对于函数解读

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

对数函数的图像和性质（北师大高一数学必修1第三章第五节内容第二课时）教学目标：1. 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．2. 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．3. 通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．重点与难点：重点：掌握图像和性质．难点：利用对数函数的图像和性质解决一些简单问题。

教学方法：启发探究式教学用具：多媒体课件教学教学过程设计：复习引入：1．对数函数的概念是什么？2．对数函数的定义域，值域分别是什么？3．指数函数y＝a x（a＞0，a≠1）与对数函数y＝ log a x（a＞0，a≠1）有什么关系？新知探究：讨论：1.学生活动：由学生自己动笔、列表、描点画出函数y＝ log2x的图象。

2.启发诱导：函数图象中你“看到了什么?发现了什么?有什么联想?”3.发现规律；让学生说出函数图像的特征及函数的一些性质。

教师给于适当的提示也可以。

练习：画出函数的图象。

并根据图像说一下函数的性质。

思考：函数y＝ log2x与函数的图像有何关系？交流：y＝ log a x（a＞1）的图像y＝ log a x（0<a<1）的图像如何画出来。

）概括：一般的对数函数的图像和性质图象特征和性质分析见下表：图象特征函数性质(1) 这些图象都位于y轴右方．(1) 定义域是(0，＋∞)．(2) 这些图象都过(1，0)点(2) log a1＝0．(3) 当a＞1时，y＝ log a x的图象在点(1，0)右边的纵坐标都大于0；在在点(1，0)左边的纵坐标都小于0．当0＜a＜1时，y＝ log a x的图象正相反．(1，0)右边的纵坐标都小于0；在在点(1，0)左边的纵坐标都大于0．(4)自左向右看，a＞1时，y＝log a x的图象逐渐上升；0＜a＜1时，y＝ log a x的图象逐渐下降．(4) 当a＞1时，y＝ log a x 是增函数；当0＜a＜1时，y＝ log a x是减函数；作了上述分析后，再列出教材所示的一般对数函数的图象和性质表．通过两步，帮助学生巩固所学知识，要求学生利用数形结合的方法理解并熟记典型对数函数和一般对数函数的图象和性质．应用：例1：求下列函数的定义域：①y=log a x2②y=log a(4-x)分析：此题主要利用对数函数y=log a x的定义域为（0，+∞）求解。

《二次函数》知识点解读二次函数是高中数学中一个重要的知识点，它是一种常见的函数类型，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不能为0。

接下来，让我们来深入解读二次函数的相关知识点。

一、二次函数的基本形式与性质1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其方程为x=-b/(2a)，对称轴将图像分为对称的两部分。

3. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即满足二次函数方程ax^2+bx+c=0的x值。

4. 判别式：二次函数的判别式为Δ=b^2-4ac，它决定了二次函数的零点个数和性质。

当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数没有实根。

二、二次函数的图像特征1.开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点，坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

3.最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

4.对称性：二次函数具有对称性，即关于对称轴对称。

三、二次函数的变形1.平移变形：二次函数的图像可以通过平移来进行变形，平移的形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为平移的距离和方向。

2.缩放变形：二次函数的图像可以通过缩放来进行变形，缩放的形式为y=a(x-h)^2+k，其中a为缩放的比例因子。

四、二次函数的应用1.物理学中的应用：二次函数常用于描述抛物线运动，如自由落体运动、抛体运动等。

2.经济学中的应用：二次函数常用于描述成本、收益、利润等与产量之间的关系。

3.工程学中的应用：二次函数常用于描述波形、曲线形状等。

专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。

2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。

3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。

4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。

5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。

三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。

函数、反函数、复合函数的概念若在某变化过程中，对变量x在一定范围D内的每个值，按某个对应法则，变量y有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，记作y＝(f)x，x∈D．x叫自．变量．．．．函．．．．．．．与x的值a对应的y的值f(a)叫函数值．．．x的取值范围D叫函数的定义域数值的集合叫函数的值域．．．．．．按近代观点，函数就是定义域到值域上的映射．设a、b是两个实数，且a＜b．数集{x|a≤x≤b}叫闭区间．．．，记作[a，b]．数集｛x|a＜x＜b｝叫开区间．．．，记作(a，b)．数集｛x|a≤x＜b｝、与｛x|a＜x≤b｝都叫半开半闭区间．．．．．．，分别记作[a,b)（a,b]．数集｛x| x≤a｝、｛x|x＜a｝、｛x|a ≤x｝、｛x|a＜x｝分别记作（－∞，a]、（－∞,a）、[a，＋∞）、(a，＋∞)，而实数集R可记作．(－∞，＋∞)以自变量与函数的对应值作为点的坐标(x，y)，坐标平面的点集{(x，y)|y＝f(x)，x∈D}构成图形．．．，它形象的表示函数的性态．．．，称为函数y＝f(x)的图像若确定函数y＝f(x)的映射f：A→B是可逆映射，则它的逆映射f－1: B→A确定的函数x＝f－1(y)叫做函数y＝f(x)的反函数．．．．函数y＝f(x)的定义域、值域分别是反函数x＝f－1 (y)的值域、定义域．习惯上一般用x表示自变量，用y 表示函数，把函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．因为点(x，y)与(y，x)关于直线y＝x对称，故函数y＝f(x)与其反函数y ＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．复合映射：g·f：A→C，x→g[f(x)]其中g的定义域B⊇f(A)，相应确定复．合函数．．．g．[f(x)]．利用复合函数的概念，可以把一个复杂的函数分解为一些简单函数的复合，从而化繁为简．。

