小学奥数第五讲：图形的计数

千里之行，始于足下。

图形的计数【奥数拓展】
【例1】
下面的图形有多少个？你会数吗？
【例2】
你能按照这个侧面图算算砌好这面墙一共需要多少块砖吗？
【例3】
数一数，下面的方块各有多少？
如图所示为一堆转，中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块。

问：这堆砖共有多少块？
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朽木易折，金石可镂。

【例4】
下面这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
【例5】
用10个小正方体摆成一个“工”字形(如下图)，然后又将表面涂成粉色(下面也被涂色)，最后又把小正方体分开，数一数；
⑴3面涂成粉色的小正方体有( )个。

⑵4面涂成粉色的小正方体有( )个。

⑶5面涂成粉色的小正方体有( )个。

千里之行，始于足下。

将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成粉色，然后再把小立方块分开。

⑴3面被涂成粉色的小立方块有( )个。

⑵4面被涂成粉色的小立方块有( )个。

⑶5面被涂成粉色的小立方块有( )个。

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小学四年级寒假奥数班讲义小学四年级奥数目录第一讲图形的计数（一）第二讲图形的计数（二）第三讲速算与巧算（一）第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲速算与巧算（二）和差倍问题恢复对年龄、利润和亏损问题的最佳解决方案平均数问题矩形和正方形周长和面积的综合测试1第一讲数字的计算（一）一．知识点回顾1.阐明图形中包含的基本图形、图形的特点和变化规律。

2.从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们和3.被分成几个部分的图形，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。

二．典型例题例1计算下图中线段的数量。

思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从a点出发的不同线段有3条：ab、ac、ad；从b点出发的不同线段有2条：bc、bd；从c点出发的不同线段有1条：cd。

因此，图中共有3+2+1=6条线段。

线段计数法则：线段上有n个点（包括两个端点）。

n个点将线段划分为总共1+2+3++（n-1）解：这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6（条）答：图中的线段有6条。

练习：在下图中计算线段的数量。

（2）二例2.数出下面图中有多少个角。

思路导航：图中有三条角分界线OC1、oc2和OC3∠ AOB，以及∠ AOB由这三条角分界线分为四个基本部分角，那么∠aob内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠aoc2、∠c1oc3、∠c2ob），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠aoc3、∠c1ob），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠aob），所以∠aob内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）计算角度的法则：计算角度的方法与计算线段的方法类似。

第5讲 图形的计数赛点突破计数是组合数学的重要内容，计数的方法有分类法，分步法，递推法和与对应法等。

1．分类计数在计数时，为了做到不重复也不遗漏，可以先将图形按某个标准分类，然后将其每一类相的方法数加，便得到了总数。

这种方法叫做分类法。

2．分步计数在计数时，为了有序地思维，我们常将其分成若干步，然后将其每一步的方法数相乘，便得到了总数。

这种方法叫做分步法。

3．递推计数为了求出计数的总数，当所研究的对象数目较大时，我们常常对较小数量的对象进行观察，计算。

如果对研究对象的个数n 观察，计算后，发现由n=1的结果可以算出n=2的结果，由n=2的结果可以算出n=3的结果，等等，我们就找到了计数的规律。

这种方法叫做递推法。

4．对应计数在解决某些计数问题时，为了解决某个问题A ，我们将其中的研究对象和另一个问题B 中的研究对象配成对，通过解决B 问题来达到解决A 问题的目的。

这种方法叫做对应法范例解密例1．如图，直线上有6个点：A ，B ，C ，D ，E ，F ，以这些点为端点的线段有多少条？A C D E F解1 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A 为左端点的线段有AB ，AC ，AD ，AE ，AF 共5条；(2)以B 为左端点的线段有BC ，BD ，BE ，BF 共4条；(3)以C 为左端点的线段有CD ，CE ，CF 共3条；(4)以D 为左端点的线段有DE ，DF 共2条；(5)以E 为左端点的线段只有EF 一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．解2 因为每两点可以连一条线段，我们先取一点，有6种取法；再取第二点，有5种取法。

故一共有6×5=30种取法。

但因先取A 点再取B 点和先取B 点再取A 点得到的是同一条线段，在上述计数中被重复计算了，故实际上是30÷2=15种取法，即一共可以连45条线段。

学员：年级：四年级吧课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间教材区域小四数学〔下册〕学习目标1、图形的计数问题；2、几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。

学员授课过程一、典例剖析：例〔1〕数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3个基本角组成的角有2个〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4个基本角组成的角有1个〔即∠AOB〕，所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10〔个〕解：4＋3＋2＋1＝10〔个〕答：图中总共有10个角。

