双曲线的标准方程和性质

+ 2热身练习第十六讲 双曲线的标准方程及性质1. 短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是 3，则满足条件的椭圆方程是．x22.若方程 a 2 - 4 + y 2 = 3a1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数 a 的取值范围 ．x2y 2 3. 已知 P 为椭圆= 1 上一点， F 、F 为两焦点，若∠ = ，则∆F PF的面积为．25 9 1 2F 1PF 2 90 1 24.已知 P 点在圆(x -1)2为 ．+ y 2= 1 上移动， Q 点在椭圆 x 9+ y 24 = 1 上移动， 则 PQ 的最小值5.已知椭圆 x + y 9 4= 1，过点 P (0，3)引直线l 顺次和椭圆交于 A 、 B （ A 在 B 、 P 之间）两点，→→若 AP = λPB ，则λ的取值范围为．知识梳理2 2例题解析一、双曲线的定义及应用在平面内到两定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合P＝{M | | |MF1|-|MF2| | ＝2a}，|F1F2|＝2c.(3)坐标形式：| (x－c)2＋y2- (x＋c)2＋y2| ＝2a①若a <c ，则集合P 为双曲线；②若a =c ，则集合P 为两条射线；③若a >c ，则集合P 为空集．1 2 1 2x 2【例 1】若+ y 2= 1 - k-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是（ ） A. (1， + ∞)B. （0，2）C. (2， + ∞)D. （1，2）【例 2】已知 F 1 (-5, 0), F 2 (5, 0) ， 一曲线上的动点 P 到 F 1, F 2 距离之差为 6， 则双曲线的方程为.【例 3】已知 B (-5,0), C (5,0) 是∆ABC 的两个顶点，且sin B - sin C = 3sin A ，求顶点 A 的轨迹5方程.【例 4】圆 C ：(x + 3)2+ y 2 = 1和圆 C ：(x - 3)2+ y 2 = 9 ，动圆 M 同时与圆C 及圆C 相外切， 求动圆圆心 M 的轨迹方程.【例 5】双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，直线l 过 F 2 且与直线 F F 的夹角为α，且tan α=21 ， l 与线段 F F 的垂直平分线的交点为 P ，线段 PF 与双1 221 22曲线的交点为Q ，且 PQ : QF 2 = 2 :1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.k - 2 3(x + c )2 + y 2- = < - - = > - = > y 2【巩固训练】 1. 到两定点 F 1 (- 3,0)、 F 2 (3,0) 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹（ ）A. 椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2. 已知点 M (-3, 0) ， N (3, 0) ， B (1, 0) ，动圆C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、 N 与圆C 相切的两直线相交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为（）A.x 2y 21 (x 1)8B.x 2 y 21 (x 1)8C.x 2+ y 8= 1（x > 0）D ．x 2y 21 (x 1) 103.点 P 为双曲线是 .x 2 - 24= 1上一动点， O 为坐标原点， M 为线段OP 中点，则点 M 的轨迹方程x 2 4. 设 P 是双曲线 - a 2 y = 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x - 2 y = 0 ，F 1、F 2 分别是双曲 9线的左、右焦点，若 PF 1 = 3 ，则 PF 2 等于．二、双曲线的标准方程取过焦点 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴。

双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。

其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。

双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。

1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。

2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。

而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。

3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。

渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。

4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。

对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。

准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。

准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。

6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。

双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。

双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。

7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。

平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。

8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。

双曲线的标准方程及其性质一、双曲线的定义1、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________.2、若双曲线22221x y a b-=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程.3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=32，求12F PF S ∆；（2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120︒，求12F PF S ∆.二、双曲线的标准方程1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________.2、已知双曲线方程为221205x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.5、双曲线222x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________.三、双曲线的性质1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________.2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________.3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=4、双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =__________________. 四、直线与双曲线的位置关系五、1、已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；2、在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若的坐标；（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积.3、在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证： OP ⊥OQ .4、已知双曲线C ：的一个焦点是，且。

双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。

2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。

3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。

二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。

双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。

本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。

一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。

具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。

二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。

三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。

这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。

2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。

双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。

3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。

这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。

四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。

以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。

2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。

通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。

3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。

通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。

双曲线的标准方程及其应用双曲线是解析几何中重要的曲线之一，在数学和物理学等学科中广泛应用。

本文将介绍双曲线的标准方程及其应用，并探讨其在现实生活和科学研究中的实际意义。

一、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长。

双曲线根据$a$和$b$的取值可以分为多种类型，包括正双曲线、负双曲线和退化的双曲线。

正双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$，当$a>b$时，焦点在$x$轴上；负双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$，当$a>b$时，焦点在$y$轴上；退化的双曲线则是一对直线。

