图形中的计数

第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。

方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。

（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。

（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。

【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。

要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。

每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。

至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。

数线段的5种方法和拓展例1数一数图中共有多少条线段？方法一：基本线段法（把图中单个的线段看作一个基本图形）由一个基本线段组成的线段有__4___条由二个基本线段组成的线段有__3___条由三个基本线段组成的线段有__2_由四个基本线段组成的线段有___1__条所以，图中一共有线段____4+3+2+1=10_______________条方法二：端点法加法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）以A为起点的线段有__4___条以B为起点的线段有__3___条以C为起点的线段有__2___条以D为起点的线段有__1___条所以，图中一共有线段______4+3+2+1=10_____________条方法三：端点法乘法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）端点数×间隔÷2=总条数5×4÷2=10方法四：标数法（基本线段法的简化版，可以快速得到结果）方法五：组合法（取两个点就可以组成一条线段）10124525=⨯⨯=C上面的五种方法都适应于所有的数线段的题，其中方法二和方法三可以延伸到握手问题，线段上端点数比较多可以用方法三，方法五可以解决不在一条直线上线段数握手问题1、有5个人，每两个人都需要握手一次，请问一共需要握手多少次？2、三年级有6个班，每两个班比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？3、有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？端点比较多不在一条直线上1. 平面上有12个点，任意三点都不在同一直线上，这些点可以连成多少条直线？1 2 4 3 A C 1 … C 2C 102 B …… 1 2 3 4 99 100。

图形计数姓名：日期：【专项训练】NO1.下图中一共有多少个长方形？NO2.数一数下图共有多少个正方形？NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？NO4.NO5.如图所示，图中共有个三角形。

N MFEDCBAOA12A34…4849A50NO6.把一个长方体分割如下图。

这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？NO7.用小方块搭成的一个几何体，从不同的方向观察得到三视图如下图，试确定该几何体用了多少块小方块．主视图左视图俯视图NO8. 下图中共有____个正方形。

NO9. 由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是。

NO10. 图中共有多少个三角形？【实战训练】1、计算：55555×666667＋44445×666666－155555＝________。

2、计算：3、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆车接送，坐不下。

甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直☆接开到营地，结果是两队学生同时到达。

已知学生步行速度为4千米／小时，汽车载学生时的速度为40千米／小时，空车速度为50千米／小时，那么甲队学生步行路程与全程的比是。

4、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。

又规定“任何数都可以被它相同的数吃掉”。

比如，241被342“吃掉”，123被123“吃掉”，但是240和223互相都不能被“吃掉”。

现请你设计出6个三位数，它们中的任何一个都不能被另外5个“吃掉”，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4，那么这6个三位数之和是。

图形计数（答案）【专项训练】NO1.下图中一共有多少个长方形？解：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60个NO2.数一数下图共有多少个正方形？解：4×7+3×6+2×5+1×4=60个NO3.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？解：梯形：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60个三角形：（4+3+2+1）×4 =40个相差：20个NO4.解：49+48+47+……+1=1225条NO5.如图所示，图中共有个三角形。

几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。

同理，m 上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。

可以构成三角形。

可以构成三角形。

在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。

图形的计数【知识要点】1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为()1231n ++++-3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来 【典型题解】例1.（数线段）数出下面图形中有多少条线段？练一练1.下图共有（ ）条线段2.下图共有（ ）条线段3.下图共有（ ）条线段4.图中共有（ ）条线段例2.（数角）数出图中锐角的个数练一练1.数出下面各图中，锐角的个数2.下图中共有（ ）个锐角例3.（数三角形 ）下图中有几个三角形？练一练1.数出下图中，共有（ ）个三角形2.数出下面各图中的三角形的个数3.图中共有（ ）个三角形4.数出下图中共有多少个三角形5.图中共有多少个三角形例4.（数长方形）数一数下图中的长方形有多少个？ （2（1）（3）（4例5.下图中有多少个长方形方形包含＊号 ？ 练一练1.图中共有（ ）个长方形2.数出下面各图形中长方形的个数3.数一数，下面图形中共有多少个长方形（包括正方形）4.数出下图中含有﹡号的长方形个数例6.（数正方形）数一数下图中的正方形有多少个？ 练一练1.数出下面各图中正方形的个数2.数一数下图中的正方形有多少个包含＊号 ？3.图中共有（ ）个正方形。