练一练：数一数右图中总共有多少个角？例〔2 〕数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕.②要数有多少个三角形，先看在△△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔个〕.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕解：：①在△ABC中共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

第9讲图形计数知识要点几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了。

实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法--枚举法，具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时，不重复不遗漏。

在列举时要学会总结规律。

精典例题例1:数一数图中图形的个数。

（1）（2）（3）模仿练习1.数一数下图图形的个数。

可以从最小的图形入手，寻找规律。

例2:下图中分别有几个长方形 、正方形？模仿练习1.下图中各有几个长方形。

2.在6×5的方格中，共有多少个正方形？长方形和正方形都可以转化成数线的问题解决B AC D例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。

模仿练习数一数图中三角形的个数。

精典例题例4:从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大陆，铁路局要为这次快车准备多少种不同车票？这些车票中有多少种不同的票价？可以用线段图来表示车站，要考虑往返的情况。

模仿练习从武汉到深圳，除起点站和终点站外还有7个中间站。

如果你是从武汉到深圳的列车长。

那么，你认为从武汉到深圳，铁路站要为这趟列车准备多少种车票才合适？家庭作业1.下图共有几个三角形?2.下图中各有多少个正方形？3.下图共有几个长方形?4.下图共有几个三角形?5.在5×7的方格中，共有多少个正方形？6.成都到达州的某次列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（1）使用分层计数法：方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上下上下层：总小TIPS ：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。

再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。

最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。

所以3+4+1=8，共8个三角形。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼： 3（段），双拼： 2（段），三拼： 1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数 3 段： 3+2+1=6（段）或者，线段个数 =基础线段数×端点÷ 2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

或者，角的个数 =最小角个数×（最小角个数 +1）÷ 2又，角的个数 =射线的个数×（射线个数 -1 ）÷ 2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数 =底边线段个数 ( 每个底边基础线段构成一个基础三角形 )或者，三角形的个数 =最小三角形个数×（最小三角形个数 +1）÷ 2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例 4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（ 1）使用分层计数法：图（ 1）图（ 2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层：0（个）中层：0（个）上下层： 4+3+2+1=10（个）下层：0（个）上中层：4+3+2+1=10（个）中下层：0（个）上中下层：4+3+2+1=10总数： 10+0+10=20（个）总数：10+10+10=30（个）方法（ 2）公式法：第一层三角形的总数×层数公式法：第一层三角形的总数×层数图（ 1）图（ 2）第一层：4+3+2+1=10（个）第一层：4+3+2+1=10（个）层数：2（层）层数：3（层）总数：10× 2=20（个）总数：10×3=30（个）例 5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上层： 4+3+2+1=10（个）下层：4（个）（吹泡泡法）上下层：4+3+2+1=10（个）总数： 10+4+10=24（个）小 TIPS：吹泡泡法例 6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形 1、4、3 号，共 3 个。

第五讲数数方块专题简析：小朋友们，可是大家非常熟悉的玩具哦。

如果把积木方块堆放在一起，你能按一定顺序一一数清楚一共有多少个小方块吗？数的时候既不能多数也不能遗漏不数。

把一个积木按一定要求分拆成两个独立部分，需要我们通过观察，弄清楚积木分成怎样的两部分；两组小积木可以按一定的位置要求拼组起来，成为一个新的积木块。

我们要学会如何选择正确的组合图形。

这一讲就让我们来数一数，搭一搭，拆一拆，并一并，你一定会发现小小的学问可大呢！周一经典例题下面图形中有几个积木块？名师导航：可以有三种数法。

方法一：从上层往下层数。

先数上层，只有1个，中层有3个，下层有6个，一共有10个积木块。

方法二：从前排往后排数。

前排有1个，第二排有3个，第三排（后排）有6个，一共有10个积木块。

方法三：先数看得见的，共有6个，再数看不见的，有4个，一共有10个积木块。

详细解答：共有10个积木块。

温馨提示：正方体木块堆成的形状是多变的，数方块要按一定的顺序来数，不能多数也不能遗漏。

可以按层数、按排数、还可以按看得见和看不见的来数。

举一反三练习1、右图由正方体堆成，请数一数再填空。

按层数：第一层有（）个正方体，第二层有（）个正方9体，第三层有（）个正方体，第四层（最下层）有（）个正方体，按排数，前排有（）个正方体，中排有（）个正方体，后排有（）个正方体，或先数看的见的有（）个正方体，看不见的有（）个正方体，一共有（）个正方体。

2、数一数，下面图形中的小方块各有多少个？（）个（）个3、下面的图形都是由小正方体拼成的，数数各是多少个？（）个（）个（）个。