丢番图的《算术》

著名的丢番图⽅程，最有趣的“世界难题”，从古研究⾄今2019年9⽉6⽇，由布⾥斯托尔⼤学和⿇省理⼯学院的研究⼈员领导的⼀个团队宣布，他们发现了所谓的“三个⽴⽅数和”的问题的最终解，即求⽅程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。

⾃1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。

19年3⽉，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的⼀篇论⽂中宣布，他在布⾥斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。

不久后，k=42的解也被发现了（布克和⿇省理⼯学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。

丢番图⽅程三个⽴⽅和的问题是求丢番图⽅程解的⼀个例⼦，它可以定义为：定义丢番图⽅程是⼀个有⼏个未知数、系数为整数的代数⽅程。

也就是说，丢盘⽅程是有⼏个未知变量（x，y，z， ……）的⽅程，它的解（=0）只有当⽅程的系数是整数时才会出现。

线性丢番图⽅程线性丢番图⽅程是⼀阶⽅程，其解被限制为整数。

线性丢番图⽅程为：其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。

例如：有多少个整数解？因为这是⼀个有两个未知数的⽅程，我们不能⼀次解⼀个变量（就像⼀个典型的线性⽅程组⼀样）。

相反，对于线性情况，我们可以使⽤以下定理：线性丢番图⽅程有整数解当且仅当c是a和b的最⼤公约数的倍数。

如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图⽅程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最⼤公约数的商。

两个或两个以上整数的最⼤公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最⼤正整数。

对于上⾯的例⼦，我们可以先提出公约数5，得到：a和b的最⼤公约数是1和5。

人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。

对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。

他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。

他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。

根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。

丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。

这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。

丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。

《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。

有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。

著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。

丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。

他远远超过了同时代的许多数学家。

但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。

直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。

数学史话线性代数发展史简介数学史话—线性代数发展史简介一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。

傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。

F. Cajori从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。

学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。

V. Z.卡兹数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。

M(Kline一、了解数学史的重要意义数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。

与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。

在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。

教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。

由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。

正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。

数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。

数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。

通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。

二、代数学的历史发展情况数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

丢番图的《算术》《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果．《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(247)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是12021、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，78． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线的长度为有理数．当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．。

丢番图
说起数学家丢番图旳生平，还有一则别开生面旳记载，在一本《希腊诗文选》中收录了丢番图旳奇特旳墓志铭，现转抄于下：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历旳道路．
上帝给予旳童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长须，
再过七分之一，点燃起结婚旳蜡烛．
五年之后天赐贵子，
可怜迟到旳宁馨儿，
享年仅及其父旳一半，便进入冰冷旳坟墓．
悲伤只有用数论旳研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生旳旅途．
细心旳读者已经发现，这独特旳墓志铭就是丢番图一生旳履历表，而且它本身就是一道耐人寻味旳年龄计算题．丢番图大致活动于公元250年前后，其生平不详．他旳著作《算术》和关于所谓多角数（形数）一书，是世界上最早旳系统旳数学论文．《算术》共13卷，现存6卷．这本书可以归入代数学旳范围．因此，他被后人称作是“代数学之父”．希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心都在几何，他们认为只有经过几何论证旳命题才是可靠旳．为了逻辑旳严密性，代数也披上了几何旳外衣．所以一切代数问题，甚至简单旳一次方程旳求解，也都纳入僵硬旳几何模式之中．直到丢番图旳出现，才把代数解放出来，摆脱了几何旳羁绊．例如，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2旳关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要旳几何定理，而在丢番图旳《算术》中，只是简单代数运算法则旳必然后果．丢番图在数论和代数领域作出了杰出旳贡献，开辟了广阔旳研究道路．这是人类思想上一次不寻常旳飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现萌芽．丢番图旳著作成为后来许多数学家，如费尔马、欧勒、高斯等进行数论研究
旳出发点．数论中两大部分均是以丢番图命名旳，即丢番图方程理论和丢番图近似理论．。

丢番图墓碑上的数学题
中国古代著名数学家丢番图（公元前3世纪－公元前2世纪）曾经留下了许多著名的数学实例，其中有一道特别有名的问题：丢番图墓碑上的数学题。

这道数学题出自古代中国著名的《九章算术》一本写给古代皇帝的《九章算术》，在古代中国有很高的地位。

丢番图墓碑上的数学题是这样的：一个正整数分为三个不同的部分，使得积等于这个正整数，那么有多少种方法可以满足这个条件？
这道数学题的解法有很多，最简单的就是利用三角数的性质，先计算出三角数，然后用其求出解。

