双曲线方程及性质的应用课堂达标效果检测及详细答案

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程课后知能检测 新人教A 版选修1-1一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32 C ．2D ．4【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A 二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝_____.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－3b2＝1.②联立①②得a 2＝2，b 2＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1.11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x 24－y 25＝1(x ≥2)． ①又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.②将②代入①得11x 2－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．设α为PA 所在直线的倾斜角，又k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.。

双曲线 检测卷一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．以双曲线2213x y -=的焦点为顶点，离心率eA ．221416x y -=B ．221164x y -=C ．22184x y -=D ．22148x y -=【答案】D2．已知双曲线224x y m+=1则m =A ．1B ．−1C ．8D ．−8【答案】D【解析】由题意知m <0,双曲线的方程可化为224x y m--=1,故a =2.因为e =c a =所以cc =解得m =−8.3．已知双曲线22x a −22y b =1(a >0,b >0)的离心率恰好等于它的一条渐近线斜率的2倍,则另一条渐近线的斜率为AB ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可得,e =2c b a a ==,所以b a=,所以另一条渐近线的斜率为−b a =4．过双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若FB =2FA ,|FA则该双曲线的标准方程为A ．22618x y -=1B ．22186x y -=1 C ．221812x y -=1D ．221818x y -=1 【答案】A5．已知双曲线x 2+ty 2=1的虚轴长是实轴长的两倍,则其顶点到渐近线的距离为ABCD 【答案】B【解析】由双曲线的定义可得t <0,x 2−21y t-=1,故实轴长为2,虚轴长为,解得t =14-,故双曲线的方程为x 2−24y =1,则其一个顶点为(1,0),一条渐近线的方程为y =2x,则顶点到渐近线的距离d 5=,选B ．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且3AF BF =，则双曲线离心率的最小值为A BC ．2D ．【答案】C【名师点睛】求双曲线的离心率或离心率的取值范围问题是高考常见问题，求离心率只需寻求一个关于,,a b c 的等量关系，求离心率的取值范围只需列出一个关于,,a b c 的不等关系，进而求出离心率的值或离心率的取值范围，求范围时还要注意曲线的离心率的范围，如双曲线的离心率的范围要大于1.7．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=， 1F ， 2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且12PF =，则2PF 等于 A ．4 B ．6 C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有223a =，所以，3a =，因为12PF =．所以，点P 在双曲线的左支上，故有212PF PF a -=，解得28PF =,故选C ．8．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线方程为A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】C9．设双曲线C ：221169x y -=的右焦点为F ，过点F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则dPF的值为 A ．34 B ．45C ．54D ．无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线MN ，设(,)P x y ，则544x -.∴16455544x d x PF -==-.故选B. 10．已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点，F 是右焦点，若AOF △（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率e 为 ABC．1D．1+【答案】D【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 11．已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则A ． 1B ． 2C ．4D ．【答案】A 【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在12FQF △中，为其中位线，故．故选A ．【名师点睛】对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化．12．若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD 【答案】A13．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点,,,A B C D 满足AC AB AD =+ ，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为A BCD ．【答案】A【解析】由题意，可知A ，B ，C ，D 四点组成平行四边形ABCD ，如图所示，设()()(),,,0,,0A x y B a D a -，则2222222212AB ADy y y x y k k x a x a x a a a⨯=⨯==⇒=+-+-，点A 在双曲线上，则： 2222222211x y x y a b a b -=⇒=+，据此可得： 22222211,22y y b a a b+=+∴=，结合222c a b =+可得双曲线的离心率为ce a==A ．【名师点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．14．已知双曲线的标准方程为2213x y -=，直线():0,0l y kx m k m =+≠≠与双曲线交于不同的两点C D 、，若C D 、两点在以点()01A -，为圆心的同一个圆上，则实数m 的取值范围是A ．1{|0}4m m -<<B ．{}|4m m >C ．{|04}m m <<D 【答案】D二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）15．设k 1,k 2分别是双曲线2224x y b-=1(b >0)的两条渐近线的斜率,且双曲线的离心率为32,则b = ,k 1k 2= .【答案】54-【解析】双曲线的离心率e 32=，b 22=145x y -可求得双曲线的渐近线方程为y =x，所以k 1k 2=54-.16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为____________.【答案】17．已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为__________． 【答案】43【解析】因为F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，联立两直线：x 得：由3AB FA = ，得4B y b =，所以18．已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，与双曲线的左，右两支分别交于,Q P 两点，且2PQ PF a -=，则双曲线C 的渐近线方程为__________．【答案】y x =19．点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是__________．【答案】【解析】设()()11,,,,M x y P x y 则()112,2Q x x y y -- ，则()()22112234x x y y -+--= ，可化为221131222x y x y ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设113,222x y C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则1O M O C ≥- ，()()22222111113318361124444y y x y y OC +++++=+==≥ ， 1OC OM ≥≥ ，即线段OM 1 1．20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M 的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m++===，所以2e =．。

