高中数学 321 —322古典概型及随机数的产生教案 新人教B版必修3 教案

3.2.1古典概型一. 三维目标：1.知识与技能：(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.过程与方法：通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法.3.情感态度与价值观：（1）体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.（2）体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二．德育目标：鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.三．教学重点与难点：1.重点：理解古典概型及利用古典概型求随机事件的概率.2.难点：如何判断一个试验是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.四．授课类型：新授课五．课时安排：1课时六．教具：多媒体七．教学过程：（一）导入新课：通过介绍概率论的起源，最初刺激数学家研究概率论问题来自赌博者的请求，400多年前为了破解一个赌桌上如何分配金币的谜团，数学家开始了对概率论的相关问题的思索，那这究竟是一场怎样的赌局，赌局中遇到了哪些问题，这些问题中又包含了哪些数学原理呢？设置悬念，激发学生的兴趣.(二)讲解新课：17世纪的一天梅尔和保罗参加赌博，他们每人拿出6枚金币作为赌注，并约定谁先胜3局谁就得到所有的金币，可是比赛进行到梅尔胜2局保罗胜1局的时候意外中断，这个时候这12枚金币的归属就成了难题，该如何分配呢？梅尔和保罗对于金币的分配存在着非常大的分歧，他们请教了法国当时著名的两位数学家，两位数学家围绕这一数学问题开始了深入细致的研究，苦思了近3年后依据不同的思想方法给出了相同的答案，那就是梅尔得到9枚金币，保罗得到3枚金币，为什么会有这样的分配结果呢？本节课我们就以其中一位数学家的思想方法为例，看看他是如何解决这一问题的.数学家在这一简单游戏的基础上，归纳总结出了与它具有相同特征的数学模型，就被我们称为古典概率模型，简称古典概型.古典概型具有哪些特征呢？1.古典概型的特征：（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.2.古典概型的概率公式：P （A ）=(三）讲解范例：例1．把1、2两个数字均匀分布在一个圆盘上，将圆盘旋转两次，求所得的数字之和为3的概率.例2.在石头、剪子、布这个传统游戏中，两人猜拳同手势的概率是多少？通过对以上例题的讲解，师生共同归纳总结出古典概型的解题步骤：1.判断是否符合古典概型；2.求出基本事件的总数和事件A 所包含的基本事件的个数；3.利用古典概型概率计算公式进行计算.（四）练习:1.从1,2,3,4,5五个数字中，任取两数，求两数都是奇数的概率.2.从含有两件正品 1a ,2a 和一件次品1b的3件产品中，每次任取1件，(1)每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.(2)每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.(五)小结: _________________________________ 事件A 包含的基本事件数 试验的基本事件总数1.古典概型的特征：有限性、等可能性；2.古典概型的概率公式：P （A ）= ；3.古典概型的解题步骤.（六）课后作业：A 层次：成才之路78页1,2,3B 层次：成才之路79页4,5,6（七）板书设计：_________________________________ 事件A 包含的基本事件数 试验的基本事件总数。

《古典概型》教学设计一、教材分析《古典概型》是高中数学人教B版必修3第三章概率的第二节内容，安排2课时教学内容，本节是第一课时。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它与日常生活有很大的联系。

