【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第四节 基本不等式及其应用练习

第四节 基本不等式及其应用
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2009·天津高考)设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b
的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1
D.1
4
解析：由题意知3a
·3b
＝3，即3
a ＋b
＝3，所以a ＋b ＝1.
因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
答案：B
2．(2011·开封模拟)已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y
＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
解析：因为x >0，y >0，且lg2x ＋lg8y
＝lg2，所以x ＋3y ＝1，于是有1x ＋13y ＝(x ＋3y )(1x ＋
13y )＝2＋(3y x ＋x
3y
)≥4. 答案：C 3．函数f (x )＝x
x ＋1
的最大值为( )
A.2
5 B.12 C.22
D ．1
解析：显然x ≥0.x ＝0时，f (x )＝0； 当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤1
2，
当且仅当x ＝1时，取等号，f (x )max ＝1
2.
答案：B
4．(2009·重庆高考)已知a >0，b >0，则1a ＋1
b
＋2ab 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
解析：1a ＋1b
＋2ab ≥2ab
＋2ab ≥22×2＝4.
当且仅当⎩⎨
⎧
a ＝
b ，ab ＝1，
时，等号成立，即a ＝b ＝1，不等式取最小值4.
答案：C
5．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a
y
)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y x
＋a
≥a ＋1＋2
a ·x y ·y
x ＝a ＋2a ＋1， 当且仅当a ·x y ＝y x
等号成立， 所以(a )2
＋2a ＋1≥9，
即(a )2
＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C
6．(2011·长春质检)某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )
A ．小于10 g
B ．大于10 g
C ．大于等于10 g
D ．小于等于10 g
解析：设左、右臂长分别为t 1、t 2，第一次称的药品为x 1，第二次称的药品为x 2，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5(t 1t 2＋t 2t 1
)>5×2＝10，即大于10 g.
答案：B
二、填空题(3×5分＝15分)
7．(2010·济宁模拟)函数y ＝x 2＋2x ＋2
x ＋1
(x >－1)的图象的最低点坐标是________．
解析：y ＝(x ＋1)＋1
x ＋1
≥2，当且仅当x ＝0时，取等号． 答案：(0,2) 8．函数y ＝a
x －1
(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图象上，
其中m ，n >0，则1m ＋1
n
的最小值为________．
解析：由题知A (1,1)，∴m ＋n ＝1，m ，n >0. ∴1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n
≥4.
答案：4
9．(2011·忻州模拟)设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz
的最小值是________．
解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝
x ＋3z
2
，
代入y 2xz 得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz
＝3，
当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 答案：3
三、解答题(共37分)
10．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系式为y ＝
920v
v ＋3v ＋1 600
(v >0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)；
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解析：(1)依题意，
y ＝
9203＋v ＋1 600v
≤9203＋2 1 600＝920
83
，
当且仅当v ＝1 600v
，即v ＝40时，上式等号成立．
所以y max ＝920
83
≈11.1(千辆/小时)．
所以当v ＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时． (2)由条件得
920v
v 2＋3v ＋1 600
>10，
整理得v 2
－89v ＋1 600<0，即(v －25)(v －64)<0， 解得25<v <64.
所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
11．(理)(12分)(2011·福州质检)(1)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求
证：a 2x ＋b 2y ≥
a ＋
b 2
x ＋y
，并指出等号成立的条件．
(2)求函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈(0，12)的最小值，指出取最小值时x 的值．
(1)证明：∵a ，b ，x ，y 都是正数，
∴(a 2x ＋b 2y )(x ＋y )＝a 2＋b 2＋b 2x y ＋a 2y x ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
，当且仅当b 2x y ＝a 2y x ，即bx ＝
ay 时取“＝”．
∴a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2
x ＋y
，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．
(2)∵0<x <1
2，∴0<1－2x <1.
由(1)，知f (x )＝42x ＋91－2x ≥
2＋32
1
＝25，
当且仅当3·2x ＝2·(1－2x )，即x ＝15∈(0，1
2)时取“＝”．
∴x ＝1
5
时，f (x )的最小值为25.
(文)(12分)(1)设x >－1，求函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．
(2)求y ＝x (a －2x )(0<x <a
2，且a 为常数)的最大值．
解析：(1)∵x >－1，
∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1
＝x ＋12
＋5x ＋1＋4
x ＋1
＝(x ＋1)＋4
x ＋1
＋5 ≥2
x ＋1·4
x ＋1
＋5＝9.
当且仅当x ＋1＝
4
x ＋1
，即x ＝1时取等号． ∴函数的最小值为9. (2)∵0<x <a
2，∴a －2x >0，
∴y ＝x (a －2x )＝1
2
·2x (a －2x )
≤12·(2x ＋a －2x 2)2＝a 2
8
. 当且仅当2x ＝a －2x ，即x ＝a
4时取等号，
∴当x ＝a 4时，函数的最大值为a 2
8
.
12．(13分)(2011·南通模拟)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园
ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1
的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．
(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1
B 1
C 1
＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解析：(1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米， 则其长A 1B 1为ax 米， ∴a 2
x ＝4 000⇒a ＝2010x
，
∴S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2
x ＋(8x ＋20)a ＋160
＝4 000＋(8x ＋20)·2010
x
＋160
＝8010(2x ＋
5
x
)＋4 160(x >1)．
(2)S ≥1 600＋4 160＝5 760 (当且仅当2x ＝
5
x
⇒x ＝2.5)，
即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．
此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米．。