双曲线习题及答案双曲线习题及答案双曲线是高中数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。

掌握双曲线的性质和解题技巧对于学生来说是非常重要的。

在本文中，我们将介绍一些典型的双曲线习题，并给出详细的解答。

1. 问题：给定双曲线的标准方程为$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$，求其焦点坐标和准线方程。

解答：由双曲线的标准方程可知，$\displaystyle a^{2} >b^{2}$，因此双曲线的焦点在$x$轴上。

根据焦点与准线的定义，焦点坐标为$(\displaystyle \pm c,0)$，其中$\displaystyle c=\sqrt{a^{2} +b^{2}}$。

准线方程为$\displaystyle x=\pm a$。

2. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，离心率为$\displaystyle\sqrt{2}$，求其标准方程。

解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。

由题目可知，焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，因此$\displaystyle c=2$。

又由离心率的定义可得$\displaystyle e=\frac{c}{a}$。

将这些信息代入双曲线的标准方程$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$中，整理得到$\displaystyle \frac{x^{2}}{4} -\frac{y^{2}}{2} =1$。

3. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(3,0)$和$(-3,0)$，离心率为$\displaystyle\frac{3}{2}$，求其标准方程。

解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。

作业十双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·德州高二检测)直线l过点(,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选C.点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.2.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|= ( )A. B.2 C.6 D.4【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线x=2与渐近线y=±x的交点A(2,2),B(2,-2),所以=4.3.(2018·温州高二检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选B.由c=3,设双曲线方程为-=1, k AB==1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,①-=1,②①-②,得-=0,又N(-12,-15)为AB中点,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以=.所以==1.所以a2=4.所以双曲线方程为-=1.4.斜率为2的直线l过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支都相交,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(1,)C.(1,)D.(,+∞)【解析】选D.依题意,斜率为2的直线l过双曲线C:-=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即b>2a,因此该双曲线的离心率e===>=.5.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,2]C.(1,]D.(1,3]【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a,==4a+ + |PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|时等号成立.此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,因为|PF1|+|PF2|≥2c.所以6a≥2c,即1<e≤3.【误区警示】本题求解时常常忘记检验双曲线定义满足的条件导致范围扩大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围为________.【解题指南】借助双曲线与渐进线的关系,数形结合求解.【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k∈.答案:7.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B 两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为________.【解题指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.【解析】由题意不妨设l:x=-c,则|AB|=,又|AB|=2×2a,故b2=2a2,所以e===.答案:8.(2018·潍坊高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.【解题指南】联立方程,求解点B的坐标,借助面积公式求解.【解析】如图,双曲线的斜率为正的渐近线方程为y=x,F(5,0),所以直线过点F且斜率为,所以方程是y=(x-5),由得-=1,即10x=34,x=,y=-,而|AF|=c-a=5-3=2,所以S△AFB=·|AF|·|y|=×2×=.同理双曲线的斜率为负时,S△AFB=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.(1)求直线l的方程.(2)求线段AB的长.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1, 两式相减得--=0,(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,k l==4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.(2)将y=4x-6代入到x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=,所以|AB|==.【补偿训练】过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.【解析】设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则-4=4,①-4=4.②①-②得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.因为P是线段AB的中点,所以x1+x2=16,y1+y2=2.所以==2.所以直线AB的斜率为2.所以直线AB的方程为y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.10.(2018·大连高二检测)双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,且经过点(3,-2).(1)求双曲线的方程.(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得λ=6,所以所求双曲线的方程为-=1.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3),联立得x2-18x+33=0,由根与系数的关系得x1+x2=18,x1x2=33,所以|AB|=|x1-x2|=·=2=16,即弦长|AB|=16.。