通过对古典概型的学习能够更有利于理解概率的概念，帮助解决生活中的一些实际问题，能够有效的激发学生的学习热情。

同时，它也起到承前启后的作用，能够为后续学习其他概率打下基础。

同时文章内容含有骰子及扑克等可用于赌博的工具，可借此向学生渗透赌博的危害性。

二、学情分析在第一节的学习中，学生通过学习已经了解了基本事件、概率的意义，并学习了互斥事件与对立时间的概率加法公式。

他们已具备一定的观察，分析，归纳能力，但由于学生的基础知识比较薄弱，所以对于知识的理解与运用并不理想，在解题中思维不够缜密，解题过程不够完整。

好在部分学生对数学学习仍然有一定的兴趣，且师生关系融洽，上课氛围良好，虽然对学习数学有畏难情绪，但仍能积极学习。

三、教学内容分析通过掷硬币观察哪面向上与掷骰子观察出现的点数两个试验，归纳古典概型的两个特征，得出古典概型的概念，并通过实例引出古典概型的概率公式。

通过日常生活中的实例对教学进行引导，更便于学生理解和接受。

然后通过典型实例加以引申，让学生能够把生活中的实际问题转化为古典概型并加以解答。

四、教学方法分析在教学中采用引导发现法，结合问题进行教学。

通过“提出问题—思考问题—解决问题”的教学过程，借助生活实例，引导学生进行观察、讨论、归纳、总结，进而得出古典概型的定义及概率公式。

通过实际问题的提出，激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让学生参与到学习中来。

鼓励学生在学习中提出自己的困惑，培养学生发现问题、解决问题的能力。

并结合教学内容，对学生进行社会主义核心价值观教育与德育教育。

五、教学目标1.知识与技能目标：（1）正确理解古典概型的两大特点，会判断所给试验是否为古典概型。

（2）理解古典概型的概率计算公式，并会简单应用。

3.2.1古典概型教案一、课型：新授课课时：1课时二、教学内容分析《古典概型》是高中数学人教B版必修3第三章概率3.2第一课时的内容，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种最基本的数学模型，也是一种特殊的概率模型，与我们的生活息息相关。

它的引入有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，可以激发学生的学习兴趣。

同时也是后面学习其他概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。

三、教学目标（一）知识与技能目标1.理解古典概型及其概率计算公式；2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（二）过程与方法目标1．通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，观察类比各个试验，归纳总结古典概型的概率计算公式，体验由特殊到一般的化归思想；2．掌握列举法，学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题。

（三）情感态度与价值观目标1．通过各种有趣的、贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的兴趣；2．培养学生用随机的观点来理性的理解世界，鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；3．通过合作探究试验，使学生感受与他人合作的重要性和实事求是的科学态度。

四、教学教学重难点（一）重点1．理解古典概型的概念；2．利用古典概型概率公式求解随机事件的概率。

（这样确定教学重点是因为本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求）（二）难点1．判断一个随机试验是否为古典概型；2．古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

（根据本节课的内容，即尚未学习的排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点。

）五、学情分析（一）学生情况分析1．认知分析学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式2．能力分析学生基础相对比较薄弱，基础知识、基本技能不扎实，知识点漏洞较大。

高三理科数学C层一轮复习《古典概型》教学设计
解决关于古典概型训练一：一个口袋内装
有除颜色外完全相同的2
个白球和2个黑球，从中一
次随机取出2个球，则至少
取到1个黑球的概率为
( )
A.1
3
B.
2
3
C.
1
6
D.
5
6训练二：甲、乙、丙三
人随意坐在一条长凳上，乙正好坐中间的概率为( )
A.1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
6
训练三：口袋里装有红
球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，小组讨论，
关键。

学生展示，巩固强化
【设计意图】
题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极性。

进一步巩固对古典概型及其概率的计算。

有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）
A．B．C． D．
训练四：将一颗骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则n≤2m的概率是( )
A.1
2 B.
2
3 C.
3
4 D.
5
6训练五：为美化环境，
从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）
A．1
3B．1
2
C．2
3
D．
5
6
2 91
3
2
3
8
9。

高一数学必修3教学过程：Array一、〖创设情境〗1.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、积事件，这些概念的含义分别如何？若事件A发生时事件B一定发生，则 .若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B.若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥.若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立.2概率的加法公式是什么？对立事件的概率有什么关系？若事件A与事件B互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B）.若事件A与事件B相互对立，则 P（A）+P（B）=1.3.通过试验和观察的方法，可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，操作不方便，并且有些事件是难以组织试验的.因此，我们希望在某些特殊条件下，有一个计算事件概率的通用方法.二、〖新知探究〗我们再来分析事件的构成，考察两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。

(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。

有哪几种可能结果？在试验（1）中结果只有两个，即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的；在试验（2）中所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”它们也都是随机事件我们把这类随机事件称为基本事件综上分析，基本事件有哪两个特征？（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.例1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果都列出来。

