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第六章 不等式、推理与证明(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪xx －1<0，B ＝{}x |0<x <3，则A ∩B ＝ ( ) A.{}x |1<x <3 B.{}x |0<x <3 C.{}x |0<x <1 D ．∅ 解析：由xx －1<0⇒x (x －1)<0⇒0<x <1，∵B ＝{}x |0<x <3，∴A ∩B ＝{}x |0<x <1. 答案：C2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中正确的是 ( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 解析：由1a <1b <0可知b <a <0，所以ab >0，显然有a ＋b <ab ，|b |>|a |，且由均值不等式有 b a ＋a b >2 b a ·a b ＝2.答案：C3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3猜想a n 等于 ( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D.n ＋3－n 解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，猜想a n ＝n 2. 答案：B4．在下列函数中，最小值是2的是 ( ) A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x解析：7x ＋7－x ＝7x ＋17x ≥27x ·17x ＝2. 当且仅当7x ＝17x ，即x ＝0时，“＝”成立．答案：D5．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件． 答案：A6．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≥4或a ≤－4 D ．a <－4或a >4解析：不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，意味着方程x 2＋ax ＋4＝0的根的判别式大于零，解不等式Δ＝a 2－4×4>0，a <－4或a >4. 答案：D7．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{}x |2<x <4，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <14 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <14 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－b a＝6c a ＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <0－b c ＝34，a c ＝18∴cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－34x ＋18>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <14.答案：D8．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤2y ≤kx －2是一个三角形，则k 的取值范围是 ( )A ．(0,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．[－2,2]解析： 如图，只有直线y ＝kx －2与线段AB 相交 (不包括点A )或与线段CD 相交(不包括点D )，可行 域才能构成三角形，故k ∈[－2,0)∪(0,2]． 答案：C9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为 ( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．不确定 解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p . 答案：B10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m 、n 均为正数，则1m ＋2n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，令u ＝1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥8.答案：D11．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则tan ∠POQ 的最大值等于 ( ) A.12 B ．1 C.32D ．0 解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ 最大，∠POQ ＝∠POM －∠QOM ， tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM ) ＝tan ∠POM －tan ∠QOM 1＋tan ∠POM tan ∠QOM ＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4的解集是 ( )A.{}x |－2≤x <1B.{}x |x ≤1C.{}x |x <1D.{}x |x <－2解析：当x ＋2≥0即x ≥－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×1≤4，即x ≤1，故－2≤x ≤1；当x ＋2<0即x <－2时，不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤4化为：x ＋(x ＋2)×(－1)≤4，即－2≤4，这显然成立．综上可知，原不等式的解集为{}x |x ≤1. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N ＋)． 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N ＋)．答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 214．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”，这个类比命题的真假性是______．解析：由类比推理可知．答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 15．设x >0，则y ＝3－2x －1x 的最大值等于________．解析：∵x >0，则2x ＋1x ≥22，所以－(2x ＋1x )≤－22，2x ＝1x 时，x ＝22时等号成立，则y ＝3－2x －1x ≤3－22，即y max ＝3－2 2.答案：3－2 216．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：由约束条件作出可行域(如图)，当平行直线系y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (b 3，2b 3)时，z 取得最小值，即2×b 3＋2b3＝3，解之得b ＝94.答案：94三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )，∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 18．(本小题满分12分)解下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)已知x ＞2，求x ＋4x －2的最小值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求4x ＋9y 的最小值． 解：(1)法一：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．∴ab ≤14，∴ab ≤116.所以ab 的最大值为116.法二：∵a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝1， ∴ab ＝144a ·b ≤14(4a ＋b 2)2＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab 的最大值为116.