二、双曲线的性质和应用1. 双曲线的焦点和准线对于正双曲线，焦点位于$x$轴上，距离原点的距离为$c=\sqrt{a^2+b^2}$，其中$c$称为焦距。

准线与$x$轴对称，距离$x$轴的距离为$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

2. 双曲线的渐近线正双曲线有两条渐近线，斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$，即$y=\pm\frac{b}{a}x$。

负双曲线也有两条渐近线，但斜率的符号相反。

3. 双曲线的中心和对称轴对于正双曲线，中心位于原点；对于负双曲线，中心位于坐标系的原点与$x$轴的交点。

双曲线的对称轴在$x$轴和$y$轴之间。

4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的重要参数，用$e=\frac{c}{a}$表示，其中$c$为焦距，$a$为横轴的半轴长。

离心率决定了双曲线的形状，越接近于1，双曲线的形状越扁平。

5. 双曲线的应用双曲线在物理学、电子工程、天体力学等领域有着广泛的应用。

以天体力学为例，开普勒第二定律描述了行星围绕太阳运动的轨道，该轨道可用双曲线方程来表示。

双曲线及其方程一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a cb -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>三、双曲线的性质xyPxyPxyPPxyPP。

3.2 双曲线【知识点】 1、双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

集合12{|||||||2}P M MF MF a =−=，12||2F F c =，其中0,0a c >>，且,a c 为常数，当22a c <时，点M 的轨迹是双曲线。

2、双曲线的标准方程（1）标准方程222222221(0,0),1(0,0)x y y x a b a b a b a b−=>>−=>>。

（2）一般方程：221(0)Ax By AB +=<。

3、双曲线的简单几何性质4、三个问题①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？ ③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？【典型例题】例1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F −，双曲线上一点P 与12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

例2、已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2秒，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

例3、求双曲线22916144y x −=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例4、动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹。

例5、过双曲线22136x y −=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于,A B 两点，求弦长||AB 。

【课堂练习】题型1双曲线定义的理解1、已知双曲线2213664x y −=的左右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上一点。

若1||15PF =，则2||PF = 。

2、对于常数,a b ，"0"ab <是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、（多选）已知方程221()169x y k R k k−=∈+−，则下列说法中正确的是（ ）.A 方程可表示圆.B 当9k >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 .C 当169k −<<时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 .D 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10题型2 双曲线方程的求解4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别是12(13,0),(13,0)F F −，点P 在双曲线上，且12||||10PF PF −=，则双曲线的方程是 。

双曲线及其性质1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，b0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．（2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）.（3）已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线例2．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0； （3）求△F 1MF 2的面积.[当堂检测]1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是(A)364 (B)362 (C)62 (D)32 2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+my m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线6.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .7.双曲线2222by ax -=1和椭圆2222b y m x +=1 (a ＞0,m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ,b ,m 为边长的三角形是 三角形. 8 .如图，F 1和F 2分别是双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 .9.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 . 10．过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .11.已知椭圆2222by ax +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222ny mx -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .12.设F 1、F 2分别是双曲线2222by ax -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .13.已知P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .14.双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．15．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．16．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．17.已知动圆M 与圆C 1：（x +4）2+y 2=2外切，与圆C 2：（x -4）2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.作业： 1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2． 已知双曲线的离心率为，则的范围为 （ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．5.若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 ．6．椭圆4x2＋a2y2＝1与双曲线a2x2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．双曲线以椭圆9x2＋25y2＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．。

双曲线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 二、标准方程与性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R对称轴：坐标轴A 1(－a,0)，A 2(a,0)y ＝±b axe ＝ca，e ∈(1，＋2叫做双曲线的实轴，它的长的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，c 2＝a 2＋b【学前诊断】1．[难度] 易双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.2．[难度] 中双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的取值范围是 ．3．[难度] 中若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为________．【经典例题】例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(6,0)A -和(6,0)C ，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B- =______________.例2．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A （1,4），P 是双曲线右支上的动点，则 P F P A +的最小值为________________.例3．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)．例4． 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．例 5．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2，且过点P (4,. （1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）求12F MF ∆的面积.【本课总结】解题技巧1．双曲线中a ，b ，c 的关系双曲线中有一个重要的Rt △OAB (如右图)，它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2＝a 2＋b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1cos θ.2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a <|F 1F 2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 4. 求双曲线的方程求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e )之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ (λ≠0)．5．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .6．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．7．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线方程．易错防范1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．【活学活用】1．[难度] 易双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 ( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝12. [难度] 中某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B ⎝⎛⎭⎫32，－5，则 ( ) A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆 D ．这样的曲线C 不存在 3. [难度] 中已知F 为双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．。