解：所求的基本事件有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}；A+B+C.上述试验和例1的共同特点是：（1）试验中有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等，这有我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型古典概型思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？思考2：抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？思考3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？无数个思考4：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？不是，因为命中的环数的可能性不相等.思考5：随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗？每个基本事件出现的概率是多少？你能根据古典概型和基本事件的概念，检验你的结论的正确性吗？P（“1点”）= P（“2点”）= P（“3点”）= P（“4点”）=P（“5点”）= P（“6点”）P（“1点”）+P（“2点”）+ P（“3点”）+ P（“4点”）+P（“5点”）+ P（“6点”）=1.思考6：一般地，如果一个古典概型共有n个基本事件，那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少？1n思考7：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，利用基本事件的概率值和概率加法公式，“出现偶数点”的概率如何计算？“出现不小于2点”的概率如何计算？思考8：考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数，与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系，你有什么发现？P（“出现偶数点”）=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数；P（“出现不小于2点”）=“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数.思考9：一般地，对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？P（A）=事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数思考10：从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现的所有n个基本事件组成全集U，事件A包含的m个基本事件组成子集A，那么事件A发生的概率P（A）等于什么？特别地，当A=U，A=Ф时，P（A）等于什么？三、〖典型例题〗例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？（答案参考课本127页）0.25例3 同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是7的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？（答案参考课本127页）36；6；1/6.例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？0.00001例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.8÷30+8÷30+2÷30=0.6四、〖随堂练习〗Array1.在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？2.在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京。

