2019届高考数学考前30天基础知识专练8(不等式推理与证明)

2019年高考理科数学考前30天--填空题专训（一）题组一填空题：本大题共4小题，每小题5分．1．等比数列各项均为正数，，则 __________． 【答案】20【解析】由，得，所以．2．已知实数、满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】可行域如图所示，当动直线过点时，有最大值，又由得，故的最大值为4．故填4．{}n a 384718a a a a +=1210333log log log a a a ++⋯+=384718a a a a +=479a a=121033log log a a a ++⋯+=555101210110473333)log )log )log 2log 320a a a a a a a ⋯=====x y 2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨>⎪⎪>⎩≤≥2z x y =+20x y z +-=A 2350y xx y =⎧⎨-+=⎩()1,2A3．两个不共线向量、的夹角为，、分别为线段、的中点，点在直线上，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】因为、、三点共线，所以，所以，，，表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填． 4．若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”．给出下列命题：①是自倒函数；OA OB q M N OA OB C MN (),OA OB OC x y x y =+∈R 22x y +18C M N ()1122t t OC OM ON OA t t OB -=+-=+2tx =12t y -=12x y +=22x y +102x y +-=218=⎝⎭18()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()ππsin 2,22f x x x ⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭②自倒函数可以是奇函数； ③自倒函数的值域可以是；④若，都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数． 则以上命题正确的是________（写出所有正确命题的序号）． 【答案】①②【解析】为上的单调函数，否则方程不止一个实数解．对于①，在是单调增函数，且其值域为，对于任意的，则，故在有唯一解，①正确；对于②，取，，的值域为，因为在和都是单调减函数，故对于，有唯一解，，为“自倒函数”，②正确；对于③，如果的值域为，取，无解，③不正确；④取，，其中，它们都是“自倒函数”，但是，这是常数函数，它不是“自倒函数”．题组二1．在中，若，则 ．【解析】由正弦定理得，∴可设，，，∴．()f x ()f x R ()y f x =()y g x =()()y f x g x =⋅()f x D ()()11f x f x =()sin f x x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦221⎡⎤⎣⎦21t ⎡⎤∈⎣⎦121t ⎤∈⎦()1f x t =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2x x =()1f x x =()(),00,x ∈-∞+∞()f x ()(),00,-∞+∞()1f x x=(),0-∞()0,+∞()(),00,t ∈-∞+∞()f x t =2x x =()1f x x=()(),00,x ∈-∞+∞()f x R ()10f x =()201f x ⨯=()f x x =()1g x x=()(),00,x ∈-∞+∞()()()1F x f x g x =⋅=ABC △sin :sin :sin 3:4:6A B C =cos B =::3:4:6a b c =3a k =4b k =()60c k k =>2229361629cos 23636k k k B k k +-==⨯⨯【答案】2．若，则 ．【解析】∵，∴，， ∴，，∴． 【答案】5933．若的展开式中的系数为20，则 ．【解析】∵的展开式中的系数为，∴．【答案】4．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则 ．【解析】由题可知四面体的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示，设，，，，，∴，∴．【答案】2936()()2332log log log log 2x y ==x y +=()()2332log log log log 2x y ==3log 4x =2log 9y =4381x ==92512y ==81512593x y +=+=()()512x a x ++3x a =()()512x a x ++3x 23554C 8C 20a +=14a =-14-ABCD 9πO AB CD a ==5AC AD BC BD ====a =ABCD AF x =BF y =CF z =22225x z y z +=+=22224π9πx y z ++⨯=⎝⎭2x y ==2=2a =。

高三数学基础知识专练不等式 推理与证明一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 表中数据的特点，用适当的数填入表中“( )”内. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(mmHg) 110 115 120 125 130 135 ( ) 145 舒张压(mmHg)707375788083( )882、一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集为__________________.3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2)1(1-+=成立.类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 22)(221x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=x ax a x xx f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且ca mc b b a -≥-+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1)(1(bb a a ++的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”或“负数).13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2008项为__________.14、下面使用类比推理正确的序号是__________.(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 全等的平行四边形”；(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题15. 已知f (x )=a 2x －12x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 3.已知向量2） ^ =（3,0）,若（2a+by/（ma-b ）,则加的值为（A. -2B.2 1 C.——2D. 2019年高考数学考前30天…选择题专训（四）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = [x\x<lB = {X \3X <1}9 则（ A. A B = {x| x<0} B. AB =RC. A B = {x\ x>l}D ・ A B =【答案】A2复数目（I 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（》【答案】A4. 在平面区域｛（x,y ）|0WxWl,lW 応2｝内随机投入一点P ,则点P 的坐标（忑丁）满足yW2x 的概率为（ ）112 3 A. —B. —C. —D.—42 34【答案】A5. 已知 /（x ） = sin| % + —|,若sina=2 化＜a ＜兀],则/[ cr+—|=（）A . 7^2lo - 72 10D .7A /2lo - A .3迈 ~T C.5 D. 9A. /（兀）的一个周期为2兀B. y = /（x ）的图像关于直线“〒对称C. /（X + 71）的一个零点为兀=2 6D. /⑴在灯町单调递减制的建筑物的体积为（)A. 16 + 8 兀B. 64 + 8 兀,则C 的渐近线方程为【答案】Bx-3y+1W06.已知实数■ y 满足不等式组x+y-3^0 ,则x 2 + y 2的最小值是（）兀三0【答案】B7. 设函数/（x ） = cos x + L 则下列结论够送的是（）【答案】D &小明在"欧洲七日游"的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制 该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1,则小明绘C. 64+——D. 16 + —33【答案】C9.已知双曲线C$-* = l （a>0,b>0）的离心率为丰D・y =±xB.C.A. (1,3)B. (―3,—1)C.(1,5)D. (―5,—1)A. y = ±—x4【答案】c10-执行下面的程序框图，若输出的值为〒则判断框中可以填()A.D.【答案】D11.已知函数/(%) = < %l，x<0,若关于*的方程y(x) + m = O有3个实数—e" —x,兀$0根，则实数加的取值范围为( )【答案】C 12-已知在三棱锥PWC中,J占,厶心中，P5C，PB丄BC,且平面PAC丄平面PBC ,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为( )B.D. 32TI 丁【答案】D。