最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。

聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。

在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。

例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。

现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D 点：从学校到C 点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。

数图形
一、例题
1、下图中一共有多少条线段?
2、下图中长方形和正方形一共有多少个?
3、下图中长方形和正方形一共有多少个?
4、下图中一共有多少个三角形?
5、下图中有多少个三角形？
二、练习题
1、下图中有多少条线段?有多少个三角形？
2、图中长方形和正方形一共有多少个？
3、下图中有多少个长方形和正方形。

4、下图中有多少三角形。

4、下图中有多少个平形四边形。

作业1、数一数下图中有多少条线段。

2、下图中有多少个长方形和正方形？
3、下图中有多少个三角形？
（选作题）4、图中有多少个三角形？
. .
.。

小升初数学高频考点——计数专题（九）几何计数
一、高频考点：1、分类数图形2、方块图计数3、点阵计数4、直线分区域5、图形分区域★高频考题
例一：（分类数图形）
（1）分别计算下列各图中线段、角、三角形的数量
线段数量为角的数量为三角形的数量为
（2）分别计算下列各图中长方形、正方形、三角形的数量
长方形个数为含有五角星的长方形个数为长方形个数为
正方形个数为正方形个数为含有五角星的正方形个数为
正方形个数为三角形个数为三角形个数为
例二：（方块图计数：①“L”形基本单元“田”；②“凹”字形基本单元“”）（1）在7×7的方格中，你能数出几个如图所示的由3个小方格组成的“L”形？
（2）在8×5的方格中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？
例三：（点阵中的线段和三角形计数：利用组合计数）
（1）平面上有99个点，以它们为端点，可以画出多少条线段？
（2）以圆上11个点为顶点，可以连出多少个三角形？
（3）半圆的边界上有10个点，其中5个点在直径上。

以它们为顶点，可以连出多少个三角形？
数加1）
该平面上
最多会增
？
点个数）
分?
平面分成（4）在一个平面上画出2个长方形和1条直线，最多可以把平面分成多少部分？
（5）在一个平面上画出3个正方形、2个圆和1条直线，最多能把这个平面分成几个部分？。

小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。

在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。

例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。

可以采用数数的方法，按顺序数。

也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。

解：方法一：一个一个地数出8个正方体。

方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。

例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。

问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。

只有“粘在一起的”面没有涂色。

中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。

解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。

（2）4面涂成红色的小正方体有4个。

（3）5面涂成红色的小正方体有4个。

例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。

应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。

解：10+10+1=21（个）答：共写21个。

例5：27个小方块堆成一个正方体。

如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。

3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。

图形的计数
【知识精讲】
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

【经典例题】
例1、数一数下图中共有多少个三角形。

例2、数一数下图中有多少个长方形？
例3、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
例4、数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
例5、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【课堂练习】
1、数一数下图中有多少个长方形。

2、数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）
3、从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）{或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

/或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）￥以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法（1）使用分层计数法：图（1）~图（2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）;中层：0（个）上下层：4+3+2+1=10（个）下层：0（个）[ 上中层：4+3+2+1=10（个）中下层：0（个）—上中下层：4+3+2+1=10总数：10+0+10=20（个）总数：—10+10+10=30（个）方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数公式法：第一层三角形的总数×层数图（1）图（2）第一层：4+3+2+1=10（个）4+3+2+1=10（个）,第一层：层数： 2（层）层数： 3（层）总数：10×2=20（个）￥总数：10×3=30（个）例5、下列图形中各有多少个三角形分层法：；上层：4+3+2+1=10（个）下层： 4（个）（吹泡泡法）上下层：。

