函数极值最值资料讲解

函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。

在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。

一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。

要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。

2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。

3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。

4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。

举个例子来说明。

考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。

2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。

3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。

所以x = 1是函数的极小值点。

4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。

二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。

要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。

2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。

继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。

2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。

本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。

一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。

而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。

二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。

驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。

2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。

3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。

同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。

确保所比较的点处于函数的定义域内。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。

以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。

例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。

在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。

比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。

此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。

在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。

结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。

通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。

本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

导数与函数的极值、最值一、基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](优质试题·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3.[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (优质试题·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[专题训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(优质试题·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (优质试题·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [专题训练]1.(优质试题·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32， 所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－ e.综上，a＝－ e.[课时跟踪检测]A级1．(优质试题·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18C．3 D．0解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.2．(优质试题·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(优质试题·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝12x2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．(3,4)内解析：选B函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x －2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(优质试题·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0.∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22.7．(优质试题·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，。

函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。

在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。

本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。

一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。

根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。

当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。

为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。

首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。

这些点就是函数可能存在极值的点。

接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。

二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。

与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。

当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。

要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。

临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。

然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。

综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。

通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。

而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。

这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。

函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。

极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。

极大值和极小值统称为极值。

二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。

具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。

2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。

3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。

- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。

- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。

- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。

三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。

四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。

1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。

- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。

2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。

- 然后，找出f'(x)的零点。

- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。

- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。

需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。

总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。

函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。

本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。

一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。

根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。

1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。

2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。

3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。

二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。

1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。

根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。

2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。

（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。

三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

函数极值与最值分析在数学中，函数的极值和最值分析是一个重要且常见的问题。

通过分析函数的极值和最值，我们可以更好地理解函数的特性和行为，以便在不同的应用场景中做出合理的决策。

本文将介绍函数的极值和最值概念，以及分析函数极值和最值的方法。

一、极值和最值的定义函数的极值指的是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。

极大值是函数在某一点处的取值大于其邻近点的取值，极小值则是函数在某一点处的取值小于其邻近点的取值。

最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。

二、函数的极值和最值分析方法1. 寻找导数为零的点对于可导函数而言，导数为零的点可能是函数的极值点。

因为在极值点，函数的导数会从正数变为负数（极大值）或从负数变为正数（极小值）。

因此，我们可以通过求导并令导数等于零来寻找潜在的极值点。

2. 检查导数的符号变化如果导数在某个点的左侧为负，而在该点的右侧为正，则该点为函数的极小值点；反之，如果导数在某个点的左侧为正，而在该点的右侧为负，则该点为函数的极大值点。

因此，我们可以通过检查导数的符号变化来确定极值点的存在和类型。

3. 分析函数的端点对于定义在闭区间上的函数，函数的极值点可能出现在区间的端点。

因此，在进行极值分析时，我们需要考虑函数在区间端点的取值情况。

4. 二阶导数法在寻找函数的极值点时，我们还可以通过二阶导数来确定极值点的类型。

如果函数在某点的二阶导数为正，那么该点为函数的极小值点；如果函数的二阶导数为负，那么该点为函数的极大值点。

三、最值的分析方法1. 利用最大最小值定理最大最小值定理指出，如果一个函数在一个闭区间上是连续的，那么它在该区间内一定存在最大值和最小值。

因此，在分析函数的最值时，我们可以先找出函数的临界点和端点，然后比较它们的取值来确定最值。

2. 利用函数的性质和图像在某些情况下，我们可以通过观察函数的性质和图像来确定最值。

例如，对于关于时间的函数，我们可以根据物理规律或实际问题的背景来判断最值的出现时刻。

函数的极值与最值在数学中，函数的极值与最值是我们经常会遇到的概念。

它们在解决实际问题，优化算法等方面发挥着重要的作用。

本文将介绍函数的极值与最值的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、极值的定义与求解方法极值是函数在特定区间内取得的最大值或最小值。

根据定义，当函数在某个点的左右两侧函数值发生变化时，这个点就被称为极值点。

函数的最大值与最小值就是所有极值点中的最大值与最小值。

求解函数的极值可以通过以下几种方法：1. 导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。

首先，我们需要计算函数的导数，然后找出导数为零的点，即驻点。

接下来，通过二阶导数的符号判断驻点是极大值还是极小值。

2. 边界法当函数在一个闭区间内连续且可导时，我们只需要计算函数在区间的端点以及在内部导数为零的点，然后比较这些函数值，即可找到函数的最大值与最小值。

3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法主要用于求解带有约束条件的极值问题。

通过构造Lagrange函数并求解其偏导数为零的方程，我们可以获得函数在约束条件下的极值点。

二、最值的定义与求解方法最值是函数在定义域内的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值并不要求函数在某个点处取得。

求解函数的最值可以通过以下几种方法：1. 根据函数性质有些函数具有明显的性质，比如函数的图像是凸函数或凹函数，这时我们可以直接判断函数的最值在哪个区间内取得。

2. 数值法数值法是一种较为直接的方法。

我们可以通过在定义域内取一系列点的函数值，然后比较这些函数值找出最大值与最小值。

3. 优化算法优化算法可以用来求解函数的最值问题。

例如，梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等可以被应用于求解实际问题中的最优解。

三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些具体例子：1. 生产优化问题在生产过程中，我们希望能够最大化产量或最小化成本。