2019年高考数学考前30天---选择题专训（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】，，所以，选D ．2．已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得，且与不共线，所以，，，，选C ．3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得，，，选B ．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，22194x y M x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭132x y N x ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭MN =∅{}(3,2),(2,0){}3,2[3,3]-221[3,3]94x y M x ⎧⎫⎪⎪=+==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭132x y N x ⎧⎫=+==⎨⎬⎩⎭R [3,3]M N =-i j =2-a i j =λ+b i j a b λ22(2,)(,)33-+∞1(,)2+∞1(,2)(2,)2-∞--1(,)2-∞>0⋅a b a b 120λ->12λ≠-12λ∴<2λ≠-θl 230x y +-=cos 2θ3535-1515-1tan 12θ-=-tan 2θ∴=221tan 143cos 1tan 145θθθ--===-++则中间3尺重量为（ ） A ．9斤 B ．9.5斤C ．6斤D ．12斤【答案】A【解析】由等差数列性质得中间3尺重量为，选A ．5．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选D ．6．已知点和圆，过点作圆的切线有两条，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意得点在圆外，，，3(42)92+=(1,2)P 222:20C x y kx y k ++++=P C kR (-∞(((1,2)P C 21440k k ∴++++>22440k k +->，选C ． 7．已知，是双曲线的焦点，是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，是椭圆与双曲线的一个公共点，设，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ．且且【答案】A【解析】由题意得，，，，，，，选A ．8．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由正弦函数图像得，所以，，，选D ．9．设双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过k <<1F 2F 222:14y x M m -=y x =M 34E M P E M 12PF PF n ⋅=n 12n =24n =36n =12n ≠24n ≠36n≠2m=43c =+4a ∴=1228PF PF a +==12224PF PF -=⨯=2212484PF PF ⋅=-12n ∴=2017sin π,01()log ,1x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤≤a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++(1,2017)(1,2018)[2,2018](2,2018)1212a b +=⨯=20170log 1c <<12017c ∴<<(2,2018)a b c ++∈22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F e 2F的直线与双曲线的右支交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以，也就是，故，因此B ．10．如图，半径为的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】BA B 1F AB △A 2e =3+5-1+4-2AF x =12AF x a =+22BF a =14BF a =2224164242cos 4c a a a a π=+-⨯⨯⨯25c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2M A A B C O A D C －－－－－－()v g t =【解析】由图象可知：由和所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从用的时间长，而从的时间短，对于A 选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意； 对于B 选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C 选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；对于D 选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以不符合题意；综上可知，答案选B ．11．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令，则，故为上的减函数，有等价于，即，故不等式的解．12．已知定义在的函数对任意的满足，当，．函数，若函数在上有个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与A B C --C O A --A B C --C O A --R ()f x ()y f x '=()()f x f x '<()01f =()e x f x <()0,+∞()1,+∞()2,-+∞()4,+∞()()e x f x F x =()()()()()2e e 0e ex x x x f x f x f x f x F x ''--'==<()F x R ()e xf x <()1F x <()()0F x F <()0,+∞R ()y f x =x ()()1f x f x +=-11x -<≤()3f x x =()log ,01,0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩()()()h x f x g x =-[)6,-+∞6a ()10,7,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭[)11,7,997⎛⎤⎥⎝⎦(]11,7,997⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,11,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()()21f x f x f x +=-+=()f x 2()f x ()10y x x=-<[)6,0-()f x在有4个不同的交点，故，解的或，选C ．()g x ()0,+∞log 71log 91a a ⎧<⎪⎨⎪⎩≥79a <≤1197a <≤。