(2)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (3)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴4x ＋9y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25， 当且仅当4y x ＝9xy 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4y x ＝9x y ，得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝35，∴当x ＝25，y ＝35时取等号．所以4x ＋9y 的最小值为25.19．(本小题满分12分)已知两个非零向量为b ＝(a －1，1x －2)，c ＝(x x －2，2－a )．解关于x 的不等式b ·c >1(其中a >0)． 解：b ·c ＝(a －1)x x －2＋2－ax －2， 由b ·c >1得(a －1)x ＋2－a x －2>1⇔(a －2)x －(a －4)x －2>0.(1)当a ＝2时，原不等式⇔2x －2>0，∴x >2. (2)当a ≠2时，x 1＝a －4a －2，x 2＝2.由于a －4a －2－2＝－a a －2，而a >0，于是有：①当－a a －2>0，即0<a <2时，a －2<0，a －4a －2>2.原不等式⇔x －a －4a －2x －2<0，∴2<x <a －4a －2.②当－a a －2<0，即a >2时，a －2>0，a －4a －2<2. 原不等式⇔x －a －4a －2x －2>0，∴x <a －4a －2或x >2综上可得：0<a <2时，原不等式解集为(2，a －4a －2)；a ＝2时，原不等式解集为(2，＋∞)； a >2时，原不等式解集为(－∞，a －4a －2)∪(2，＋∞)． 20．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300 的交点A (20,24)时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元).21．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积4840 cm 2，画面的宽和高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白．怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使λ∈[23，34]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张最小？ 解：设高为x cm ，则宽为λx cm ， 依题意有λx 2＝4 840 cm 2，则λx ＝4 840x ，宣传画所用纸张的总面积为y ＝(x ＋16)·(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5 000＋4 840×16x＋10x ≥5 000＋2 4 840×16x·10x ＝6 760， 当且仅当4 840×16x ＝10x ，即x ＝88 cm 时等号成立，此时λ＝4 840882＝58，所以宽为55 cm.当λ∈[23，34]时，λx 2＝4 840 cm 2，则x ∈[44330， 2215]，显然2215<88，即上面解题过程中等号不可能成立，利用函数的单调性，设f (x )＝4 840×16x＋10x ，则f (x )在区间(0,88]上单调递减，在区间[88，＋∞)上单调递增，故当x ∈[44330，2215]时单调递减，即取x ＝2215时f (x )有最小值，此时λ＝23.22．(文)(本小题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列；(3)设S n 为数列{b n }的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都是 S n >－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，∴{a n }不是等比数列．(2)证明：∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1(23a n －2n ＋14)＝－23(－1)n ·(a n－3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18∴b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得b n ＝－(λ＋18)·(－23)n －1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]．当λ＝－18时，b n ＝0，从而S n ＝0，S n >－12恒成立．当λ≠－18时，要使对任意正整数n ，都有S n >－12， 即－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]>－12⇔λ<201－(－23)n－18.令f (n )＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1<f (n )≤53；当n 为正偶数时，59≤f (n )<1.∴f (n )的最大值为f (1)＝53.于是可得λ<20×35－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有S n >－12，λ的取值范围为 (－∞，－6)．22．(理)(本小题满分14分)(2009·安徽高考)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解：(1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ≥2，a n 都是奇数．(2)法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1>a n 当且仅当a n <1或a n >3.另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法得，0<a 1<1⇔0<a n <1，∀n ∈N ＋； a 1>3⇔a n >3，∀n ∈N ＋.综上所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0， 于是0<a 1<1或a 1>3.a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0， 因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n∈N＋，a n＋1－a n与a2－a1同号．因此，对一切n∈N＋都有a n＋1>a n的充要条件是0<a1<1或a1>3.。
第六章不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。
（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。
（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。
（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。
（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。
（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。
【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。
（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。
（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。
（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。
（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。
（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。
（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。
（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。