第3课、图形计数进阶1、分类枚举方法 ①按大小枚举 ②按方向枚举 ③按组成部分枚举 例：按大小 按方向和大小 按组成部分2、打枪法 ①线段、角的计数 ②规则图形内三角形的计数 ③长方形的计数 例：3、对应法①长方形总数（一个长方形对应两个长和两个宽）=长枪×宽枪理解方式：长的选择由打枪法得出，宽的选择由打枪法得出，因为长与宽不能独立组成长方形，所以用乘法相连FE D C BA例：长方形总数=（3+2+1）×（4+3+2+1）②含“☆”的长方形a.一个长方形对应4条边，分别在“☆”的上下左右含“☆”的长方形=上边的选择×下边的选择×左边的选择×右边的选择 例：222 3含“☆”长方形总数=2×2×2×3b.鼠标法，即一条对角线对应一个长方，而两个点又对应一条对角线 含“☆”的长方形=左上点的选择×右下点的选择 例：含“☆”长方形总数=4×6③不规则图形对应规则图形（一般将不规则图形补成长方形或正方形） 例：在上图中含有多少个“ ”，图形可以翻转、旋转一个2×3的长方形 含有四个上图图形：经过翻转、旋转可得：而原图中2×3的长方形共24个，所以共有 个数：4×24 例：用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中， 面积等于1平方厘米的三角形有多少个？面积等于1平方厘米的分类统计如下：直角三角形类的：一个中含有4个， 共4个 所以此类三角形共4×4=16（个）等腰三角形类的 ： 一个 中含有2个， 共4个 所以此类三角形共2×4=8（个）另一类 ：在 中含有8个， 共一个所以面积为1三角形共：16+8+8=32（个）。

1． 图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。

2． 图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。

3． 图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。

4． 图形计数基本公式：1） 一条线段上有n 个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为：121(1)2n n n ++--÷…+（）=条。

2） 两条共端点的射线确定一个角（大于0︒小于180︒），假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒小于180︒）的个数为(1)2n n -÷条。

3） 网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

4） 一般的，一个长方形的长被分成n 等份，宽被分成m 等份（n m >，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1mn n m n m n m +--+--++-+⨯【例1】 请数出下图中线段的总条数。

【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条 ．由2条基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条．由3条基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条．由4条基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条．由5条基本线段构成的线段有：AF 1条．总数5432115++++=条．法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条．以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条．以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条．以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条．以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条．总数5432115++++=条．法3：线段AF 上共有6个点，那么应该共有65215⨯÷=条线段。

