二轮复习数学教案(8)三角函数

基本初等函数Ⅱ（三角函数）

【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义（重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义）、周期函数的概念、三角函数（正弦函数、余弦函数和正切函数）的图象与性质、函数y=Asin(wx+φ)的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

【考纲要求】

（1）任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念，②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的转化

（2）三角函数

①理解任意角的三角函数的定义； ②能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2±∂,π±∂的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画

出正、余弦函数、正切函数的图象，了解三角函数的周期性；

③理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-ππ，）的性质，如单调性、最大值与最22

小值、周期性，图象与x轴的交点；

④理解同角三角函数的基本关系式；

⑤了解y=Asin(ωx+ϕ)的物理意义，能画出y=Asin(ωx+ϕ)的图象，了解参数A、ω、ϕ对函数图象变化的影响；

⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的问题。

【知识纵横】

【教法指引】

高考对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，注重创新。因此，我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解三角函数的定义，在牢固图象的基础上，把握三角函数的性质，通过认识整个体系的推导和形成过程，掌握公式的本质和规律，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练；其次，在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律，学会观察差异，寻找联系，分析综合，合理转化，会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路；另外，注意重点问题的变式、拓展和延伸，突出复习的针对性和有效性，在解题时，注意在条件和结论中建立联系，讲求算理，就能立足基础、发展能力、决胜高考

【典例精析】

例1.若角α的终边落在直线x+y=0上，求sinα+cosα的值

解析：【解法一】分类讨论

①角α的终边在第二象限 sinα=22 则sinα+cosα=0； ,cosα=-22

22 则sinα+cosα=0. ,cosα=22②角α的终边在第二象限 sinα=-

【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义，求出终边与单位圆的交点。

例2.求下列函数的定义域。

（1

）y=（2）y=lgsinx+9-x2（3

）y=lg(2sinx-1)+ xcos(+)28

解析：（1）要使函数有意义 ，那么tanαcosα≥0⇒α的终边在第一或第二象限，或终边在x轴上⇒函数的定义域为[2kπ,2kπ+π

2)⋃(2kπ+π

2，2kπ+π],k∈Z.

π⎧⎧sin2x>0⎪kπ

函数定义域为[-3,-)⋃(0,3] 2

（3）要使函数有意义，那么 π 5⎧2kπ6⎪⎪2sinx-1>0⎪2⎪⎪ππππ⎪⇒⎨kπ-

35或2kπ+π

例3. 已知sinθ>0，且sinθ≠1，函数y=(sinθ)x

求θ值。

解析：令u=x-6x+5 则u=x2-6x+5=(x-3)2-4

2当x=3时u=x-6x+5有最小值－4 22-6x+5的最大值为16，

又0

∴sinθ=

例4.∂是第四象限角， tan∂=-1π5π,k∈Z ∴θ=2kπ+,或θ=2kπ+2665，则sinα=（ ）

12

1155A． B．- C． D．- 551313

5⎧sinα=-⎪12⎨cosα22⎧sin∂+cos∂=1⎪sin2α+cos2α=1⎪5解：由tan∂=-，所以，有⎩，α是第四象限角， ⎨sin∂512=-⎪12⎩cos∂

5解得：sinα=- 13

3sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)tan(-α-π)例5. 已知f(α)=， sin(-α-π)

（1）化简f(α)；

（2）若α是第三象限角，且cos(α-

（3）α=-31π)=，求f(α)的值； 2531π，求f(α)的值。 3

sinα⋅cosα⋅cotα⋅(-tanα)=cosα -sinα

3π1126)=得sinα=- 又α为第三象限角 ∴cosα=- 2555

3 解析：（1）f(α)= （2）由cos(α-

∴f(α)=cosα=-

（3）α=-26 531π31π31πππ1)=cos=cos(10π+)=cos= ∴f(α)=cos(-333332例6.已知sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z, 求