1．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：∵a －|b |>0，∴|b |<a .∴a >0.∴－a <b <a .∴b ＋a >0.答案：D2．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．答案：A3．(2014·天津卷)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a 解析：利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π<0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .答案：C4．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|×|b|＝22|ab|＝2100＝20(当且仅当|a|＝|2b|时取等号)，因此|a＋2b|的最小值是20.答案：20。
其次节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．1．基本不等式a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)假如x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[常用结论] 重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b≥b . [基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2．( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4．( ) (3)x >0，y >0是x y ＋y x ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a ．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C ．]3．若a ，b ∈R，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b>2abD ．b a ＋ab≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.] 4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 5 [x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2x －1×4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．] 5．若实数x ，y 满意xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 2 2 [由xy ＝1得x 2＋2y 2≥22x 2y 2＝2 2. 当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．]利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2024·天津高考)已知a ，b ∈R，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)14 (2)1 [(1)由题知a －3b ＝－6，因为2a ＞0,8b ＞0，所以2a＋18b ≥2×2a×18b ＝2×2a －3b＝14，当且仅当2a＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号． (2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．4 [因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b 时，等号成立．][拓展探究] (1)若本例条件不变，求⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值；(2)若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b的最小值．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．(2)因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，等号成立．[规律方法] 利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)利用基本不等式干脆求解．(2)对条件运用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(3)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(1)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4(2)(2024·平顶山模拟)若对于随意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15(3)已知正实数x ，y 满意2x ＋y ＝2，则2x ＋1y的最小值为________．(1)C (2)A (3)92 [(1)当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C ．(2)由x ＞0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A ．(3)∵正实数x ，y 满意2x ＋y ＝2， 则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x·2x y＝92，当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]基本不等式的实际应用【例3】 某厂家拟定在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满意x ＝3－km ＋1(k 为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2024年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2024年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [规律方法] 利用基本不等式解决实际问题的3个留意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)依据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，肯定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满意f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满意g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
第六章 不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。
（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。
（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。
（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。
（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。
（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。
【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。
（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。
（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。
（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。
（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。
（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。
（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。
（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。
