进行离散，基于局部 Riemann 问题自相似解波系结构分析，采用 TVD-WAF 格式给出数值通量为：
∑ ( ) FWAF=
1 2
( c4
FR
2. 数学模型
2.1. 控制方程
通过建立蓄洪区退洪、长江河道行洪和分洪区分洪的数学物理方程，采用二维浅水波方程组研究多 股洪水汇合流问题。浅水波方程组采用以水位和单宽流量为变量的守恒形式，即：
∂U + ∂F + ∂G = S ∂t ∂x ∂y
(1)
式中 t 代表时间，x 和 y 分别表示空间变量。U 表示物理守恒变量， F (U ) 、G (U ) 分别为 x 和 y 方向的
q 2y
+
1
gH 2
−
gbH
h 2
0
0
S
=
Sb
+ Sf
=
− gH
∂b ∂x
+
−
g ρ
τ
x
− gH
∂b ∂y
−
g ρ
τ
y
其中 qx = hu ， qy = hv 表示 x，y 方向的单宽流量，u，v 分别表示 x，y 两个方向上的流速， H= h + b 为
高等计算流体力学讲义(5)
（15）
（14）式可以改写为：
ˆ Δu 1 uin +1 = uin − C i−
2
（16）
ˆ = C − D / r , r = Δu 1 Δ u 1 C i− i+
2
2
Harten 的 TVD 条件此时为：
1 O ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 + β1ψ i + 1 ] ≤ 1 2 2 r
2
2
（14）
C = c[α 0 + ( β 0 − α 0 )φ i − 1 ]
2
D = −c[α 1 + ( β 1 − α 1 )φ i − 1 ]
2
5
Δu i − 1 = u in − u in−1
2
Δu i + 1 = u in+1 − u in
2
由（14）式，我们希望选取适当的 α0、β0、φ，使得 TVD 条件（7）式得到满足，且格 式为二阶精度。
uin +1 = ∑ bk uin+ k
k = kl kr
（2）
是单调格式的充分必要条件是 ∀k ， bk ≥ 0 。 ★ Godunov 定理 5．保单调性 线性单调格式最多能达到一阶精度。
假定 ui 是单调的，如果通过（1）式得到的 ui
{ }
n
{ }具有与 {u } 相同的单调性，则说差
n +1 n i
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
+1 un − un j j
a n 1 n (u j +1 + u n (u j +1 − u n j)− j) 2 2λ a n n = (u n (u n j + u j −1 ) − j − u j −1 ) 2 2λ
径向基函数在三维Euler方程数值计算中的应用
径向基函数在三维Euler方程数值计算中的应用
钱旭;宋松和
【期刊名称】《空气动力学学报》
【年(卷),期】2011(029)002
【摘要】基于三维Euler方程,对非结构四面体网格给出了一种基于紧支径向基函数重构的ENO型有限体积格式,方法的主要思想是先对每一个四面体单元构造插值径向基函数,而在计算交界面的流通量采用高斯积分公式以保证格式的整体精度,时间离散采用三阶TVD Runge-Kutta方法.最后用该格式对一些典型算例进行了数值模拟,结果表明该方法计算速度快,对间断有很好的分辨能力.
【总页数】4页(P231-234)
【作者】钱旭;宋松和
【作者单位】国防科技大学理学院,湖南长沙,410073;国防科技大学理学院,湖南长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】O242
【相关文献】
1.径向基函数在三维点云数据插补中的应用 [J], 周方艳;张启灿;熊润华
2.径向基函数网络在数值计算中的应用 [J], 周志刚;陈丽红
3.径向基函数及移动网格在Euler方程数值计算中的应用 [J], 钱旭;宋松和
4.电磁场数值计算中径向基函数的应用分析 [J], 李永江
5.径向基函数及其耦合方法在电磁场数值计算中的应用 [J], 张淮清;俞集辉;郑亚利
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 2
b−a 每个控制单元 。(1)式在 I j 上积分，可得 = I j = x , x j + 1 , j 1,, N 的长度为 ∆x = j− 1 2 2 N
∫I (φ − µφxx ) dx + ∫I
j
εφ 2 φ+ j 2
0 dx =
进而可得
Abstract
An oscillation-free high order scheme is presented for regularized long wave equations by using the normalized-variable formulation in the finite volume framework. It adopts the QUICK finite volume scheme as the basic scheme to obtain high order accuracy in smooth solution domain. In order to suppress unphysical oscillations of numerical solutions by high order linear schemes, the CBC (convection boundness criterion) condition is combined with the TVD (total variation diminishing) constraint to design a bounded QUICK scheme. Numerical results demonstrate that the present scheme possesses good robustness and high resolution.