据《九章算术》，丢番图的解法是：令墓碑上的数字叫做n，那么有n种方法可以满足数学题的要求。

而且，丢番图提出的解法可以推广到其他类似的问题中，比如：如何将一个正整数分成n个不同的部分，使得积等于这个正整数，那么有多少种方法可以满足条件？案是n!
丢番图的这种分解方法，可以从数论上介绍，他的分解方法可以间接地把一个正整数分解成一系列的因子，而这个因子就是分解方程的解。

这种分解方法有着深刻的数学意义。

此外，丢番图的这项成果不仅对古代中国的发展有着重要的影响，而且至今仍然在影响着数学的发展，它的精神仍在传承。

古人犯难，今人解难，丢番图的数学成果，给了人们无限的启发，为我们探索知识的旅程指引了道路，以此鼓励我们勇敢地探索，寻找知识的真相。

丢番图，他是古代中国历史上伟大的数学家，他的成果令人惊叹不已，他为数学发展做出了巨大的贡献，而他所留下的丢番图墓碑上的数学题，也让我们体会到古人的智慧和数学的魔力。

我用概率证明了费马大定理章丘一职专马国梁1637年，法国业余数学家费马在一本著名的古书——丢番图的《算术》中的一页上写了如下一段文字：“分解一个立方为两个立方之和，或分解一个四次方为两个四次方之和，或更一般地分解任一个高于二次方的幂为两个同次方的幂之和均不可能。

对此我发现了一个奇妙的证明，但此页边太窄写不下。

”用数学语言表达就是说，当指数n > 2时，方程x^n + y^n = z^n 永远没有整数解。

这就是著名的连小学生都能看懂的费马猜想。

可是在这个猜想提出后，那个重要的“奇妙证明”不论在费马生前还是死后始终没有被人见到，且后人也再没有找到，所以人们怀疑那个证明根本就不存在或者是在什么地方搞错了。

费马生前只是证明了n = 4 的情况；直到1749年，才被欧拉证明了n = 3 的情况。

这个猜想看上去是如此的简单，让局外人根本无法想象证明它的艰难，所以曾经让不少人跃跃欲试。

他们搜肠刮肚，绞尽脑汁，耗费了无数的精力。

三百多年来，虽然取得了很大进展，显示了人类的智慧，但问题总是得不到彻底解决。

直到1995年，才由英国数学家怀尔斯宣称完成了最后的证明。

从此费马猜想变成了真正的“费马定理”。

对费马定理的证明之所以艰难，是因为在整数内部有着极其复杂微妙的制约机制，要想找到这些制约关系，必须深入到足够的程度进行细致的分析才行。

所以三百多年来，虽然有不少数学大家还有广大业余爱好者不畏艰难，前赴后继，顽强奋斗，但怎奈山高路远，歧途太多，终归难免失败。

在这样的现实下，笔者明白自己也是局外之人，所以不可能去钻这个无底的黑洞。

但是作为一种乐趣，我们不妨另外开辟一条渠道，进行旁证和展望。

试用概率计算一下：看看费马猜想是否成立，又成立到什么程度。

虽然这在数学界难以得到公认，但是我们歪打正着，乐在其中。

因为对于决定性的现象，如果其决定因素和控制过程过于复杂，那么其结果是可以用概率理论进行推算的。

但是要证明费马猜想究竟应该从何处下手呢？对此笔者心中一直有一个强烈的直觉。

丢番图的《算术》《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果．《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(247)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是12021、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，78． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线的长度为有理数．当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．。

《0103丢番图在代数方面的贡献》微设计学习目标：1.了解丢番图的生平事迹.2.学会运用方程思想解决丢番图墓志铭问题.3.了解丢番图《算术》一书的历史贡献.学习重点：学会运用方程思想解决丢番图墓志铭问题，并感受数学结合思想在解决数学问题时的简便性.学习难点：感受丢番图在代数方面的历史贡献，学会运用方程思想解决数学问题.教学过程一、历史定位对于丢番图的生平事迹，人们知道的很少。

据推断和计算而知，丢番图是约公元246-300年古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家。

在一本《希腊诗文选》（这是公元500年前后的遗物，大部分为语法学家梅特罗多勒斯所著，其中有46首和代数问题有关的短诗）记载到亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起到了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。

丢番图被认为是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。

丢番图有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部是《多角数》，另外一些已遗失。

二、数学问题坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。

告别数学，离开人世。

分析1.你知道丢番图享年多少岁吗？2. 从这段文字中你能获得哪些信息？3.你能发现这些信息之间的内在联系吗？三、数学解决解 设丢番图活了x 岁.答：丢番图活了84岁四、数学贡献在所有亚历山大后期的数学著作中，古典希腊几何传统最离经叛道的一本要属丢番图的《算术》，这部具有东方色彩的著作，用纯分析的角度处理数论问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志.《算术》是一本问题集，据作者自序称全书共13卷，但长期以来，大家以为只有J.雷格蒙塔努斯1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文手抄本保存下来，1973年在伊朗境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文。