2019年高考（理科）数学考前必做基础30题1．已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A.B.C.D.4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．166．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 1212．已知向量，且，则等于__________．13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．若的展开式中的系数为80，则_______.17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.20．已知直线l 的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， D ， E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B ，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要P A的值；将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.P B的值；①%2记B表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()②设X表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X的分布列和数学期望.24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知AO面EFD．FA⊥平面,=为BC的中点, //CE OABC2,AB=2,AF=3,(1)求BD的长；(2)求证：面EFD⊥面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+= 26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC ．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).2019年高考（理科）数学考前必做基础30题答案及解析1．已知集合，，则（ ） A. B. C.D.【答案】D2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为()U M N ⋃ð，由题{}1M N x x ⋃=，所以(){|1}U M N x x ⋃=≤ð，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由解得，故点．∴．故选B ．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞ 【答案】D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．16【答案】C6．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，， ∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中2AB BD CD ===，AB BCD ⊥平面，BD CD ⊥，所以外接球的直径为AC =2412ππ=8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 【答案】B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________． 【答案】13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 【答案】133【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2264a a a =，又262610,1a a a a +==，所以24261011133113a a a ++=+=，填133．14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 【答案】12【解析】()()111111122i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，12n =.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数8913151020136x ++++++=，解得3x =；乙班共6个数据，中位数应为10106172y +++=，解得8y =.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 【答案】3【解析】()21||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】（1）由已知()f x 最小正周期为2π，所以22ππω=，解得1ω=.因为()f x 的最大值为2，所以2A =，所以()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线l的参数方程是2{x t y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为=≥，∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值为21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）分别租用A 、B 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知x ， y 满足的数学关系式为3660900,21,{7,0,0.x y x y y x x y +≥+≤-≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2（2）解：取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0B ， ()0,1,1E ， ()10,1,2C -，1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭， 设11C N C D λ=3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭， 则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n==，解得13λ=.∴33,,12NE ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭， 112C M C D λ= ⎫=⎪⎪⎝⎭， 11BM BC C M =+1,2⎫=-⎪⎪⎝⎭，， ∴cos ,NE BM132---==∴异面直线NE 与BM23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值； （2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片. ①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）320；（2）见解析 【解析】（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0， 100， 200， 300，则()2326105C P X C ===； ()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===； ()1226230015C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面,ABC 2,AB = 2,AF = 3,CE O =为BC 的中点, //AO 面EFD ．(1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3【解析】（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ,则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++==又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF所以,,,A O P F 四点共面,因为//AO 面EFD ，且面AOPF ⋂面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形， 2PO AF ==所以1BD =（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED ，因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED 又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；.设平面的法向量为(),,1n x y =， ()()1,0,1,PE PF ==由·0{·0n PF n PE ==得0{ 1y x ==- 所以()1,0,1n =-所以6cos ,BQ n BQ n BQ n⋅==-，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． 25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且A D C D ⊂、平面ACD ， AD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向， ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：()0,0,0E ，()2,0,0C ，()0,1,0B -，()0,1,0D，)Ah ，11,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.()1BA h=，()2,1,0DC =-，由于A BC D ⊥，所以210B A D C h ⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1,0,22A ⎛⎝⎭.由于12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+=26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)1314 (2) ()132E X a =【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A ，则()()4548131114C P A P A C =-=-=（2）由题意可得： 5,6,7,8X a a a a =.()()312235354488513035,67014707C C C C P X a P X a C C ========, ()()1343554488303517,87077014C C C P X a P X a C C ========.()13311356781477142E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯= 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°, PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面A B C D ,且平面PAD ⋂底面A B C D A D =,所以PO ⊥底面A B C D .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()11,3,0,0,22DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022xy y z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,所以余弦值为7. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Q λλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=. 所以当23λ=时, //PA 平面DEQ28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长． 【答案】（I ）60B ∠=°；（II ）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.2019年高考（理科）数学考前必做基础30题（解析版）第（31）页。

2019年高考数学考前30天---选择题专训（二）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}01M x x =≤≤，{}1N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}01x x ≤≤C ．{}11x x x -≤或0≤≤D ．{}10x x x -≤或≥【答案】D 2．若复数1i1i z -=+，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD 、-i【答案】C3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则（ ）A ．乙甲乙甲，σσ<<x xB ．乙甲乙甲，σσ><x xC ．乙甲乙甲，σσ<>x xD ．乙甲乙甲，σσ>>x x【答案】C 4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为（ ）A ．25B ．45C ．50D ．90【答案】B5．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内爬行的概率为（ ）A．1B ．34 CπD ．14【答案】A7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．22【答案】B8．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x +＜解集为（ ）A ．(,2)-∞-B ．)2,2(-C ．)2,(-∞D ．),2(+∞-【答案】D9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．12-D ．0【答案】D10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC △面积的最大值为（ ）A．B ．34C ．32D【答案】B11．设函数()()22cos e 2e x x f x x π⎛⎫-π++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．20182D ．20183【答案】A12．已知双曲线()222210x y b a a b -=＞＞的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．若双曲线上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．()1+B．)+∞C．)1D．)1,++∞【答案】C。

