垂径定理的知识点

垂径定理的判定垂径定理是以三角形的垂径来判定三角形的关系的一种定理，主要涉及三角形的内角和外角的知识点，这也是判定三角形的一种简单形式，并且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛。

一、垂径定理的定义垂径定理的核心是三角形的垂径，即以三角形的边长和角度为基础构建的一种关系，其定义如下：在任意一个三角形中，当给定A角的夹角，则其余两个角按照以下关系判定：A角的余边（另外两条边）分别对应B角和C角，并且其关系如下：A角的余边平方之和等于B 角的余边乘以C角的余边的总和。

二、垂径定理的应用垂径定理可以用来解决一些常见的实际问题，比如可以用来计算三角形内角和外角之间的关系，例如：有一个三角形，其中A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，那么根据垂径定理，C角的夹角就可以用下面的公式来计算：C角的夹角 = 180° - B角的夹角 - A角的夹角 = 180° - 90° - 60° = 30°，从而可以计算出三角形所有角度的值。

垂径定理也可以用来计算三角形的边长，例如：若A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，且A角的余边为2，那么根据垂径定理，可以求得B角的余边 =(2 + 2) - 2 = 4，即B角的余边为4，从而可以得出三角形的边长。

三、垂径定理的表达垂径定理可以表达为数学式：a +b = c其中a为A角的余边，b为B角的余边，c为C角的余边，从根本上讲，就是三角形三条边长之和的平方等于第三条边长的平方加上夹角的余边的平方，因此从数学上可以看到，垂径定理是一种判定三角形关系的有效手段。

四、垂径定理的结论综上所述，垂径定理可以用来判断三角形的关系，是判定三角形的一种简单形式，而且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛，因此其实质就是三角形内角和外角之间的关系，以及三角形三边之和的平方等于第三边长的平方加上夹角的余边的平方，这也是垂径定理最主要的表达方式。

垂径定理知识点 1. 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 知识点1：垂径定理及其逆定理1．如图，MN 是⊙O 的直径，弦AB ⊥MN ，垂足为点C，则下列结论中不一定成立的是( ) A.AM ＝BM B.AN ＝BNC.AC ＝CBD.OC ＝CM2.如图所示,在中,弦AB 的长为,圆心0到AB 的距离为,则的半径长为( )A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm3. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=( )DBA．5B．7C．D．4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜55.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸6.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中0A＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A.19B.16C.18D.207.已知半径为5的中,弦,弦,则的度数是( )A. B. C. 或 D. 或8.在直角坐标系中，以点O(﹣6，﹣2)为圆心的圆弧与x轴交于A，，B(A在B的右边)两点，点A的坐标为(﹣3，0)，则点B的坐标为 .9.已知、两点,分别以A、B为圆心的两圆相交于和,则的值为10. 如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径是_____ 。

第一讲圆及垂径定理知识点一：圆1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。

（圆心决定圆的，半径决定圆的。

）2、圆是到定点的距离等于的点的集合。

知识点二：点和圆的位置关系点在圆内；点在圆上；点在圆外知识点三：弦、弧、同心圆、等圆和等弧1、连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做；（直径是最长的弦）2、圆上任意两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做，直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做。

3、圆心相同，半径不等的两个圆叫做。

4、能够完全重合的两个圆叫做，的两个圆是等圆。

5、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。

知识点四：圆的对称性圆既是轴对称图形，有条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是。

【典型例题】例1．下列结论正确的是（ )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2. 一个点到定圆上最近点的距离为3，最远点的距离为8，则此圆的半径是 .例3．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．例4．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数．A BCDEFO第 1 页共 3 页第 2 页 共 3 页知识点四：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。

【典型例题】例1. 如图,DE 是⊙O 的直径,弦AB ⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.例2．（2010年河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点RD ．点M 例3．如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例4．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得ODDE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【课上练习】如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82.如图，MN 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥MN ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ． ＝B .AN ＝BNC .AC ＝CBD .OC ＝CM3．在直径为10cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则弦AB 的长为 . 4．若AB 是⊙O 的一条弦，AB=8cm ，AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为_____cm..5.⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ）Ａ．35OM ≤≤Ｂ．35OM <≤Ｃ．45OM ≤≤Ｄ．45OM <≤6、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）为 .7、如图，已知在⊙O 中，直径10MN =，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且45POM = ∠，则AB 的长为OENN第 3 页 共 3 页8、如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于E 点， ⑴若AB ＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径； ⑵若CD ＝10，DE ＝2，求AB 的长： ⑶若⊙O 的半径为13，AB ＝24，求DE 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°, 求CD 的长.10．半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm .则这两条弦的距离为多少?DD。

垂径定理一、知识回顾1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。

2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。

3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。

4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。

5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。

6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。

7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。

8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。

圆的内接四边形。

二、典例解析例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A到BC的距离为5m。

请帮忙求出滴水湖的半径。

D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。

变式2 已知O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。

变式3 如图，O 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。

（1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。

变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？例2 如图，BC 是O 的直径，OA 是O 的半径，弦BE ∥OA 。