几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。

你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。

第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。

这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。

可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。

我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。

比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。

这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。

我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。

哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。

我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。

这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。

几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。

你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。

几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。

所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。

只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。

好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。

专题4.1 平面图形中的计数问题【例题精讲】【例1】如图，以A为一个端点的线段共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：以A为端点的线段有AB、AC、AD，共三条，故选：C．【例2】济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票( )A．20种B．42种C．10种D．84种【解答】解：如图，图中有5个站点．经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有432110+++=（种)．\保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为21020´=（种)．故选：A．【例3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有( )A．40个B．45个C．50个D．55个【解答】解：10条直线两两相交，最多有11(1)10945 22n n-=´´=．故选：B ．【例4】如图所示，从一点O 出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引(n n 为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果8n =时，检验你所得的结论是否正确．【解答】解：当2n =时，角的个数为1；当3n =时，角的个数为123+=；当4n =时，角的个数为1236++=；当5n =时，角的个数为123410+++=；当射线的条数为n 时，角的个数为11234(2)(1)(1)2n n n n ++++¼+-+-=-，当8n =时，1(81)8282´-´=．所以n 条射线可组成1(1)2n n -g 个角，这个结论也是正确的．【题组训练】1．阅读：在直线上有n 个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系2 1 2(21)0112´-+==3 3 3(31)01232´-++==464(41)012362´-+++== ¼ ¼ ¼ ¼n问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？【解答】解：（1）图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系212(21)0112´-+==333(31)01232´-++==464(41)012362´-+++==¼¼¼¼n22n n-2(1)0123(1)22n n n nn--++++¼+-==；（2）①把每一个班级看作一个点，则20(201)1902´-=（场)；②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为1211662´=（条)，因为车票有起点和终点站之分，所以车票要266132´=（种)．2．观察图①，由点A和点B可确定　1　条直线；观察图②，由不在同一直线上的三点A 、B 和C 最多能确定 条直线；（1）动手画一画图③中经过A 、B 、C 、D 四点的所有直线，最多共可作 条直线；（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n 个点(2)n …最多能确定 条直线．【解答】解：①由点A 和点B 可确定1条直线；②由不在同一直线上的三点A 、B 和C 最多能确定3条直线；经过A 、B 、C 、D 四点最多能确定6条直线；直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出n 个点(2)n …时最多能确定：(1)2n n -条直线．故答案为：1；3，6，10，(1)2n n -．3．在一条直线上取两上点A 、B ，共得几条线段在一条直线上取三个点A 、B 、C ，共得几条线段在一条直线上取A 、B 、C 、D 四个点时，共得多少条线段在一条直线上取n 个点时，共可得多少条线段？【解答】解：2个点时1条线段，3个点时有213+=条线段；4个点时有3216++=条线段；¼n 个点时有(1)(1)(2)3212n n n n --+-+¼+++=条线段．4．平面内有三点A 、B 、C ，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：（1）若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明；（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（3）若平面内有n 个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果）【解答】解：（1）（2）最多可画：1234515++++=（条)；（3）最多可画：(1)12312n n n -+++¼+-=（条)．5．根据题意填空：（1）~（2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）（1）1l 与2l 是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线3l ，那么这三条直线最多有　3　个交点．（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线4l ，那么这四条直线最多可有 个交点．（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，(1)n n >条直线最多可有 条交点．（用含有n 的代数式表示）【解答】解：（1）123+=；（2）336+=；（3）1234515++++=；21232n nn-+++¼+=．6．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1234（2）在直线上取n个点，可以得到几条射线？（3）用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；不能，请说明理由．【解答】解：（1）点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468（2）可以得2n条；（3）能，取6个点．Q(1)152n n-=时，6n=，所以取6个点．7．画出线段AB．（1）如图（1）所示，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？（2）如图（2）所示，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？（3）如图（3）所示，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？（4）当在线段AB上画出n个点时，则共有几条线段？【解答】解：（1）三条线段（2）六条线段（3）十条线段（4）111n n n+++-+¼+或1(1)(2)2n n++条线段．8．【观察思考】如图线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有　6　条．【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【解答】解：【观察思考】Q以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，\共有3216++=（条)．故答案为：6；【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则(1)(2)(3)321x m m m=-+-+-+¼+++，\倒序排列有123(3)(2)(1)x m m m =+++¼+-+-+-，2(1)x m m m m m m \=+++¼+=-，1(1)2x m m \=-．