⑴4sinθ-2cosθ； 5cosθ+3sinθ

12sin2θ+cos2θ. 45⑵

解析：【解法一】由sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z,得tan(θ+kπ)=-2 ∴tanθ=-2

⑴4sinθ-2cosθ4tanθ-2-10==10 ＝5cosθ+3sinθ5+3tanθ-1

12212sinθ+cos2θtan2θ+1222=7 ⑵sinθ+cosθ＝＝4525sin2θ+cos2θtan2θ+1

【解法二】也可以对k进行分类讨论，得到sinθ,cosθ的关系，再利用sinθ+cosθ=1，解出sinθ,cosθ.

例7. 已知θ∈(0,π)，且sinθ,cosθ是方程5x-x-22212=0的两根，求 5

sin3θ+cos3θ,tanθ+1的值。 tanθ

1⎧sinθ+cosθ=⎪⎪5解析：由题意⎨ 12⎪sinθcosθ=-⎪25⎩ sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)

111241=⋅[(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ]=⋅(+)= 5525255

tanθ+1sinθcosθ125=+==- tanθcosθsinθsinθcosθ12

1，然后再2例8. 使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的

将其图象沿x轴向左平移π个单位，得到的曲线与y=sin2x相同. 6

（1）求f(x)的表达式；

（2）求y=f(x)的单调递减区间.

解析：（1）y=sin2x的图象沿x轴向右平移ππ个单位得：y=sin2(x-)即 66

y=sin(2x-

y=sin(x-π3)，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍得 π

3).∴f(x)=sin(x-π

3)

,k∈Z （2）由2kπ-

解得 2kπ-π2≤x-π3≤2kπ+π2π

6≤x≤2kπ+11π,k∈Z 6

∴函数y=f(x)的单调递减区间是[2kπ-π

6,2kπ+11π],k∈Z 6

ω>0）的最小例9. 已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是常数，且

正周期为2，且当x=1时，f(x)取得最大值2. 3

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）在闭区间⎢⎡2123⎤,⎥上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果⎣44⎦

不存在，说明理由.

解析：（1

）f(x)=

由题意 ：ωx+ϕ)(其中ϕ为辅助角) 2π

ω＝2，∴ω＝π

=2,∴A2+B2=4

又Asinπ

3+Bcosπ

3=2,1A+B=2 2

解得：A=B=1

∴f(x)=πx+cosπx=2sin(πx+π

6)

（2）由πx+ 由π6＝kπ+π1,k∈Z 得：x=k+,k∈Z 23211235965≤k+≤≤k≤得 又k∈Z

∴k=5 4341212

116⎡2123⎤,⎥上存在f(x)的对称轴x=5+=. 33⎣44⎦在闭区间⎢

例10.

若cosα+2sinα=则tanα=( )

11

（B）2 （C）- （D）-2

22

解析：由cosα+2sinα=

cosα=2sinα，

（A）

又由sinα+cosα=1，可得：sinα

＋（2sinα）＝1

2

222 可得sinα＝－所以，tanα＝

2

5，cosα=2sinα＝－， 55

sinα

＝2。 cosα

π⎫⎛π

例11. 函数y=lncosx -

2⎭⎝2

x

D．

x

A．

解析：y=lncosx(-因此本题应选A.

B． C．

π

2

π

2

)是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.

点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。 例12. 把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的

π

个单位长度，再把所得图3

1

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） 2

B．y=sin

A．y=sin 2x-

⎛⎝⎛⎝

π⎫

⎪，x∈R 3⎭

π⎫

⎪，x∈R 3⎭

π

⎛xπ⎫

+⎪，x∈R ⎝26⎭⎛⎝

2π⎫

⎪，x∈R 3⎭

1

横坐标缩短到原来的倍

2

C．y=sin 2x+解析： y=

D．y=sin 2x+

sinx

−−−−−−→

π

向左平移个单位

3

y=sin(x+

π