通过建立相应的数学模型，并利用函数的极值与最值概念，可以确定生产因素的最佳配置，从而实现生产效益的最大化。

函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。

本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。

一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。

定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。

二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。

其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。

2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。

通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。

3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。

通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。

4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。

这种方法在实际问题中应用较多。

三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。

2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。

3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。

4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。

总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。

函数的极值与最值问题在数学中，函数的极值与最值问题是一类常见且重要的问题。

通过研究函数的极值和最值，我们能够深入理解函数的特点，并且在实际问题中能够得到有效的应用。

一、函数极值的定义在初等数学中，我们将极值分为两种，即极大值和极小值。

对于一个函数f(x)，如果在某一点x0处，其函数值f(x0)大于其邻近点的函数值，那么f(x0)即为函数的极大值；相反，如果在某一点x0处，其函数值f(x0)小于其邻近点的函数值，那么f(x0)即为函数的极小值。

数学上，我们通过求函数的导数来判断函数的极值。

若函数在某一点的导数等于零，且导数在该点的某个邻域内变号，那么这个点就是函数的极值点。

二、函数最值的定义与函数的极值不同，函数的最值是指函数在其定义域内取得的最大值和最小值。

函数的最大值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大函数值；函数的最小值则是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最小函数值。

为了求得函数的最值，我们需要通过一定的方法进行计算。

常见的方法有试探法、数列极限法、导数法等。

通过这些方法，我们能够准确地找到函数的最值点和最值。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题广泛应用于各个领域，包括自然科学、工程技术以及社会经济等。

下面以数学建模为例，简要说明函数极值与最值问题的应用。

在数学建模中，我们常常需要寻找能够最大化或最小化某种指标的函数值。

通过求解函数的极值和最值问题，我们可以确定最优解。

例如，在运输路线优化问题中，我们可以将运输距离或成本等指标建立函数，然后通过求函数的最小值来确定最佳的运输路线。

在生产优化中，我们可以将成本和产量建立函数，进而求函数的最大值或最小值来获得最优的生产方案。

函数的极值与最值问题还应用于金融领域。

在投资决策中，我们需要评价不同投资方案的风险收益特征。

通过构建风险与收益函数，我们可以求函数的最值，从而找到最佳的投资方案。

此外，在金融衍生品定价中，通过求解衍生品定价模型中的极值问题，我们可以确定合理的衍生品价格，为交易提供参考。

函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。

在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。

本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。

1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。

函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。

2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。

3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。

而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。

4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。

具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。

b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。

5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。

在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。

在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。

总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。

通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。

这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。

希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。

函数的极值与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并在数学建模和问题求解中扮演重要角色。

函数的极值和最值是在特定区间内，函数取得的最大值和最小值。

本文将介绍函数的极值与最值的概念，并探讨如何求解函数的极值和最值。

一、函数的极值与最值概念在某个区间内，如果函数的值在该区间的其它点上都小于（或大于）该点的函数值，那么该点被称为函数的极值点。

函数的最大值和最小值就是函数在整个定义域内的极值。

对于实数域上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得在区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≥f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值；如果对于区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≤f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。

二、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法函数极值点必须满足导数为0或者不存在导数的条件。

通过求函数的导数，我们可以找到导数为零的点，然后判断这些点是否为函数的极值点。

当导数从正数变为负数时，函数的最大值出现；当导数从负数变为正数时，函数的最小值出现。

2. 端点法对于定义在有界闭区间上的函数，其最大值和最小值可能出现在区间的两个端点上。

因此，在求解函数的最大值和最小值时，我们需要检查区间的两个端点是否为候选点，并与导数法的结果进行比较。

3. 二次函数法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），其极值点为顶点，可以通过求解一元二次方程来确定顶点的横坐标，再将横坐标代入函数中求得纵坐标。

4. 函数图像法通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的极值和最值。

在计算机图像绘制软件中，可以绘制函数的图像，然后从图像中读取函数的极值和最值。

三、应用举例下面通过几个具体的例子来说明如何求解函数的极值与最值。

例1：求解函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的极值和最值。

函数的极值与最值函数是数学中重要的概念之一，它描述了自变量和因变量之间的关系。

在数学中，我们经常研究函数的极值与最值，以帮助我们了解函数的特性和性质。

本文将从定义、求解方法以及实际应用等方面探讨函数的极值与最值。

一、函数的极值与最值定义在数学中，给定一个函数f(x)，其定义域为D，如果存在一个实数a使得在a的某个邻域内，对于所有x∈D，都有f(x)≤f(a)（或者f(x)≥f(a)），则称f(a)是函数f(x)在D上的一个极大值（或者极小值）。

相应地，称a是函数f(x)的极值点。

特别地，如果函数f(x)在D上的所有极值中存在一个最大值或最小值，则称此极值为函数f(x)在D上的最大值或最小值。

二、求解函数的极值与最值的方法要求解函数的极值与最值，我们需要运用微积分知识中的导数和极值点的概念。

1. 导数和极值点函数在某点的导数表示了函数在该点的变化率。

在函数的导数存在的点上，函数可能存在极值点。

当导数为零或不存在时，可能是函数的极值点。

2. 求解方法为了找到函数的极值点，我们可以执行以下步骤：- 求解函数的导数；- 找出导数为零或不存在的点，即可能的极值点；- 通过二阶导数或其他方法验证这些点确实是极值点；- 比较这些点的函数值，找出最大值或最小值。

三、实际应用函数的极值与最值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些示例：1. 经济学中的利润最大化在经济学中，一个公司的利润函数通常依赖于售价和销量等因素。

通过求解该函数的最大值，可以确定最大利润对应的售价和销量。

2. 物理学中的最速下降问题在物理学中，有些问题需要找到某个量的最小值以满足特定约束条件。

例如，光在介质中传播时，路径的折射率变化最小，我们可以利用函数的最小值来确定光的路径。

3. 优化问题函数的极值与最值在优化问题中有着广泛应用。

例如，在工程设计中，我们希望找到设计问题的最优解，如最小耗能、最小成本、最大效益等。

四、总结函数的极值与最值是数学中一个重要且实用的概念。