故答案为：1(1)2m m -；【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当8m =时，(1)8(81)2822m m -´-==．答：一共要进行28场比赛．9．观察图形，并回答下列问题：（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；（2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【解答】解：（1）以A 为端点的线段有AB 、AC 、AD 、AE 四条；以B 为端点的且与前面不重复的线段有BC 、BD 、BE 三条；以C 为端点的且与前面不重复的线段有CD 、CE 两条；以D 为端点的且与前面不重复的线段有DE 一条．或直接利用(1)2n n -公式，则432110+++=（条)．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知15142105´¸=（次)．答：共握了105次；（3）1514210´=（张)．答：共送了210张．11．（1）在AOB Ð内部画1条射线OC ，则图1中有　3　个不同的角；（2）在AOB Ð内部画2条射线OC ，OD ，则图2中有 个不同的角；（3）在AOB Ð内部画3条射线OC ，OD ，OE ，则图3中有 个不同的角；（4）在AOB Ð内部画10条射线OC ，OD ，OE ¼，则图中有 个不同的角；（5）在AOB Ð内部画n 条射线OC ，OD ，OE ¼，则图中有 个不同的角．【解答】解：（1）在AOB Ð内部画1条射线OC ，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在AOB Ð内部画2条射线OC ，OD ，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在AOB Ð内部画3条射线OC ，OD ，OE ，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在AOB Ð内部画10条射线OC ，OD ，OE ，¼，则图中有123101166+++¼++=个不同的角，故答案为：66．（5）在AOB Ð内部画n 条射线OC ，OD ，OE ，¼，则图中有(1)(2)123(1)2n n n n +++++¼+++=个不同的角．故答案为：(1)(2)2n n ++．12．过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部引n 条射线，共形成多少个角？【解答】解：在AOBÐ的内部引1条射线，即3条射线能组成3(31)32´-=个角；引2条射线即4条射线能组成4(41)62´-=个角；引3条射线即5条射线能组成5(51)102´-=个角；¼引n条射线即(2)n+条射线能组成(2)(1)2n n++个角．13．（1）数一数图①中共有　3　个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？【解答】解：（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．故答案为：3，6，10；（2）123+=Q，1236++=，123410+++=，\第n个图形共有：(1)(11)(1) 123(1)22n n n nn-+--+++¼+-==．14．（1）如图①，过角的顶点在角的内部作一条射线，那么图中一共有多少个角？（2）如图②，过角的顶点在角的内部作两条射线，那么图中一共有多少个角？（3）如图③，过角的顶点在角的内部作n条射线，那么图中一共有多少个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有13232´´=个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有14362´´=个角；（3）在角的内部作n 条射线，共有(2)n +条射线，那么图中一共有1(2)(1)2n n ++个角．15．如图，在AOB Ð的内部：（1）画1条射线1OA ，则图中共有几个角？把它表示出来．（2）画2条射线1OA ，2OA ，则图中共有几个角？画3条呢？（3）画行n 条射线1OA ，2OA ，¼，n OA ，图中共有几个角？【解答】解：（1）有3个角，分别为1AOA Ð，10A B Ð，AOB Ð；（2）如图，画2条射线有6个角，分别为2AOA Ð，1AOA Ð，AOB Ð，210A A Ð，20A B Ð，1A OB Ð，共有：3216++=个，画3条射线，共有：432110+++=个；（3）画n 条射线，共有：(1)(2)(1)212n n n n +++++¼++=个角．16．已知如图，AOB Ð是锐角，以O 为端点向AOB Ð内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？n 条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？【解答】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有10个角；即AOB Ð内部有一条射线时，有12+个角；AOB Ð内部有二条射线时，有123++个角；AOB Ð内部有三条射线时，有1234+++个角；AOB Ð内部有n 条射线时，有1234(1)n ++++¼++个角；17．观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n 条射线，此时共有多少个角？【解答】解：由分析知：（1）①图中有2条射线，则角的个数为：2(21)12´-=（个)；（2）②图中有3条射线，则角的个数为：3(31)32´-=（个)；（3）③图中有4条射线，则角的个数为：4(41)62´-=（个)；（4）由前三问类推，角内有n 条射线时，图中共有(2)n +条射线，则角的个数为(1)(2)2n n ++个．18．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图所示，如果过角的顶点：（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有3232´=个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有4362´=个角；（3）在角的内部作三条射线，共有5条射线，那么图中一共有54102´=个角；（4）在角的内部作n条射线，共有(2)n+条射线，那么图中一共有(2)(1)2n n++个角．19．如图，在AOBÐ的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？引三条射线呢？引五条射线呢？引n条射线呢？【解答】解：在AOBÐ的内部引一条射线，即3条射线能组成3(31)2´-个角；引两条射线即4条射线能组成4(41)62´-=个角；引三条射线即5条射线能组成5(51)2´-个角；引五条射线即7条射线组成7(71)2´-个角；引n条射线即(2)n+条射线能组成(2)(1)2n n++个角．20．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1　0 2 3 4 （2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？【解答】解：（1）表格如下：点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468（2）可以得到(1)2n n-条线段，2n条射线．21．（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少次？”这个问题吗？请解决．（3）若改为“十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？”【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有BC、BD、BE三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有CD、CE两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有DE一条．或直接利用(1)2n n-公式则432110+++=条．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知15142105´¸=（次)．答：共握了105次；（3）1514210´=（张)．答：共送了210张．22．众所周知，过两点确定一条直线，过三点中的任意两点最多能画三条直线．（1）过四点、五点中的任意两点最多能画几条直线，请画出相应的图形；（2）过n点中的任意两点最多能画几条直线，请说明理由；（3）小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2:1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色颜料可供使用．【解答】解：（1）过四点，最多可以画6条；过五点最多可以画10条；（2）设平面上点有n个，过其中的每两点画直线，最多可以画(1)2n n-条直线；（3）由题意得，12(121)132-=（种)；23．如图，过两点可画出2112´=条直线，过不共线的三点最多可以作出3232´=条直线，过无三点共线的四个点最多可作出4362´=条直线，¼，依此类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？试说明道理．【解答】解：(1)2n n-．理由：对于n个点，因为任意三点不在一条直线上，所以以一点来看，它与其它所有点存在(1)n-条直线，由于这样的点有n个，所以共有(1)n n-条，又这样每条直线重复一次，所以共有(1)2n n-．。