1.了解概率一般加法公式．2.理解古典概型及其概率计算公式． 3.掌握简单的古典概型概率的求法．[学生用书P63])1．古典概型(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 2．概率的古典定义 在基本事件总数为n 的古典概型中(1)每个基本事件发生的概率为1n； (2)如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P (A )＝m n. 所以在古典概型中P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数，这一定义称为概率的古典定义． 3．概率的一般加法公式(1)积事件我们把由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(2)概率的一般加法公式设A ，B 是Ω的两个事件(如图)，容易看出，A ∪B 中基本事件的个数等于A 中基本事件的个数加上B 中基本事件的个数减去A ∩B 中基本事件的个数，所以P (A ∪B )＝A ∪B 中包含的基本事件数Ω的基本事件总数，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n . A ．②④ B ．①③④ C ．①④ D ．③④ 解析：选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．16解析：选C.从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P ＝26＝13. 3．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P ＝39＝13. 答案：13古典概型的概念[学生用书P64]下列试验：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人演讲；③一只使用中的灯泡寿命长短；④中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中，属于古典概型的有________．【解析】①不属于，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②属于；③不属于，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；④不属于，原因：该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．【答案】②古典概型需满足两个条件：一是对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；二是对于上述所有不同试验结果，它们出现的可能性是相等的．下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；(3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)解析：选B.(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．古典概型概率的求法[学生用书P64]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解】 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P (C )＝516. 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型．(2)算出基本事件的总数n .(3)算出事件A 中包含的基本事件个数m .(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n.在运用公式计算时，关键在于求出m ，n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共6种．故选出的2名职工性别相同的概率P＝612＝12.(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有{A1，A2}，{A1，a}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共21种．其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A1，A2}，{A1，a}，{A2，a}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共9种．故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P＝921＝37.古典概型的综合应用[学生用书P65]设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．【解】记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件A，要使方程x2＋bx＋c＝0有实根，应有b2－4c≥0.b、c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则b、c的取值集合均为{1，2，3，4，5，6}．因为b2－4c≥0，所以b≠1.当b＝2时，c＝1，满足题意，有1种情况；当b ＝3时，c ＝1、2，满足题意，有2种情况；当b ＝4时，c ＝1、2、3、4，满足题意，有4种情况；当b ＝5时，c ＝1、2、3、4、5、6，满足题意，共有6种情况；当b ＝6时，c ＝1、2、3、4、5、6，满足题意，共有6种情况．方程有实根的情况有1＋2＋4＋6＋6＝19(种)．而先后抛掷一枚骰子得到的点数共有36种，所以P (A )＝1936. 故方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为1936.本题需要分类讨论，在分类时要做到不重不漏．本题把概率和方程知识紧密结合起来考查，同学们要注意此类题型的求解思路．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，求使事件C n 的概率最大的n 的所有可能取值．解：点P 的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，则当n ＝2时，点P 只能是(1，1)；当n ＝3时，点P 可能是(1，2)，(2，1)；当n ＝4时，点P 可能是(1，3)，(2，2)；当n ＝5时，点P 只能是(2，3)．故事件C 3，C 4的概率最大，所以n 可取3或4.1．判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概型才是古典概型．2．解决古典概型的概率问题，需要从不同的背景材料中抽象出两个问题：(1)所有基本事件的个数n ；(2)随机事件A 包含的基本事件数m ，最后套用公式P (A )＝m n.3．基本事件数的探求方法：(1)列举法，此法用于较简单的试验和结果数较少的试验；(2)列表法或坐标法，比列举法更直观、清晰，有效防止重复与遗漏；(3)树状图法，此法是试验结果列举法，适合较复杂的问题中基本事件的探求．4．求较复杂的古典概型的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．当A 、B 两事件不互斥时，求P (A ∪B )只能利用概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．1．下列试验中，是古典概型的为( )A ．种下一粒花生，观察它是否发芽B ．向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合C ．从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D ．在区间[0，5]上任取一点，求此点小于2的概率解析：选C.对于A ，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B ，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C ，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D ，区间上的点有无限多个，不满足有限性．2．一个家庭中有两个孩子，已知其中老大是女孩，那么这时另一个小孩也是女孩的概率是( )A ．14B ．13C ．34D ．12解析：选D.生男孩和生女孩的概率相等，都是12. 3．若事件A 与B 不互斥，那么P (A ∪B )与P (A )＋P (B )的大小关系是P (A ∪B )________P (A )＋P (B )．解析：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＜P (A )＋P (B )．答案：＜4．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6六个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．解析：由列举法知基本事件共有36个，点数和为4的有(1，3)，(3，1)，(2，2)，所以向上的点数之和为4的概率是336＝112. 答案：112, [学生用书P121(单独成册)])[A 基础达标]1．下列试验中，是古典概型的有( )A ．春天移植的树苗是否成活B ．从规格直径为250 mm ±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C.由于出现正面与反面是等可能的．2．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲被选中的概率是( )A ．12B ．13C ．23D ．1解析：选C.所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P ＝23. 3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A.设3个兴趣小组为1，2，3，(甲i ，乙j )表示甲参加第i 个兴趣小组，乙参加第j 个兴趣小组，则所有基本事件有(甲1，乙1)，(甲1，乙2)，(甲1，乙3)，(甲2，乙1)，(甲2，乙2)，(甲2，乙3)，(甲3，乙1)，(甲3，乙2)，(甲3，乙3)，共9个基本事件．这两位同学参加同一个兴趣小组包括(甲1，乙1)，(甲2，乙2)，(甲3，乙3)，共3个基本事件．故所求概率P ＝13. 4．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选B.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字能构成20个两位数：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，而大于40的数有8个：41，42，43，45，51，52，53，54，故所求的概率是820＝25. 5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为( ) A ．512B ．1112C ．513D ．913解析：选B.点(a ，b )取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b 2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112. 6．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝9内的概率为________．解析：掷骰子共有36种可能情况，而落在x 2＋y 2＝9内的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种，故所求概率P ＝436＝19. 答案：197．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．解析：数字a ，b 的所有取法有36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49. 答案：498．某城市有8个商场A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往商场H ，则他经过市中心O 的概率为________．解析：此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条，所以所求概率为23. 答案：239．甲、乙、丙三个车床加工的零件分别有350个、700个、1 050 个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．(1)求分别从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的个数；(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有1个是乙车床加工的概率．解：(1)由分层抽样的特点，可知从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件个数分别为1，2，3.(2)记抽取的6个零件分别为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3.其中a 1是甲车床加工的，b 1，b 2是乙车床加工的，c 1，c 2，c 3是丙车床加工的． 事件“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共10种可能，其中至少有1个是乙车床加工的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共7种可能．故所求概率为0.7.10．现有编号分别为1，2，3，4，5的五道不同的政治题和编号分别为6，7，8，9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件？请列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率．解：(1)共包括36个等可能的基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，由第一问可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，所以P (A )＝1536＝512. 即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512. [B 能力提升]11．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A ．1180B ．1288C ．1360D ．1480解析：选C.当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字的和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360. 12．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．解析：事件发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a ＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512.答案：51213．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：用编号1，2，3表示A 饮料，用编号4，5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”，E 表示“此人被评为良好”，F 表示“此人被评为良好及以上”．(1)事件D 包含(1，2，3)这1个基本事件，故P (D )＝110. (2)事件E 包括(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个基本事件，所以P (E )＝35，故P (F )＝P (D )＋P (E )＝710. 14．(选做题)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，所以选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的两名教师来自同一学校的概率为 P ＝615＝25.。