丢番图方程整数解方法

作者： 牟善志[1];刘华[2]
作者机构： [1]克山师专数学系;[2]克山二中
出版物刊名： 克山师专学报
页码： 24-24页
主题词： 丢番图方程;正整数解;整系数多项式;素因子;全部整数解;简单解法;师专数学系;平方数;全部解;历史悠久
摘要： 丢番图方程是一门历史悠久而又富有生命力的学科，历来受到人们的青睐，它使得不同时代的、不同层次的、不同年龄的人淘醉其中，它以求解极难和技巧性极高而闻名于世。

虽是如此，但也有一些方程可以用极其简单的方法来解决，本文即是一例。

１　定理定理１　设Ｋ是不含４Ｋ＋３形素因子的正整数，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）为整系数多项式且ｆ（ｘ）≡３（ｍｏｄ４），则ｙ２＋ｋ２＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的整数解满足ｆ（ｘ）＜０证明　假设ｆ（ｘ）＞０并且ｙ２＋ｋ２＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）有整数解，则因ｆ（ｘ）≡３（ｍｏｄ４），故ｆ（ｘ）含有一个４ｋ＋３形的素因子Ｐ，再由Ｋ不含４Ｋ＋３形素因子知ｐ＋ｋ，这样，就有ｙ２≡－ｋ２（ｍｏｄｐ），从而Ｊａ。