数线段：把一条线段分成n 段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)2()1(++-+-+ n n n 。

数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算。

数长方形：主要考虑长方形的长和宽，确定了长和宽的数量，就能计算长方形的数量，长的数量和宽的数量都是运用数线段的方法进行计数，分别得出结论后再相乘，就得出长方形的总数量。

如果遇到特殊情况，还要根据实际图的情况进行计数，做到不遗漏，不重复计数。

数正方形：先考虑图形的长由多少个小正方形组成（假设m 个），再考虑图形的宽由多少个小正方形组成（假设n 个），最后可以运用以下方法进行计数：........)2()2()1()1(+-⨯-+-⨯-+⨯n m n m n m ，直至两个因数中出现1为止，如果遇到特殊情况，还要根据实际图形情况进行计数，做到不遗漏，不重复计数。

数一数图中共有多少条线段？（两种方法）【知识点】：数线段；【难度】：★；【出处】：奥数精讲【解答】：方法一：图中共有5条基本线段，计数为5+4+3+2+1=15（条）；方法二：图中共有6个点，计数为6×（6-1）÷2=15（条）。

数一数图中共有几条线段？（两种方法）A 30A 5A 4A 3A 2A 1解：方法一：由于图中的基本线段数没有直接告诉我们，但是从点的数量（共有30个点）可以推出基本线段数是30-1=29（条），然后进行计数：线段总数是29+28+27+26+…..+1=（29+1）×29÷2=435（条）（等差数列求和学生已学过） 方法二：因为点数直接告知30个点，所以线段总数是30×（30-1）÷2=435（条）。

显然第二种方法简单。

（学生根据具体情况选择方法）数一数图中共有几条线段？........a 9a 3a a 2a 1bc 8c 3c c 7c 2c 1......【知识点】：数线段；【难度】：★★★；【出处】：奥数精讲解：首先要把这些线段进行分类，具体可以分成两类，一类线段以横线段计数，另一类线段以竖线段计数。

中班学习故事：看图形计数洋洋小朋友拿到操作纸之后，他边用手指着图形边说：“我知道这个图形是圆形，这个是梯形、半圆形、椭圆形、三角形...”接下来他拿着记号笔开始记录图形的数量了，“1、2、3、4”他边指着圆形边数，数好之后用记号笔在圆形后面记录上数字4；“1、2、3，椭圆形有三个”洋洋小朋友数好椭圆形之后并将数量也记录下来......旁边的恺恺小朋友也是用和他同样的方法看图形并计数，他记录好了图案中所有的图形数量之后，他拿着他的操作纸递给我说：“老师，我都做完了，你看我做得对吗？”我接过恺恺的操作纸开始检查了，恺恺记录图形的数量全都对的，我转过头真准备表扬一下恺恺，我看到恺恺在和洋洋小朋友讲话，我就没有去打扰他们了。

恺恺对洋洋小朋友说“你这个图案中的椭圆形应该是数字4，你怎么写3啊？”洋洋听了说：“好吧，那我再来数一遍吧！”他手边指着椭圆形边数“1、2、3”恺恺说：“这只小狗的头也是椭圆形，你没有数。

”洋洋小朋友看了之后将刚刚记录椭圆形的数量“3”改为“4”。

《3~6岁儿童学习与发展指南》科学领域目标3指出：能感知和发现常见的几何图形的基本特征，并进行分类。

在今天的操作活动中，恺恺小朋友和洋洋小朋友对各种图形组合的不同图案都很感兴趣，他们都愿意认一认、数一数各种图形。

洋洋小朋友能够正确的说处看到的图形，说明幼儿对这些常见的几何图形的特征是非常了解的，而且在数图形过程是手口一致从上往下点数图像的数量，幼儿的这种数数方法也非常恰当,只是在数图形的时候不够细心，导致漏数了一个图形。

从恺恺小朋友完成的操作可以看出幼儿对各种图形的特征掌握的非常好，能够记录不同图形的正确数量，而且当他发现同伴记录的不对的时候能够主动指出，和同伴一起去找出正确的答案。

在日常生活中时常鼓励识别和描述生活中常见的物品的形状及特征，感受生活中各种物品的形状特征，丰富幼儿对几何图形识别的经验。