古希腊数学家丢番图

丢番图和谜语方程
丢番图〔约246—330〕是古希腊最出色的数学家之一，他被人们誉为〝代数学的鼻祖〞。

他写了不少数学著作，其中«算术»一书是关于代数的一部最早的论著。

它独树一帜，完全避开了几何的方式。

在这本书中，我们第一次看到了代数符号的有系统的运用；看到了各种不定方程的巧妙解法。

在数学史上，这部书的重要性可以和欧几里得的«几何原本»相媲美。

可是，这位被誉为代数学鼻祖的丢番图，他的生平事迹简直一点也没有留上去，人们只是偶然地在他的墓志铭上知道了他的一些状况。

幽默的是，他终身的大约状况却是用一道谜语式的代数方程写出来的：
〝过路人！这儿埋着丢番图的骨灰。

下面的数目可以通知您他活了多少岁。

他生命的六分之一是幸福的童年。

再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。

又过了生命的七分之一他才结婚。

再过了五年他感到很幸福，得了一个儿子。

可是这孩子光芒绚烂的生命只要他父亲的一半。

儿子死后，老人在悲痛中活了四年，完毕了尘世的生涯。

请问您，丢番图活了多少岁，多少岁结的婚，多少岁生孩子？〞
同窗们，你能解答这个效果吗？解答后，请到第2页看看你做对了吗？
依据这段墓志铭可以列出方程：
解此方程，得出x=84。

即丢番图活了84岁，并且可以算出他33岁才结婚，38岁才得子。

人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。

对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。

他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。

他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。

根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。

丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。

这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。

丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。

《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。

有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。

著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。

丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。

他远远超过了同时代的许多数学家。

但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。

直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。

1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。

这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。

数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。

由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。

由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。

当α是有理数时，上式不成立。

1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。

但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。

1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。

此即所谓丢番图逼近测度定理。

例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。

丢番图逼近与连分数有密切联系。

一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。

例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。

亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。

根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。

以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。

丢番图的墓志铭
古希腊数学家丢番图的墓志铭是以一道数学题的形式写出来的：
过路人，这里埋着丢番图的骨灰。

他的寿命有多长，下面这些数字可以告诉你。

他的生命的6
1是幸福的童年。

再活了寿命的十二分之一，细细的胡须长上了脸。

丢番图结了婚，还没有孩子，这样又过去一生的七分之一。

又过了五年，儿子降
临人世，他幸福无比。

可是这孩子生命短暂，只有父亲的一半。

儿子死后，这老头在悲痛中度过四年，终于了却尘缘。

请你讲一讲，丢番图活了多大年纪，才和死神相见？
丢番图到底活了多少岁？让我们再来看
看墓志铭，上面有两个整数—5和4，其他都是分数—占丢番图年龄的几分之几，那么只要我们知道这9年（5+4=9）占了丢番图年龄的几分之几，就可以知道他的年龄了。

我们来算一下： 1-61-121-71-21=84
9
也就是说，已知的9年占了丢番图年龄的84
9。

那么丢番图的年龄应该是84岁。

如果你学过方程，那么可以根据墓志铭列出一个方程式，设丢番图的年龄为x.
61x+121x+71x+5+21x+4=x
解方程，就能算出x=84,也就是说丢番图活了84岁。

“代数学之父”--丢番图目前，初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家丢番图．这部著作原有１３卷．１４６４年，在威尼斯发现了前６卷希腊文抄本，最近又在马什哈德（伊朗东北部）发现了４卷阿拉伯文译本．在丢番图时代的古希腊，学者们的兴趣中心在几何，他们认为只有经过推理论证的命题才是可靠的．为了逻辑的严密性，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中，而丢番图把代数解放了出来．但是由于这一思想远远超出了同时代人的理解力而不为同时代人所接受，很快就湮没了，因此没有对当时数学的发展产生太大的影响．直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上把代数学大大向前推进了．其中最著名的当属费马（17世纪），他手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，写下了费马大定理（直到20世纪90年代才被证明），把数论引上了近代的轨道．对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少．但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后，大部分由语法学家梅特罗多勒斯编写）中，收录了丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一．又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”墓志铭的意思是：丢番图的一生，幼年时代占１／６，青少年时代占１／１２，又过了其一生的１／７才结婚，５年后生了儿子，但很遗憾他的儿子比他还早４年去世，寿命只有他的一半．有兴趣的同学可以列方程算算丢番图到底活了多少岁．（答案：丢番图享年８４岁．）数学之父─塞乐斯 (Thales)塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。