第32卷第1期吉首大学学报(自然科学版)Vol.32No .12011年1月Journ al of Ji shou Universit y (Nat ural Science Edit ion)J an.2011文章编号:1007-2985(2011)01-0004-03关于丢番图方程1+7x =2y 5z +2u 5v 7w*宋容炎,邓谋杰(海南大学信息科学技术学院,海南海口570228)摘要:设x ,y,z ,u,v,w 为非负整数,用计算机辅助方法给出了指数丢番图方程1+7x =2y 5z +2u 5v 7w 的全部非负整数解,(x,y,z,u,v,w)(1,2,0,2,0,0),(2,0,2,0,2,0),(2,1,1,3,1,0),(2,3,1,1,1,0),(3,5,0,3,1,1),(t,0,0,0,0,t),其中t 为任意非负整数.关键词:指数丢番图方程;整数解;计算机辅助解法中图分类号:O156.7文献标志码:A设x,y,z ,u,v,w 为非负整数,考虑指数丢番图方程1+7x =2y 5z +2u 5v 7w .(1)形如(1)式的指数丢番图方程可用来研究有限单群的分类[1],其研究方法除了高等方法外大体上有3种情况:其一是不借助计算机的完全初等的方法[2],此法讨论往往是冗长的;其二是借助计算机的初等方法[3];其三是借助计算机并利用高等方法的结果的初等方法[4].文中的方法与文献[4]的方法基本相同,但后者在判定无解及确定解的唯一性时没有使用计算机,而是对不同的情况分别讨论,技巧性强.笔者处理上述问题时,对困难的情形使用计算机进行验证,效率较高.1相关引理引理1[5]设p,q 为素数,x,y 为正整数,则当1<p <q <20时,不等式0<|p x -q y |<px/2的全部正整数解为(p,q,x,y)=(2,3,1,1),(2,3,2,1),(2,3,3,2),(2,3,5,3),(2,3,8,5),(2,5,2,1),(2,5,7,3),(2,7,3,1),(2,11,7,2),(2,13,4,1),(2,17,4,1),(2,19,4,1),(3,5,3,2),(3,7,2,1),(3,11,2,1),(3,13,7,3),(5,7,1,1),(5,11,3,2),(7,19,3,2),(11,13,1,1),(17,19,1,1).引理2指数丢番图方程1+7x=5z+5v7w(2)的全部非负整数解为(x,z,v,w)=(2,2,2,0),(t,0,0,t),其中t 为非负整数.证明()z =0时,显然(2)式有平凡解(x,z,v,w)=(t,0,0,t),其中t 为非负整数.()当z >0时,由x >w 有5z1(mod 7w),于是(7w)|z,由此推出7w7z 6.*收稿日期:2010-11-28基金项目:国家自然科学基金资助项目(10971044),海南省自然科学基金资助项目(808101)作者简介宋容炎(),男,福建三明人,海南大学硕士研究生,主要从事丢番图方程研究通讯作者邓谋杰(6),男,黑龙江汤原人,海南大学信息科学技术学院教授,硕士,主要从事丢番图方程研究j @:1988-:190-.E mail:dm .(a)若z v,由7x-1(mod 5v )推出5v5x 2,于是有0<5x -7z <5v 7w35xz 12.又由7x >5z,故xlog 7>z log 5,于是|5z-7x|=7x-5z<5v7w35xz 12<35x 212log 7log 5<4x 2.由引理1,除去(z ,x)=(1,1)外有|5z -7x |5z/2,于是有5z/2|5z -7x |<4x 2,进而推出7x <5z +5v 7w <4x 2(4x 2+1),故x 4.易知x 5时(2)式有解(x,z,v,w )=(2,2,2,0),而(x,z )=(1,1)时(2)式无解.(b)z <v 时,由7x-1(mod 5z )得5z5x 2<3x,因此|7x -5v 7w |=5z -1<5z <3x,由此推出|5v -7x-w|<3x 7w .仍由引理1,除去(v,x -w)=(1,1)外有|5v -7x-w|5v/2,于是由5v/2<3x 7w 推出7x <5z +5v 7w <5v (1+7w )<9x 2(1+7w )72w18x 2,因此x 2.但x 2时(2)式仅有解(x,z,v,w)=(2,2,2,0),这与z <v 矛盾.(v,x -w)=(1,1)时可得z <1,这与z >0矛盾.综合()和(),引理2得证.引理3若(x,y,z,u,v,w)(2,0,2,0,2,0)是(1)式的非平凡解,则它必满足下列同余式之一:(x,y,z,u,v,w)(1,2,0,2,0,0),(2,1,1,3,1,0),(2,3,1,1,1,0),(3,6,0,3,1,1),(3,6,0,3,37,37),(38,1,1,21,55,0),(38,21,55,1,1,0)(mod 72,36,72,36,72,72),其中(x,y,z ,u,v,w)(a,b,c,d,e,f )(mod 72,36,72,36,72,72)表示x a (mod 72),yb(mod 36),z c(mod 72),u d(mod 36),v e(mod 72),wf (mod 72).证明设(x,y,z,u,v,w)是(1)式的解.由于(1)式左边为偶数,因此有y =u =0或y1,u1.对(1)式分别取模8,16可得min{y,u} 3.y =u =0时,由引理2知(x ,y,z,u,v,w)=(2,0,2,0,2,0),(t,0,0,0,0,t),其中t 为非负整数.y1,u1时,由2361(mod 335713193773),5727721(mod 25335713193773),设(x,y,z,u,v,w)(a,b ,c,d,e,f )(mod 72,36,72,36,72,72)a,c,e,f [0,71],b,d[1,36],则1+7a 2b 5c +2d 5e 7f (mod 3313193773).令p =min{b,d},q =min{c,e,1},r =min{a,f ,1},则有1+7a2b 5c +2d 5e 7f (mod 2p335q7r13193773).(3)此后编写简单的UBASIC 程序,在a,c,e,f [0,71],b,d [1,36]且min{b ,d}3的范围内,在PC机上检验(3)式得到上述7个数组.引理3得证.2定理及其证明定理1丢番图方程(1)的全部非负整数解为(x ,y,z,u,v,w)(1,2,0,2,0,0),(2,0,2,0,2,0),(2,1,1,3,1,0),(2,3,1,1,1,0),(3,6,0,3,1,1),(t,0,0,0,0,t),其中t 为任意非负整数.证明易知(2,0,2,0,2,0)是(1)式的解.