第六章不等式推理与证明(时间120分钟，满分150分)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1}解析：■/ x — 1> 0, /• x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B2 .下列命题中的真命题是答案:x w 0x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W —1.答案：D2x + 14 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是3 — x 1A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3}B . {x|2v x v 3} 1 1C . {x|—v x v 2}D . {x|— 1v x v — ^}解析：T I2X — 1|v 3, ••• — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0,(2x + 1)(x — 3) > 0,3 — x… 1 1…x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2).{x|x > 1}C . {x|x > 1 或 x =— 1}{x|x >— 1 或 x = 1}A门..右C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0?2 2B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2a 2>b 2.x 2, x w 03.已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m )C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m )解析：将原不等式转化为: x > 0检测答案：D5.给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b€ R，贝U a —b= 0? a = b” 类比推出“若a, b€ C,贝U a —b= 0? a = b”；②“若a, b, c, d € R,则复数a+ bi= c+ di? a= c, b= d” 类比推出“若a, b, c, d € Q,则 a + b 2= c+ d 2? a= c, b= d”；③“若a, b€ R，贝U a —b>0? a>b” 类比推出“若a, b€ C,贝U a —b>0? a>b”.其中类比得到的结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，女口 a = 5+ 6i, b= 4 + 6i, 虽然满足a —b= 1> 0,但复数a与b不能比较大小.答案：C6•已知实数a, b,则“ ab> 2” 是“ a2+ b2> 4”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：当ab>2时，a2+ b2>2ab>4,故充分性成立，而a2+ b2>4时，当a=—1, b=3时成立，但ab=—3v 2,显然ab> 2不成立，故必要性不成立.答案：A7. 三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是（）A .① B.② C .①② D .③解析：大前提是①，小前提是②，结论是③.答案：Bx> 0,8. 不等式组』x+ 3y>4 ，所表示的平面区域的面积等于（）3x + y w 4解析：不等式组表示的平面区域如图所示,由X+ 3y= 4，3x+ y= 4得交点A的坐标为（1,1）.又B、C两点的坐标为（0,4）, （0, 3）.3故 S ^ABC = 2(4—3) X 1 = 3 答案：C9.已知函数f(x) = ax 2+ bx + c 的图象过点(—1,3)和 (1,1),若0 v c v 1,则实数a 围是a —b +c = 3,得 b =— 1, •- a + c = 2.a +b +c = 1, 又 O v c v 1, ••• O v 2- a v 1, /• 1v a v 2. 答案：C10 . (2019 淄博模拟)若 f(a) = (3m — 1)a + b- 2m ,当 m € [0,1]时 f(a)w 1 恒成立, 的最大值为,满足此不等式组的点(a , b)构成图中的阴影部分, 1A 时，t 取得最大值 答案：D9 .已知函数 f(x)满足：f(p + q) = f(p)f(q), f(1) = 3, 则 f 2(1) f (2) + f ' f 十 f 二 f .+ f 、则解析：由 f(p + q)= f(p)f(q), 令 p = q = n ,得 f 2(n) = f(2n). 原式=「+ f(3) * f(5) + f(7)—2f(1)亠 2f(1)f(3)亠 2f(1)f(5) , 2f(1)f(7) =2f(1)* f * f + f =8f(1) = 24. 答案：B12 .某公司租地建仓库，每月土地占用费y i 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货的取值范A • [2,3]B . [1,3]C • (1,2)D . (1,3)解析：由题意: 2 B.2C.57 D.7解析：设 g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a ，由于当 m € [0,1]时g(m)=f(a)=(3 a-2) m+b-a w 1 恒成立，于是I g(0) < 1 g(1) w 1,即」其中 A(2,5),3 3a+b=t ,显然直线a+b=t 过点f(1)A . 36B . 24C . 18D . 12物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y i和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A. 5 km 处B. 4 km 处C. 3 km 处D. 2 km 处解析：由题意可设y i = y2= k2x,••• k i = xy i, k2=号,把x = I0, y i= 2 与x = I0, y2= 8 分别代入上式得k i= 20, k2= 0.8,• y i= 20, y2= 0.8x(x为仓库与车站距离),y= y i + y2= 0.8x+ 20> 2 - 0.8x —= 8,费用之和当且仅当0.8X =严，即x= 5时等号成立.答案：A、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共I6分•请把正确答案填在题中横线上)I3 .关于x的不等式x2+ (a* i)x* ab> 0的解集是｛x|x v—I或x> 4｝，则实数a、b的值分别为 ______________ .解析：由不等式的解集为｛x|x v—I或x>4｝可得，—i,4是方程x2* (a* i)x* ab= 0的两根，—i*4 =—(a* i)* ，解得a= —4, b= i.—i x 4 = ab答案：一4,iI4 .关于x的不等式ax2* 4x—i >—2x2 —a恒成立，那么实数a的取值范围是 ___________ 解析：不等式ax2 * 4x—i > —2x2 —a可化为(a* 2)x2* 4x* a—i > 0,当a * 2= 0,即卩a=—2时，不恒成立，不合题意.当a * 2工0时，要使不等式恒成立，需a*2>0，解得a>2.I6—4(a* 2)(a—i)< 0,所以a的取值范围为［2,+^).答案：［2,+^ )15 •某公司租赁甲、乙两种设备生产A, B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为 ___________ 元.解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，5x + 6y> 50,10x+ 20y> 140,*x€ N ,y€ N*.目标函数为z= 200x + 300y.作出其可行域，易知当x = 4, y= 5时，z= 200x+ 300y有最小值2300元.答案：230016 .已知点P(a, b)与点Q(1,0)在直线2x- 3y+ 1 = 0的两侧，则下列说法正确的是___________①2a- 3b+ 1 > 0;②a工0时，“有最小值，无最大值；a③？M € R =使.a2+ b2> M恒成立；④当a>0且a^ 1, b>0时，则一岂的取值范围为1 2 、(-汽-3)u(3，)•解析：由已知(2a—3b+ 1)(2 —0+ 1) v 0,即2a—3b+ 1v 0, •••①错;当 a > 0 时，由3b > 2a+ 1,可得b> 2+ —,a 3 3a•••不存在最小值，•②错；,a2+ b2表示为(a, b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得:由线性规划知识可知④正确.a—1a—1表示为(a, b)和(1,0)两点的斜率.