双曲线的定义、方程和性质(精)

双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。

1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。

（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。

双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。

4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。

（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。

双曲线的标准方程及其性质一、双曲线的定义1、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________.2、若双曲线22221x y a b-=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程.3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=32，求12F PF S ∆；（2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120︒，求12F PF S ∆.二、双曲线的标准方程1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________.2、已知双曲线方程为221205x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.5、双曲线222x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________.三、双曲线的性质1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________.2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________.3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=4、双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =__________________. 四、直线与双曲线的位置关系五、1、已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；2、在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若的坐标；（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积.3、在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证： OP ⊥OQ .4、已知双曲线C ：的一个焦点是，且。

双曲线的概念及性质一，定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2| ）的轨迹 问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？（3）若a=0，动点M 的是轨迹什么？①当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M 点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；②当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

③当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时，M 点的轨迹不存在。

④当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M 点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。

二，双曲线的标准方程 首先建立起适当的直角坐标系，以1,2F F 所在的直线为x 轴，1,F F 的垂直平分线为y 轴，根据定义可以得到:122a F F =≥ 化简此方程得()22222222()c a x a y a c a --=- ，令222c a b -=得：22221x y a b -=，其中1F (),0c -为左焦点，2F (),0c 为右焦点思考：若焦点落在Y 轴上的时候，其标准方程又是怎样的？ 三，双曲线的性质以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧.由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-by a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.4． 渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x aby ±=. （1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 限远离原点时，点M 条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 否相交？（3） 求法：在方程12222=-by ax 中，令右边为零，则0))((=+-b ya xb y a x 即x ab y ±=； 若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x ba y ±=5.离心率：ce a= ()0c a >>,所以1e > 2．问题拓展 （一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上. （二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)191622=-y x 与221916y x -=;(2) 191622=-y x 与1183222=-y x 的区别? 问题: 共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？ 双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b-=有共同的渐近线.当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 三、课堂练习：1 .双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57. 设C 1：2222b y a x -=1,C 2： 2222a x b y -=1,C 3： 2222ay b x -=1,a 2≠b 2,则 ( )(A)C 1和C 2有公共焦点 (B) C 1和C 3有公共焦点 (C)C 3和C 2有公共渐近线 (D) C 1和C 3有公共渐近线8. 双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为____________ 9. 与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为___ 10. 直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是23； （2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。

(3)e= 2 (4)x -y = λ ( λ ≠ 0)
2 2
(1)
共轭 双曲线
x2 y2 y2 x2 x2 y2 − 2 = 1 与 2 − 2 = 1 即 2 − 2 = −1 互为共轭双曲线 a2 b b a a b
(2)它们有共同的焦距，渐近线；(3)设它们的离心率为 e1，e2， 则
1 e1
b2cot
θ
则双曲线的离心率为
sin(α + β ) | sin α − sin β |
2
2
+
1 e2
2
= 1 且 e1+e2≥2 2
(1) 与
x2 y2 − =1 共 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 为 a 2 b2
共渐近线 的双曲线
x2 y2 − = λ ( λ ≠ 0) a2 b2
b x2 y2 (2)有渐近线 y= ± x 的双曲线方程为 2 − 2 = λ ( λ ≠ 0) a a b
y= ±
渐近线
b x2 y2 x (即 2 − 2 = 0 ) a a b
y= ±
a y2 x2 x (即 2 − 2 = 0 ) b a b
1
焦点到渐 近线的距 离是
b 过焦点且垂直于焦点所在轴的弦，是过焦点的所有弦中弦长最小的.长
通径
为
2b 2 a
等轴 双曲线
(1)实轴与虚轴长相等，即 a=b (2)渐近线的方程为 y= ± x，互相垂直
(1)过双曲线焦点 F1 作直线交其左支于 A、B 两点，|AB|=m,则△ ABF2 的周长为 4a+2m
与△有关 的一些结 论（推导 也要掌 握）
(2)已知 P 为双曲线上任意一点，∠F1PF2=θ，则△F1PF2 面积为

双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。

本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。

一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。

具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。

二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。

三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。

这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。

2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。

双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。

3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。

这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。

四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。

以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。

2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。

通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。

3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。

通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。

双曲线概念性质一览表
双曲线概念性质一览表，是对双曲线的分类和性质进行全面总结的表格，总结出双曲线的不同特征，以便于我们更好地理解双曲线的基本性质。

双曲线的概念性质一览表主要包括四个方面：
1、双曲线的定义：双曲线是一类代数曲线，它可以用一般方程式表示，它的曲线方程为y2=x2a2-1。

2、双曲线的特征：双曲线有两个焦点和一条渐近线(即y=a)，当a＞0时，双曲线是抛物线，当a＜0时，双曲线是圆锥曲线。

3、双曲线的性质：双曲线的性质是它的轴对称，它的焦点距离和它的离心率有关，它的离心率为|a|，而它的焦点距离则等于|a|。

4、双曲线的应用：双曲线在几何中有着广泛的应用，它可以用来求解三角形的内接圆，可以用来计算两个圆之间的外切线以及两个圆的相交点，还可以应用于几何图形的构造等。

双曲线概念性质一览表，是对双曲线的性质和应用作出概括性总结，它有助于我们更加全面地理解双曲线，并能够用双曲线更好地解决几何问题。

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

无限接近，但不可以相交。

例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。

焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。

求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

双曲线及其方程一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a cb -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>三、双曲线的性质xyPxyPxyPPxyPP。