Keywords
Regularized Long Wave Equation; TVD; CBC; Finite Volume
求解正则长波方程的一种基于NV/TVD的 高分辨率有限体积格式
高 巍，睢国钦，李 宏
内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 Email: mathgao@, suiguoqin123@, smslh@
式带来了方便。为了改进 Gaskell 和 Lau 提出的 CBC 条件对于数值格式精度无限制的缺点，Wei 和 Hou 提出的了 BAIR[6] [7]约束条件，其数学形式为
3 ˆ ˆ ≤1 Φ ˆ +1 , ˆ < Φf ≤ f Φ 0<Φ C C C 2 2 1 ˆ ˆ ≤ 3Φ ˆ 且f Φ ˆ ≤ 1, ΦC + 1 ≤ f Φ C C C 2 2 ˆ = ˆ , ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ Φ f C C C
A High Resolution NV/TVD Finite Volume Scheme for the Regularized Long Wave Equation
Wei Gao, Guoqin Sui, Hong Li
School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot Email: mathgao@, suiguoqin123@, smslh@ Received: Feb. 6th, 2014; revised: Feb. 12th, 2014; accepted: Feb. 15th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
1 φ dx 是第 j 个单元的单元平均值，则有 ∆x I∫j
φ2 φ2 d µ µ 1 φ φ φ φ ε φ ε − + = + − − ( ) ( ) 1 1 1 1 j x j+ x j− j+ 2 2 2 dt 2 j− 1 2 j+ 1 ∆x ∆x ∆x j − 2 2 2
ˆ ≤ 1且Φ ˆ ∈ Φ ˆ ˆ ˆ Φ f f C , 2Φ C , 0 < Φ C < 1 ˆ = ˆ , Φ ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ
f C C C
综上，将 BAIR 区域与 TVD 区域绘制于图 2 中。 2.1.2. 对流项离散格式
5 1 1 有限体积 QUICK 格式为 φ f = φC + φD − φU 6 3 6
3
求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
ˆ = 0, Φ ˆ = 1 ，于是 Φ ˆ 可表达为 这里 φ 可以取值为 φ f , φU , φC , φD ,进而 Φ U D f
ˆ = f Φ ˆ Φ f C
( )
ˆ 的函数。这一简化的数学关系为构造新的格 ˆ 只是 Φ 这意味着，在引入正则化变量表达形式后， Φ C f
关键词
正则长波方程；TVD；CBC；有限体积方法
1. 引言
正则长波方程(Regularized Long Wave Equation, RLW)可表达为
φt + φx + εφφx − µφxxt = 0
其中 ε ， µ 是正常量。它是描述大量重要的物理现象(如浅水波，离子波等)的主要的模型方程，尤其在非 线性色散波研究方面有着重要的作用。正则长波方程是非线性方程，解析解通常难于计算。因此数值计 算成为一种重要的研究方法。在数值求解过程中，非线性对流项的数值离散是最关键的环节。对流项的 处理要求在解的光滑区域时具有较高精度，在激波或大梯度附近时稳定且有界。传统的高阶数值格式， 如中心差分格式 CD (Central Difference)， 二阶迎风格式 SOU (Second-order Upwind)[1]， QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)格式[2]及三次迎风插值格式 CUI (Cubic Upwind Interpolation)[3]是最常见的用于对流项离散的高阶格式，但它们都不满足有界性，容易产生非物理振荡。为此， 需要将对流有界性与高阶精度结合，构造非线性高分辨率格式[4] [5]。 TVD[4]条件和 CBC (BAIR)[6] [7]条件是两个主要的对流有界性条件。已知的很多限制器函数都是基 于 TVD 性质的， 如 Sweby 提出的 MINMOD[5]， Roe 的 SUPERBEE[8]及 Van Leer 的 MUSCL[9]等。 另外， Gaskell 和 Lau 提出 CBC (Convection Boundedness Criterion)[10]条件来构造对流有界的数值格式。为了弥 补原始 CBC 条件对数值格式精度不做限制的缺陷， Wei et al.