M=⎨x+=1⎬，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬，则M⎪⎩9⎪⎭⎩32⎭⎪⎪M=⎨x+=1⎬=[-3,3]，N=⎧⎨x x+y=1⎫⎬=R，所以M ⎪⎪⎭⎩-2，∴λ<2019年高考数学考前30天---选择题专训（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．∅【答案】D ⎧x2y2⎫4B．{(3,2),(2,0)}C．{3,2}N=（）D．[-3,3]【解析】⎪94⎪⎩32⎭N=[-3,3]，选D．2．已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）221 A．(-2,)(,+∞)B．(,+∞)332【答案】C11 C．(-∞,-2)(-2,)D．(-∞,)22【解析】由题意得a⋅b>0，且a与b不共线，所以1-2λ>0，1≠λ12，λ≠-2，选C．3．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则cos2θ的值为（）A．35B．-35C．15D．-15【答案】B【解析】由题意得 - tan θ = -1 ，∴ t an θ = 2 ， cos θ =12 1 - tan 2 θ 1 - 43 = =- 1 + tan 2 θ 1 +4 5，选 B ．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间 3 尺重量为（）A ．9 斤B ．9.5 斤C ．6 斤D ．12 斤【答案】A3【解析】由等差数列性质得中间 3 尺重量为 (4 + 2) = 9 ，选 A ．25．6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选 D ．A ． RB ． (-∞,C ． (-D ． (-= 1 的焦点， y =16．已知点 P(1,2) 和圆 C : x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 ，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是（）【答案】C2 3 2 3 2 3 3 3 3) , ) 2 3 3,0)【解析】 由题意得点 P(1,2) 在圆 C 外，∴1 + 4 + k + 4 + k 2> 0 ， k 2+ 4 - 4k 2> 0 ，∴-选 C ．2 3 2 3< k < ， 3 37．已知 F ，F 2 是双曲线 M : y 2 x 2 2 5 3- x 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率等于4 m 25 4的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，设 PF ⋅ PF = n ，则 n 的1 2值为（）A ． n = 12C ． n = 36【答案】A【解析】由题意得2m B ． n = 24D ． n ≠ 12 且 n ≠ 24 且 n ≠ 36= 5 ， c = 4 + 5 = 3 ，∴ a = 4 ， PF + PF = 2a = 8 ， PF - PF = 2 ⨯ 2 = 4 ，1 2 1 24 PF ⋅ PF = 82 - 42 ，∴ n = 12 ，选 A ．8．已知函数 f ( x ) = ⎨，若 a ， b ， c 互不相等，且 f (a) = f (b ) = f (c) ，则 a + b + c 的取 log x, x > 1⎩ x 1 1 4c 2= 16a2+ 4a2 - 2 ⨯ 4a ⨯ 2a ⨯ cos ，因此 ⎪ = 5 - 2 2 ，选 B ．1 1⎧sin π,0≤x ≤1 2017值范围是（）A ． (1,2017) 【答案】DB ． (1,2018)C ． [2,2018]D ． (2,2018)【解析】由正弦函数图像得 a + b = 2 ⨯ 12= 1 ，所以 0 < log 2017 c < 1 ，∴1 < c < 2017 ，a + b + c ∈ (2,2018) ，选 D ．9．设双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F 2 ，离心率为 e ，过 F 2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，若△F AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e 2 = （）A ． 3 + 2 2B ． 5 - 2 2C ．1 + 2 2D ． 4 - 2 2【答案】B【 解 析 】 设 AF 2 = x ， 则 AF = x + 2a ， 所 以 BF 2 = 2a ， 也 就 是 BF = 4a ， 故π ⎛ c ⎫2 4 ⎝ a ⎭10．如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A－B－C－O－A－D－C做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度v=g(t)的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知：由A-B-C和C-O-A所走的弧长不一样，所以用的时间也不一样，从A-B-C用的时间长，而从C-O-A的时间短，对于A选项：这两断的时间都是2个单位时间，时间一样长，所以不符合题意；对于B选项：第一段用的时间是2个单位时间，第二段用的是1个单位时间，所以符合题意；对于C选项：第一段用的是1个单位时间，第二段用的时间是2个单位时间，所以不符合题意；(' x ) = f ' x e x- f x e x = f ' x - f x < 0 ，故 F (x ) 为 R 上的减函数， ⎪ g (x ) = ⎨ 1 ，若函数 h (x ) = f (x )- g (x ) 在 [ -6, +∞) 上有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是⎪- , x < 0⎝ 7 ⎭ (7, +∞ ) A ． 0, ⎪⎝ 9 7 ⎦ [7,9 )B ． , ⎥⎣ 9 7 ⎭ (7,9 ]C ． ⎢ , ⎪⎣ 9 ⎭(1,9]D ． ⎢ ,1⎪7 < a ≤9 或 ≤a <点，故 ⎨ ，解的 log 9 ≥19 7对于 D 选项：第一段用的是 1 个单位时间，第二段用的是 1 个单位时间，所以不符合题意；综上可知，答案选 B ．11．已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) 的导函数为 y = f ' (x ) ，满足 f ' (x ) < f (x ) ， f (0) = 1 ，则不等式 f (x ) < e x 的解集为（）A ． (0, +∞)【答案】AB ． (1,+∞)C ． (-2, +∞)D ． (4, +∞)【解析】令 F (x ) =f (x )e x，则 F ( ) ( ) ( ) ( )e 2 x e x有 f (x ) < e x 等价于 F (x ) < 1，即 F (x ) < F (0)，故不等式的解 (0, +∞) ．12．已知定义在 R 的函数 y = f (x ) 对任意的 x 满足 f (x + 1) = - f (x ) ，当 -1≤x < 1 ， f (x ) = x 3 ．函数 ⎧ log x , x > 0a⎩ x（ ）⎛ 1 ⎫⎛ 1 1 ⎤⎡ 1 1 ⎫⎡ 1 ⎫【答案】C【解析】 因为 f (x + 2) = - f (x + 1) = f (x ) ，故 f (x ) 是周期函数且周期为 2 ，如图 f (x ) 的图像与y =- 1(x < 0) 的图像在 [ -6,0 ) 有两个不同的交点，故f (x ) 的图像与g (x )在 (0, +∞) 有 4 个不同的交 x⎧⎪ log 7 < 1 1 1a ⎪⎩a，选 C ．。