丢番图的《算术》
丢番图的《算术》
《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。

《算术》事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。

虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。

并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、K r、△r△、△K r、K r K等符号。

无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。

因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。

直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。

首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪，费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。

《算术》中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。

丢番图的《算术》《算术》一书是古希腊亚历山大后期最伟大的数学家丢番图所作．关于他的生平，除了从他的墓志铭上了解到的以外，其余的一无所知．但是他给我们留下了丰厚的文化遗产，最著名的就是《算术》一书．丢番图一生写了三部数学书，《论多边形数》只保存下一个片断，《衍论》一书失传，不过许多数学家对《衍论》都作过注释，《算术》一书是他最重要的一本书，但是13卷中仅存6卷，就仅存的6卷内容来看，也足以表明作者在这个领域中是个天才．《算术》一书中讲述了一些深刻的数的定理，这些定理吸引着后来数学家韦达、费尔玛、欧拉、拉格朗日等，在他们的努力下，最终得到了满意的结果．《算术》主要是研究代数学的，特别是研究一次和二次方程，一元和二元二次或高次不定方程的．它的内容如下：第二卷的第28个问题是求两个平方数，使得它们的乘积加到任一个上给出一个平方数，丢番图的答案是：（43)2，(247)2． 第三卷的第7个问题是求成算术级数的三个数，使得其中任何两个数的和为平方数．丢番图也给出了答案，这三个数分别是12021、84021、156021． 第三卷的第13个问题是求三个数，使得其中任何两个数的乘积加上第三个数为平方数．这个问题在《算术》中虽然提了出来，但是丢番图并没有给出具体的求解方法．第四卷中的第10个问题也非常有趣，它是求两个数，使得它们的和等于它们的立方和，丢番图的答案是75，78． 第六卷中的问题涉及到了几何．第1个问题是这样的，求一组毕氏三数，使其斜边减去每一个直角边均为立方数，丢番图给出的答案是40，96，104．值得注意的是，这里的毕氏三数，就是我们现在所讲的一组勾股数，三个整数a ，b ，c 是毕氏三数，即它们能表示一个直角三角形的两个直角边和一个斜边，即满足勾股定理．第16个问题也是涉及到求勾股数的问题．它让求一组毕氏三数，使其一个锐角的平分线的长度为有理数．当然《算术》中的题目还很多，所有这些题目都表明了丢番图在代数方面的巨大成就，但是应该注意的是，它里面缺少一般问题的解法，而只是讲述了为每一个特殊问题的需要而设计的巧妙方法．并且它只承认正有理数解，而且在许多场合下，满足于对一个问题只求出一个解．丢番图除了方程上的贡献外，他还有另一个重大的发明，那就是简字代数．也就是说，代数是以其符号化来体现本质特征的，符号的创用是数学上的一件大事，它不仅能帮助人快速思维，而且能以其精炼的形式克服自然语言时常出现的歧义现象，代数的符号化过程大体经历了三个阶段，即文字代数、简字代数和符号代数．丢番图是简字代数的创始人，他的简字代数，奠定了欧洲数学符号化的基础．简字就是把代数中的核心词缩减而成的一种字母符号，常常采用词语的第一个字母来表示．丢番图首先引进了未知数符号，在他那里，未知数被称为“题中的数”．另外，他把未知数的平方、立方、四次方、五次方、六次方都用符号来代替．他已经熟悉正整数指数完成的运算的性质，给了特殊的名称．所有这一切，都对后来的代数学产生了巨大的影响．。