知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。

知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。

因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。

2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。

例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．课后练习1.如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，若120AOB ∠=°，则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ）A．R = Ｂ．3R r =Ｃ．2R r =Ｄ．R =3.如图，在平面直角坐标系中，P ⊙的圆心是()()22a a >，，半径为2，函数y x =的图象被P ⊙截得的弦AB的长为a 的值是（ ） A． B．2C． D．24. 已知O ⊙的半径为5，圆心O 到直线AB 的距离为2，则O ⊙上有且只有__________个点到直线AB 的距离为3．5.如图，DE 是O ⊙的直径，弦AB DE ⊥，垂足为 C ，若6AB =，1CE =，则OC =_________，CD =__________．7. 如图，在O ⊙中，AB AC 、是互相垂直的两条弦，OD AB ⊥于点D ，OE AC ⊥于 点E ，且8cm 6cm AB AC ==，，那么O ⊙的半径OA 长为___________．8.如图，O ⊙过点B C 、，圆心O 在等腰Rt ABC △的内部，90BAC ∠=°，1OA =，6BC =．则O ⊙的半径为（ ）A ．6B ．13 CD．9.如图，O ⊙的直径5cm CD =，AB 是O ⊙的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，35OM OD =∶∶，则AB 的长是（ ）A ．2cm Ｂ．3cm C ．4cm D．12.如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝6cm ，∠AOB ＝120º，则AB ＝ cm ．13. 如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 交于点E ，若5AE =，1BE =，CD =，则AED ∠=____________.AB OC14.如图，在O ⊙中，圆心角120AOB ∠=°，弦cm AB =，则OA =_________cm ．15.如图，CD 是O ⊙的弦，直径AB 过CD 的中点M ，若40BOC ∠=︒，则ABD ∠=（ ） A ．40︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒16.已知O ⊙的半径10cm OA =，弦16cm AB =，P 为弦AB 上的一动点，则OP 的最短距离为（ ） （A ）5cm （B ）6cm （C ）8cm （D ）10cm17.一条公路弯道处是一段圆弧（AB ），点O 是这条弧所在圆的圆心，点O 是AB 的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB =120m ，CD =20m ，这段弯道的半径是（ ） （A ）200m （B）m （C ）100m （D）20.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6A BOC21. 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB 的长为20米，则圆环的面积为（ ） A ．10平方米 B ．10π平方米 C ．100平方米 D ．100π平方米22.如图，CD 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点M ，20AB =，分别以DM ，CM 为直径作两个大小不同的1O ⊙和2O ⊙，则图中所示阴影部分的面积为 （结果保留π）．23. 已知O 的直径AB =40，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =32，则AE 的长为（ ） A ．12 B ．8 C ．12或28 D ．8或32 27.如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB =，则⊙O 的半径为（ ）AB． C ．D ．28. 如图，⊙O 的弦AB =8，M 是AB 的中点，且OM =3， 则⊙O 的半径等于（ ）A ．8B ．4C ．10D ．5MBAO ·。

(打印3份)专题培训---垂径定理（10.5）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．举一反三：【变式1】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)(2)如图2所示，当⊙O 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间(即弦AB 、CD 在圆心O 的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O 中，平行弦AB 、CD 间的距离是14cm 或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d ．【思路点拨】此小孔的直径d 就是⊙O 中的弦AB ．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ， 则1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC 22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.垂径定理专题试题精选一．选择题1．（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．=D．△OCE≌△ODE 3．（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC的长等于（）A．4B．6C．2D．85．（2015•台湾）如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6B．12C．15 D．306．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．87．（2015•宜州市二模）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．8．（2015•西藏）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2015•武汉模拟）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．（2015•湖州模拟）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5 B．7 C．9 D．1111．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9 cmC．cm D．cm12．（2012•婺城区校级模拟）已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP=6，则过P点，且长度为整数的弦有（）A．5条B．6条C．8条D．10条13．（2012•枣阳市校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C是上半圆上的一点，弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当弦CD（不是直径）的位置变化时，点P（）A．到CD的距离不变B．位置不变C．等分D．随C点的移动而移动14．（2012•洪湖市模拟）A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（2012•天台县校级模拟）如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON 上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）A．2 B．C．D．16．（2012•合山市校级模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．17．（2011•师宗县校级模拟）如图：将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．B．C．3 D．18．（2011•鄂州校级模拟）如图，有半径为和2的两个同心圆，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形的面积为最大时，它的周长等于（）A． B． C．D．二．填空题19．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．20．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．21．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=．22．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．23．（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．24．（2015•浠水县校级模拟）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．25．（2015•蚌埠模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为．26．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．三、解答题1、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，求此圆的半径。

垂径定理—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。