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。

一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。

通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

三角函数趣味故事解读引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

在学习三角函数的过程中，我们可能会感到疲倦和无聊。

然而，通过一些趣味故事和实例，我们可以更好地理解和记忆三角函数的概念和性质。

本文将通过几个趣味故事，以深入浅出的方式解读三角函数。

让我们一起来探索吧！三角函数的起源故事三角函数的起源与古希腊的三角形研究有关。

据说，在早期的航海时代，希腊人发现船只在海上航行时，可以通过观察太阳、星辰和地平线来确定方位和位置。

然而，他们并没有精确测量工具，因此需要一种方法来估计物体的高度和距离。

为了解决这个问题，希腊人引入了三角形的概念。

他们发现，如果在一个直角三角形中，知道一个角的大小以及它所对边的长度，就可以推导出其他两条边的长度。

这就是三角函数的起源。

正弦函数的故事海滩上的竖井与飞鸟在海滩上有一个高耸的竖井，一个飞鸟从垂直上方飞过。

假设竖井的高度为h，飞鸟在竖井正上方的位置到竖井所在的水平线之间的距离（即飞鸟到竖井的水平距离）为x。

我们希望知道飞鸟飞过时与竖井的夹角大小θ与x和h之间的关系。

解决这个问题的关键在于找到一个合适的三角形来应用三角函数。

我们知道，正弦函数的定义是一个角的对边与斜边之比。

在这个问题中，我们可以创建一个直角三角形，其中竖井的高度h是斜边，竖井正上方与飞鸟所在水平线之间的距离x是对边，而飞鸟与竖井的夹角θ就是我们要求的角。

根据正弦函数的定义，我们可以得到以下关系：sin(θ) = x / h这个故事告诉我们，通过正弦函数，我们可以利用已知的两条边的关系求解一个角的大小。

三角函数与音乐正弦函数在数学中有重要的应用，它还在音乐中发挥着重要的作用。

音乐中的声音是通过空气的震动传播出来的，而这个震动的形式可以用三角函数来描述。

假设我们弹奏一个频率为f的音符，它会产生一个周期为T的振动。

我们知道，正弦函数是一个周期函数，所以我们可以使用正弦函数来描述这个振动的形式。

导数与函数的函数奇偶性特性解读函数是数学中的重要概念，而导数则是函数的重要性质之一。

导数的概念和性质对于函数的研究和应用具有重要作用。

本文将探讨导数与函数的函数奇偶性特性，并解读其对函数图像和特性的影响。

一、导数回顾在开始解读导数与函数的函数奇偶性特性之前，我们先回顾一下导数的定义。

给定函数f(x)，如果函数在某一点x处的导数存在，那么导数可以定义为函数f(x)在点x处的切线的斜率。

导数通常用f'(x) 或dy/dx来表示。

二、函数的奇偶性在函数的研究中，我们经常关注函数的奇偶性。

若函数f(-x) = -f(x)成立，则函数f(x)为奇函数。

若函数f(-x) = f(x)成立，则函数f(x)为偶函数。

当然，函数也可以是既不奇也不偶。

三、奇函数的导数现在，我们来探讨奇函数的导数特性。

对于奇函数f(x)，我们可以得出结论，奇函数的导数f'(x)是偶函数。

证明如下：假设f(x)是奇函数，那么根据奇函数的定义，有f(-x) = -f(x)。

考虑f'(-x)，即函数f(x)在点-x处的导数。

根据导数的定义，导数可以定义为函数在某一点处切线的斜率。

我们可以将函数f(x)在点-x的导数表示为f'(-x) = tanθ，其中θ为f(x)在点-x的切线与x轴正方向的夹角。

我们可以注意到，函数f(x)在点-x的切线与点x的切线是关于x轴对称的。

具体来说，函数f(x)在点x的切线的斜率与函数f(x)在点-x的切线的斜率是相等且反号的。

即f'(x) = -f'(-x)，其中f'(x)为函数f(x)在点x的导数。

综上所述，奇函数的导数f'(x)是偶函数。

四、偶函数的导数接下来，我们来分析偶函数的导数特性。

对于偶函数f(x)，我们可以得出结论，偶函数的导数f'(x)是奇函数。

证明如下：假设f(x)是偶函数，那么根据偶函数的定义，有f(-x) = f(x)。