课时跟踪检测(十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为错误!的是( )A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1 C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 由e＝错误!得e2＝错误!，∴错误!＝错误!，则a2＋b2a2＝错误!,∴错误!＝错误!，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ）A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0）,∴c＝4，a2＝错误!c2＝错误!×16＝8，故选A．3．双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（)A．（－10,0) B．（－12,0）C．(－3,0) D．(－60,－12)解析:选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!．又e∈(1,2），∴1<1－错误!<4，∴－12〈k<0．4．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0)是E的焦点，过F 的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(－12,－15）,则E 的方程为（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0）,由题意知c＝3,a2＋b2＝9，设A(x1,y1)，B（x2,y2）则有错误!两式作差得错误!＝错误!＝错误!＝错误!,又AB的斜率是错误!＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是错误!－错误!＝1．5．(全国卷Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左,右顶点,点M在E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为( ）A．错误!B．2C ．错误!D ．错误!解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示,设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0），则|BM ｜＝｜AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为错误!．∵M 点在双曲线上，∴错误!－错误!＝1，a ＝b ，∴c ＝错误!a ，e ＝错误!＝错误!．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点（4，错误!）,且渐近线方程为y ＝±错误!x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ,∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ（λ≠0）．∵双曲线过点(4，错误!），∴λ＝16－4×（错误!）2＝4,∴双曲线的标准方程为错误!－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4，2），而3〈2，∴点（4，3）在渐近线y ＝错误!x 的下方,在y ＝－错误!x 的上方(如图）．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)．由已知条件可得错误!解得错误!∴双曲线的标准方程为错误!－y2＝1．答案：错误!－y2＝17．过双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________．解析：由题意知,a＋c＝错误!，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0,∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为A,右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________．解析：双曲线错误!－错误!＝1的右顶点A（3,0），右焦点F（5,0)，渐近线方程为y＝±错误!x．不妨设直线FB 的方程为y ＝错误!(x －5），代入双曲线方程整理，得x 2－（x －5）2＝9,解得x ＝错误!，y ＝－错误!，所以B 错误!．所以S △AFB ＝12｜AF ｜｜y B |＝错误!(c －a )·｜y B |＝错误!×(5－3）×错误!＝错误!．答案：错误!9．（全国卷Ⅰ）已知F 是双曲线C :x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，6错误!）．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－错误!＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F （3，0)，F 1(－3，0）．当点P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF |－｜PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝｜AP ｜＋|PF ｜＋|AF |＝|AP |＋｜PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF ｜＝错误!＝15为定值,所以当（｜AP ｜＋|PF 1|)最小时,△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2错误!x＋6错误!，由错误!得y2＋66y－96＝0，解得y＝2错误!或y＝－8错误!(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝错误!×6×6错误!－错误!×6×2错误!＝12错误!．10．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率为错误!,且错误!＝错误!．(1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：（1)由题意得错误!解得错误!所以b2＝c2－a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－错误!＝1．（2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2)，线段AB的中点为M(x0,y0）．由错误!得x2－2mx－m2－2＝0（判别式Δ>0)．所以x0＝错误!＝m,y0＝x0＋m＝2m．因为点M(x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5．故m＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( ）A．2错误!B．2C．错误!D．1解析：选A 不妨取焦点（4,0）和渐近线y＝错误!x，则所求距离d＝错误!＝2错误!．故选A．2．若双曲线与椭圆x216＋错误!＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为（0，±4错误!），所以λ<0，且－2λ＝（4错误!）2,得λ＝－24．故选D．3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2)，则它的离心率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)．由题意,知过点（4,－2）的渐近线方程为y＝－错误!x，所以－2＝－错误!×4，即a＝2b．设b＝k（k〉0)，则a＝2k,c＝错误!k，所以e＝错误!＝错误!＝错误!．故选D．4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E:错误!－错误!＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1＝错误!，则E的离心率为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．2解析：选A 法一:作出示意图，如图，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，由正弦定理得e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．法二:因为MF1与x轴垂直，所以｜MF1|＝错误!．又sin∠MF2F1＝错误!，所以错误!＝错误!，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝｜MF2｜－|MF1｜＝2｜MF1|＝错误!，所以b2＝a2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝错误!＝错误!．5．已知双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0）的一个焦点为F （2错误!,0），且离心率为e ＝错误!，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝错误!＝错误!,可得a ＝4,所以b ＝错误!＝2，则双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1．答案：错误!－错误!＝16．已知双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知错误!≥错误!，则错误!≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2,所以e 2＝错误!≥4，所以e ≥2．答案:[2,＋∞）7．设双曲线x 2a 2－错误!＝1（0〈a <b )的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0,b )两点,已知原点到直线l 的距离为错误!c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为错误!＋错误!＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有错误!＝错误!c ，所以ab ＝错误!c 2，两边平方，得a 2b 2＝错误!c 4．又b2＝c2－a2,所以16a2(c2－a2）＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝4 3．又b>a，所以e2＝错误!＝1＋错误!>2,则e＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．（1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点,且△AOB的面积是2，求实数k的值．解:（1）由错误!消去y,得(1－k2）x2＋2kx－2＝0．①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得错误!解得－错误!〈k<错误!且k≠±1．即k的取值范围为（－错误!，－1)∪(－1，1）∪（1,错误!)．(2)设A（x1，y1)，B(x2,y2)，由方程①，得x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!．因为直线l:y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，则当x1x2<0时,S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝错误!|x1－x2｜＝错误!;当x1x2〉0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!．综上可知，｜x1－x2｜＝22，所以（x1－x2)2＝（x1＋x2)2－4x1x2＝（2错误!）2，即错误!2＋错误!＝8，解得k＝0或k＝±错误!．由(1），可知－2<k<错误!且k≠±1,故k＝0或k＝±错误!都符合题意．。