[6]和 Hou et al.[7]提出 BAIR 条件(Boundedness, Accuracy and Interpolative Reasonableness)，它使得对流项的数值格式同时具有有界性和高精度。然而，与 TVD 格式相比，CBC 类的数值格式在计算激波管流动等问题时，仍然会产生非物理振荡[11]。有限差分 [12]-[14]和有限元[15]-[18]是常见的用于正则长波方程数值方法，但是基于有限体积方法的数值格式并不 多见。一般来说，有限差分方法是以基于点值泰勒展开来构造数值格式的，有限元方法是以极小位能原理 或极小残量方法为基础，以分段或分片多项式的形式来构造数值格式的。它们都不是天然的基于守恒原理 的数值方法，为此常常要特别去构造守恒的有限差分或有限元格式。与它们相比，有限体积方法以守恒原 理为基础，在计算与守恒律相关的问题时，自然就可以得到守恒格式，而这对于得到符合物理意义的数值 解，是十分重要的。 本文以 QUICK 有限体积格式为基础， 构造了一个满足 TVD 和 CBC-BAIR 条件的高阶无振荡有限体 积格式，用于数值求解正则长波方程。本文的安排具体如下：第 2 节建立对流项的高分辨率有限体积格 式和扩散项的数值离散；第 3 节给出典型数值算例；第 4 节给出结论。
( )
(
)
(
)
( )
( )
1 2 1 ˆ ≤ ΦC < 1 2
另外，Sweby 将 TVD 约束条件用限制器函数表示为[5]
0 ≤ Ψ ( r ) ≤ min ( 2r , 2 ) , r > 0 Ψ ( r ) = 0, r ≤ 0
其中 Ψ ( r ) 是一个限制器函数，其中 r =
φD − φC 。TVD 条件也可以表示为 φC − φU
International Journal of Fluid Dynamics 流体动力学, 2014, 2, 1-11 Published Online March 2014 in Hans. /journal/ijfd /10.12677/ijfd.2014.21001
2
求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
2. 数值格式的建立
正则长波方程的守恒形式为
(φ − µφxx )t + φ + ε
将计算区间 [ a, b ] 进行 N 等分，记为
φ2
0 = 2 x
(1)
x 1 = a < x 1 = a + ∆x < < xN + 1 = b ,
其正则化变量表达式为
ˆ = 5Φ ˆ +1 Φ f C 6 3
由图 2 中绘制出 QUICK 格式对应的 NV 线可以看到， 已超出 TVD 和 BAIR 的交集区域， 这表明 QUICK 格式不是对流有界的。 为此对 QUICK 格式加以改进， 使之满足对流有界性。 根据 TVD 和 BAIR 的要求， 1 3 1 ˆ =θΦ ˆ ˆ < 时， ˆ < 1 时， ˆ = θ Φ ˆ − 1 + 1, 0 ≤ θ ≤ 1 。 当0<Φ 应满足 Φ 当 <Φ 应满足 Φ f 1 C ， ≤ θ1 ≤ 2 ； C 2 C f C 2 2 2 2 2 根据以上分析，改进格式可表示为
b−a 每个控制单元 。(1)式在 I j 上积分，可得 = I j = x , x j + 1 , j 1,, N 的长度为 ∆x = j− 1 2 2 N
∫I (φ − µφxx ) dx + ∫I
j
εφ 2 φ+ j 2
0 dx =
进而可得
Abstract
An oscillation-free high order scheme is presented for regularized long wave equations by using the normalized-variable formulation in the finite volume framework. It adopts the QUICK finite volume scheme as the basic scheme to obtain high order accuracy in smooth solution domain. In order to suppress unphysical oscillations of numerical solutions by high order linear schemes, the CBC (convection boundness criterion) condition is combined with the TVD (total variation diminishing) constraint to design a bounded QUICK scheme. Numerical results demonstrate that the present scheme possesses good robustness and high resolution.
