(完整版)函数的最值知识点总结与经典题型归纳,推荐文档

函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。

下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。

一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。

对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。

二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。

当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。

2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。

这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。

3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。

求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。

这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。

三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。

例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。

解：首先，我们可以通过顶点法来求解。

根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。

所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。

例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。

解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。

根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。

例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。

《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

如果导数存在，则函数在该点处可导。

二、函数的极值1、极值的定义函数在某区间内的极大值和极小值统称为极值。

极大值是指在该区间内比其附近的函数值都大的函数值；极小值则是指在该区间内比其附近的函数值都小的函数值。

2、极值点的判别方法（1）导数为零的点：若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0，则 x₀可能是极值点。

（2）导数不存在的点：函数在某些点处导数不存在，但也可能是极值点。

3、第一导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内可导，且 f'（x₀) ＝ 0。

（1）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极小值。

4、第二导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。

（1）若 f'＇（x₀) ＜ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）若 f'＇（x₀) ＞ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极小值。

三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间内的最大值和最小值分别称为函数在该区间内的最值。

2、求最值的步骤（1）求函数在给定区间内的导数。

（2）找出导数为零的点和导数不存在的点。

（3）计算这些点以及区间端点处的函数值。

（4）比较这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

\g
( - x ) +g
(x)
=
2x+1 +
2x +1
sin
x
2 -1+
1+ 2x
- sin
x
-1 =
0
思思老师
\g(-x) = -g(x)
\ g ( x) 为奇函数，函数图像关于原点对称.
\函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最大值记为 a,(a>0),则函数 g ( x) 在区间 [-k, k ](k > 0) 上的最小
f (2) 4
4 16
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例 5. （ 2016 全 国 新 课 标 Ⅱ ） ( Ⅰ ) 讨 论 函 数 f (x) = x - 2 ex 的 单 调 性 ， 并 证 明 当 x > 0 时 ， x+2
(x - 2)ex + x + 2 > 0 ；
(Ⅱ)证明：当
f
(x)
=1+
2x+1 2x +1
+ sin
x
在区间 [-k, k ]( k
>
0)
上的值域为 [m, n]
，则
m+n=
.
【答案】4
【解析】记 g ( x)
=
f
(x)-2 =
2x+1 + sin x -1
2x +1
\
g
(-x)
=
2- x+1 2-x +1
+
sin
(-x)
-1
2 = 1+ 2x - sin x -1

函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

高一数学函数的最值的知识点在高一数学中，函数的最值是一个重要的知识点。

在解决最值问题时，我们需要掌握一些基本方法和技巧。

本文将介绍函数的最值概念、求解最大值和最小值的方法以及一些应用题，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数的最值概念函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。

在函数图像上，最大值对应的点叫做函数的最大值点，最小值对应的点叫做函数的最小值点。

二、求解最大值和最小值的方法1. 寻找定义域求函数最值前，首先找出函数的定义域。

只有在定义域内，函数的取值才有意义。

2. 导数法函数的最值通常出现在函数的极值点处。

求解极值时，我们可以使用导数法。

具体步骤如下：a. 求出函数的导数。

b. 求出导数等于0的点，这些点即为函数的驻点。

c. 求出驻点的函数值，取其中最大值和最小值即为函数的最值。

3. 区间端点法当函数在定义域的端点处时，也可能出现最值。

所以在求解最值时，还需要考虑函数在定义域端点处的取值。

比较定义域内的所有驻点、定义域端点和端点处的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。

4. 解析法对于含有一个变量的函数，我们可以通过解方程的方法求解最大值和最小值。

具体步骤如下：a. 整理函数表达式，消去分式和根式等。

b. 求出函数的导数，并解方程f'(x)=0。

c. 求出驻点，并带入函数表达式求出对应的函数值。

d. 比较所有的函数值，选取其中的最大值和最小值即为函数的最值。

三、最值在应用题中的应用最值的概念在很多实际问题中都有应用。

下面通过一个具体的应用题来说明。

题目：某地温度每小时的变化满足函数T(t)=-t^2+t+12，其中t 表示小时数，T(t)表示温度。

求出温度的最大值和最小值。

解析：根据题目中给出的函数T(t)=-t^2+t+12，我们可以通过求导数的方法求解最值。

首先，我们求出导数T'(t)=-2t+1。

接下来，我们解方程T'(t)=0，得到t=1/2。

高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”女口：集合A x|y lg x， B y | y Ig x，C (x, y) | y Ig x，A、B、C 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