选择题专训（一）年高考数学考前30天---2019分，在每小题给出的四个选项中，只有一项5选择题：本大题共12小题，每小题是符合题目要求的. 22xy y x1 x M ），则1.已知集合,(MN1 N x9423 C. A. BD 3,2(3,2),(2,0)3,3][ D【答案】22xy xy3,3][ M x 1 D 【解析】所以，，选3,3] MN [RN x—4923夹角为锐角，与，且2.已知与为互相垂直的单位向量，，a i b j2i a=j jb =i贝U实数）的取值范围是（11221 . . D. C A. B) ),2,)( ( , )( 2,(, )2)((,UU 23322C【答案】1 ,，所以，，，【解析】由题意得且与不共线，a 2 0 1 20>ba b 1-—22 C.选）3.已知倾斜角为垂直，则的直线与直线的值为(cos2I O 3 x2y1133 D B . . C. A.-5555B【答案】2 3 1 tan411 cos .,【解析】由题意得，，选B2 tan 1 tan _______________ - 2 5 1 tan412重四斤，斩本一尺，有如下问题：我国古代数学著作《九章算术》“今有金簪，长五尺，4.“现有一根金杖，一头粗，一头细，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：问依次每一尺各重多少斤？” 斤；重斤，4在细的一端截下1尺，2重1在粗的一端截下尺，尺重量为（根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间 3 ）1A. 9斤B. 9.5斤C. 6 斤D . 12斤A【答案】3【解析】由等差数列性质得中间3尺重量为，选A. 9 （4 2卜2该几何体的主视图与俯视图如图所的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，6个棱长为15.）示，则其侧视图不可能为（【答案】正确，故C3)所示，2)所示，B正确；如图(【解析】如图(1)所以, A正确；如图(D .选222的取作圆的切线有两条，则6•已知点和圆，过点0 kx 2yk:Cx yCk(1,2)PP ) 值范围是(卫Z二/Z二£二£22333223 . D. CB. A. ,0)(,( ) ),( R3333C【答案】，由析【解】题圆在点意得，外，222C(1,2)P0 4 1k4 0 k 4kk4 22 C.，选k 3322、xy52的焦点，，7.已知是双曲线是双曲线的一条渐近线，FF1 M: yx M ------------ 21 ------------------ 2m453的一个公共点，与双曲线与双曲线的焦点相同，离心率等于是椭圆的椭圆MMEEP— 4 )设，贝U的值为(n I In PF PF21 . BA. 24n n 12 且且.C. D36n 24 n12n 36 n A【答案】2 ------- 『,,,,【解析】由题意得3c 4 I I 5 8aPF PF 24 a 21m• ••22，选A , , | | | | 48 4PF PF 12n | 4 PF2 PF2 21211 <x<sin n x,0 则且，.已知函数，若，，互不相等，8b c )f(x a c ab)cf(f(b) (fa) 1 logx,x 2017) 的取值范围是(D. BA. . C. (2,2018)[2,2018](1,2017)(1,2018)D【答案】1,以图数像得，，所正解【析】由弦函1 logc 02017 c 1 1 ab 2 2。

高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。

A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。

B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。

C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。

D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。

高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数， 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】 根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （ ）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题08 导数与不等式、函数零点相结合2018年高考全景展示1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[，1）．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f （θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017年高考全景展示1.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点.3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

专题限时集训(八)[第8讲 不等式及线性规划](时间：10分钟＋35分钟)2019二轮精品提分必练1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝2x ＋4y 的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．143．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2千克、B 原料4千克，生产乙产品每件需用A 原料3千克、B 原料2千克．A 原料每日供应量限额为60千克，B 原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 2019二轮精品提分必练1．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界．若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A.92 B ．－92 C.14D ．－4 2．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是( )A.15B.14C.13D.123．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n10＋4.9(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少为止)一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天4．已知x ，y ∈Z ，n ∈N *，设f (n )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，0≤y ≤－x ＋n 表示的平面区域内可行解的个数，由此可推出f (1)＝1，f (2)＝3，…，则f (10)＝( )A ．45B ．55C ．60D ．1005．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．6．设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD 的最大值是________．7.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？8．设函数f (x )＝2x 2＋2xx 2＋1，函数g (x )＝ax 2＋5x －2a .(1)求f (x )在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．专题限时集训(八)【基础演练】1．C 【解析】 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.2．C 【解析】 不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，根据目标函数的几何意义，z 4为直线y ＝－12x ＋z4在y 轴上的截距，故目标函数在点C 处取得最大值，点C 是直线x－y ＝－1，x ＋y ＝4的交点，解得C ⎝⎛⎭⎫32，52，故z max ＝2×32＋4×52＝13. 2019二轮精品提分必练3．D 【解析】 设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *.利润z ＝30x ＋20y .不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，其在直线2x ＋3y ＝60和直线4x ＋2y ＝80的交点B 处取得最大值，解得B (15,10)，代入目标函数得z max ＝30×15＋20×10＝650.2019二轮精品提分必练4．4 【解析】 函数y ＝a 1－x 的图象过点(1,1)，故m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥4，故1m ＋1n的最小值是4.【提升训练】1．B 【解析】 －12a －2b ＝－(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝－⎝⎛⎭⎫12＋2＋b 2a ＋2a b ≤－⎝⎛⎭⎫12＋2＋2＝－92. 2．C 【解析】 区域D 如图中的阴影部分，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)．所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1，得k ＝13.2019二轮精品提分必练3．B 【解析】 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32000＋⎝⎛⎭⎫5＋n 10＋4.9n2n＝32000n ＋n 20＋4.95，当且仅当32000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.4．B 【解析】 由可行域解的个数罗列可知f (1)＝1，f (2) ＝1＋2，f (3)＝1＋2＋3，…，f (10)＝1＋2＋3＋…＋10＝55.5.⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】瘙綈q即为(x－a)(x－a－1)≤0，p是瘙 綈 q 的充分不必要条件等价于，集合A ＝⎣⎡⎦⎤12，1是不等式(x －a )(x －a －1)≤0的解集B ＝[a ，a ＋1]的真子集，故实数a 满足a ≤12且a ＋1≥1，且两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.6．8 【解析】 四面体ABCD 与以AB ，AC ，AD 为棱长的长方体具有相同的外接球．设AB ＝x ，AC ＝y ，AD ＝z ，则x 2＋y 2＋z 2＝16.S △ABC ＋S △ABD ＋S △ACD ＝12(xy ＋yz ＋zx )≤12(x 2＋y 2＋z 2)＝8.7．【解答】 (1)由题意得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500. 即最多调整出500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a －3x500x 万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000－x )⎝⎛⎭⎫1＋1500x 万元， 则10⎝⎛⎭⎫a －3x 500x ≤10(1000－x )⎝⎛⎭⎫1＋1500x ， 所以ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立，因为2x 500＋1000x≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．8．【解答】 (1)f (x )＝2x 2＋2x x 2＋1＝2(x 2＋1)＋2x －2x 2＋1＝2＋2(x －1)x 2＋1，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，t ∈[－1,0]，f (t )＝2＋2tt 2＋2t ＋2，当t ＝0时，f (t )＝2；当t ∈[－1,0)，f (t )＝2＋2t ＋2t＋2，由函数的单调性得f (t )∈[0,2)，故函数f (x )在[0,1]上的值域是[0,2]． (2)f (x )的值域是[0,2]，要g (x 0)＝f (x 1)成立， 则[0,2]⊆{y |y ＝g (x )，x ∈[0,1]}．①当a ＝0时，x ∈[0,1]，g (x )＝5x ∈[0,5]，符合题意；②当a >0时，函数g (x )的对称轴为x ＝－52a<0，故当x ∈[0,1]时，函数为增函数，则g (x )的值域是[－2a,5－a ]，由条件知[0,2]⊆[－2a,5－a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ≤0，5－a ≥2⇒0<a ≤3；③当a <0时，函数g (x )的对称轴为x ＝－52a >0.当0<－52a <1，即a <－52时，g (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－2a ，－8a 2－254a 或⎣⎡⎦⎤5－a ，－8a 2－254a ， 由－2a >0,5－a >0知，此时不合题意；当－52a ≥1，即－52≤a <0时，g (x )的值域是[－2a,5－a ]，由－2a >0知，此时不合题意．综合①②③得0≤a ≤3.。