PF1 − PF2 = 2a
{
2a < F1 F2
双曲线
2a = F1 F2
两条射线
2.双曲线的标准方程: 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在 轴上F1(c,0)、 F2(-c,0) 轴上 、
x y − 2 = 1 (a, b > 0) 2 a b
2 2
焦点在y轴上 1(0, c)、 F2 (0, -c) 焦点在 轴上F 轴上 、 2 2 y x − 2 = 1 (a, b > 0) 其中 c2=a2+b2 2 a b
2 2
1.范围：|x|≥a， y∈R. 范围： ≥ ， ∈ 范围
2.对称性： 对称性： 对称性 关于x轴 轴成轴对称 轴成轴对称； 关于 轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称。 关于原点成中心对称。 原点——中心 原点 中心 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(-a,0)、 A2(a,0)； 、 ； B1(0,-b)、 B2(0,b)(不是顶点 不是顶点). 、 不是顶点 线段A 实轴； 焦点、顶点在实轴上） 线段 1A2——实轴； |A1A2|=2a（焦点、顶点在实轴上） 实轴 线段B 虚轴。 线段 1 B2——虚轴。 |B1B2|=2b 虚轴
a a a
y< x a
4.渐近线： 渐近线： 渐近线
焦点在x轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
b y = ± x a
焦点在y轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
x y − 2 = 0 2 a b
2Байду номын сангаас
2
a y = ± x b
y x − 2 = 0 2 a b
2
2
提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？

双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。

一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。

假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。

二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。

设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。

三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。

即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。

3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。

这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。

双曲线的定点到焦点的距离等于a。

四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。

1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。

2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。

3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。

总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。

双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。

双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。

本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。

1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。

双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。

如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。

因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。

对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。

例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。

3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。

(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。

(3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。

(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。

(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。

4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。

(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。

(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。

(4) 不同的双曲线是正交的。

双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

第十章
一．双曲线的定义：
1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．双曲线的标准方程：
设M(x,y)是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(－c, 0),F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的差的绝对值等于2a(c>a>0)，则||MF1|－|MF2||＝2a,
三．双曲线中动弦的画法
(一)．双曲线焦点弦的画法：
图10－8
1．在坐标系中作出两个焦点F1、F2，在图形外作一条线段，使它的长等于2a(2a<|F1F2|)；
2．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，连接PF2，作PF2的中垂线交直线PF1于点M；选中点M和点P，用“轨迹”功能作出双曲线；
(二)双曲线中过定点M的弦：
图10－9
1．用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点D；
2．在以a为半径的圆上取一点M，作出它在双曲线上的相应点P；
3．作DE⊥Ox轴，垂足是E，过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES，连接RS；
4．过点D作RS的垂线，垂足是D'；
5．连接MS'，延长与圆交于N，作出点N在双曲线上的对应点Q；
∴ ,图10－1
整理化简，并且设b2＝c2－a2得双曲线的标准方程 .
3．双曲线的第二定义：
设动点M(x,y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 :x＝ 的距离的比是常数 (c>a>0)，则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点，直线 是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e＝ (e>1)是双曲线的离心率。图10－2

双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

说明：（1）在双曲线有关计算和证明中首先分清双曲线焦点在x 轴上，还是在y 轴上，中心是否在原点。

（2）在解与双曲线有关的问题时，注意利用定义及各元素之间的相互依赖关系（如：222,ca cb e a=-=等）。

（3）使用韦达定理求某些参数时，要注意利用判别式△≥0或（△>0）来限制参数的取值范围，否则，会出现错误。

（4）依题意判断曲线是双曲线的一个分支，还是整个双曲线。

（5）双曲线是具有渐近线的曲线。

第10讲双曲线的方程和性质[玩前必备]1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3．双曲线的几何性质[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[玩转典例]题型一 双曲线的定义例1 平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线例2 一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线例3 方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <-例4 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． [玩转跟踪]1．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 2．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1B ．9C ．1或9D ．73.若曲线2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1m <B ．0m <C ．102m -<< D ．112m << 题型二 焦点三角形问题例5 （1）已知双曲线2217x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且AB 4=，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．20(2)设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A ．B ．C ．D ．例6 已知点P 是双曲线22184x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．20[玩转跟踪]1．已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且12PF PF +=m =（ ）A ．1BC D ．32．已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于 A ．24B ．36C ．48D ．963.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 题型三 双曲线的标准方程例7 （1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 （2）(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1（3）经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．（4）焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．[玩转跟踪]1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213218x y -=B ．2211832x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=3．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=题型四 椭圆的性质例8 已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 例9 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．例10 设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞[玩转跟踪]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x2．已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2D.53.的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．D ．)+∞[玩转练习]1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B ．2C. 3D.23．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO的面积为( )A.324B.322C ．2 2D ．324．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2 D.55．(多选)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点6．(多选)已知点P 是双曲线E ：x 216－y 29＝1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．△PF 1F 2的周长为803C ．∠F 1PF 2小于π3D ．△PF 1F 2的内切圆半径为327．设F 1(－c,0)，F 2(c,0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( ) A ．为定值a B ．为定值b C ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．(多选)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1―→ ·MF 2―→＝0.双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则正确的是( )A.e 2e 1＝2 B ．e 1·e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝19．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为__________． 12．(一题两空)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)椭圆的方程为________________；(2)若P 为这两曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．14．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．。