3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程课后知能检测 新人教B 版选修1-1一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32 C ．2D ．4【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A 二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－3b2＝1.②联立①②得a 2＝2，b 2＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1.11．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B ，C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x 24－y 25＝1(x ≥2)．①又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.②将②代入①得11x 2－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．设α为PA 所在直线的倾斜角，k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.。

第 6 页 共 6 页 课时跟踪检测（二十四） 双曲线及其标准方程 1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C 方程x2m＋y2n＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程x2m＋y2n＝1

表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的充要条件． 2．已知双曲线x216－y29＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( ) A．7 B．23 C．5或25 D．7或23 解析：选D 设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15， 解得|PF1|＝7或23.

3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )

A．x22－y23＝1 B．x23－y22＝1 C．x24－y2＝1 D．x2－y24＝1

解析：选C 由 |PF1|·|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝252，⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝5，所以b＝1，故选C. 4．双曲线x2n－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2n＋2，则△PF1F2的面积为( ) A．12 B．1 C．2 D．4 解析：选B 不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点， P为右支上一点，|PF1|－|PF2|＝2n， ① |PF1|＋|PF2|＝2n＋2， ② 第 6 页 共 6 页 由①②解得： |PF1|＝n＋2＋n，|PF2|＝n＋2－n， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2， 所以PF1⊥PF2，