女口：集合A x|x2 2x 3 0 ，B x|ax 1若B A，则实数a的值构成的集合为____________(答：1, 0，-)3显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。

故B只能是-1 或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：(1)集合a1，a2，，a n的所有子集的个数是2n;要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择(在或者不在)。

同样，对于元素a2, a3,……a n,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n 个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1,非空真子集个数为2n2(2)若A B ABA，A B B;(3)德摩根定律：C u A B C U A C u B ，C U A B C U A C u B有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4•你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告 诉你函数f （x ）=ax 2+bx+c （a>0）在（,1）上单调递减，在（1,）上单调递增, 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想 到m n 实际上就是方程 的2个根5、 熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”（）,“且”（）和“非”）.若p q 为真，当且仅当p 、q 均为真若p q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若p 为真，当且仅当p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。

高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．三、考点解析考点一 确定函数的单调性(区间))例、(1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．跟踪训练1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值))例、(1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在]2,21[上的值域为]2,21[，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．注： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．跟踪训练1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈]32,6[ππ-，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小例、偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式例、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)例、已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．跟踪训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21(-f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是课后作业一1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在]2,21[上的值域是]2,21[，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．课后作业二1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.。

高二函数的最值知识点函数是数学中经常出现的一种数学对象，它描述了两个变量之间的关系。

在高中数学中，函数最值问题是一个重要的知识点，它涉及了函数的最大值和最小值的求解。

本文将介绍高二函数的最值知识点，包括最值的定义、求解方法和相关例题。

一、最值的定义函数的最值指的是函数在给定定义域内所取得的最大值和最小值。

最大值是函数取值中的最大值，最小值则是函数取值中的最小值。

二、求解方法1. 寻找临界点在求解函数最值时，一种常用的方法是寻找函数的临界点。

临界点是指函数的导数为零或导数不存在的点。

通过求导数并解方程，可以得到函数的临界点。

2. 确定边界点边界点是指函数定义域的端点。

当给定的函数在定义域的端点处取到最值时，这些端点就是函数的边界点。

3. 对比找到函数的临界点和边界点之后，将它们与函数在定义域内的其他点进行比较。

最终确定函数的最值。

三、例题分析下面通过几个例题来说明高二函数最值的求解过程。

例题一：已知函数 f(x) = -2x^2 + 5x + 3，求函数 f(x) 的最大值和最小值。

解答：首先，对函数 f(x) 求导，得到 f'(x) = -4x + 5。

令 f'(x) = 0，解方程得到 x = 5/4。

这个点是函数的临界点。

接下来，考虑函数在定义域的边界点。

由于函数未给出定义域，我们需进一步判断。

由于二次函数的图像是开口朝下的，所以最大值在临界点或者边界点处取得。

如果给定了定义域，则找出定义域的边界点。

比如定义域为 [a, b]，则将 a 和 b 代入函数 f(x) 中计算，将得到的两个函数值与 f(x) 的临界点进行比较，得出最值。

例题二：已知函数 g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5，求函数 g(x) 的最大值和最小值。

解答：同样地，对函数 g(x) 求导，得到 g'(x) = 6x^2 - 18x + 12。

令g'(x) = 0，解方程得到 x = 1 或 x = 2。

函数最值知识点总结函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。

在数学中，函数最值是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数的极值点和函数的最大值和最小值。

本文将对函数最值的相关知识点进行总结，包括定义、性质、求解方法等内容。

一、函数最值的定义函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)，如果存在一个实数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在定义域D上的最大值。

类似地，如果存在一个实数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在定义域D上的最小值。

二、函数最值的性质1. 如果函数f(x)在定义域D上有最大值或最小值，那么它一定是在D的边界上取得的。

2. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在内部有一点c使得f(c)是最值，那么f(c)一定是函数f(x)在区间[a,b]内的最大值或最小值。

3. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么必须是一个有界函数。

4. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么它必定有一个最大值和一个最小值。

三、求解函数最值的方法1. 利用导数对于一元函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来找到函数的最值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解出导函数f'(x)=0的解，即导数为0的点；（3）将解代入原函数f(x)中，求出相应的函数值；（4）比较函数值，得出最大值和最小值。