专项限时集训(八) 函数最值、恒成立及存在性问题(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． [解](1)f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0. 所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1， 从而g ′(x )＝2λx ，g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.2分(2)证明：由题意知：设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x ，设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0， 因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立. 6分(3)设函数H (x )＝x ln x －λ()x 2－1，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立． 又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x2≤0， 所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增． 于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ＞1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ＞0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ＞H ′(1)＝1－2λ＞0， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )＞0成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为λ≥12.14分2．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e≈2.71828.(1)当a ＜0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e]上有两个不同的实数解，求a b的取值范围.【导学号：56394114】[解](1)b ＝－1时，f (x )＝a ln x ＋x 3，则f ′(x )＝a ＋3x 3x，令f ′(x )＝0，解得：x ＝3－a3，∵a ＜0，∴3－a3＞0， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：故g (a )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 3＝a 3ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－a3， 令t (x )＝－x ln x ＋x ，则t ′(x )＝－ln x ，令t ′(x )＝0，解得：x ＝1， 且x ＝1时，t (x )有最大值1， 故g (a )的最大值是1，此时a ＝－3；8分(2)由题意得：方程a ln x －bx 3＝0在区间(1，e]上有2个不同的实数根，故a b ＝x 3ln x在区间(1，e]上有2个不同实数根， 即函数y 1＝a b 的图象与函数m (x )＝x 3ln x 的图象有2个不同的交点，∵m ′(x )＝x 2 3ln x －1 ln x 2，令m ′(x )＝0，得：x ＝3e ， x ，m ′(x )，m (x )的变化如下：∴x ∈(1，3e)时，m (x )∈(3e ，＋∞)，x ∈(3e ，e]时，m (x )∈(3e ，e 3]， 故a ，b 满足的关系式是3e ＜a b≤e 3，即a b的范围是(3e ，e 3].14分3．(本小题满分14分)(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知函数f (x )＝x －1x，(1)函数F (x )＝f (e x)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36，其中k 为实数， ①求F ′(0)的值；②对∀x ∈(0,1)，有F (x )＞0，求k 的最大值；(2)若g (x )＝x 2＋2ln xa(a 为正实数)，试求函数f (x )与g (x )在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a 的个数，若不存在，请说明理由． [解](1)由F (x )＝e x－1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 36得F ′(x )＝e x＋1e x －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，①F ′(0)＝2－k ，②记h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x－1ex －kx ，记m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝e x ＋1e x －k ，当x ∈(0,1)时，e x＋1e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e ＋1e .3分(ⅰ)当k ≤2时，m ′(x )＞2－k ≥0，x ∈(0,1)，即m (x )在(0,1)上是增函数， 又m (0)＝0，则h ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即h (x )在(0,1)上是增函数，又F ′(0)＝2－k ≥0， 则F ′(x )＞0，x ∈(0,1)，即F (x )在(0,1)上是增函数，故F (x )＞F (0)＝0，x ∈(0,1)． (ⅱ)当k ＞2时，则存在x 0∈(0,1)，使得m ′(x )在(0，x 0)小于0，即m (x )在(0，x 0)上是减函数，则h ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)， 即h (x )在(0，x 0)上是减函数，又F ′(0)＝2－k ＜0， 则F ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，又F ′(0)＝2－k ＜0， 即F (x )在(0，x 0)上是减函数， 故F (x )＜F (0)＝0，x ∈(0，x 0)，矛盾． 故k 的最大值为2.8分(2)设函数f (x )与g (x )在其公共点x ＝x 1处存在公切线，则⎩⎨⎧x 1－1x 1＝x 21＋2ln x 1a， ①1＋1x 21＝2x 1＋2x 1a ， ②由②得(2x 1－a )(x 21＋1)＝0，即x 1＝a2，代入①得8ln a －8ln2－a 2＋8＝0，记G (a )＝8ln a －8ln2－a 2＋8，则G ′(a )＝8a－2a ，得G (a )在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数， 又G (2)＝4＞0，G (4)＝8ln2－8＜0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ＝－4e 2＜0， 得符合条件的a 的个数为2.(未证明小于0的扣2分)14分4．(本小题满分16分)(无锡市2019届高三上学期期末)已知f (x )＝x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝e x.(1)当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ∈(－1,0)，设函数G (x )＝f xg x ，H (x )＝－14x ＋54，求证：对任意x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)＜H (x 2)恒成立．[解](1)∵F (x )＝x 2＋mx ＋1－e x ，∴F ′(x )＝2x ＋m －e x. ∵当x ∈[0,2]时，F (x )＝f (x )－g (x )为增函数， ∴F ′(x )≥0即2x ＋m －e x≥0在[0,2]上恒成立， 即m ≥e x－2x 在[0,2]上恒成立． 令h (x )＝e x－2x ，x ∈[0,2]，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln2.∴h (x )在[0，ln2]上单调递减，在[ln2,2]上单调递增． ∵h (0)＝1，h (2)＝e 2－4＞1， ∴h (x )max ＝h (2)＝e 2－4， ∴m ≥e 2－4.6分(2)证明：G (x )＝x 2＋mx ＋1ex，则G ′(x )＝－x 2＋ 2－m x ＋m －1e x ＝－ x －1 [x － 1－m ]e x. 