第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式

第一节 不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．知识点一 两个实数比较大小 1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔ab ，a －b ＝0⇔a b ，a －b<0⇔ab ；2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a R ，b，ab ＝1⇔a b a ∈R ，b，a b <1⇔a b a ∈R ，b答案1．> ＝ < 2.> ＝<1．判断正误(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若a b>1，则a >b .( ) 答案：(1)√ (2)×2．(必修⑤P75习题3.1A 组第2题改编)15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<知识点二 不等式的性质 1．对称性：a >b ⇔b <a ； 2．传递性：a >b ，b >c ⇒______；3．可加性：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； 4．可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； 5．可乘方：a >b >0⇒a n____b n(n ∈N ，n ≥2)； 6．可开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．答案2．a >c 3.> > 5.>3．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．( ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( ) (5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√4．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确． 答案：C5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.答案：(－π，0)热点一 比较两个数(式)的大小【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．【解析】 (1)∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1) 又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .(2)解：∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝(a b)a －b，又a >b >0，故a b>1，a －b >0，∴(a b )a －b >1，即a a b ba b ba >1， 又ab b a>0，∴a a b b>a b b a，∴a a b b与a b b a的大小关系为：a a b b>a b b a. 【答案】 (1)B (2)a a b b>a b b a(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 解析：(1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1) ＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0.则有x ∈R 时，m >n 恒成立，故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1. ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a <b . 答案：(1)B (2)a <b 热点二 不等式的性质考向1 利用不等式的性质比较大小【例2】 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c【解析】 由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <bc.【答案】 D考向2 不等式性质与函数性质的结合【例3】 (2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0【解析】 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln1＝0，排除D.故选C.解法2：因为函数y ＝(12)x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即(12)x －(12)y <0，故选C.【答案】 C(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④(3)已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b或b >1a”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.(3)因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．答案：(1)A (2)C (3)D 热点三 求取值范围【例4】 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 ∵－1<x <4,2<y <3. ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6.∴1<3x ＋2y <18. 【答案】 (－4,2) (1,18)1．将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1. ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ，∴x －y <0，②由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )．又－1<x ＋y <4,2<x －y <3. ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32.∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.答案：C1．洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，启发解题思维的重要依据． 2．比较两数大小，一般运用作差法，具体步骤是：作差——变形——判断(与0比较)．3．判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可利用特殊值法对命题进行否定．易错警示——多次使用同向不等式的可加性致误【例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．【错解】 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －，2≤f，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4.②①＋②得32≤a ≤3.②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． 【答案】 [4,11]【错因分析】 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．【正解】 解法1：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 【答案】 [5,10]解题策略：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．。

第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．(2012·福州模拟)下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.答案：D2．(2013·汕头检测)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，Q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且x ·y ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且x ·y ＞1，但推不出x ＞1且y ＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．(2012·汕头质检)下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 正确；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错误．答案：C5．(2013·全国新课标卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：因为log 32＝1log 23<1，log 52＝1log 25<1，又log 23>1，所以c 最大．又1<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b ，选D.答案：D6．(2012·湖南卷)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：由不等式及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb，①正确；由指数函数的图象与性质知②正确；由a ＞b ＞1，c ＜0知a －c ＞b －c ＞1－c ＞1，由对数函数的图象与性质知③正确．故选D.答案：D7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________．①a ·lg x ＞b ·lg x (x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a ·2x ＞b ·2x.解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确． 答案：④9．(2013·临沂模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④ 10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0. c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， 又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0. ∴ab ＞a ＋b .12．(2013·锦州模拟)已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ， b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．13．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n＋b n的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n>0， 而a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2，∴a n＋b nc n＝⎝⎛⎭⎪⎫acn＋⎝⎛⎭⎪⎫bcn<a2＋b2c2＝1，∴a n＋b n<c n.。

第六章不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。

（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。

（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。

（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。

（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。

（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。

【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。

（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。

（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。

（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。

（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。

（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。

（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。

（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。

第六章《不等式、推理与证明》
第一节不等关系与不等式—教案
☆教材的地位与作用——高考解读
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系
2.了解不等式（组）的实际背景
3.掌握不等式的性质及应用
☆教法：启发引导、精讲点拨、有效训练
☆学法：自主学习、合作探究
☆教学难点：不等式的性质，有关分式的性质
☆教学重点：不等式有关性质，求代数式取值范围
①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.
用作差法比较两个实数大小的四步曲
考向二不等式的性质[自主练透型]
考向三求代数式的取值范围问题[互动讲练型]
2<x－。

平移直线，求范围。

课堂小结
1.洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，
启发解题思维的重要依据。

2.比较两数大小的方法：作差法，作商法。

作差法具体步骤。

3.判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可以利用特殊值对命题进行否定。

课后分层作业：
1.《师说》课时作业33不等关系与不等式基础达标+能力挑战
2.《师说》课时作业33不等关系与不等式基础达标。