Keywords
Regularized Long Wave Equation; TVD; CBC; Finite Volume
求解正则长波方程的一种基于NV/TVD的 高分辨率有限体积格式
高 巍，睢国钦，李 宏
内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 Email: mathgao@, suiguoqin123@, smslh@
式带来了方便。为了改进 Gaskell 和 Lau 提出的 CBC 条件对于数值格式精度无限制的缺点，Wei 和 Hou 提出的了 BAIR[6] [7]约束条件，其数学形式为
3 ˆ ˆ ≤1 Φ ˆ +1 , ˆ < Φf ≤ f Φ 0<Φ C C C 2 2 1 ˆ ˆ ≤ 3Φ ˆ 且f Φ ˆ ≤ 1, ΦC + 1 ≤ f Φ C C C 2 2 ˆ = ˆ , ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ Φ f C C C
A High Resolution NV/TVD Finite Volume Scheme for the Regularized Long Wave Equation
Wei Gao, Guoqin Sui, Hong Li
School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot Email: mathgao@, suiguoqin123@, smslh@ Received: Feb. 6th, 2014; revised: Feb. 12th, 2014; accepted: Feb. 15th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
1 φ dx 是第 j 个单元的单元平均值，则有 ∆x I∫j
φ2 φ2 d µ µ 1 φ φ φ φ ε φ ε − + = + − − ( ) ( ) 1 1 1 1 j x j+ x j− j+ 2 2 2 dt 2 j− 1 2 j+ 1 ∆x ∆x ∆x j − 2 2 2
ˆ ≤ 1且Φ ˆ ∈ Φ ˆ ˆ ˆ Φ f f C , 2Φ C , 0 < Φ C < 1 ˆ = ˆ , Φ ˆ ≤ 0或Φ ˆ ≥1 Φ Φ
f C C C
综上，将 BAIR 区域与 TVD 区域绘制于图 2 中。 2.1.2. 对流项离散格式
5 1 1 有限体积 QUICK 格式为 φ f = φC + φD − φU 6 3 6
3
求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
ˆ = 0, Φ ˆ = 1 ，于是 Φ ˆ 可表达为 这里 φ 可以取值为 φ f , φU , φC , φD ,进而 Φ U D f
ˆ = f Φ ˆ Φ f C
( )
ˆ 的函数。这一简化的数学关系为构造新的格 ˆ 只是 Φ 这意味着，在引入正则化变量表达形式后， Φ C f
关键词
正则长波方程；TVD；CBC；有限体积方法
1. 引言
正则长波方程(Regularized Long Wave Equation, RLW)可表达为
φt + φx + εφφx − µφxxt = 0
其中 ε ， µ 是正常量。它是描述大量重要的物理现象(如浅水波，离子波等)的主要的模型方程，尤其在非 线性色散波研究方面有着重要的作用。正则长波方程是非线性方程，解析解通常难于计算。因此数值计 算成为一种重要的研究方法。在数值求解过程中，非线性对流项的数值离散是最关键的环节。对流项的 处理要求在解的光滑区域时具有较高精度，在激波或大梯度附近时稳定且有界。传统的高阶数值格式， 如中心差分格式 CD (Central Difference)， 二阶迎风格式 SOU (Second-order Upwind)[1]， QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)格式[2]及三次迎风插值格式 CUI (Cubic Upwind Interpolation)[3]是最常见的用于对流项离散的高阶格式，但它们都不满足有界性，容易产生非物理振荡。