2. 利用二次函数的性质对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过二次函数的性质来找到函数的最值点。

具体步骤如下：（1）求出二次函数的顶点坐标（-b/2a,f(-b/2a)）；（2）根据a的正负来判断最值点的情况：a）若a>0，函数有最小值，最小值为f(-b/2a)；b）若a<0，函数有最大值，最大值为f(-b/2a)。

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。

函数的最值知识梳理1. 函数最大值一般地，设函数()y f x =的定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 都有()f x M ≤.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =的最大值.2. 函数最小值一般地，设函数()y f x =的定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 都有()f x M ≥.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =的最小值.注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．3. 函数的最值与其单调性的关系．（1）若函数在闭区间[,]a b 上是减函数，则()f x 在[,]a b 上的最大值为 f (a )，最小值为 f (b )；（2）若函数在闭区间[,]a b 上是增函数，则()f x 在[,]a b 上的最大值为 f (b )，最小值为 f (a )．4．二次函数在闭区间上的最值．探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出()y f x =的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．例题精讲【例1】求函数()3f x x =在[0,3]上的最大值和最小值．解：因为函数()3f x x =在[0,3]上单调递增所以()3f x x =在[0,3]上的最大值为(3)339f =⨯=；()3f x x =在[0,3]上的最小值为(0)300f =⨯=；【例2】求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：函数12-=x y 的图象如下图所示，所以12-=x y 在区间[2，6]上单调递减； 所以12-=x y 在区间[2，6]上的最大值为2221=-； 最小值为22615=-.题型一 利用图象求最值【例3】求下列函数的最大值和最小值.（1）25332,[,]22y x x x =--∈- （2）|1||2|y x x =+--解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为 x ＝－1.画出函数的图象，由下图，可知：当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-最大值为4，最小值为94-. （2）3,2|1||2|21,123,1x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩ 作出函数图象，如下图，可知：[3,3]y ∈-所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.题型二 利用函数单调性求最值【例4】求函数9()f x x x=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值. 分析：先判断函数的单调性，再求最值.解：因为1213x x ≤<≤ 所以12121299()()()f x f x x x x x -=+-+121299()x x x x =-+-2112129()x x x x x x -=-+ 12129()(1)x x x x =--因为1213x x ≤<≤所以120x x -<，129x x ≤ 所以12910x x -<，所以12()()0f x f x ->,12()()f x f x > 所以9()f x x x=+在区间[1,3]上单调递减； 所以求函数()f x 在[1,3]x ∈上的最小值为918(3)333f =+=，最大值为9(1)1101f =+=. 题型三 函数最值的应用【例5】已知函数22()x x a f x x ++=，[1,)x ∈+∞（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值.（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求a 的取值范围.解：（1）当12a =时，2122()x x f x x ++=设121x x ≤<则12121211()()(2)(2)22f x f x x x x x -=++-++21121212121221()()22x x x x x x x x x x x x --=-+=-因为120x x -<，所以1221x x >，12210x x ->所以12()()0f x f x -<，12()()f x f x <所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增所以的最小值为17(1)1222f =++=.（2）()0f x >对[1,)x ∈+∞恒成立⇔220x x a ++>对[1,)x ∈+∞恒成立⇔22a x x >-- 对[1,)x ∈+∞恒成立．令222(1)1u x x x =--=-++，其在[1,)+∞上是减函数，∴当1x =时，max 3u =-. 因此3a >-.故实数a 的取值范围是(3,)-+∞．课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为() A ．10,6 B ．10,8 C ．8,6 D ．以上都不对2．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )3. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1] 4．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )A ．最大值4，最小值0B ．最大值0，最小值－4C ．最大值4，最小值－4D ．最大值、最小值都不存在5．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．6．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________．7. 已知函数2()23f x x x =--，若[,2]x t t ∈+时，求函数()f x 的最值.8. 求函数()1x f x x =-在区间[2,5]上的最大值和最小值.9. 已知函数 f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5].（1）当a＝－1 时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求使函数y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的 a 的取值范围．。

函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。

二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。

题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。

二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。

A。

$(-4,-1)$ B。

$(-4,1)$ C。

$(-1,1)$ D。

$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。

解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。

解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。

故选C。

变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。

A。