•••③正确;答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共74分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)217 •(本小题满分 12 分)已知 f(x)=— 3x + a(6 — a)x + b. (1) 解关于a 的不等式f(1)>0;(2) 当不等式f(x)>0的解集为(一1,3)时，求实数a , b 的值. 解：(1)f(1) = — 3+ a(6 — a) + b = — a ?+ 6a + b — 3,T f(1) > 0,a ? — 6a + 3— b v 0.△= 24 + 4b ,当 W 0即b < — 6时，f(1) >0的解集为? 当 b >— 6 时，3 — b + 6v a v 3+ b + 6,••• f(1) > 0 的解集为{a|3— b + 6v a v 3 + b + 6} • (2) •••不等式一3x 2 + a(6— a)x + b >0 的解集为(一1,3),2a18 •（本小题满分 12 分）若 a 1 > 0,a 1^ 1, a n +1= 1 + ； （n = 1,2，…） (1) 求证：a n + 1工 a n ;1⑵令a 1 = ，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 a n .解：(1)证明：(采用反证法).若a n +1 = a n , 即,.2an = a n ，解得 a n = 0,1. 1 + a n从而a n = a “-1 = ・・・=a2 = a 1 = 0,1，与题设 a 1 >0, a 11相矛盾，故a n + 1工a n 成立.n — 11 2 4 816_2 ___(2) a 1 = 2、a 2= 3、a 3= 5、a 4= 9、a 5= 17 , a n = 2n -1+ 1 ,*n € N .19 .(本小题满分12分)(2019吉林模拟)沪杭高速公路全长 166千米.假设某汽车从上海 莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到 杭州.已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02;固定部分为200元.(1) 把全程运输成本y(元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解之，得> =3 ±3,、b = 9.a （6 — a ）3b 3200200(2)y = 166(0.02 v + 〒)> 166 X 2 =664(元)当且仅当0.02v = 200即v = 100千米/时时取等号v(1)若f(- 2) = 0,求F(x)的表达式；⑵设mn v 0, m + n > 0,试判断 F(m) + F(n)能否大于0? 解：(1)由 f(- 2) = 0,4a + 4= 0? a =- 1,不妨设 m >0且n v 0,贝U m >— n > 0,22F(m) + F (n)= f(m) — f(n)= am + 4— (an + 4) =a(m 2— n 2),当a >0时，F(m) + F(n)能大于0, 当a v 0时，F (m) + F (n)不能大于0.21 .（本小题满分12分）某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 一一“中国 印舞动的北京”和奥运会吉祥物一一“福娃”.该厂所用的主要原料为 A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获 利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月 利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x , y 套，月利润为z 元，解：（1）依题意得:y = (200 + 0.02v 2)x 166v=166(0.02 v + )(60 w v w 120).答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664 元.20.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = ax 2+ 4（a 为非零实数），设函数F （x ）= -X 2+4x 2-4(x 0) (x 0)m •v 0m + n > 0,• m , n 一正一负.0.02v X 200v(x > 0) (x v 0)••• F(x)=4x + 5y W 200, 3x + 10y W 300,由题意得x > 0, y > 0,目标函数为 z = 700x + 1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图:目标函数可变形为 y =— i^x +1200,4 7 3_ v — — v ——51210'A 坐标为(20,24).将点 A(20,24)代入 z = 700x + 1200y 得 z max = 700 X 20+ 1200 X 24= 42800 元. 答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20、24套时月利润最大，最大利润为42800 元.b22 .[理](本小题满分14分)已知函数f(x) = ax — 一— 2lnx , f(1) = 0. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；1 2⑵若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且a n +1= f '(a — n + J — n + 1,已 知 a 1= 4，求证：a n > 2n + 2.解：(1)因为 f(1) = a — b = 0,所以 a = b , 所以 f(x)= ax — a — 2lnx , 所以 f ' (x)= a + 為—2.x x要使函数f(x)在定义域(0,+ 8)内为单调函数， 则在(0, +)内f ' (x)恒大于等于0或恒小于等于 0.2当a = 0时，贝U f ' (x)=— -v 0在(0,+)内恒成立；适合题意.当a >0时，要使f ' (x)= ap —片2+ a — ->0恒成立，则a —0,解得a > 1;x a a a 当a v 0时，由f ' (x)= a +為—-v 0恒成立，适合题意.—7 N二当y =^x +孟通过图中的点A 时, —最大, 1200z 最大.解 4x + 5y = 200,3x + 10y = 300,得点卜5y~20020 1010 20 301050X60 1O?F Jx x所以a的取值范围为(一8, 0] U [1, + 8).⑵根据题意得：f ' (1) = 0,即卩a + a — 2= 0，得a = 1, 所以 f ' (x)=(丄一1)2,=a n — 2na n + 1.用数学归纳法证明如下: 当 n = 1 时，a 1= 4 = 2X 1 + 2, 当 n = 2 时，a 2= 9>2X 2+ 2;假设当n = k(k > 2且k € N *)时，不等式 a k > 2k + 2成立，即a k — 2k > 2成立， 则当 n = k + 1 时，a k +1 = a k (a k — 2k)+ 1 >(2k + 2)x 2+ 1 = 4k + 5>2(k + 1)+ 2, 所以当n = k + 1,不等式也成立，综上得对所有n € N *时，都有a n > 2n + 2.［文］(本小题满分14分)已知不等式x 2+ px + 1 > 2x + p.(1) 如果不等式当|p|w 2时恒成立，求x 的范围；(2) 如果不等式当2< x w 4时恒成立，求 p 的范围. 解：(1)原不等式为2(x — 1)p + (x — 1) > 0 ,令f(p) = (x — 1)p + (x — 1)2，它是关于 p 的一次函数， 定义域为［—2,2］，由一次函数的单调性知f( — 2) = (x — 1)(x — 3) > 0<f(2) = (x — 1)(x + 1) > 0 '解得x v — 1或x > 3.即x 的取值范围是{x|x v — 1或x > 3}.⑵不等式可化为(x — 1)p >— x 2+ 2x — 1, 9—x 2 + 2x — 1x — 1对x € [2,4]恒成立，所以 p > (1 — x) max .当 2 w x W 4 时，(1 — X )max =— 1 ,于是p >— 1.故p 的范围是{p|p >— 1}.于是 a n + 1 = f ' (a ；—n^)-n 2+ 1 = (a n - n)2- n 2+1••• p > =1 — x.。