为此， 需要将对流有界性与高阶精度结合，构造非线性高分辨率格式[4] [5]。 TVD[4]条件和 CBC (BAIR)[6] [7]条件是两个主要的对流有界性条件。已知的很多限制器函数都是基 于 TVD 性质的， 如 Sweby 提出的 MINMOD[5]， Roe 的 SUPERBEE[8]及 Van Leer 的 MUSCL[9]等。 另外， Gaskell 和 Lau 提出 CBC (Convection Boundedness Criterion)[10]条件来构造对流有界的数值格式。为了弥 补原始 CBC 条件对数值格式精度不做限制的缺陷， Wei et al.[6]和 Hou et al.[7]提出 BAIR 条件(Boundedness, Accuracy and Interpolative Reasonableness)，它使得对流项的数值格式同时具有有界性和高精度。然而，与 TVD 格式相比，CBC 类的数值格式在计算激波管流动等问题时，仍然会产生非物理振荡[11]。有限差分 [12]-[14]和有限元[15]-[18]是常见的用于正则长波方程数值方法，但是基于有限体积方法的数值格式并不 多见。一般来说，有限差分方法是以基于点值泰勒展开来构造数值格式的，有限元方法是以极小位能原理 或极小残量方法为基础，以分段或分片多项式的形式来构造数值格式的。它们都不是天然的基于守恒原理 的数值方法，为此常常要特别去构造守恒的有限差分或有限元格式。与它们相比，有限体积方法以守恒原 理为基础，在计算与守恒律相关的问题时，自然就可以得到守恒格式，而这对于得到符合物理意义的数值 解，是十分重要的。 本文以 QUICK 有限体积格式为基础， 构造了一个满足 TVD 和 CBC-BAIR 条件的高阶无振荡有限体 积格式，用于数值求解正则长波方程。本文的安排具体如下：第 2 节建立对流项的高分辨率有限体积格 式和扩散项的数值离散；第 3 节给出典型数值算例；第 4 节给出结论。
( )
(
)
(
)
( )
( )
1 2 1 ˆ ≤ ΦC < 1 2
另外，Sweby 将 TVD 约束条件用限制器函数表示为[5]
0 ≤ Ψ ( r ) ≤ min ( 2r , 2 ) , r > 0 Ψ ( r ) = 0, r ≤ 0
其中 Ψ ( r ) 是一个限制器函数，其中 r =
φD − φC 。TVD 条件也可以表示为 φC − φU
International Journal of Fluid Dynamics 流体动力学, 2014, 2, 1-11 Published Online March 2014 in Hans. /journal/ijfd /10.12677/ijfd.2014.21001
2
求解正则长波方程的一种基于 NV/TVD 的高分辨率有限体积格式
2. 数值格式的建立
正则长波方程的守恒形式为
(φ − µφxx )t + φ + ε
将计算区间 [ a, b ] 进行 N 等分，记为
φ2
0 = 2 x
(1)
x 1 = a < x 1 = a + ∆x < < xN + 1 = b ,
其正则化变量表达式为
ˆ = 5Φ ˆ +1 Φ f C 6 3
由图 2 中绘制出 QUICK 格式对应的 NV 线可以看到， 已超出 TVD 和 BAIR 的交集区域， 这表明 QUICK 格式不是对流有界的。 为此对 QUICK 格式加以改进， 使之满足对流有界性。 根据 TVD 和 BAIR 的要求， 1 3 1 ˆ =θΦ ˆ ˆ < 时， ˆ < 1 时， ˆ = θ Φ ˆ − 1 + 1, 0 ≤ θ ≤ 1 。 当0<Φ 应满足 Φ 当 <Φ 应满足 Φ f 1 C ， ≤ θ1 ≤ 2 ； C 2 C f C 2 2 2 2 2 根据以上分析，改进格式可表示为