三角函数(一轮复习教案)

1 / 129 第三章 三角函数 .......................................................................................................................... 1

第一节 角的概念与任意角的三角函数 ............................................................................... 2

第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ............................................................... 9

第三节 三角函数的图象与性质 ........................................................................................ 16

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 ......................................... 24

第五节 和角公式 ................................................................................................................ 37

第六节 倍角公式与半角公式 ............................................................................................ 45

第七节 正弦定理和余弦定理 ............................................................................................ 53

第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例 ......................................................................... 61

第三章 三角函数

知识网络：

学习重点：

三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．

1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．

2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．

3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.

学法指导：

1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．

2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．

3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．

4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.

第一节 角的概念与任意角的三角函数

学习目标：

1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念．

2．能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义

考点梳理：

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．

(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．

2．弧度与角度的互化

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

(2)角α的弧度数

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝lr.

(3)角度与弧度的换算①n°＝nπ180rad；②α rad＝(180απ)°.

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝12lr＝12r2α.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.

(2)三角函数在各象限的符号

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

4．单位圆与三角函数线

(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆．

(2)三角函数线．

(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

思考：

1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？

【提示】 充分不必要条件．

2．终边在直线y＝x上的角的正弦值相等吗？

【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．

学情自测：

1．已知锐角α终边上一点A的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )

A．2 B.π3 C.π6 D.2π3

【解析】 点A的坐标为(3，1)．

∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.

【答案】 C

2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )

A．y＝1sin x B．y＝ln xx

C．y＝xex D．y＝sin xx

【解析】 函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.

【答案】 D

3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．

【答案】 C

4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

【解析】 ∵l＝3π，α＝135°＝3π4，

∴r＝lα＝4，S＝12lr＝12×3π×4＝6π.

【答案】 4 6π

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.

【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，

又sin θ＝－255＜0，∴y＜0且y16＋y2＝－255，

解之得y＝－8.

【答案】 －8

典例探究：

例1（角的集合表示）

(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．

【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．

(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．

【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．

(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π(k∈Z)，

∴kπ＋π2＜α2＜kπ＋34π(k∈Z)．

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2＜α2＜2nπ＋34π，α2是第二象限角，

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2＜α2＜2nπ＋74π，α2是第四象限角，

综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,

变式训练1：

若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．

【解析】 ∵θ＝π3＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝π9＋23kπ(k∈Z)，

当k＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.

【答案】 π9，7π9，13π9

例2（弧度制的应用）

已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(3)若α＝π3，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；

(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；

(3)利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．

【解答】 (1)l＝10×π3＝10π3(cm)．

(2)由已知得：l＋2R＝20，

所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2 rad.

(3)设弓形面积为S弓．

由题知l＝2π3cm，S弓＝S扇－S△＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm2)

变式训练2：

已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，

(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【解】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，

∴△AOB为等边三角形．

因此弦AB所对的圆心角α＝π3.

(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得

l＝α·R＝π3×10＝103π，S扇形＝12R·l＝12α·R2＝50π3.

又S△AOB＝12·OA·OB·sin π3＝253.

∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50(π3－32).

例3（三角函数的定义）

(1)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－45，则m等于( )