设(x,y,z,u,v,w)(2,0,2,0,2,0)是(1)式的任一非平凡解.由引理3,可设(x,y,z,u,v,w)=(a +72k,b+36l,c +72m,d +36n,e +72s,f +72t),其中(,,,,,f )是引理中列出的个数组之一()当(,,,,,f )=(,,,,,)时,由于它是()式的解,于是有()=(36)+(365)()5第1期宋容炎,等:关于丢番图方程1+7x =2y 5z +2u 5v 7wa b c d e 47.a b c d e 12020017772k -1222l 772m -1222n 72s 772t -1.46吉首大学学报(自然科学版)第32卷对(4)式取模16知l=n=0;因为772-10(mod5),取模5可得s=0;最后取模7得m=t=0,因而k=0.故此时必有(x,y,z,u,v,w)=(1,2,0,2,0,0).()当(a,b,c,d,e,f)=(2,1,1,3,1,0),(2,3,1,1,1,0)时,此2组数均是(1)式的解,类似于()中讨论可得l=n=t=0.于是有7a(772k-1)=2b(572m-1)+2d5e(572s-1).若(1)式还有其他解,则必有k>0使7a(772k-1)2b(572m-1)+2d5e(572s-1)(mod12561).(5)因为5307601(mod61),7201(mod125),所以只需对(a,b,c,d,e,f)的上述2组取值的每一组在0 <k5,m,s[0,5]的范围内检验(5)式是否成立.用U BASIC编写了检验程序,经PC机检验知,无0< k5,m,s[0,5]使(5)式成立.()当(a,b,c,d,e,f)=(3,6,0,3,1,1)时,此组数是(1)式的解,类似于()中讨论分别取模5,25, 64可得m=s=n=0.于是有73(772k-1)=26(236l-1)+2357(772t-1).(6)若(1)式还有其他解,则必有k>0使(6)式成立,于是有73(772k-1)26(236l-1)+2357(772t-1)(mod17).(7)由于214471441(mod17),因此只要在0<k2,l,t[0,2]的范围内检验(7)式是否成立.经PC机检验知必有k=2,从而(6)式中的k是大于0的偶数.因为7721(mod64),71441(mod128),对(6)式取模128推出l=0,再对(6)式取模49推出t=0,进而推出k=0,此与k是大于0的偶数矛盾.()当(a,b,c,d,e,f)=(3,6,0,3,37,37),(38,1,1,21,55,0),(38,21,55,1,1,0)时,注意到2576557675761(mod1797193),类似于()中讨论,在k,l,m,n,s,t[0,8]的范围内,经PC机检验,同余式1+572k+a236l+b772m+c+236n+d572s+e772t+f(mod1797193)不成立,故(1)式无解.综合()~(),定理1得证.参考文献:[1]曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989.[2]邓谋杰.关于丢番图方程2x-2y3z-23u=9k+1[J].黑龙江大学自然科学学报,2006,23(1):87-91.[3]邓谋杰.关于丢番图方程2x-2y3z-43u=39k+1[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2008,37(1):45-49.[4]ALEX L J.On the Diophantine Equation1+2a=3b5c+2d3e5f[J].M p.,1985,44:267-278.[5]SENGE H G,STR AUS E G.P V Number s and Set s of Multiplicity[J].Per iod.Mat h.Hungar.,1973,3:93-100.On the Diophantine Equation1+7x=2y5z+2u5v7wSONG Rong yan,DENG Mou jie(College of Infor mation Science and T echnology,Hainan Univer sity,Ha ikou570228,China)Abstr act:With computer assistance,all solutions in nonnegative integers to the diophantine equation1+ 7x=2y5z+2u5v7w are given by(x,y,z,u,v,w)(1,2,0,2,0,0),(2,0,2,0,2,0),(2,1,1,3,1,0),(2,3, 1,1,1,0),(3,5,0,3,1,1),(t,0,0,0,0,t),where t is any nonnegative integer.Key words:exponential diophantine equation;solutions in integer;computer aided solution(责任编辑向阳洁)。

初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。

其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。

定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。

《算术》事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。

虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。

并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、K r、△r△、△K r、K r K等符号。

无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。

因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。

直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。

首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪，费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。

《算术》中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。