要证任给x 1，x 2∈[1,1－m ]，G (x 1)≤H (x 2)恒成立，即证G (x )max ≤H (x )min ， ∵x ∈[1,1－m ]，∴G (x )在[1,1－m ]上单调递增，G (x )max ＝G (1－m )＝2－me 1－m ，∵H (x )在[1,1－m ]上单调递减，H (x )min ＝H (1－m )＝－14(1－m )＋54.10分要证G (x )max ≤H (x )min ，即证2－m e 1－m ≤－14(1－m )＋54，即证4(2－m )≤e1－m[5－(1－m )]．令1－m ＝t ，则t ∈(1,2)．设r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)，x ∈[1,2]，即r (x )＝5e x－x e x－4x －4.r ′(x )＝(4－x )e x －4≥2e x －4＞0，∴r (x )＝e x(5－x )－4(x ＋1)在[1,2]上单调递增， ∵r (1)＝4e －8＞0，∴e x(5－x )≥4(x ＋1)，从而有－14(1－m )＋54≥2－m e ，即当x ∈[1,1－m ]时，G (x )max ≤H (x )min 成立.16分5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019届高三上学期期末)已知函数f (x )＝x 22e－ax ，g (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)解关于x (x ∈R )的不等式f (x )≤0； (2)证明：f (x )≥g (x )；(3)是否存在常数a ，b ，使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【导学号：56394115】[解](1)当a ＝0时，f (x )＝x 22e，所以f (x )≤0的解集为{0}；当a ≠0时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2e －a ， 若a ＞0，则f (x )≤0的解集为[0,2e a ]． 若a ＜0，则f (x )≤0的解集为[2e a,0]． 综上所述，当a ＝0时，f (x )≤0的解集为{0}；当a ＞0时，f (x )≤0的解集为[0,2e a ]； 当a ＜0时，f (x )≤0的解集为[2e a,0].4分(2)证明：设h (x )＝f (x )－g (x )＝x 22e －ln x ，则h ′(x )＝x e －1x ＝x 2－ee x.令h ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：所以函数h (x )所以h (x )＝x 22e－ln x ≥0，即f (x )≥g (x ).8分(3)假设存在常数a ，b 使得f (x )≥ax ＋b ≥g (x )对任意的x ＞0恒成立， 即x 22e≥2ax ＋b ≥ln x 对任意的x ＞0恒成立． 而当x ＝e 时，ln x ＝x 22e ＝12，所以12≥2a e ＋b ≥12，所以2a e ＋b ＝12，则b ＝12－2a e ，所以x 22e －2ax －b ＝x 22e －2ax ＋2a e －12≥0(*)恒成立，①当a ≤0时，2a e －12＜0，所以(*)式在(0，＋∞)上不恒成立；②当a ＞0时，则4a 2－2e (2a e －12)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1e 2≤0，所以a ＝12e，则b ＝－12. 令φ(x )＝ln x －1ex ＋12，则φ′(x )＝e －x e x，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，e)上单调递增； 当x ＞e 时，φ′(x )＜0，φ(x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以φ(x )的最大值为φ(e)＝0.所以ln x －1ex ＋12≤0恒成立．所以存在a ＝12e，b ＝－12符合题意.16分6．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x)＝0(其中e 为自然对数的底数)；(2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间；(3)当a ＝1时，记h (x )＝f (x )·g (x )，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解？若存在，请求出λ的最小值：若不存在，请说明理由．(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)[解](1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0即为2e x＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x＝12，故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln2. 2分(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x ＞0)， 所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x － a －1 x2＝ ax － a －1 x ＋1x2(x ＞0)， ①当a ＝0时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ②当a ＞1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞a －1a； ③当0＜a ＜1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ④当a ＝1时，由φ′(x )＞0，解得x ＞0； ⑤当a ＜0时，由φ′(x )＞0，解得0＜x ＜a －1a . 综上所述，当a ＜0时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ； 当0≤a ≤1时，φ(x )的增区间为(0，＋∞)；a ＞1时，φ(x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞.6分(3)法一：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3，h (x )＝(x －3)ln x ，所以h ′(x )＝ln x ＋1－3x 单调递增，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋1－2＜0，h ′(2)＝ln2＋1－32＞0， 所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，使得h ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1－3x 0＝0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )min ＝h (x 0)＝(x 0－3)ln x 0＝(x 0－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－1＝－ x 0－3 2x 0＝6－⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋9x 0，记函数r (x )＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜h (x 0)＜r (2)，即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，由2λ≥－32，且λ为整数，得λ≥0，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分法二：当a ＝1时，f (x )＝ln x ，g (x )＝x －3， 所以h (x )＝(x －3)ln x ，由h (1)＝0得，当λ＝0时，不等式2λ≥h (x )有解，下证：当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立，即证(x －3)ln x ＞－2恒成立． 显然当x ∈(0,1]∪[3，＋∞)时，不等式恒成立， 只需证明当x ∈(1,3)时，(x －3)ln x ＞－2恒成立． 即证明ln x ＋2x －3＜0.令m (x )＝ln x ＋2x －3， 所以m ′(x )＝1x －2 x －3 2＝x 2－8x ＋9x x －3 2，由m ′(x )＝0，得x ＝4－7，当x ∈(1,4－7)时，m ′(x )＞0；当x ∈(4－7，3)时，m ′(x )＜0； 所以m (x )max ＝m (4－7)＝ln(4－7)－7＋13＜ln(4－2)－2＋13＝ln2－1＜0. 所以当λ≤－1时，h (x )＞2λ恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. 16分。