高二数学双曲线试题答案及解析1.由曲线y和直线，以及所围成的图形面积是__________________.【答案】【解析】根据题意画出草图如下如图中的阴影部分面积为.【考点】定积分在几何中的应用.2.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的虚轴长为2，焦距为，则可知b=1,c= ,而焦点在x轴上，故其渐近线方程为即为,故选C.【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力3.双曲线的渐近线为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线方程知：双曲线的焦点在x轴上，且a=1,b=1，所以渐近线方程为。

【考点】双曲线的简单性质：渐近线方程。

点评：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为。

4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点F（5，0），∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心1为半径的圆上∵ MF • MP =0，即圆的半径FM⊥PM，即| MP |为圆F的切线长由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小∵P是双曲线上一点，∴|FP|最小为c-a=5-3=2∴此时| MP |= 故选B6.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A．2<k<5 ；B．k>5 ；C．k<2或k>5；D．以上答案均不对【答案】C【解析】若方程表示双曲线，7.与双曲线有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为。

【答案】;【解析】双曲线有相同焦点是（3,0）（-3,0），c="3," 离心率为0.68.(14分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)－2<k<－．(2) k＝－．【解析】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.(2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得：(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故，解得－2<k<－．(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②，假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．9.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当的面积为2时的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：由题意可得 a=，b=1，c=2，故 F1（-2，0）、F2（2，0）则根据面积公式可知，| PF1 - PF2|="|" F2F1|=2c=4，利用向量的数量积公式可知的值为3，选B10.若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】C【解析】解：因为方程表示双曲线，所以（k-2）(5-k)>0，解得未选项C11.已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），求k的取值范围.【答案】（1）；（2）（－1，－）（，1）.【解析】（1）由题意得，又，解得，故双曲线方程为；（2）直线方程与双曲线方程联立消去得，根据题意需满足得.由，即＞2，由韦达定理和直线方程把用表示，得关于的不等式，求出，取交集得的取值范围是（－1，－）（，1）.解：（1）由已知：双曲线过点P（，1），解得，，故所求的双曲线方程为---------------------------------4分（2）将代入得由直线与双曲线C交于不同的两点得，即①---------------------------------6分设A（），B（），由得＞2而＝＝＝，于是②---------------------------------8分由①②得故所求的的取值范围是（－1，－）（，1）---------------------------------10分12.双曲线的渐近线方程是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为.双曲线的方程为，则13.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据题意可知,,故应选B.14.双曲线的一个焦点坐标是，那么 _______【答案】.【解析】,.15.过双曲线的mx2－y2＝m（m>1）的左焦点作直线l交双曲线于P、 Q两点，若|PQ|＝2m，则这样的直线共有 _______条.【答案】3.【解析】由于双曲线方程为,当焦点弦的两端点在同支上时，最短的弦为2m，满足条件的有一条;当焦点弦的两端点在两支上时，最短的弦为2<2m，满足条件的两条;所以共有3条.16.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程.（2）若点（3）在（2）的条件下【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.【解析】（1）由于双曲线是等轴双曲线所以可设其方程为,然后把已知点代入方程即可.（2）用向量的坐标表示出来，利用点M在双曲线上这个条件即可得证.（3）在（2）的条件下可确定高|m|的值，面积即可求出.17.已知双曲线(1)求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不存在.【解析】（1）本题涉及到用方程来判断直线与双曲线的位置关系，一定要注意再利用判别式进行判断时，二次项系数不为零.(2)本题求出直线方程后，要注意验证二次方程的判别式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否则存在.解：（1）解方程组消去得当，时当时由得由得由得或综上知：时，直线与曲线有两个交点，时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.或直线与曲线C没有公共点.（2）不存在假设以Q点为中点的弦存在（1）当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.（2）当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K联立方程两式相减得：所以过点Q的直线的斜率为K=1所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线与双曲线没有公共点即所求的直线不存在.18.双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|-|PF2|="2" ①|PF1|+|PF2|="2" ②，由①②解得：|PF1|=+，|PF2|=-，得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|=2，故选B19.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以。