2019年高考数学考前30天---选择题专训（二十）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由可得或，故．【答案】C2．若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由得． 则复数的实部与虚部之和为．【答案】B3．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】．【答案】A{}220A x x x =-->{}0B x x =>A B =I ()1,2()0,2()2,+∞()1,+∞220x x -->1x <-2x >()2,A B =+∞I z ()1i 23i z -=+z 2-24-4()1i 23i z -=+23i 15i 1i 22z +==-+-z 15222-+=ABC △4AB AC AP +=uu u r uuu r uu u rPB =uur 3144AB AC -uuu r uuu r 3144AB AC -+uu u r uuu r 1344AB AC -+uu u r uuu r 1344AB AC -uuu r uuu r 11314444PB AB AP AB AB AC AB AC ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r4．，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，切，则的周长为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．18【解析】由双曲线的定义可知，，∴， ∵，∴的周长为． 【答案】D5．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成的每个实数都是等可能性的，若用电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】∵每次生成一个实数大于的概率为，∴这三个实数都大于的概率为．【答案】C6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则（ ）1F 2F 22:197x y C -=P C 18PF =12PF F △1226PF PF a -==22PF =1228F F c ==12PF F △88218++=()0,1131272382749132313328327⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，故，．【答案】D7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】， ．，．【答案】C8．设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（ ）4,10n V ==5,12n V ==4,12n V ==5,10n V ==5n =212221102V ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭sin()2cos )4αααπ+=+sin2α=45-4535-35sin()2cos )cos )4αααααπ+=+=+Q sin 3cos 0αα+=tan 3α∴=-2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos 1tan 5ααααααα∴===-++()f x ()f x '()f x ()0,1()f x 'A ．B ．C ．D ．【解析】若为偶函数，则为奇函数，故排除B 、D ．又在上存在极大值，故选C ． 【答案】C9．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）【解析】一共取了7次，27=128，A 、C 、D 不能完成功能，B 能完成功能，故选B ． 【答案】B10．已知函数，点是平面区域内的任意一点，若的最小值为，则的值为（ ）()f x ()f x '()f x ()0,1()21f x ax bx =-+(),a b 20,,1,x y x m y +-⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≥()()21f f -6-mA ．B ．C ．D ．【解析】∵，，∴．作出不等式组表示的可行域，由得，故．由得，由图可知，目标函数在点处取得最小值，则，∴． 【答案】A11．若函数恰有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】解：设，，作出这两个函数在上的图象，如图所示：1-012()2421f a b =-+()11f a b =-+()()213f f a b -=-201a b b +-⎧⎨-⎩≤≥201a b b +-=⎧⎨=-⎩3a =3m <20a m a b =⎧⎨+-=⎩2a m b m =⎧⎨=-⎩3z a b =-(),2m m -6-326m m -+=-1m =-sin(2),6()cos(2),62x x m f x x m x π⎧--π⎪⎪=⎨ππ⎪-⎪⎩≤≤≤≤11(,](,]126123ππππ--U 11(,](,](,]123126123π2π5ππππ----U U 11[,)[,)126123ππππ--U 11[,)[,)[,)123126123π2π5ππππ----U U ()sin(2)6g x x π=-()cos(2)6h x x π=-.2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦在上的零点为，，；在上的零点为，，．恰有4个零点，由图象可得． 所以B 选项是正确的． 【答案】B12．直线与抛物线相交于，两点，，给出下列4个命题：的重心在定直线上；；的重心在定直线上；．其中的真命题为（ ） A．B ．C ．D ．【解析】将代入得，设，，，，，又，则的重心的坐标为，即，故为真命题． ，∴，，设，，令得，可知，从而，故为真命题．()gx .2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦1112π-512π-12π()h x .2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦23π-6π-3π()f x 11(,](,](,]123126123m π2π5ππππ∈----U U y x a =+()250y ax a =>A B ()0,2C a 1:p ABC △730x y -=2:p 3:p ABC △370x y -=4:p 12,p p 14,p p 23,p p 34,p p y x a =+()250y ax a =>2230x ax a -+=()11,A x y ()22,B x y 250a ∆=>123x x a +=121225y y x x a a +=++=()0,2C a ABC △121202,33x x y y a ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭7,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭1p ()0AB a ==>==03a <≤()233f a a a =-()03a <≤()()26332f a a a a a '=-=-()0f a '=2a =()()max 24f a f ==2p【答案】A。